Vetores (introdução)

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Cap´ıtulo 1 Vetores 1.1 1.1.1 Segmentos Segmento Orientado O segmento orientado ´e formado por um conjunto de pontos que est˜ao sobre a reta suporte r e entre os pontos A, denominado origem, e B denominado extremidade; Este segmento ´e representado por AB, sendo geometricamente indicado por: 1.1.2 Comprimento do Segmento O comprimento de um segmento ´e a medida do segmento em rela¸c˜ao a uma unidade de medida pr´e-fixada. AB = BA = 5u.c. 1.1.3 Dire¸c˜ ao do Segmento Dois segmentos orientados, n˜ ao nulos, tˆem a mesma dire¸ c˜ ao se as retas suporte s˜ao paralelas. 1.1.4 Sentido do Segmento Dois segmentos AB e CD, distintos e n˜ao nulos, tˆem mesmo sentido caso os segmentos AC e BD tenham interse¸c˜ ao vazia. 1.1.5 Segmentos Equivalentes Dois segmentos s˜ ao equivalentes ou equipotentes quando tˆem a mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e o mesmo comprimento. 1.1.6 Propriedades i) AB ∼ AB ii) Se AB ∼ CD, ent˜ ao CD ∼ AB iii Se AB ∼ CD e ED ∼ EF , ent˜ao AB ∼ EF iv) Seja o segmento orientado AB e comprimento C, existe um u ´nico ponto D tal que AB ∼ CD 1.2 Vetor Vetor ´e o conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes, sendo representado por letras min´ usculas encimadas por uma seta. 1.2.1 Vetor Oposto → → → Dado o vetor AB o vetor oposto a AB ´e um vetor que possui sentido inverso a AB, ou seja: → → AB ou - AB 1.2.2 M´ odulo de um Vetor O m´ odulo ou norma de um vetor ~v = (x, y) ´e o comprimento do segmento orientado, sendo representado por |~v | e definido por: p |~v | = x2 + y 2 seja ~v um vetor no R3 ent˜ ao: |~v | = 1.2.3 p x2 + y 2 + z 2 Vetor Unit´ ario Vetor unit´ ario ´e o vetor que possui |~v | = 1 1.2.4 Igualdade de Vetores Dois vetores s˜ ao iguais quando possuem todas as suas coordenadas correspondentes iguais. 1.2.5 Versor O versor do vetor ~v (x, y, z) ´e um vetor w ~ que possui mesma dire¸c˜ao e sentido de ~v , porem de m´ odulo 1, Podemos definir o versor do vetor ~v pela seguinte rela¸c˜ao: w ~= 1.3 1.3.1 ~v w ~ =  x y z |~v | , |~v | , |~v |  Opera¸ co ˜es com Vetores Multiplica¸c˜ ao de um Vetor por uma Constante Seja o vetor ~v = (x, y) ent˜ ao a multiplica¸c˜ao de ~v por uma constante k com a opera¸c˜ao usual ser´ a dada por: k.~v = k(x, y) = (kx, ky) Se considerarmos w ~ = k.~v ent˜ ao: • Se k > 0, w ~ possui a mesma dire¸c˜ao e sentido de ~v , com m´odulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v . • Se k < 0, w ~ possui a mesma dire¸c˜ao de ~v e o sentido oposto, com m´odulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v . • Se k = 0, w ser´ a o vetor nulo. Da mesma forma, se considerarmos o vetor ~v = (x, y, z) um vetor em R3 e k uma constante teremos: k.~v = k.(x, y, z) = (kx, ky, kz) 1.3.2 Adi¸c˜ ao de dois vetores Dados dois vetores ~v = (x1 , y1 ) e ~u = (x2 , y2 ), a soma ~v + ~u ´e definido com a opera¸c˜ao usual por: ~u + ~v = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Geometricamente o vetor soma ´e representado pelo vetor diagonal do paralelogramo constru´ıdo a partir de ~v e ~u. Se considerarmos dois vetores ~v = (x1 , y1 , z1 ) e ~u = (x2 , y2 , z2 ) pertencentes ao R3 teremos: ~u + ~v = (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) Propriedades Consideremos os vetores ~v ,~u e w ~ ∈ 0, cosθ > 0, isso implica em 00 ≤ θ < 900 . • Se ~u.~v < 0, cosθ < 0, isso implica em 900 < θ ≤ 1800 . • Se ~u.~v = 0, cosθ = 0, logo θ = 900 e os seus vetores ~u e ~v s˜ao ortogonais. 2.1.2 ˆ Angulos diretores e cossenos diretores de um vetor ˆ Angulos diretores de ~v s˜ ao os aˆngulos α, β e γ que ~v forma com os vetores ~i, ~j e ~k respectivamente. Os cossenos diretores de ~v s˜ ao os cossenos de seus ˆangulos diretores, isto ´e, cosα, cosβ e cosγ. Para obtˆe-los usamos as seguintes formulas: cosα = x1 |~v | cosβ = y1 |~v | cosγ = z1 |~v | 2.2 Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores ~u e ~v e´ representado por ~u × ~v e e´ definido por: ~u × ~v = ~i x1 x2 ~j y1 y2 ~k z1 z2 Se devolvermos a express˜ ao teremos: (~u × ~v ) = (y1 .z2 − z1 .y2 )~i + (z1 .x2 − x1 .z2 ) ~j + (x1 .y2 − y1 .x2 ) ~k 2.2.1 Propriedades do Produto Vetorial As propriedades do produto vetorial est˜ao indiretamente relacionadas com propriedades dos determinantes. i) ~u × ~v = 0 ii) ~u × ~v = −~v × ~u, este resultado e´ explicado pela propriedade dos determinantes iii) ~u × (~v + w) ~ = ~u × ~v + ~u × w ~ iv) (m.~u) × ~v = m. (~u × ~v ) v) ~u × ~v =0, se e somente se, um dos vetores ´e nulo ou se ~u e ~v s˜ao colineares. vi) ~v × ~v , ´e ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v . 2 2 2 vii) |~u × ~v | = |~u| . |~v | − (~u.~v ), chamada de Identidade de Lagrange. viii) ~u × ~v = |~u| . |~v | .senθ ´e ˆ angulo formado entre os vetores ~u e ~v . ix) O produto vetorial n˜ ao ´e associativo. Em geral: ~u × (~v × w) ~ 6= (~u × ~v ) × w. ~ 2.2.2 Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica do m´ odulo do produto vetorial de dois vetores Geometricamente, o m´ odulo do produto vetorial dos vetores ~u e ~v mede a ´area do paralelogramo ~ e ~v = AC. ~ ABCD determinado pelos vetores ~u = AB Prova,´ area ABCD = |~u| .h como h=|~u| . ~|v .senoθ e de acordo com a propriedade viii temos que |~v × ~u| = |~u| . |~v | senoθ logo, ´ area ABCD=|~v × ~u| . 2.3 Produto Misto O produto misto entre os vetores ~u, ~v e w ~ ´e um n´ umero real representado por (~u, ~v , w) ~ e definido por: x1 y1 z1 (~u, ~v , w) ~ = ~u. (~u × w) ~ = x3 y2 z2 x3 y2 z3 2.3.1 Propriedades do produto misto i)(u, v, w) = 0 a) se um dos vetores ´e nulo, b) se dois deles s˜ ao colineares, c) se os trˆes s˜ ao coplanares. Prova, se ~u e ~v × w ~ s˜ ao ortogonais ent˜ao u.(v × w)=(u, v, w) = 0. Devemos perceber que ~v e w ~ ´e ortogonal ao plano ~v que cont´em, logo se ~u ´e ortogonal a (~v × w) ~ ent˜ao ~u tamb´em pertence a ~v , sendo assim: ~u, ~v e w ~ s˜ ao coplanares. ii) (~u, ~v , w) ~ = (~v , w, ~ ~u) = (w, ~ ~u, ~v ) iii)(~u, ~v , w ~ + ~r) = (~u, ~v , w) ~ + (~u, ~v , ~r) iv)(~u, ~v , mw)=(~ ~ u, m~v , w)-(m~ ~ u, ~v , w) ~ 2.3.2 Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica do m´ odulo do produto misto Geometricamente o m´ odulo do produto misto ~u. (~v × w) ~ ´e igual ao volume do paralelep´ıpedo de arestas determinadas pelos vetores ~u, ~v e w. ~ V=(´ area base).h Para base = |~v × w| ~ oˆ angulo formado entre os vetores ~u e ~v × w, ~ logo a altura = h ´e dada por h=|u| . |cos.0|, ent˜ ao: (1) V=|~v × w| ~ . |~u| . |cos0|, Fazendo |~v × w| ~ = |~a|, V=|a| . |~u| . |cos0|, lembrando que |~u| . |~a| .cos0, em consequˆencia; (2)|~u.~a| = |~u| . |~a| . |cos0|, Comparando (1) e (2) temos: V = |~u.~a| Assim: V = |~u. (~v × w)| ~ = |(~u, ~v , w)| ~ Volume do paralelep´ıpedo V = |(~u, ~v , w)| ~ Volume do tetraedro V = 16 |(~u, ~v , w)| ~ 2.4 Lista de Exerc´ıcios 1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2, −5), sabendo que sua origem ´e o ponto A (−1, 3) → → → → → → 2. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, −1), calcular OA − AB, OC − BC e 3 BA −4 CB. umeros a e b tais que ~u = a~v e 3. Dados os vetores ~u = (3, −4) e ~v = (− 49 , 3), verificar se existem n´ ~v = b~u. → → 4. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0),C(2, −1), determinar D tal que DC=BA. → → 5. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determinar o ponto P tal que AP = 3 AB. 6. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4) − ~v . 7. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1, −3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos. 8. Verificar se s˜ ao colineares os pontos: (a) A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1) (b) A(2, 1, −1), B(3, −1, 0) e C(1, 0, 4) 9. Determinar o sim´etrico do ponto P (3, 1, −2) em rela¸c˜ao ao ponto A(−1, 0, −3). ~ − ~v . 10. Dados ~u = ~i − 2~j + ~k e ~v = 2~i − 5~k, determine o vetor w ~ tal que 2~u + 3w ~ = 21 w 11. Sejam ~u = 14~i − ~j + 12 ~k e ~v = n~i + m2~j − m~k. Determine m e n de modo que ~v tenha sentido contr´ ario a ~u e seja 4 vezes maior do que ~u. 12. Sejam A(1, 2, 4), B(2, 3, 2) e C(2, 1, −1). (a) Os pontos A,B e C s˜ao v´ertices de um triˆangulo? (b) Determine D de modo que ABCD seja um paralelogramo 13. Dˆe exemplo de dois vetores unit´arios que tenham a mesma dire¸c˜ao que ~v = −3~i + ~j − 4~k. 14. Mostre que para quaisquer vetores ~a,~b e ~c, os vetores ~a + ~b, ~a + ~c e ~c − ~a s˜ao coplanares. 15. Dados os vetores ~u = (1, a, −2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e w ~ = (a, −1, 1), determinar a de modo que ~u.~v = (~u + ~v ).w. ~ → → 16. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3 BA −2 BC.   17. Verificar se s˜ ao unit´ arios os seguintes vetores: ~u(1, 1, 1) e ~v = √16 , − √26 , √16 18. Seja o vetor ~v = (m + 7)~i + (m + 2)~j + 5~k. Calcular m para que |~v | = √ 38. 19. Dados os ponto A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |~v | = 7, → → sendo ~v = m AC + BC. → √ 20. Dados os pontos A(3, m − 1, −4) e B(8, 2m − 1, m), determinar m de modo que AB = 35. 21. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2, −3, 1) e B(−2, 1, −1). 22. Seja o triˆ angulo de v´ertices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determinar o ˆ angulo interno ao v´ertice B. 23. Sabendo que o ˆ angulo entre os vetores ~u = (2, 1, −1), e ~v = (1, −1, m + 2) ´e 24. Calcular n para que seja de 30o o ˆangulo entre os vetores ~u = (1, n, 2) e ~j. Π 3, determinar m. 25. Determinar o vetor ~v , paralelo ao vetor ~u = (1, −1, 2), tal que ~v .~u = −18. 26. Determinar o veter ~v , ortogonal ao vetor ~u = (2, −3, −12) e colinear ao vetor w ~ = (−6, 4, −2). 27. Determinar o vetor ~v , colinear ao vetor ~u = (−4, 2, 6), tal que ~v .w ~ = −12, sendo w ~ = (−1, 4, 2). 28. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆ angulo. 29. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 5~j − 4~k e ~b = (α + 1)~i + 2~j + 4~k sejam ortogonais? 30. Os ˆ angulos diretores de um vetor podem ser de 45o , 60o e 90o ? Justificar. 31. Determinar o vetor ~v , sabendo que |~v | = 5, ~v ´e ortogonal ao eixo Oz,~v .w ~ =6ew ~ = 2~j + 3~k. 32. Determinar um vetor unit´ario ortogonal ao vetor ~v = (−2, 1, 1). 33. Determinar um vetor de m´odulo 5 paralelo ao vetor ~v = (1, −1, 2). 34. Determinar o vetor ~v , ortogonal ao exo Oz, que satisfaz as condi¸co˜oes ~v .~v1 = 10 e ~v .~v2 = −5, sendo ~v1 = (2, 3, −1) e ~v2 = (1, −1, 2). 35. Qual o comprimento do vetor proje¸c˜ao de ~u = (3, 5, 2), sobre o eixo dos x? 36. Mostrar que, se ~u e ~v s˜ ao vetores, tal que ~u + ~v ´e ortogonal a ~u − ~v , ent˜ao |~u| = |~v |. 37. Calcular o m´ odulo dos vetores ~u + ~v e ~u − ~v , sabendo que |~u| = 4, |v| = 3 e o ˆangulo entre ~u e ~v ´e de 60o 38. Dados os vetores ~u = (2, −1, 1), ~v = (1, −1, 0) e w ~ = (−1, 2, 2), calcular: (a) ~v × (w ~ − ~u). (b) (~u + ~v ) × (~u − ~v ). (c) (2~u) × (3~v ). (d) (~u × ~v ).(~u × ~v ). 39. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a + ~b e ~b − ~a, sendo ~a = (3, −1, −2) e ~b = (1, 0, −3). 40. Determinar o valor de m para que o vetor w ~ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v~1 = (2, −1, 0) e v~2 = (1, −3, −1). √ 41. Se |~u × ~v | = 3 3, |~u| = 3 e 60o ´e o ˆangulo entre ~u e ~v , determinar |~v |. 42. Calcular, a ´ area do paralelogramo definido pelos vetores ~u = (3, 1, 2) e ~v = (4, −1, 0). 43. Calcular a ´ ara do triˆ angulo de v´ertices (a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3). (b) A(2, 3, −1), B(3, 1, −2) e C(−1, 0, 2). 44. Dados os vetores ~u = (0, 1, −1), ~v = (2, −2, −2) e w ~ = (1, −1, 2), determinar o vetor ~x paralelo a w, ~ que satisfaz ` a condi¸c˜ ao: ~x × ~u = ~v . 45. Verificar se s˜ ao coplanares os seguintes vetores: (a) ~u = (3, −1, 2), ~v = (1, 2, 1) e w ~ = (−2, 3, 4). (b) ~u = (2, −1, 0), ~v = (3, 1, 2) e w ~ = (7, −1, 2). 46. Verificar se s˜ ao coplanares os pontos: (a) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1, −2, 2) (b) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1, −1, −1) e D(0, 1, −1) 47. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: ~a = (2, −1, k), ~b = (1, 0, 2) e ~c = (k, 3, k). 48. Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores v~1 = 2~i − ~j, v~2 = 6~i + m~j − 2~k e v~3 = −4~i + ~k seja igual a 10. 49. Os vetores ~a = (2, −1, −3), ~b = (−1, 1, −4) e ~c = (m + 1, m, −1) determinam um paralelep´ıpedo de volume 42. calcular m. √ 50. Sejam ~u e ~v vetores tais que ~u.~v = 4, ||~u|| = 3 3 e o angulo agudo entre (~u, ~v ) = Π6 . Calcule ||~u|| e ||~u + ~v || 51. Determine x ∈ < de modo que os vetores ~u = x~i + 2~j − ~k e ~v = 3~i + x~j + 10~k sejam ortogonais. 52. Calcule (~a, ~b), onde ~a = 2~i + 2~j + ~k e ~b = 3~i + 4~j. 53. Sejam ~a = ~i + ~j, ~b = 2~i − 3~j + ~k e ~c = 4~j − 3~k. Mostre que ~a × (~b × ~c) 6= (~a × ~b) × ~c. 54. Calcule a ´ area (usando produto vetorial) e a medida do ˆangulo interno oposto ao maior lado do triˆ angulo P QR onde P = (0, 0, 0), Q = (6, 0, 0) e R = (3, 4, 0). 55. Calcule a ´ area do triˆ angulo cujos v´ertices s˜ao os pontos A = (1, 0, 1), B = (3, 2, −1) e C = (6, −1, 5). Mostre que esse triˆangulo ´e retˆangulo. 56. Mostre que se ~u for ortogonal a ~v − w ~ e ~v for ortogonal a ~u − ~v , ent˜ao w ~ ´e ortogonal a ~u − ~v . 57. Determine x de modo que o volume do paralelep´ıpedo com arestas definidas pelos vetores ~a = −2~i + x~j, ~b = x~i − ~j + ~k, ~c = ~i + ~k, seja igual a 2 unidades de volume. 58. Ache ~u ortogonal a ~v = 4~i − ~j + 5~k e a w ~ = ~i − 2~j + 3~k, que satisfa¸ca ~u.(~i + ~j + ~k) = 2. 59. Considerando um triˆ angulo com lados definidos por ~a, ~b e ~c = ~a − ~b, mostre o resultado conhecido como Lei dos Cossenos: 2 2 2 |~c| = |~a| ~b − 2 |~a| ~b cos(~a, ~b) (2.1) (Sujest˜ ao: ~c.~c = (~a − ~b).(~a − ~b)) 60. Um vetor ~v de comprimento 5 tem dois de seus cossenos diretores dados por cosα = 31 e cosβ = 41 , onde α = (~v ,~i) e β = (~v , ~j). Determine as coordenadas de ~v na base canˆonica do <3 . 2.4.1 Gabarito 1. (1, −2) 2. (−4, 1), (2, 5), (−5, −30) 3. (a) − 34 (b) − 34 4. D(4, −4) 5. (14, −10, −6) 6. ~v = (1, 1, 1) 7. (a) 3 2 (b) − 92 8. (a) Sim (b) N˜ ao 9. (−5, −1, −4) 10. − 85~i + 85~j + 65 ~k. 11. m=2, n=-1 → → 12. (a) AB e AC, n˜ ao s˜ ao colineares, os pontos formam um triˆangulo (b) D = (3, 2, −3) 13. Demonstra¸c˜ ao 14. Demonstra¸c˜ ao 15. a = 2 16. ( 79 , 94 , 49 ) 17. ~v ´e unit´ ario 18. −4 ou −5 19. 3 ou − 13 5 20. −3 ou −1 21. P (1, 0, 0) 22. 45o 23. m = −4 √ √ 24. + 15 ou − 15 25. (−3, 3, −6) 26. ~v = t(3, −2, 1)t ∈ < 27. (2, −1, −3) → → 28. BA . BC = 0 29. −3 ou 2 30. N˜ ao, cos2 45o + cos2 60o + cos2 90o 6= 1 31. (4, 3, 0) ou (−4, 3, 0) 32. Um deles ´e (0, √12 , √12 ) 10 33. Mais ou menos ( √56 , √56 , √ ) 6 34. (−1, 4, 0) 35. 3 36. Demonstra¸c˜ ao √ √ 37. 37 e 13 38. (a) (−1, −1, 0) (b) (−2, −2, 2) (c) (6, 6, −6) (d) 3 39. x(3, 7, 1), x ∈ < 40. −5 41. 2 √ 42. 117 √ 43. (a) 6 (b) √ 9 2 2 44. (−2, 2, −4) 45. (a) N˜ ao (b) Sim 46. (a) N˜ ao (b) Sim 47. 6 48. 6 ou −4 49. 2 ou − 83 50. |~u + ~v | = q 2899 81 , |~u| = 51. x = 2 52. Arco cosθ = 14 15 53. Demonstra¸c˜ ao 54. 12u.a., arco cosθ = √ 55. 151 56. Demonstra¸c˜ ao 57. x = 1 58. ~u = (9 − 2, 2, 2) 59. Demonstra¸c˜ ao 60. Demonstra¸c˜ ao 3 5 8 9