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VIGA EM BALANÇO COM MASSA CONCENTRADA NA EXTRIMIDADE LIVRE Calculo de Modos e Freqüências Naturais EI , m M
l
β = (λ / l )
w2 = β 4 .( EI / m ) = β 3.λ.( EI / ml )
µ = ( M / ml )
ξ = ( x / l)
v ( x, t ) = φ ( x ). sen( w.t )
φ ( x ) =C1. sen β . x + C2. cos β . x + C3. senh β . x + C4. cosh β . x = =C1. senξ .λ + C2. cosξ .λ + C3.senhξ .λ + C4. coshξ .λ
Apliquemos as Condições de Contorno, 1. v(0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 ⇒ C2 + C4 = 0 2. v′(0, t ) = 0 ⇒ φ ′(0) = 0 ⇒ C1 + C3 = 0 3. M (l , t ) = 0 ⇒ v′′(l , t ) = 0 ⇒ φ ′′(l ) = 0 ⇒ β 2 .{−C1. sen λ − C2 . cos λ + C3. senh λ + C4 . cosh λ} = 0
4. Q (l , t ) = M .v(l , t ) ⇒ EI .v ′′′(l , t ) = M .v(l , t ) ⇒ EI .φ ′′′(l ) = ( − w2 ).M .φ (l ) = − β 3.λ.( EI / ml ).M .φ (l ) ⇒
φ ′′′(l ) = − β 3.λ.( M / ml ).φ (l ) = − β 3.λ.µ .φ (l )
logo β 3.{−C1. cos λ + C2 . sen λ + C3. cosh λ + C4 . senh λ} = = − β 3.µ .λ.{C1. sen λ + C2 . cos λ + C3. senh λ + C4 . cosh λ} ⇒
resultando
( µλ. sen λ − cos λ ).C1 + ( µλ. cos λ + sen λ ).C2 + + ( µλ. senh λ + cosh λ ).C3 + ( µλ. cosh λ + senh λ ).C4 = 0
Juntando, agora, esses quatro equações numa forma matricial, obtemos: 0 1 0 1 C1 0 C 0 1 0 1 0 * 2 = C3 0 − sen λ − cos λ senh λ cosh λ µλ λ λ µλ λ λ µλ λ λ µλ λ λ . sen − cos . cos + sen . senh + cosh . cosh + senh C4 0 = A(λ )
tal que, para termos soluções diferentes da trivial, devemos impor det[ A( λ )] = 0
de cujas raízes( λi ) decorrem as freqüências naturais wi [ rad / s ] = (λi / l )2 . EI m
e os respectivos modos naturais, pela solução da equação matricial para cada λi . Assim, adotando C1 = 1 vem: C1 = 1 ⇒ C3 = −1 C2 = −C4 = −(sen λ + senh λ ) /(cos λ + cosh λ ) tal que, fazendo ξ = ( x / l ) , finalmente resulta:
φi ( x ) = (sen ξ .λi − senh ξ .λi ) −
sen λi + senh λi (cosξ .λi − coshξ .λi ) cos λi + cosh λi
