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MÉTODOS EXPERIMENTAIS FUNDAMENTOS DA DINÂMICA DAS ESTRUTURAS VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS VIGAS E PLACAS JULHO 2002 Prof. Dr. Carlos Alberto Nunes Dias [email protected] 2 ÍNDICE GERAL A.1 INTRODUÇÃO 3 * Modelagem de Sistemas em Engenharia 3 A.2 FORMULAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO 7 Caso Exemplo: Vibração Lateral de uma Viga em Flexão A.2.a. Equilíbrio de Forças Verticais. A.2.b. Equilíbrio de Momentos. A.2.c. Equação Diferencial de Equilíbrio na função flecha v ( x, t ) 7 10 10 11 A.3 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA: ANÁLISE MODAL. 12 Caso Exemplo: Viga Biapoiada em vibração natural não amortecida. A.3.a Cálculo de Modos e Freqüências Naturais *Aplicação das Condições de Contorno A.3.b Exemplo da Viga Biengastada A.3.c Ortogonalidade dos Modos Naturais A.3.d Caso das Placas Planas Retangulares 13 14 16 20 24 25 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 30 A.4 VIBRAÇÕES FORÇADAS AMORTECIDAS A.4.a Tipos e Classificação do Amortecimento A.4.b Tipos de Excitação e de Resposta A.4.c. Superposição Modal A.4.d Exemplo: Resposta Permanente Forçada de uma Viga Biapoiada 31 31 32 33 39 EXERCICIOS PROPOSTOS 42 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 43 3 MÉTODOS EXPERIMENTAIS VIBRAÇÕES DE SISTEMAS CONTÍNUOS Logo de início, ao leitor, que queira se aventurar por este texto, deve ficar o alerta de que, como pré-requisito, supõem-se conhecidos os conceitos básicos de Dinâmica de Sistemas e, em especial, os conceitos medianos de vibrações de sistemas de um grau de liberdade, pelo menos. De modo semelhante, pressupõe-se algum domínio no tratamento básico de equações diferenciais ordinárias, de ordens dois e quatro, muito comuns no cálculo de vibrações, assim como alguma proficiência em Resistência dos Materiais . A.1 INTRODUÇÃO * Modelagem de Sistemas em Engenharia “O mundo é tridimensional, dinâmico e não linear”. Se esta afirmação fosse levada ao pé da letra, poucos problemas seriam resolvidos em engenharia. Na verdade, dependendo do problema, algumas grandezas são menos importantes que outras e podem ser desprezadas, simplificando-se a solução. Assim, neste âmbito, modelar um problema significa adotar hipóteses que o simplifiquem e permitam equacioná-lo para se chegar a uma solução, ainda que aproximada. A título de exemplo, tomemos o seguinte problema exemplo: um trem sai da cidade A com uma velocidade média estimada de 100 Km/h, dirigindo-se à cidade B distante, em linha reta, cerca de 100 km. Em quanto tempo o trem chegará na cidade B ? Se o engenheiro, na solução deste problema, tiver que se preocupar com variações de velocidade e com as curvas da via férrea ao longo do caminho, encontrar uma solução satisfatória poderia tornar-se bastante elaborado. Se, por outro lado, ficarmos satisfeitos com uma resposta “menos precisa”, o modelo de cálculo fica bastante simplificado e a resposta é simplesmente: cerca de 1 hora. Claro que nem todos os problemas são tão simples. A resposta procurada no exemplo anterior é um escalar mas há problemas que necessitam de soluções vetoriais enquanto outros necessitam de soluções em forma de uma função, como no caso da figura 1.1 adiante. Imagine que um tronco de árvore seja colocado sobre um rio com o intuito de servir como um ponte improvisada e provisória. Que tipo de avaliação pode ser feita no sentido de dar alguma confiança à pessoa que deseja fazer a travessia? Para resolver o problema, algumas hipóteses precisam ser inicialmente formuladas, tais como: a)O tronco tem seção transversal constante e a madeira é homogênea. b)O tronco encontra-se, sobre apoios ideais irrecalcáveis, firmemente assentado sobre as margens. c)O peso do transeunte é suposto concentrado na posição correspondente ao centro de gravidade de seu corpo. d)Serão desprezados quaisquer efeitos dinâmicos, pressupondo-se que a pessoa, até porque deverá estar receosa, mover-se-á bem lentamente. Com essas hipóteses, tanto quanto possível apenas uma versão simplificada da realidade, está formulado um modelo físico, correspondente a uma viga biapoiada, que se julga apropriado para a solução do problema. É claro que, como decorrência das simplificações perpetradas, os resultados deverão ser interpretados à luz de apropriado coeficiente de segurança pois, como é óbvio notar, em quase todas as hipóteses existe razoável margem de incerteza. 4 SISTEMA REAL W MODELO FÍSICO Viga Biapoiada EI a L y MODELO MATEMÁTICO Teoria Simples de Viga EI .d 4 v / dx 4 = p( x ) p(x ) x Eixo Neutro FIGURA 1.1 MODELOS DE ENGENHARIA 5 O próximo passo consiste em adotar um modelo matemático que conduza ao equacionamento do modelo físico proposto. Para tanto, o problema é muito bem representado pela Teoria Simples de Viga que, nunca é de mais lembrar, possui, e introduz, novas hipóteses simplificadoras, tais como: • • • • Pequenos deslocamentos e deformações. O eixo neutro é inextensível na flexão . Secções planas permanecem planas . Apenas deformações por flexão é contabilizada, desprezando-se a deformação por cisalhamento. Por essa teoria, uma carga distribuída sob o vão livre (a exemplo do peso próprio do tronco) relaciona-se com a flecha(deslocamento lateral como resultado da flexão) através da seguinte equação diferencial: p( x ) = EI d 4 v( x) = EI .v iv ( x ) 4 dx (1.1) que é obtida dos seguintes resultados conhecidos da Resistência dos Materiais : p( x ) = dQ dx Q ( x ) = dM dx M ( x ) = EI . d 2 v dx 2 (1.2) (1.3) (1.4) onde, por definição, temos: v (x ) - o deslocamento lateral ou flecha [ m ], M (x ) - o momento fletor [ N.m ], Q (x ) - o esforço cortante [ N ], p(x ) - o carregamento distribuído [ N/m ], E - o módulo de elasticidade do material [ N/m2 ], I - a inércia à flexão da secção transversal [ m4 ], EI - a rigidez à flexão [ N.m2 ]. A resolução da equação diferencial (1.1), de equilíbrio estático de uma viga em flexão com um peso concentrado (W ) na posição ( x = a ) , leva a uma família de duas funções com quatro constantes de integração cada, constantes estas que somente serão conhecidas quando forem aplicadas as condições de contorno arbitradas no modelo físico. Assim, tomando-se a viga biapoiada e sendo v1 ( x ) a flecha para o trecho (0 ≤ x ≤ a ) , à esquerda da carga concentrada e, analogamente, v 2 ( x ) a flecha para o trecho à direita ( a ≤ x ≤ L) , temos: i. v1 ( x = 0) = 0 ii. v2 ( x = L) = 0 iii. M 1 ( x = 0) = 0 iv. M 2 ( x = L) = 0 v. v1 ( x = a ) = v2 ( x = a ) vi. v1′ ( x = a ) = v2′ ( x = a ) vii. M 1 ( x = a ) = M 2 ( x = a ) viii. Q1 ( x = a ) − Q2 ( x = a ) = W , flecha nula no apoio à esquerda. , flecha nula no apoio à direita. , momento nulo no apoio à esquerda. , momento nulo no apoio à direita. , flechas iguais no ponto da carga. , rotações iguais no ponto da carga. , momentos iguais no ponto da carga. , balanço de forças verticais no ponto da carga. 6 A solução do problema assim formulado é um caso clássico da Resistência dos Materiais e não será aqui visto em detalhes. Por se tratar de estrutura isostática, é possível, alternativamente, obter o equilíbrio diretamente das equações da estática no plano. Assim, se a título de uma nova simplificação, desprezarmos o efeito do peso próprio, o máximo momento fletor ocorre no ponto de aplicação da carga concentrada, valendo: M max = WL.(1 − a / L).( a / L) (1.5) do qual se pode calcular a máxima tensão normal na flexão, para compara-la com a tensão admissível: σ max = h.M max / I ≤ σ ad = σ rup / CS onde h - distância da fibra mais externa ao eixo neutro, σ rup - tensão de ruptura da madeira, CS - coeficiente de segurança( >1 ). (1.6) Se a desigualdade expressa por (1.6) for satisfeita para um coeficiente de segurança, digamos, igual a 4, é razoável admitir que a travessia possa ser feita sem sobressaltos. Caso contrário, dadas todas as incertezas do cálculo, é mais sensato não a recomendar. Note-se que, mesmo nesta parte final da avaliação, novas incertezas aparecem, a exemplo do valor da tensão de ruptura que será “ arbitrado” para a madeira. Com base em dados encontrados em catálogos, vê-se que esse valor varia muito como função do tipo e estado da madeira: admitir qualquer coisa acima de 0.5 Kgf/cm2 ( 1/8 do valor do aço médio) já seria temerário. 7 A.2 FORMULAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO Em primeira instância é relevante tecer considerações com relação às premissas que conduzem à necessidade do estabelecimento do equilíbrio na forma dinâmica; para tanto, retomemos o exemplo anterior da ponte sobre o rio. Se o transeunte, ao contrário do recomendável, resolvesse fazer a travessia correndo a passos largos, as cargas de impacto dos seus pés sobre a ponte improvisada certamente a fariam entrar em movimentos vibratórios, com conseqüente amplificação das tensões e, por conseguinte, numa condição mais crítica de segurança à ruptura. Nessa situação, a ponte entra em vibração por que as cargas sobre ela variam ao longo do tempo e provocam o surgimento de acelerações. Como se sabe, se há aceleração, e também massa ponderável, surgem esforços de inércia que interferem no equilíbrio do sistema. Assim, se voltarmos a observar a equação (1.1), ao carregamento distribuído p(x ) somam-se os esforços distribuídos de inércia, contrários ao movimento: p( x, t ) − m.v( x, t ) = EI .v iv ( x, t ) onde, adicionalmente, definem-se: t - variável tempo, pois, agora, tudo varia perceptivelmente com ele, m - massa distribuída sobre o vão da viga [ Kg/m=N.s2/m2 ], v( x, t ) = d 2 v ( x, t ) dt 2 - acelerações das secções transversais da viga [ m/s2 ]. Nesse contexto, retomemos mais amiúde, pois, o caso anterior da teoria de viga, considerando, agora, os esforços de natureza dinâmica e a variável tempo. Caso Exemplo: Vibração Lateral de uma Viga em Flexão Hipóteses do Modelo Físico i)Viga prismática de secção constante, material homogêneo isotrópico. Assim, são constantes: γ = peso específico do material, E = módulo de elasticidade do material, I = inércia à flexão da secção transversal, A = área da secção transversal, m = γ . A / g - massa por unidade de comprimento. ii)Contabiliza-se, apenas, deformação por flexão, assim: M ( x, t ) = EI . d 2 v ( x, t ) dx 2 = EI .v ′′( x, t ) -momentos fletores, Q ( x, t ) = EI . d 3v ( x, t ) dx 3 = EI .v ′′′( x, t ) -forças cortantes ................................................................................................(2.1) Se fosse desejado introduzir efeito de deformação por cisalhamento, as relações acima deveriam ser modificadas, uma vez que a flecha teria uma parcela adicional não diretamente associada com a deformação por flexão. Para vigas esbeltas(compridas em relação à altura da alma) esse efeito pode ser considerado desprezível. 8 iii)Considera-se amortecimento externo proporcional à velocidade, portanto: do tipo viscoso, Famt ( x, t ) = c. dv ( x, t ) dt = c.v ( x, t ) [ N/m ] sendo c = coeficiente de amortecimento [ N.s/m2 ] iv)O eixo neutro é inextensível. Não há esforços na direção axial. v)O estado do sistema fica determinado por v ( x, t ) . vi)A inércia de rotação de massa é desprezível. Hipóteses do Modelo Matemático i) Os deslocamentos são suficientemente pequenos para valer a imposição do equilíbrio na configuração não deformada (como se vê na figura 2.1). ii) Como decorrência disto, e das hipóteses do modelo físico, o comportamento do sistema pode ser linearizado. iii) A resultante dos esforços distribuídos laterais q( x, t ) pode ser considerado constante ( ≠ f (x ) ) sobre um comprimento elementar dx ,tomado tão pequeno quanto se queria. iv) São desprezados os efeitos não lineares, de 2a ordem, decorrentes de produtos de diferenciais. 9 ESFORÇOS INTERNOS: Q ( x, t ) = EI .∂ 3v / ∂x 3 - Força Cortante ∂Q dQ = dx ∂x M ( x, t ) = EI .∂ 2 v / ∂x 2 - Momento Fletor ∂M dx dM = ∂x ESFORÇOS EXTERNOS: p( x, t ) - Carregamento Externo q( x, t ) = p ( x, t ) − Finercia − Famt - Resultante dos Esforços Externos Eixo Neutro y p(x,t) x h << l l M Q Q+dQ M+dM q(x,t) A dx FIGURA 2.1 ESFORÇOS INTERNOS E EXTERNOS NUMA VIGA EM FLEXÃO 10 A.2.a. Equilíbrio de Forças Verticais. Observando a figura 2.1, o equilíbrio de forças verticais sobre o volume elementar é formulado por: Q − (Q + dQ ) + q.dx = 0 donde dQ = ∂Q dx = q.dx ∴ ∂Q ∂x = q( x, t ) ∂x Agora, sendo a carga total lateral dada por q( x, t ) = p ( x, t ) − Finercia ( x, t ) − Famt ( x, t ) = p ( x, t ) − m.v( x, t ) − c.v ( x, t ) resulta finalmente: ∂Q = p ( x, t ) − m.v( x, t ) − c.v( x, t ) ∂x (2.2) A.2.b. Equilíbrio de Momentos. Fazendo equilíbrio de momentos no plano, em torno do ponto A da figura 2.1, e desprezando produtos de diferenciais(por que são de segunda ordem), vem: ( M + dM ) − M − Q.dx − ( q. dx / 2) = 0 ⇒ dM ).( dx desprezível ∂M dx = Q.dx ∂x donde ∂M ∂x = Q ( x, t ) - relação entre momento fletor e força cortante. (2.3) Esta relação, exatamente por que q( x, t ) foi desprezado no equilíbrio de momentos, em nada difere daquela (1.3) que já propusemos no caso estático e, de fato, para ambos os casos, a dedução é exatamente a mesma. Aqui, apenas, tomamos o cuidado de deixar explícito que a derivada em relação a x é parcial, uma vez que os esforços internos solicitantes ( Q e M ), a semelhança da flecha v , dependem agora de duas variáveis ( x = posição ao longo do eixo neutro e t = tempo). Se a inércia de rotação de massa não houvesse sido desprezada como o foi, a dedução acima seria alterada pela presença de mais um termo, relativo ao produto da aceleração angular do volume elementar ∂ 2 v / ∂x∂t pela inércia de rotação i = (γ / g ). I .Este efeito, de per si, introduz dificuldade considerável para a solução do problema e, também por que tem pequena influência para vigas esbeltas(bem compridas em relação à altura), justifica-se sua não contabilização. 11 A.2.c. Equação Diferencial de Equilíbrio na função flecha v ( x, t ) Nossa intenção, agora, é montar uma única equação diferencial na função incógnita representada pela flecha, no intuito de caracterizar um problema matemático de condições de contorno. Assim, de (2.1) e (2.3) se obtém: ∂Q / ∂x = ∂ 2 M / ∂x 2 = EI .∂ 3 v / ∂x 3 tal que, usando (2.2) para substituir ∂Q / ∂x , escreve-se: p( x, t ) − m.v( x, t ) − c.v ( x, t ) = EI .v iv ( x, t ) ou, rearranjando, finalmente encontra-se a expressão ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ m.v( x, t ) + c.v ( x, t ) + EI .v iv ( x, t ) = p ( x, t ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2.4) como equação de equilíbrio dinâmico de uma viga em vibração lateral, equação, esta, sobre a qual convém destacar: i)É de derivadas parciais, de: 2ª ordem na variável t (tempo) → 2 condições iniciais, 4ª ordem na variável x (espaço) → 4 condições de contorno. ii)É linear pois não comparecem potências de v ( x, t ) , “ apenas” derivadas, e os coeficientes m , c e EI foram arbitrados constantes. iii)Os esforços em jogo são descritos por unidade de comprimento [ N/m ]: m.v( x, t ) _______força de inércia/unidade de comprimento, c.v( x, t ) ________força de amortecimento/unidade de comprimento, EI .v iv ( x, t ) _____força elástica/unidade de comprimento, p ( x, t ) _________carregamento externo/unidade de comprimento. Isto posto, temos, agora, as condições necessárias para resolver problemas de natureza dinâmica nos quais os esforços de inércia representem um papel relevante. Nesse tipo de problema, quase sempre, uma primeira etapa caracteriza-se pela avaliação de modos e freqüências naturais, para depois, numa segunda etapa, realizarem-se cálculos de tensões e de acelerações. As tensões oscilatórias tem importância na previsão de durabilidade da estrutura, determinada pela averiguação de fadiga do material estrutural, enquanto acelerações são relevantes na verificação de conforto do ser humano e de segurança de equipamentos sensíveis a vibrações . 12 A.3 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA: ANÁLISE MODAL. # Objetivo: Cálculo de Modos e Freqüências Naturais, por um processo matemático conhecido como Análise Modal. O objetivo primordial do cálculo de vibrações livres não amortecidas reside na avaliação de modos e freqüências naturais. A semelhança do que sucede com o caso simples de um pêndulo em pequenas oscilações, todo sistema, uma vez provocado, entra em vibração livre com movimento harmônico em freqüência natural bem característica, expressando-se, em última instância, uma possibilidade do balanço entre energias potencial e cinética. No pêndulo simples a energia potencial tem natureza gravitacional enquanto nas estruturas, de modo geral, a energia potencial deve-se à deformação elástica, semelhante ao que acontece com uma mola. A cada ciclo de vibração livre uma parte da energia se perde em forma de calor dissipado para o meio ambiente, fazendo com que o movimento tenha natureza transitória, diminuindo-se progressivamente sua amplitude até a parada total. Contudo, se o amortecimento é suficientemente pequeno, esse efeito tem pouca influência sobre o tempo decorrido entre picos sucessivos de resposta, de modo que é razoável estabelecer um processo de cálculo simplificado, pela eliminação do amortecimento, quanto se deseja “ unicamente” obter as freqüências naturais. Assim, quando objetivamos o cálculo de modos e freqüências naturais, o amortecimento costuma ser sistematicamente desprezado, porém é importante ressalvar que o mesmo não deve ser feito quando tratarmos do cálculo de deslocamentos e tensões dinâmicas provocadas por uma excitação externa, num processo de vibração forçada. Neste caso, desprezar ou não o amortecimento terá de ser decidido como função das características do problema específico. Situações há em que isso pode ser feito com intuito de facilitar os cálculos e sem significativa perda de qualidade nos resultados obtidos (como no caso de Choque Mecânico, por exemplo) mas, em outros, como na ocorrência de ressonância em sistemas excitados por esforços periódicos, não faz sentido algum desprezar o amortecimento uma vez que há o comprometimento completo até da possibilidade de se obter uma solução levemente verossímil, que tenha algum significado prático. Do ponto de vista matemático, as equações que conduzem ao cálculo de freqüências naturais constituem o que se caracteriza como Problema de Autovalor pois, como veremos, tratar-se-á da solução de um sistema de equações na forma possível e indeterminada, cuja existência ocorre apenas para valores característicos, ditos autovalores. 13 Caso Exemplo: Viga Biapoiada em vibração natural não amortecida. Como um primeiro exemplo de cálculo, exatamente por que é um dos casos mais simples de vibração lateral de uma viga em flexão, recorreremos à Viga Biapoiada. A equação diferencial de equilíbrio dinâmico, válida para qualquer caso de condições de apoio de uma viga, e não somente para a biapoiada, é aquela (2.4) deduzida no capitulo anterior. Contudo, é necessário, logo de inicio, haver a percepção de que o fator complicador não reside em encontrar uma família de funções que satisfaça essa equação, mas sim encontrar uma família que satisfaça concomitantemente as condições de contorno do problema específico que se quer resolver. O problema assim formulado, equação diferencial + condições de contorno, é denominado Problema de Contorno. Assim, por tudo o que foi dito, particularizando (2.4) para o caso sem amortecimento e sem carga, o presente Problema de Contorno estabelece-se como a seguir: m.v( x, t ) + EI .v iv ( x, t ) = 0 Equação Diferencial Homogênea (3.1) tal que, tendo a viga apoio simples ideais em ambas as extremidades ( x = 0 e x = l ), onde, portanto, flechas e momentos fletores são nulos, as condições de contorno ( ∀t ) são : i )v (0, t ) = 0   ii )v (l , t ) = 0   Condições Homogêneas de Contorno iii ) M (0, t ) = EI .v ′′(0, t ) = 0 iv ) M (l , t ) = EI .v ′′(0, t ) = 0  Fica, assim, caracterizado o Problema de Contorno que adiante será resolvido. (3.2) 14 A.3.a Cálculo de Modos e Freqüências Naturais Um método bastante comum para resolver uma equação diferencial reside em adotar uma forma para a solução e substitui-la na própria equação, verificando a viabilidade dessa premissa. Paralelamente a isso, por que tratamos de um problema de vibração para o qual conhecemos dados práticos sobre o tipo de resultado a esperar, é bastante razoável imaginar que tal forma deva expressar o fato de que o movimento é síncrono, ou seja: todas as secções transversais da viga movem-se na mesma freqüência, quando em vibração livre. Assim, por hipótese, a flecha, que é nossa função incógnita, será tomada em forma de variáveis separadas, como a seguir: v ( x, t ) = φ ( x ).T (t ) variáveis separadas / movimento síncrono (3.3) Agora, experimentando (3.3) em (3.1), obtém-se: m.φ ( x ).T(t ) + EI .φ iv ( x ).T (t ) = 0 que, rearranjada no intuito de separar o que depende de x do que depende de t, fornece: − T(t ) EI φ iv ( x ) = . = k (constante) T (t ) m φ ( x ) donde, por que funções definidas em variáveis distintas só podem ser iguais se forem constantes, retiram-se as duas seguintes equações diferencias ordinárias e independentes, uma para cada uma das partes arbitradas para a flecha: e T(t ) + k .T (t ) = T(t ) + w 2 .T (t ) = 0 (3.4.a) .m / EI ).φ ( x ) = φ iv ( x ) − β 4 .φ ( x ) = 0 φ iv ( x ) − ( k  (3.4.b) =β 4 A equação (3.4.a) tem a forma clássica de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, com solução, bem conhecida, na forma harmônica: T (t ) = A1 . sen( w.t ) + A2 . cos( w.t ) onde k = w2 ou w= k (3.5.a) (3.5.b) refletindo-se o fato já sabido de que o movimento é oscilatório no tempo e tem freqüência circular w [ rad/s ]. 15 De modo semelhante, (3.4.b) tem a forma clássica de uma equação diferencial ordinária de ordem quatro, com solução na forma geral dada por: φ ( x ) = C1 . sen( β . x ) + C 2 . cos( β . x ) + C 3 . senh( β . x ) + C 4 . cosh( β . x ) (3.6.a) onde β = {k .m / EI }1 / 4 = w .{m / EI }1 / 4 ou w = β 2 . EI / m (3.6.b) Se, agora, considerarmos o fato de que o objetivo do presente cálculo é o de obter freqüências naturais, a utilidade de (3.5.a) e (3.5.b) esgota-se uma vez definida a variável w que representa essas freqüências. As constantes de integração A1 e A2 teriam que ser calculadas pela imposição de condições iniciais, num contexto em que se desejasse, já, calcular deslocamentos e tensões. Por ora, então, não nos preocuparemos com isso, dedicando-nos à aplicação das condições de contorno que conduzirão à resolução das constantes de integração C1 ....C 4 de (3.6.a). 16 *Aplicação das Condições de Contorno Observando-se o que vai em (3.2) , usando (3.3) e (3.6.a), e definindo λ = β .l (3.7) temos i) v (0, t ) = 0, ∀t ⇒ T (t ).φ (0) = 0, ∀t ⇒ φ (0) = 0 ⇒ ⇒ C1. sen(0) + C 2 . cos(0) + C3 . senh(0) + C4 . cosh(0) = 0 ii) v (l , t ) = 0, ∀t ⇒ T (t ).φ (l ) = 0, ∀t ⇒ φ (l ) = 0 ⇒ ⇒ C1. sen( λ ) + C2 . cos(λ ) + C3 . senh( λ ) + C4 . cosh(λ ) = 0 iii) EI .v ′′(0, t ) = 0, ∀t ⇒ T (t ).φ ′′(0) = 0, ∀t ⇒ φ ′′(0) = 0 ⇒ ⇒ β 2 .{−C1 . sen(0) − C2 . cos(0) + C3 . senh(0) + C4 . cosh(0)} = 0 iv) EI .v ′′(l , t ) = 0, ∀t ⇒ T (t ).φ ′′(l ) = 0, ∀t ⇒ φ ′′(l ) = 0 ⇒ ⇒ β 2 .{−C1 . sen( λ ) − C2 . cos(λ ) + C3 . senh( λ ) + C4 . cosh(λ )} = 0 (3.8.a) (3.8.b) (3.8.c) (3.8.d) As expressões (3.8) consubstanciam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas que, em forma matricial, pode ser escrito por: 1 0 1   C1  0  0  sen λ cos λ senh λ cosh λ  C 2  0  .  =    0 −1 0 1  C3  0   − sen λ − cos λ senh λ cosh λ  C 4  0    =Α(λ ) (3.9.a) Χ ou, em forma mais compacta, Α( λ ) . Χ = 0 4x4 4 x1 (3.9.b) 4 x1 Se a matriz dos coeficientes dependentes Α( λ ) puder ser invertida, o sistema de equações é possível e determinado, resultado, obviamente, em Χ = 0 ( C1 = C 2 = C 3 = C 4 = 0 ) como solução. Esta solução, dita trivial, implica em φ ( x ) ≡ 0 ⇒ v ( x, t ) ≡ 0 que, fisicamente falando, indica repouso completo e absoluto para a viga e que, portanto, não nos interessa. Como única alternativa para encontrar alguma solução diferente dessa trivial, resta-nos impor que o sistema de equações seja possível e INDETERMINADO, de tal sorte que Α( λ ) seja singular e, por conseguinte, não possa ser invertida. Assim, precisamos impor: 0 det Α (λ ) = sen λ 0 − sen λ 1 0 1 cos λ senh λ cosh λ =0 −1 0 1 − cos λ senh λ cosh λ (3.10) 17 De (3.10), uma vez aplicado o cálculo de determinante, e após algumas transformações algébricas, facilmente obtém-se: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ sen λ . senh λ = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3.11) Neste ponto, nota-se claramente que quem, em última instância, vai garantir que haja soluções diferentes da trivial são os valores particulares de λ (ditos autovalores) que satisfazem (3.11). Se, por outro lado, substituirmos (3.7) em (3.6.b) : w = β 2 . EI / m = (λ / l ) . EI / m 2 (3.12) é possível fazer uma interpretação física desse último fato, uma vez que as possíveis freqüências do movimento w relacionam-se diretamente com os autovalores λ . Assim, só haverá vibração livre se o parâmetro que especifica a freqüência do movimento tiver valores tais que (3.11) seja satisfeita. Por esta razão, (3.11) é conhecida como “ Equação de Freqüências” , de cujas raízes são extraídas as freqüências naturais. Resolvendo, então, as raízes de (3.11), tem-se: sen λ . senh λ = 0 ⇒ sen λ = 0 ⇒ λi = i.π i = 0,±1,±2,......... ± ∞ senh λ = 0 ⇒ λi = 0 ou i =1 donde, considerando que só queremos soluções com significado físico relevante (e logo raízes negativas são descartadas) e ainda que raiz nula não nos interessa por que corresponde à solução trivial, podemos finalmente escrever como resultado para as freqüências naturais ( i = 1,2,3,4,5,..., ∞ ): ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ em [rad/s] : wi = (i.π ) . EI /( m.l 4 ) 2 em [hz] : f i = wi /( 2π ) = 0,5.i 2 .π . EI /( m.l 4 ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3.13.a) (3.13.b) Logo, são infinitas as freqüências naturais e infinitas as soluções possíveis para o equilíbrio dinâmico em vibração livre. De modo geral, esta conclusão, embora tirada no contexto de nosso pequeno exemplo da viga biapoiada, estende-se a todos os sistemas estruturais e espelha uma realidade inquestionável da natureza. O que fizemos, até este momento, foi assegurar que existem soluções não triviais vibrando nas freqüências naturais, porém, efetivamente, ainda resta descobrir que soluções são essas. Neste âmbito, para cada freqüência natural encontrada é necessário voltar à equação (3.9) e calcular os coeficientes C1 ....C 4 que caracterizam a forma pela qual nossa função incógnita v ( x, t ) distribui-se ao longo de x . Para tentar isso, antes é preciso não esquecer que o sistema de equações (3.9) é indeterminado e que, portanto, é necessário arbitrar o valor de uma das incógnitas para tirar os valores das demais. 18 Tomando-se a primeira e a terceira das equações (3.9), conclui-se rapidamente o que se segue: C2 + C4 = 0  ⇒ C 2 = C4 = 0 ⇒ φi ( x ) = C1i . sen( λi . x / l ) + C3i . senh( λi . x / l ) C2 − C4 = 0  ∀i Agora,usando as equações dois e quatro, vem C1 . sen λ + C3 senh λ = 0  ⇒ C3 = 0 e C1 ≠ 0 C1 . sen λ − C3 senh λ = 0 pois senh λ só é zero para λ = 0 . De modo que, pelas razões já expostas, arbitrando valor unitário para a única constante não nula( C1 = 1 ), podemos finalmente escrever para os modos naturais de vibração da viga biapoiada: φi ( x ) = sen( λi . x / l ) = sen(i.π . x / l ) para i = 1,2,3,4,5,..., ∞ (3.14) A figura 3.1, ilustrando esses resultados, mostra a evolução de modos e freqüências naturais com o aumento da ordem modal. 19 PRIMEIRO MODO φ1 ( x ) = sen(π . x / l ) T1 = (2 / π ) m.l 4 EI [ seg ] SEGUNDO MODO φ 2 ( x ) = sen( 2.π . x / l ) T2 = T1 / 4 TERCEIRO MODO φ3 ( x ) = sen(3.π . x / l ) T3 = T1 / 9 EI = rigidez à flexão [ N.m2] y v(x,t) x l m = massa linear [ Kg/m=N.s2/m2 ] FIGURA 3.1 MODOS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE UMA VIGA BIAPOIADA 20 A.3.b Exemplo da Viga Biengastada Na intenção de melhor fixar os conceitos até aqui vistos, reapliquemos o mesmo processo de cálculo, agora ao caso de uma viga biengastada. Como condições de contorno, deve-se expressar o fato de que, em ambas as extremidades de uma viga biengastada, tanto a flecha como a rotação são nulas. Assim, i) v (0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 ⇒ ⇒ C1. sen(0) + C 2 . cos(0) + C3 . senh(0) + C4 . cosh(0) = 0 ⇒ C2 + C4 = 0 ⇒ C 4 = −C 2 ii) v ′(0, t ) = 0 ⇒ φ ′(0) = 0 ⇒ ⇒ β .{C1 . cos(0) − C2 . sen(0) + C3 . cosh(0) + C4 . senh(0)} = 0 ⇒ C1 + C3 = 0 ⇒ C3 = −C1 iii) v (l , t ) = 0 ⇒ φ (l ) = 0 ⇒ ⇒ C1. sen( λ ) + C2 . cos(λ ) + C3 . senh( λ ) + C4 . cosh(λ ) = 0 ⇒ C1.[sen( λ ) − senh(λ )] + C2 .[cos(λ ) − cosh(λ )] = 0 iv) v ′(l , t ) = 0 ⇒ φ ′(l ) = 0 ⇒ ⇒ β .{C1 . cos(λ ) − C 2 . sen( λ ) + C3 . cosh(λ ) + C 4 . senh( λ )} = 0 ⇒ C1.[cos(λ ) − cosh(λ )] − C2 .[sen( λ ) + senh(λ )] = 0 condições essas que, uma vez eliminados C3 e C 4 como já feito em iii) e iv), fornecem o seguinte sistema de equações nas incógnitas C1 e C 2 : (sen λ − senh λ ) (cos λ − cosh λ )   C1  0  (cos λ − cosh λ ) − (sen λ + senh λ ).C  = 0     2    (3.15.a) Α(λ ) Impondo,agora, a condição de existência de solução não trivial, temos: det[ Α( λ )] = −(sen 2 λ − senh 2 λ ) − (cos λ − cosh λ ) 2 = 0 que, desenvolvida e aplicadas as conhecidas relações matemáticas: sen 2 α + cos 2 α = 1 e cosh 2 α − senh 2 α = 1 resulta na seguinte equação de freqüências : − 2 + 2. cos λ . cosh λ = 0 ⇒ ~~~~~~~~~~~~~ cos λ . cosh λ = 1 ~~~~~~~~~~~~~ (3.15.b) 21 Resolver as raízes da equação de freqüências da viga biengastada não é tão elementar como o foi para a viga biapoiada. A equação 3.15.b tem forma transcendental e só comporta solução iterativa, podendo-se observar na figura 3.2 a visualização gráfica de como essas raízes aparecem. Na Tabela 1 apresentamos, em forma padronizada, as soluções completas para dez casos distintos de condições de contorno de Vigas em Flexão, incluindo-se, aí, o presente caso da viga biengastada. Neste contexto, deve-se reiterar que os resultados da Tabela 1 são válidos apenas para vigas com vão simples, ao longo do qual todas as propriedades de massa e rigidez devem ser constantes. O caso de vigas compostas, por trechos de diferentes propriedades, não será aqui estudado, embora represente uma extensão relativamente simples da presente teoria. Prosseguindo, resta obter os modos naturais, para o que já sabemos que é necessário arbitrar o valor para uma das constantes C . Assim, façamos: C 4 = 1 ⇒ C 2 = −1 de tal sorte que da equação matricial (3.15) podemos calcular C1 por dois caminhos distintos, mas absolutamente equivalentes, tomando a primeira equação e depois a segunda: cos λi − cosh λi C1 .(sen λi − senh λi ) + C2 .(cos λi − cosh λi ) = 0 ⇒ C1 = , sen λi − senh λi = −1 sen λi + senh λi C1 .(cos λi − cosh λi ) − C 2 .(sen λi + senh λi ) = 0 ⇒ C1 = − , cos λi − cosh λi = −1 Evidentemente, ambas essas equações devem levar ao mesmo resultado para C1 e são, pois, redundantes, exatamente por que isso foi implicitamente imposto ao se impor que o sistema de equações é indeterminado. É claro que essas expressões não são, de modo geral, iguais, contudo, usadas para valores de λ que sejam autovalores ( λi ) , produzem o mesmo resultado numérico. Como desafio aos céticos, propomos que se tome, por exemplo, o primeiro autovalor dado na Tabela 1( λ1 ≅ 4,73004074) e se verifique o valor de C1 em ambas as expressões. Para efeitos práticos, portanto, basta tomar uma única dessas expressões, podendo-se finalmente escrever os resultados sob a seguinte forma geral: C1i = σ i C 2 i = −1 C3i = −σ i C 4i = 1 onde σ i = [(senh λi + A. senh λi ) (cosh λi + B. cos λi )]α com A = B = α = −1 , para o caso de nossa viga biengastada. De modo geral, os coeficientes Ci , para todos os casos de condições de contorno da Tabela 1, são obtidos através dessa expressão geral de σ i , variando-se, de caso para caso, os valores de A, B e α , como se vê na própria tabela. Note-se que houve o cuidado de se acrescentar o subscrito i às constantes de integração C como um indicativo da ordem modal a que se quer fazer referência, uma vez que existem, como vimos, infinitas soluções para o problema (para i = 1,2,3,4,5,...etc ). 22 φi ( x ) = σ i .[sen( λi . x / l ) − senh( λi . x / l )] − [cos(λi . x / l ) − cosh(λi . x / l )] EI = λi2 / 20π 4 m.l Ti [ seg ] = 2.π / wi = 1 / f i f i [hz ] = ( λ2i / 2π ). Adotando: EI = 200 N.m2 , m = 2.0 Kg/m , l = 10 m e observando Tabela 1 vem: PRIMEIRO MODO φ1 ( x ) ≅ 0.9825.[sen(0.473. x ) − senh(0.473. x )] − [cos(0.473. x ) − cosh(0.473. x )] f 1 = ( 4.73004074) 2 / 20π ≅ 0.356 hz T1 = 1 / f1 ≅ 2.8 seg SEGUNDO MODO φ 2 ( x ) ≅ 1.0008.[sen(0.785. x ) − senh 0.785. x )] − [cos(0.785. x ) − cosh(0.785.)] f 2 = (7.85320462) 2 / 20π ≅ 0.982 hz T2 = 1 / f 2 ≅ 1.02 seg 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 cos() sech() Equação de freq.s : cos(O)=sech(O) 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 O=S*n/10 FIGURA 3.2 FREQÜÊNCIAS NATURAIS DE UMA VIGA BIENGASTADA 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 -1.5 23 CASOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 - 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 - 0 0 - 0 0 - 0 0 0 0 - 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 - 0 0 CONDIÇÕES DE APOIO φ (0) = φ’ (0) = φ” (0) = φ” ’ (0) = φ (l)= φ’ (l)= φ” (l)= φ” ’ (l)= EQUAÇÃO DE FREQ.S λ1 λ2 λ3 λ4 sen =0 cos λ=0 π 2π 3π 4π π 3π/2 5π/2 7π/2 cos C1i C2i C3i C4i 1 0 0 0 =1 tan + tanh =0 tan 2,36502037 5,49780392 8,63937983 11,78097245 4,73004074 7,85320462 10,9956079 14,1371655 OBS: para MODOS α A B σ1 σ2 σ3 σ4 . cosh - tanh =0 cos . cosh = -1 3,92660231 7,06858275 10,21017612 13,35176878 1,87510407 4,69409113 7,85475744 10,99554073 i ≥ 5 basta usar λi = λi −1 + π - - -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 - - 0,982502215 1,000777312 0,999966450 1,000001450 0,982502207 0,999966450 0,999999933 0,999999993 1,000777304 1,000001445 1,000000000 1,000000000 0,734095514 1,018467319 0,999224497 1,000033553 0 1 0 0 0 1 0 0 σi -1 - σi 1 φi ( x ) = C1i . sen( β i . x ) + C2 i , cos( β i . x ) + C3i . senh( β i . x ) + C4 i . cosh( β i . x ) β i = λi / l σ i = [(senh λi + A. senh λi ) (cosh λi + B. cos λi )] α -σi 1 -σi 1 - σi 1 - σi 1 σi -1 -σi 1 - σi 1 - σi 1 wi [rad / s ] = β i2 . EI m f i [hz ] = ( λ / 2π ). EI ml 2 i Ti [ s ] = 2π / wi = 1 / f i 4 σi -1 -σi 1 σi -1 -σi 1 TABELA 1. FREQÜÊNCIAS NATURAIS PARA VIGAS COM VÃO SIMPLES 24 A.3.c Ortogonalidade dos Modos Naturais De modo geral, para vigas em flexão, pode-se demonstrar que: l I) ∫ φ ( x ).φ i j ( x ).m( x ).dx = 0 para wi ≠ w j (i ≠ j ) (3.16.a) para wi ≠ w j (i ≠ j ) (3.16.b) 0 l II) d ∫ φ ( x ). dx [φ ′′( x ).EI ( x )].dx = 0 i 2 j 0 Tais propriedades, ditas de ortogonalidade em relação à massa e à rigidez, respectivamente, são de extrema importância no contexto de cálculo de vibrações e tem equivalente para toda e qualquer estrutura, por mais complexa que ela seja. Uma demonstração detalhada pode ser vista em Clough,”Dynamics of Structures”. Uma boa interpretação física da propriedade I seria: para dois modos naturais com freqüências distintas, o trabalho realizado pelos esforços de inércia desenvolvidos num modo é nulo sobre os deslocamentos do outro. Ou seja, a energia cinética só se desenvolve, isoladamente, em cada um dos distintos modos, havendo, portanto uma espécie de desacoplamento. Para a propriedade II , uma interpretação análoga pode ser feita, substituindo-se os esforços de inércia pelos elásticos e a energia cinética pela energia potencial de deformação elástica. Para o caso da viga biapoiada, com distribuição constante de massa( m ≠ m(x ) ) e rigidez( EI ≠ EI (x ) ), a constatação dessas propriedades é imediata, já que os modos são funções trigonométricas simples ( sen(i.π . x / l ) ) e que, como fato já sobejamente conhecido da matemática, tais funções são ortogonais. Aqui, pode-se dar uma interpretação geométrica a esses fatos, imaginando-se o formato das curvas de dois modos distintos, por exemplo para o primeiro ( sen(πx / l ) ) e o segundo ( sen( 2πx / l ) ) modos. Tais curvas, nos pontos em se cruzam, têm um ângulo relativo de 90 graus, ou seja são ortogonais. Os resultados das intergrais de I e de II , para quando i=j , não são nulos e definem dois importantes parâmetros : l ~ = m. φ 2 ( x ).dx m i ∫ i ; i = 1,2,3,4,5...etc Massas Generalizadas (3.17.a) ~ k i = EI .∫ φi ( x ).φiiv ( x ).dx ; i = 1,2,3,4,5...etc Rigezas Generalizadas (3.17.b) o l 0 parâmetros estes que, como indicativo do já citado desacoplamento, mostram que cada modo funciona como um sistema simples de um grau de liberdade, com freqüência natural dada, simplesmente, pela relação entre rigidez e massa: ~ ~ wi = k i m i ; i = 1,2,3,4,5...etc Freqüências Naturais (3.18) Usar (3.17) e (3.18) para calcular as freqüências naturais conduz a um resultado correto se nos integrandos forem usadas as formas corretas dos modos naturais. Se formas aproximadas forem usadas, teremos, também, resultados aproximados para as freqüências, sendo, nesse contexto, a equação (3.18) conhecida pelo nome de “ Cociente de Rayleigh” . 25 A.3.d Caso das Placas Planas Retangulares A grosso modo falando, uma placa retangular pode ser entendida como uma viga que se estende em “ duas” direções. Sob a ação de esforço externo lateral, e estando as arestas devidamente escoradas, apresenta deformação por flexão numa configuração deslocada para fora do próprio plano. Assim, à semelhança de uma viga, a placa tem deslocamentos laterais determinados pela flecha( v ), agora porém definida como uma função de duas variáveis ( x, y ) que determinam a posição de um ponto no plano da placa (figura 3.1). Analogamente, desenvolvem-se tensões de flexão e de cisalhamento agora, porém, em duas direções do plano. Neste âmbito, as hipóteses básicas do modelo matemático, que consubstancia a Teoria de Placas, são inteiramente análogas às da Teoria de Viga, inserindo-se, nisso, também a restrição de que os deslocamentos sejam pequenos. Isto se verifica, digamos, desde que a flecha máxima ( v MAX ) seja menor do que metade da espessura da placa ( h ): v MAX h ≤ 0.5 . Considerando o equilíbrio de um volume elementar, de dimensões ( h, dx, dy ), podemos escrever para os momentos fletores M x ,que causa tensões normais na direção x , e M y na direção y : M x ( x, y , t ) = D.[ ∂ 2 v ( x, y , t ) ∂ 2 v ( x, y , t ) + υ ] ∂x 2 ∂y 2 (3.20.a) M y ( x, y , t ) = D.[ ∂ 2 v ( x, y , t ) ∂ 2 v ( x, y , t ) + υ ] ∂y 2 ∂x 2 (3.20.b) onde já estamos considerando a inclusão da variável tempo t , pois no presente contexto interessa-nos o caso dinâmico de cálculo de modos e freqüências naturais, e, ainda, onde E.h 3 D= 12(1 − υ 2 ) [N.m] (3.20.c) valor este conhecido como a Rigidez à Flexão e que, como se vê, depende da espessura da placa e das propriedades do material : E υ =Módulo de Elasticidade [N/m2], =Coeficiente de Poisson [adimensional]. A rigidez à flexão tem seu paralelo no termo EI da Teoria de Viga, podendo, por analogia, ser escrita como: D = E ′. I E ′ = E /(1 − υ 2 ) = Módulo efetivo do material [N/m2] I = h 3 / 12 = Inércia à flexão da placa por unidade de comprimento [m3] 26 Antes de prosseguirmos, é necessário salientar que na placa todos os esforços solicitantes internos são descritos por unidade de comprimento. Assim os momentos fletores terão dimensão de força [ N.m/m=N ] e as forcas cortantes dimensão de carga distribuída[ N/m ], enquanto carga externa tem dimensão de pressão por que definida por unidade de área. Um aspecto particular da placa, que a diferencia essencialmente da viga, é que do equilíbrio em flexão participam, necessariamente, os esforços de torção . Portanto, além dos momentos fletores M x e M y , que causam tensões normais, deve ser contabilizado também o momento torçor M xy ,que causa tensões de cisalhamento: M xy ( x, y , t ) = D.(1 − υ ).[ ∂ 2 v ( x, y , t ) ] ∂x∂y (3.21) Assim sendo, nas fibras externas, em ambas as faces de cada lado da placa, as três principais componentes de tensões são simplesmente calculadas por: σ x = M x .( h 3 / 12) /(h / 2) = 6.M x .h 2 σ y = M y .(h 3 / 12) /(h / 2) = 6.M y .h 2 (3.22) τ xy = M xy .(h 3 / 12) /(h / 2) = 6.M xy .h 2 As tensões normais σ x e σ y tem distribuição linear na espessura e agem em planos perpendiculares, respectivamente, aos eixos x e y , enquanto a tensão de cisalhamento τ xy , paralela ao plano médio da placa e também com distribuição linear , age tangencialmente a esses mesmos planos, tendo a mesma magnitude em ambos os dois planos. Adicionalmente, outras duas componentes de tensão de cisalhamento agem na direção z , perpendicularmente ao plano da placa, aparecendo como resultado da ação das forças cortantes Q x e Q y : τ xz = (1.5 / h).Q x Q x ( x, y , t ) = D. ∂ ∂ 2 v ( x, y , t ) ∂ 2 v ( x, y , t ) [ + ] ∂x ∂x 2 ∂y 2 (3.23.a) τ yz = (1.5 / h).Q y Q y ( x, y , t ) = D. ∂ ∂ 2 v ( x, y , t ) ∂ 2 v ( x, y , t ) [ + ] ∂y ∂y 2 ∂x 2 (3.23.b) Essas tensões de cisalhamento têm distribuição parabólica ao longo da espessura, passando por zero nas fibras externas e por máximo no plano médio da placa, para onde valem as expressões (3.23). 27 Como fizemos para as vigas, interessa desenvolver uma equação de equilíbrio que tenha como incógnita apenas a flecha v ( x, y , t ) . Assim, impondo equilíbrio de forcas e momentos do volume elementar(figura 3.1), temos: ∂Q x / ∂x + ∂Q y / ∂y = − p ( x, y , t ) (3.24.a) ∂M xy / ∂x − ∂M y / ∂y + Q y = 0 (3.24.b) ∂M xy / ∂y − ∂M x / ∂x + Q x = 0 (3.24.c) onde, p ( x, y , t ) é a força externa lateral por unidade de área ou, simplesmente, a pressão lateral. Agora, substituindo as duas últimas dessas equações na primeira, vem: ∂ 2 M x / ∂x 2 + ∂ 2 M y / ∂y 2 − 2.∂ 2 M xy / ∂x∂y = − p( x, y , t ) de onde, usando-se as expressões (3.20) e (3.21) para os momentos fletores e torçor, resulta: D.[∂ 4 v ( x, y , t ) / ∂x 4 + ∂ 4 v( x, y , t ) / ∂y 4 + 2.∂ 4 v ( x, y, t ) / ∂x 2 ∂y 2 ] = p ( x, y, t ) que, definido-se o operador diferencial ∇ 4 f = ∂ 4 f / ∂x 4 + ∂ 4 f / ∂y 4 + 2.∂ 4 f / ∂x 2 ∂y 2 e adicionando os esforços de inércia, fornece: ( ρ .h ).v( x, y , t ) + D.∇ 4 v ( x, y , t ) = p ( x, y, t ) [N/m2] sendo ρ é a densidade do material. Assim, para o equilíbrio em vibrações livres, necessário ao cálculo de modos e freqüências naturais, finalmente temos: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ( ρ .h ).v( x, y , t ) + D.∇ 4 v ( x, y , t ) = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3.25) Admitindo uma solução em forma de variáveis separadas: v ( x, y , t ) = φ ( x, y ).T (t ) , a equação (3.25), analogamente ao desenvolvimento do caso das vigas, acaba por fornecer: 2 ∇ 4φ ( x , y ) − w .( / D ).φ ( x, y ) = 0 ρ .h  β 4 onde w é a freqüência circular de oscilação harmônica no tempo. (3.26) 28 p(x,y,t) Qx p(x,y,t) Mx+(δ Mx/δ x).dx Qx+(δ Qx/δ x).dx h y h Mx dx x a b p(x,y,t) Qy x (δ Myx/δ y).dy My+(δ My/δ y).dy Qy+(δ Qy/δ y).dy z h y My dy (δ Mxy/δ x).dx FIGURA 3.1 ESFORÇOS INTERNOS E EXTERNOS NUMA PLACA EM FLEXÃO Infelizmente, resolver a equação diferencial (3.26), como parte de um problema de contorno relativo a vibrações livres de placas planas, é assaz mais complexo do que o foi para as vigas, sendo que, via de regra, não é possível encontrar solução analítica exata. Como exceção, para a qual uma solução analítica é conhecida, temos o caso da placa retangular com todos os quatro lados simplesmente apoiados, cujos resultados são: [ ] D ρ .h.a 4 φij = sen(iπ . x / a ). sen( jπ . y / b) wij = π 2 i 2 + j 2 .( a / b) 2 . onde a= b= i= j= freqüências naturais [rad/s] (3.27.a) modos naturais (3.27.b) comprimento da placa na direção x , idem, na direção y , número de meias ondas, ou lóbulos, na direção x , idem, na direção y . A mais baixa freqüência natural corresponde ao modo menos deformado e ocorre para um único lóbulo em cada uma das direções ( i = 1 e j = 1 ). A partir daí, as freqüências vão se sucedendo em ordem crescente, para mais de um lóbulo em pelo menos uma das direções. Para a / b =1.5, por exemplo, as freqüências ficam crescentemente ordenadas na seguinte seqüência do par ( i, j ): (1,1), (2,1), (1,2), (3,1), (2,2), (3,2), etc. Para outras condições de contorno não existe solução tão “ fácil” como essa e, a título de informação, apresentamos na Tabela 2 adiante os casos que consideramos mais interessantes para os propósitos deste texto. Um elenco mais completo de soluções pode ser encontrado em Blevins. 29 VALORES DE C O N D I Ç Õ E S L-L-L-L MODOS (a/b) DE λi2 C O N T O R N O : S1-S2-S3-S4 E-L-L-L A-L-A-L E-E-E-E i= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.4 3.463 5.288 9.622 3.511 4.786 8.115 9.760 11.04 15.06 23.65 27.82 35.45 2/3 8.946 9.602 20.74 3.502 6.406 14.54 9.698 12.98 22.95 27.01 41.72 66.14 1.0 13.49 19.79 24.43 3.492 8.525 21.43 9.631 16.14 36.73 35.99 73.41 108.3 1.5 20.13 21.60 46.65 3.477 11.68 21.62 9.558 21.62 38.72 60.77 93.86 148.6 2.5 21,64 33.05 60.14 3.456 17.99 21.56 9.484 33.62 38.36 147.8 173.9 221.5 υ = 0 .3 S4 S1 υ = 0 .3 υ = 0 .3 x S3 ∀υ Si= b L (Livre) E (Engastado) A (Apoiado) S2 y a  λi2  E.h 3 f i [hz ] = 2  2 2.π .a 12(1 − υ ).( ρ .h )  1/ 2 ⇔ wi [rad / s ] = λi2 ( E / ρ ) /[12(1 − υ 2 )].( h / a 2 ) TABELA 2. FREQÜÊNCIAS NATURAIS PARA PLACAS PLANAS RETANGULARES i = Ordem _ Modal 30 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1)Formule a equação de equilibro dinâmico de uma barra em vibração axial e obtenha as freqüências naturais para todas as situações possíveis de condições de contorno (livre-livre, biengastada e engastada-livre). 2)Repita o exercício anterior, agora para o torcional. Verifique a analogia de ambos os casos. caso de vibração 3)Resolva dois casos da Tabela 1, não ainda resolvidos neste texto, verificando as raízes das equações de freqüências e os valores das constantes de integração. 4)Considere uma viga em balanço com uma massa concentrada na extremidade livre. Para o caso em que a massa concentrada tem o dobro do valor da massa da própria viga, faça a análise modal. 5)Repita o exercício anterior, acrescentando, também na extremidade livre, uma mola com rigidez igual à metade da rigidez estática da viga medida na própria na extremidade livre. 6)Faça a análise modal para o caso de uma viga composta por dois trechos de mesmo comprimento, porém com secções transversais na escala 1:2. Arbitre condições de contorno de engaste em ambas as extremidades livres. Teste o seu método de cálculo resolvendo em primeiro lugar o caso particular de os dois trechos serem iguais, comparando seus resultados com o que se pode tirar da Tabela 1. 7)Repita o exercício para novas condições de contorno, de sua livre escolha. 8)Imagine, agora, que os dois trechos são unidos por uma articulação e refaça os cálculos. 9)A partir do seu aprendizado até aqui, formule o caso geral de uma viga composta por vários trechos distintos porém alinhados. Sob que condição isso pode ser estendido a casos em que as vigas não estão alinhadas ? Baseado nisso, faça a analise modal de um pórtico plano indeslocável, composto de duas colunas e uma travessa. Arbitre as condições de contorno que julgar apropriadas. 10)Aplique o “Cociente de Rayleigh” para obter soluções aproximadas para a primeira freqüência natural nos casos dos exercícios 4, 5 e 7. 11)Considere uma placa plana retangular feita em aço comum e com relação em seus lados dada por a = b . Para todas as condições de apoio e razões de aspecto da Tabela 2, calcule modos e freqüências naturais. 2 12) Para uma placa plana retangular feita em aço comum e com razão de aspecto igual a a / b = 2 , em todas as condições de apoio da Tabela 2, calcule modos e freqüências naturais. Compare esses resultados com o que puder obter pelo uso de um programa de Elementos Finitos. 31 A.4 VIBRAÇÕES FORÇADAS AMORTECIDAS „ Forçadas ≠ Livres, por que há excitação externa provocando a vibração. „ Amortecida, por que é necessário preservar na modelagem o caráter não conservativo dos esforços de amortecimento, que dissipam energia por geração de calor. "No cálculo de vibrações forçadas não se pode desprezar, sistematicamente, como regra geral, a presença dos esforços de amortecimento". A.4.a Tipos e Classificação do Amortecimento i) Quanto à existência: „ „ natural - próprio da natureza artificial - introduzido pelo engenheiro ii) Quanto à localização: „ „ externo ao sistema (Ex: atrito com o ar) interno ao sistema (Ex:atrito entre juntas estruturais) iii) Quanto à formação: „ „ „ atrito seco atrito viscoso atrito eletromagnético, etc. iv) Quanto à causa: „ „ „ „ movimento de líquidos e de itens de carga histerese do material, geração de ondas, interação com via trafegável, etc. „ Definição Geral: Amortecimento é tudo aquilo que provoca extração de energia do sistema dissipando-a pelo meio exterior. „ Problema do Engenheiro: „ Solução: "Para os sistemas reais, é impossível modelar o amortecimento natural diretamente de suas características de localização, formação e causa". "Basta preservar, na representação do equilíbrio dinâmico, parâmetros matemáticos que provoquem um montante de energia dissipada proporcional a do sistema real". Recorre-se a dados semi-empíricos para quantificar tais parâmetros matemáticos. 32 A.4.b Tipos de Excitação e de Resposta I) Excitação (Tudo aquilo que tira o sistema do repouso) i) Quanto à causa: „ esforços externos (forças e/ou momentos), „ deslocamentos de apoio. ii) Quanto à variação no tempo: „ „ „ „ „ iii) Quanto à duração: „ permanente, „ temporária de "longa" duração, „ temporária de "curta" duração, (choque mecânico). constante, harmônica, periódica, pseudo-periódica, aleatória. II) Resposta (Comportamento do sistema quando excitado) i)Quanto à proporcionalidade: „ Linear por que proporcional à magnitude da excitação. Por exemplo, se a excitação dobrar de magnitude a resposta também dobra. „ Não linear, caso contrário. ii) Quanto à natureza: „ Estática, quando os esforços de inércia são desprezíveis. iii)Quanto à duração: „ Permanente, existindo enquanto existir a excitação. „ Transitória, dissipando-se por ação do amortecimento, até cessar completamente. 33 A.4.c. Superposição Modal Retomando o caso exemplo da vibração lateral de uma viga em flexão, embora não necessariamente de secção constante. Equação de equilíbrio: m(x) . ∂ 2 v/∂ t 2 + c(x) . ∂ v/∂ t + ∂2 [EI(x) . ∂ 2 v/∂ x 2 ] = p(x,t) ∂ x2 (4.1) A solução de (4.1) pode se dar a partir de um dentre dois tratamentos iniciais distintos: „ Integração Direta: Resolver essa equação por procedimento matemático direto, sem transformá-la. „ Superposição Modal: Alternativamente, transformar essa equação em outras, de mais fácil solução matemática. A superposição modal, que aqui, em detrimento da integração direta, enfocaremos em detalhe, parte da seguinte hipótese: N Hipótese de Ritz: v(x,t) = ∑ φi(x) . y i(t) (4.2) i =1 onde φi(x) = modos naturais, que devem estar previamente calculados, e yi(t) = resposta normal em coordenadas generalizadas, a calcular pela imposição do equilíbrio, como veremos. O que se supõe nisso é que a resposta da sistema, seja ela qual for, pode ser entendida como uma superposição linear dos modos naturais, à semelhança de uma Série de Fourier. I1(x).y1(t) v(x,t) = + I2(x).y2(t) + + IN(x).yN(t) Figura 4.1. SUPERPOSICAO MODAL ⇔ SÉRIE DE FOURIER 34 iSimplificação da Equação de Equilíbrio, por Superposição Modal Substituindo (4.2) em (4.1) vem: ..   . N   ∂ " EI(x) . φ (x) y (t) m(x) φi (x) yi(t) + c(x)φi (x)y i(t) +  = p(x,t) ∑ i i ∂ x2 i =1     [ ] (a) que, multiplicada por um modo φ j (x) qualquer ( j = 1,2 ,3,...i,...N ), e integrada sobre o vão da viga( l ), fornece: N ∑ i =1 {mij y(t) + cij y i (t) + kij y i(t)} = l ∫ φ (x) p(x.t) dx j (b) 0 onde l mij = ∫ m( x) φ (x) j φ i (x) dx (c) o l cij = ∫ c φ j (x) φ i (x) dx (d) o l k ij = ∫ φ j (x) . o [ ] d2 EI . φ i" (x) dx 2 dx (e) Agora, aplicando as propriedades de ortogonalidade dos modos naturais em relação à massa e à rigidez (veja A.3.c), e admitindo que o mesmo (como aproximação) pode ser usado para o amortecimento, vem: mij = 0 ; cij = 0 ; k ij = 0 para i ≠ j de tal sorte que todas as parcelas da somatória da equação (b) são nulas, exceto para quando i = j . (f) 35 Assim, a equação de equilíbrio da forma (b) reduz-se,. simplesmente, à forma mais simples, como esteio do método de superposição modal: ~ y (t) + c~ y (t) + k~ y (t) = L~ (t ) com i = 1,2 ,3,...N m i i i i i i i (4.3) onde ~ = m i l ∫ m( x ) φ (x) dx 2 i - Massa Generalizada, o l c~i = ∫ c( x ) φi2(x) dx - Amortecimento Generalizado, o l [ ~ d2 k i = ∫ φi(x) . EI ( x ) φi" (x) dx 2 dx o ] - Rigidez Generalizada, l ~ Li (t) = ∫ φi(x) . p (x,t) . dx - Carga Generalizada. o Donde, para cada um dos modos incluídos na resposta ( i = 1,2,3,...N ), obtém-se, resolvendo (4.3), as respostas normais yi(t) . Após isso, como os modos naturais já são conhecidos, aplica-se (4.2) para obter as respostas desejadas: - Flecha: v(x,t) = N ∑φ (x) . y (t) i (rep.4.2) i i=1 - Momento Fletor: N M(x,t) = EI(x) . v"(x,t) = EI (x).∑ φi" ( x) . yi(t) (4.4) i=1 - Força Cortante: Q(x,t) = ∂ M/∂ x = EI ( x ) N ∑φ i=1 ’’’ i ( x ) y i (t ) (4.5) 36 Observações Importantes: 1. As condições de contorno já foram impostas quando do cálculo dos modos naturais. 2. As condições iniciais são impostas, para a solução de (4.3), observando-se que em t = 0 : N v ( x,0)=∑ φi ( x ).yi (0) i =1 que, por sua vez, e novamente usando, por exemplo, a propriedade de ortogonalidade em relação à massa, fornece: l ~ yi (0)=[ ∫ m( x ).φi ( x ).v ( x,0).dx ]/ m i (4.6.a) 0 l ~ y i (0)=[ ∫ m( x ).φi ( x ).v( x,0).dx ]/ m i (4.6.b) 0 Assim, arbitradas as condições iniciais em coordenadas geométricas: v (x.0) e v (x,0) , obtém-se as condições iniciais em coordenadas generalizadas por (4.6.a) e (4.6.b), podendo-se resolver as constantes de integração de (4.3). 3.A Superposição Modal "transformou” o equilíbrio dinâmico expresso por uma equação diferencial de derivadas parciais (4.1), num conjunto de N equações ordinárias (4.3) de mais fácil solução matemática. 4.O fato apontado na observação anterior é muito relevante por que, como veremos a seguir, cada uma das equações (4.3) equivale ao equilíbrio dinâmico de um sistema de um grau de liberdade (“ Single Degree of Freedom” - SDOF). Portanto, a Superposição Modal permite transformar um sistema complexo de múltiplos graus de liberdade (MDOF) em seus equivalentes de um grau de liberdade, de muito mais fácil solução. 37 iAnalogia com Sistemas de um Grau de Liberdade Após a transformação imposta pela Superposição Modal, o equilíbrio dinâmico do sistema original pode ser expresso em coordenadas generalizadas, como vimos, por: ~ . y (t) + c~ . y (t) + k~ y = L~ (t) ; i = 1,2 , ... N m i i i i i i i (rep.4.3) sendo, cada uma dessas equações, análoga à de um sistema de um grau de liberdade (massa, mola, amortecedor): ~ , pode ser escrita como: Assim sendo, (4.3), dividida pela massa generalizada m i ~ ~ yi (t )+2.ζ i .wi . y i (t ) + wi2 . y i (t )=Li (t ) /m i (4.7) onde, para cada modo natural ( i = 1,2 ,3,4 ,...,N ), temos i) Freqüência Natural 1/ 2 l l  ~ ~ 1/ 2  d2 ′ ′ wi = [k i /mi ] = [ ∫ φi 2 ( EI .φi )dx ] /[ ∫ m.φi2 dx ] 0  0 dx  (4.8) ii) Grau de Amortecimento Modal ~ .w ) ζ i = c~i /[c~i ]critico = c~i /(2.m i i ~ ki c~ i Amortecedor (4.9) ~ ~ wi = k i / m i Frequência Natural Mola ~ .w ) ζ i = c~i /( 2.m i i ~ m i Massa Deslocamento Carga ~ Li (t ) Grau de Amortecimento yi (t ) FIGURA 4.2. SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE NA SUPERPOSIÇÃO MODAL 38 Mais Observações Importantes: 5. A relação (4.8) é denominada "Cociente de Rayleigh". Por ela, conhecida uma aproximação para o modo natural, φi (x ) , pode-se obter uma aproximação para a correspondente freqüência natural. Para uma viga de secção constante (onde EI e m são constantes), sendo, por exemplo, φˆ ( x) uma aproximação arbitrada para o primeiro modo, obtém-se como correspondente aproximação para a primeira freqüência: l l 0 0 w1 ≅ {[ EI / m].[ ∫ φˆ .φˆ iv .dx] / [ ∫ φˆ 2 dx]}1 / 2 Os resultados serão tanto melhores quanto mais próxima estiver a forma arbitrada da forma real. Serão, também, sempre acima do valor exato já que, como a relação expressa o balanço entre energias cinética e potencial, a energia mecânica total passa por mínimo somente para a solução exata. 6. Os graus de amortecimento em cada modo ζ i devem ser obtidos de resultados experimentais para estruturas semelhantes. Apenas em casos acadêmicos simples é possível os obter por um processo racional de cálculo, a partir das propriedades de amortecimento do sistema. As estruturas, de modo geral, são subcriticamente amortecidas, de sorte que, para a maioria dos casos, ζ i < 1.0 i = 1,2,3,... Valores usuais para modos de baixa ordem ( i = 1,2ou3 , digamos) situam-se ao redor de 10% do amortecimento crítico ( ζ i ≈ 0.1 ), aumentando consideravelmente com o aumento da ordem modal (i > 3). 39 A.4.d Exemplo: Resposta Permanente Forçada de uma Viga Biapoiada Consideremos o caso de uma viga, prismática de secção constante, biapoiada e excitada por uma força concentrada com variação harmônica no tempo. Modos e freqüências naturais já foram calculados em exercício anterior de maneira que podemos passar diretamente ao cálculo das propriedades generalizadas. y P (t) P0 . sen( w t  G ) EI , m Modos e Freqüências x Ii ( x) wi a sen( i.S . x / l ) ( i.S / l ) 2 EI / m l FIGURA 4.3 RESPOSTA PERMANENTE FORÇADA DE UMA VIGA BIAPOIADA Cálculo das Propriedades Generalizadas l ~ = m i ∫ mφ l 2 i (x) dx = m 0 ∫ 0 ⇒ ~ ki = l ∫ 0 iπ m.l sen ( i.π .x/l) dx = sen 2 θ .dθ ⇒ i.π ∫0 2 d2 φi ( x ) 2 [EI φi′′] = EI dx i. m.l 1 - cos 2θ m.l i.π .∫ dθ = . = m.l / 2 i.π 0 2 i.π 2 l ∫ 0  i.π  φi φ dx = EI    l  iv i 4 l ∫ 0 4 l  i.π  sen (i.π . x / l)dx = EI   .  l  2 2 ~ 4 ki EI  i.π  Verificação da Freqüência Natural : w = ~ = mi m  l  2 i c~i = OK ! l ∫ c φ (x) dx = c.l/ 2 2 i (análogo ao cálculo da massa generalizada) 0 ~ Li (t) = l ∫ 0 φi(x) . p(x,t) dx = φi(a) . P0 . sen (w t + δ ) = = [P0 sen (i.π .a / l)] sen (w t + δ ) = Loi . sen (w t + δ )  = L0 i 40 Assim, como equações a serem resolvidas, que correspondem a sistemas de um grau de liberdade harmonicamente excitados, temos: y1 (t )+2ζ i wi y i (t )+wi2 yi (t )=Poi sen( w .t + δ ) i = 1,2,3,..... sendo os graus de amortecimento ] i ,em cada modo, dados de entrada do problema, wi as freqüências naturais, e L 2P Poi= ~oi = 0 sen(i.π .a / l ) mi ml A resposta em regime permanente (SDOF), em coordenadas normais, é, portanto, como se sabe da Dinâmica de Sistemas, dada por: yi(t)= i .sen (w t + ϕ i ) com os seguintes parâmetros definidos para cada um dos modos: - Amplitude da Resposta = i .Di i ~ χ i=( Loi / ki )=( Poi /wi2 ) - Deslocamento Estático Di = {(1 − β i2 ) 2 + (2ζ i β i ) 2 } - Amplificação Dinâmica ϕ i = δ − arctan[ 2ζ i β i /(1 − β i2 )] - Ângulo de Fase β i = w / wi - Relação de Freqüências −0.5 resultando, finalmente, em coordenadas geométricas : v(x,t) = ∑ sen(i.π.x/l).ρ i . sen (w t + ϕ i ) - Flecha i M(x,t)= − 2 l 2 EI ∑i . 2 i .sen(i.π.x/l).sen (w t + ϕ i ) - Momento Fletor i A partir disso o cálculo de tensões normais é obtido por procedimento corriqueiro da Resistência dos Materiais, bastando dividir o momento fletor pelo módulo de resistência da viga. Velocidades e acelerações são obtidas, simplesmente, pela derivação em relação ao tempo da equação da flecha. 41 É interessante notar que os resultados obtidos tem como caso particular a resposta estática, bastando tomar freqüência de excitação tendendo a zero: Di → 1, ∀i  w →0⇒ ϕ i → δ , ∀i ⇒ sen( w t + ϕ i ) = sen( w t + δ ) → 1 Dessa maneira, podemos deduzir para o momento fletor máximo, no ponto de aplicação da carga( x = a ) : 2 π 2 EI M est ( a ) = 2 ∑ i .( χ i . Di ). sen(i.π .a / l ).1 = l i π 2 EI l2 ∑i i 2 .( P0i ). sen(i.π .a / l ) = wi2 π EI 2 P0 . .∑ (i / wi ) 2 . sen 2 (i.π .a / l ) = 2 l m.l i 2 π 2 EI 2 P0 m.l 4 . . 4 ∑ (1 / i 2 ). sen 2 (i.π .a / l ) = 2 l m.l π EI i 2 P .l = 02 .∑ (1 / i 2 ). sen 2 (i.π .a / l ) π i Por outro lado, um cálculo simples de equilíbrio pelas equações da estática, como é fácil verificar, fornece o seguinte resultado para esse mesmo momento: M est ( a ) = P0 .l.( a / l ).[1 − ( a / l )] Ambos os resultados, em última instância, devem ser iguais, logo, dividindo um pelo outro, devemos obter uma relação que deve tender à unidade: M est ( a ) 2 /π 2 R(a ) = = .∑ sen 2 (i.π .a / l ) / i 2 M est ( a ) (a / l ).[1 − ( a / l )] i Para a = l / 2 , por exemplo, essa expressão fornece: R ( l / 2) = 8 .(1 + 1 / 9 + 1 / 25 + 1 / 49 + 1 / 81 + 1 / 121 + ....) ≅ 0.96 π2 Fato que dá uma idéia do número de termos necessários a uma boa precisão na superposição modal. Resolver problemas, semelhantes a este da viga biapoiada, para várias outras condições de contorno, tem como único fator complicador o cálculo das propriedades generalizadas, pois, nos integrandos aparecerão produtos de funções trigonométricas e hiperbólicas, complicando a solução das integrais. Como ajuda nisso, pode-se encontrar no Apêndice C de Blevins um conjunto completo desses resultados para praticamente todas as possíveis combinações de condições de contorno. 42 EXERCICIOS PROPOSTOS 1)Considere o caso de uma barra vertical engastada no teto, tendo na extremidade livre inferior um peso( P0 ) pendurado por um tirante. Pedese calcular as tensões dinâmicas de vibração axial da barra para após o instante em que o tirante é cortado por uma tesoura. DICA: Resolva um problema de vibração livre tomando como condições inicias: deslocamento igual ao deslocamento estático da barra sob ação da carga P0 e velocidade nula. 2)Uma viga horizontal cai livre e verticalmente, de uma altura H , até encontrar dois apoios posicionados, exatamente, em ambas as extremidades. Pede-se obter a máxima tensão dinâmica de flexão da viga logo após o impacto. DICA: Resolva um problema de vibração livre que se inicia no instante do impacto, tomando como condições inicias: deslocamento nulo e velocidade igual à velocidade de queda livre da viga. 3)Resolva um problema semelhante ao anterior porém, agora, considerando que uma extremidade já está sobre seu apoio e que a outra que cai de uma altura H , de tal sorte que até o instante do impacto a viga executa um movimento de corpo rígido em rotação. 4)Uma viga biapoiada, que parte do repouso, é excitada por uma carga concentrada, em forma de uma meia onda de seno, com duração finita( t0 ): P(t ) = P0 . sen(π .t / t0 ) para 0 ≤ t ≤ t0 Estando a carga aplicada bem no meio do vão livre, pede-se: a)o máximo deslocamento durante a FASE I de aplicação da carga b)o máximo deslocamento para FASE II depois de a carga ter cessado c)faça uma análise de como o tempo de duração da carga influencia a relação entre esses máximos. 5)Uma barra vertical, engastada no teto, tem como excitação um deslocamento, também vertical, imposto em sua extremidade livre inferior. Sendo esse excitação de variação harmônica no tempo, pede-se a máxima tensão dinâmica em regime permanente. 6)Resolva o exercício anterior, substituindo o deslocamento por um força de mesma natureza. Comente as diferenças conceituais entre os dois problemas. 7)Repita o exercício 5, impondo, agora, o deslocamento na posição correspondente à metade do comprimento da barra. 8)Uma viga em balanço tem aplicada, lateralmente, uma excitação harmônica em sua extremidade livre. Para resposta em regime permanente, pede-se a máxima tensão dinâmica no engaste, nas duas distintas situações: a excitação é uma força, a excitação é um deslocamento. 9)Uma viga biapoiada recebe a ação de uma força harmônica, lateralmente aplicada na abscissa x = a . Levante um gráfico que mostre como a amplitude da resposta em regime permanente varia com a freqüência de excitação e com a posição da força. 43 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA [1]CLOUGH, “DYNAMICS OF STRUCTURES” [2]ROARK, “FORMULAS FOR STRESS AND STRAIN” [3]TIMOSHENKO, “RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS” [4]TIMOSHENKO, “VIBRATIONS PROBLEMS IN ENGINEERING” [5]TIMOSHENKO, “THEORY OF PLATES AND SHELLS” [6]BLEVINS, “FORMULAS FOR NATURAL FREQUENCY AND MODES SHAPES”