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VIBRAÇÃO FORÇADA DE VIGAS A)Parte Teórica *Propriedades de Ortogonalidade dos Modos Naturais (veja apostila) *Teoria “Geral” da Superposição Modal (veja apostila) A1)Aplicação ao caso da Viga em Balanço com Movimento de Base:
M.δ
~ = m.( Lφ 2 ( x ).dx) + M .φ 2 ( L) m i i i 0 = I 2i
∫
v R ( x, t )
L=
M = ___ g
m.δ
___ m
L ~ pi ( t ) = pef ( x, t ).φi ( x ).dx = 0
∫
m = ____ g/m
EI = ___ N/m2
L ~ pi (t ) = − m.δ.φi ( x ).dx − M .δ.φi ( L) = poi . sen(w.t ) 0
∫
δ (t ) = δ o . sen(w.t )
L poi = w 2 .δ o .[m. φi .dx + M .φi ( L)] 0
∫
v ( x, t ) A2)Resposta em Regime Permanente (para a flecha em x=L) v R ( L, t ) =
∑φi ( L). yi (t ) = ∑φi ( L). ρ i . sen( w.t + ϕ i ) i
i
donde v R ( L, t ) = (
ρ i = χ i . Di ~ ~ .w 2 ) χ i = poi / k i = poi /( m i i 2 2 Di = {[1 − ( w / wi ) ] + [2ζ i ( w / wi )] 2 }− 0.5
∑ φi ( L). ρ i . cos ϕ i ). sen w t + (∑ φi ( L). ρ i . sen ϕ i ). cos w t = A o2 + B o2 . sen( w t + θ R )
i = Ao ( w )
i = Bo ( w )
= voR ( w )
Assim, sendo v ( L, t ) = δ ( t ) + v R ( L, t )
vem v ( L, t ) = δ o . sen w t + voR . cos( w t + θ R ) = (δ o + voR . cos θ R ) 2 + ( voR . sen θ R ) 2 . sen( w t + θ ) =v o ( w )
podendo-se definir a curva de Resposta em Freqüência: F ( w ) = [vo ( w ) / δ o ] = [1 + ( voR / δ o ). cos θ R ]2 + [( voR / δ o ). sen θ R ]2
Tendo sido resolvido previamente o problema de cálculo de Modos e Freqüências Naturais, pede-se, levantar esta curva com uso de computador.
B)Parte Experimental B1)Vibração livre para avaliação dos Graus de Amortecimento. Uso do conceito de Decremento Logarítmico
N .( 2.π / wd )
wd = wi . 1 − ζ i2
vn
vo
d = ln(vo / vn )
ζ i = d / 4.π 2 . N 2 + d 2 ≅ d /(2.π . N )
(2.π / wd )
Modo i 1 2 3
Medida 1 2 1 2 1 2
Medição Experimental dos Graus de Amortecimento Modais Calibração do Canal ___ :(mm/mV)=____ vo[mm] vn[mm] N vo[mV] vn[mV] d
ζi
B1)Vibração Forçada (em ressonância) A sintonia nas freqüências naturais deve ser feita pela observação da diferença de fase entre os movimentos da base e do topo. Quando em ressonância, essa diferença é igual a π/2 de modo que se for plotada, no osciloscópio, uma curva relacionando as duas medidas deverá aparecer uma elipse alinhada com os eixos. Por outro lado, as máximas amplitudes não ocorrem exatamente nas ressonâncias, quer seja por efeito do amortecimento, quer seja porque, no presente experimento, a amplitude da excitação varia com o quadrado da freqüência de excitação, quer seja porque não se mantém constante a amplitude do deslocamento no excitador (“shaker”).Assim, a sintonia não deve ser feita nos picos da resposta e sim pela observação da diferença de fase, como já dito.
Freq..s Naturais [Hz] Teórica
1
Experimental.
Dados dos Acelerômetros:
AMPLITUDES DOS MOVIMENTOS1 Da Base: δ o Do Topo: vo Canal ____ Canal ____ (mV/mm ) =_________ ( mV/mm ) =_________ mV
mm
mV
mm
Maior: peso=______ g ; constante=10,00 pC/m/s2 Menor: peso=______ g ; constante=1,015 pC/m/s2
(vo/δo)
