Transcript
Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - motivação
Transformações Geométricas - 2D
Desenhos/gráficos complexos podem ser feitos pela composição de primitivas simples. Através de transformações geométricas básicas (translação, escalamento e rotação) é possível posicionar as primitivas para compor o desenho/gráfico.
Translação 2D: transladar ponto dx unidades na direção x e dy unidades na direção y. Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’) o ponto transladado temos:
x′ = x + d x y′ = y + d y
As transformações podem ser utilizadas para dar “movimento” ao desenho/gráfico.
Em notação vetorial
P′ = T (d x , d y )+ P = T + P d x x′ x P′ = , T = , P = d ′ y y y
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - 2D
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - 2D
Exemplo Translação 2D
Transladar de (3; -4) os pontos : (4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Escalamento 2D: Escalar ponto sx unidades na direção x e sy unidades na direção y. Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’) o ponto escalado temos:
x′ = s x ⋅ x y′ = s y ⋅ y Em notação vetorial
P′ = S ( s x , s y ) ⋅ P = S ⋅ P sx x′ P′ = , S = ′ y 0
0 x , P= s y y
Observe as relações entre distâncias entre pontos:
s x ⋅ x 2 − s x ⋅ x1 = s x ⋅ ( x2 − x1 )
(s ⋅ x − s ⋅ x ) + (s ⋅ y − s ⋅ y ) = s (x − x ) + s (y − y ) (s ⋅ x − s ⋅ x ) + (s ⋅ y − s ⋅ y ) = s (x − x ) + (y − y ) , s = s 2
x
x
2
1
2
y
x
2
1
2
2
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x
1
2 x
2
2
2
x
1
2
2 y
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
x
= sy
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - 2D
Transformações Geométricas - 2D
Exemplo Escalamento 2D
Exemplo Escalamento 2D
Escalar de 2 uniformemente os pontos: (-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
Escalar de 1/2 em x e 1/4 em y os pontos: (4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Escalar de 1/2 uniformemente os pontos: (-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
Escalar de 1/2 uniformemente os pontos: (4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Observe que o escalamento é em torno da origem. No dois últimos casos a casa fica menor e mais próxima da origem.
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - 2D
Rotação 2D: Rodar em torno da origem de um ângulo θ na direção anti-horária.
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas - 2D
Rotação 2D:
x′ = x ⋅ cos θ − y ⋅ senθ y′ = x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ
(x', y')
r r
θ
(x, y)
α
Em notação vetorial r = x2 + y2
P′ = R(θ ) ⋅ P = R ⋅ P x′ cosθ P′ = , S = y ′ senθ
− senθ x , P= cosθ y
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x y , senα = r r x′ y′ cos(θ + α ) = , sen(θ + α ) = r r cos(θ + α ) = cosθ ⋅ cos α − senθ ⋅ senα sen(θ + α ) = senθ ⋅ cos α + senα ⋅ cosθ x′ = cosθ ⋅ cos α − senθ ⋅ senα ⇒ x′ = cosθ ⋅ r ⋅ cos α − senθ ⋅ r ⋅ senα ⇒ r x′ = cosθ ⋅ x − senθ ⋅ y y′ = senθ ⋅ cos α + senα ⋅ cosθ ⇒ y′ = senθ ⋅ r ⋅ cos α + cosθ ⋅ r ⋅ senα ⇒ r x′ = senθ ⋅ x + cosθ ⋅ y cos α =
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Coordenadas Homogêneas 2D - representação matricial
Composição de transformações
Translações sucessivas
Ponto em coordenadas cartesianas (x,y) é representado em coordenadas homogênea por (W x,W y, W)
P′ = T2 ⋅ T1 ⋅ P x′ 1 0 d x 2 1 0 d x1 x 1 0 d x 2 + d x1 y ′ = 0 1 d 0 1 d y = 0 1 d + d y2 y1 y1 y1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 P′ = (T2 ⋅ T1 )P = T2 (T1 ⋅ P )
A representação em coordenadas homogêneas permite a representação das transformação geométricas básicas na forma matricial:
x y 1
P′ = T ( d x , d y ) ⋅ P = T ⋅ P x ′ 1 0 d x x y ′ = 0 1 d y y 1 0 0 1 1 x′ = x + d x y′ = y + d y
Escalamentos sucessivos
P′ = S (s x , s y )⋅ P = S ⋅ P x′ s x y ′ = 0 1 0 x′ = s x ⋅ x y′ = s y ⋅ y
0 sy 0
0 0 1
x y 1
P′ = S 2 ⋅ S1 ⋅ P x′ s x 2 y ′ = 0 1 0
0 sy2 0
0 0 1
s x1 0 0
P′ = S 2 (S1 ⋅ P ) = (S 2 ⋅ S1 )P
0 0 x s x 2 ⋅ s x1 s y1 0 y = 0 0 1 1 0
0 0 x s y 2 ⋅ s y1 0 y 0 1 1
P′ = R(θ ) ⋅ P = R ⋅ P x′ cosθ P′ = y′ = senθ 1 0
− senθ cosθ 0
x′ = x ⋅ cosθ − y ⋅ senθ y′ = x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ
0 0 1
x y 1
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Transformações Geométricas
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Composição de transformações
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Transformações Geométricas
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Composição de transformações
Rotações sucessivas
Rotação em torno de um ponto P1 arbitrário
P′ = R1 ⋅ R2 ⋅ P x′ cosθ 2 y′ = senθ 2 1 0
− senθ 2 cos θ 2 0
0 0 1
cos θ 2 ⋅ cosθ1 − senθ 2 ⋅ senθ1 senθ ⋅ cosθ + cos θ ⋅ senθ 2 1 2 1 0
cosθ1 − senθ1 0 x senθ cos θ1 0 y = 1 0 1 1 0 − cosθ 2 ⋅ senθ1 − senθ 2 ⋅ cosθ1 0 − senθ 2 ⋅ senθ1 + cos θ 2 ⋅ cosθ 0 0 1
cos(θ 2 + θ1 ) − sen(θ 2 + θ1 ) 0 x1 sen(θ + θ ) cos(θ + θ ) 0 x 2 1 2 1 1 0 0 1 1 P′ = (R1 ⋅ R2 )P = R1 (R2 ⋅ P )
x1 x = 1 1
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Transformação composta T(x1,y1) R(θ) T(-x1,-y1)
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Composição de transformações
Composição de transformações
Rotação e escalamento em torno de um ponto P1 arbitrário
Regras de comutação
T1 . T2 = T2 . T1 (translação translação) S1 . S2 = S2 . S1 (escalamento ecalamento) R1. R2 = R2. R1 (rotação escalamento) Para escalamento uniforme
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx = sy)
Não comutam
T1.R1≠R1.T1 (translação rotação ) T1.S1≠S1.T1 (translação escalamento)
Transformação composta T(x1,y1) R(θ) S(sx,sy ) T(-x1,-y1)
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Transformações Geométricas
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Transformações 3D
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx ≠ sy)
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ !
Transformações 3D
Translação
Rotação em torno eixo z "
P′ = Rz (θ )⋅ P = Rz ⋅ P
P′ = T (d x , d y , d z )⋅ P = T ⋅ P x′ 1 y ′ 0 = z ′ 0 1 0
x′ = x + d x y′ = y + d y
0 0 dx 1 0 d y 0 1 dz 0 0 1
x′ cosθ − senθ y′ senθ cosθ P′ = z′ 0 0 0 1 0 x′ = x ⋅ cosθ − y ⋅ senθ y′ = x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ z′ = z
x y z 1
z′ = z + d z "
Escalamento
0
0
sy 0
0 sz
0
0
0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1
x y z 1
Rotação em torno do eixo x P′ = Rx (θ )⋅ P
P′ = S (s x , s y , s z )⋅ P = S ⋅ P x′ s x y ′ 0 = z′ 0 1 0 x′ = s x ⋅ x y′ = s y ⋅ y
Para escalamento não uniforme
x y z 1
0 0 x′ 1 y′ 0 cosθ − senθ P′ = z ′ 0 senθ cosθ 0 0 1 0 x′ = x y′ = y ⋅ cosθ − z ⋅ senθ z ′ = y ⋅ senθ + z ⋅ cosθ
0 0 0 1
x y z 1
z′ = s y ⋅ z ____________________________________________________________________________ EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 297
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Transformações Geométricas
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Transformações 3D #
Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ %
Composição 3D
Rotação em torno eixo y $
Composição arbitrária de rotações, escalamentos e translações &
P′ = R y (θ )⋅ P = R y ⋅ P x′ cosθ 0 senθ y ′ 0 1 0 P′ = z ′ − senθ 0 cosθ 0 0 1 0 x′ = x ⋅ cosθ + z ⋅ senθ y′ = y z ′ = − x ⋅ senθ + z ⋅ cosθ
0 0 0 1
x y z 1
P′ = M ⋅ P x′ y ′ P′ = z′ 1
r11 r 21 r31 0
r12
r13
r22 r32
r23 r33
0
0
tx t y tz 1
x y z 1
rij - agrega as rotações e escalamentos tk - agregas as translações
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ '
Transformação 3D (
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Transformações Geométricas
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Transformações A combinação arbitrária de translações, rotações e escalamentos resulta em uma matriz de transformação da forma (caso 3D)
Exemplo: transformar os segmentos P1P2 e P1P3 da posição inicial para a posição final (P1 na origem e P1P2 alinhado com eixo z, P1P3 quadrante positivo do plano (y,z)) *
r11 r 21 r31 0
r13
r22 r32
r23 r33
0
0
tx t y tz 1
onde a matriz 3x3 superior esquerda é a combinação dos escalamentos e rotações *
*
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r12
T
e o vetor (tx, ty, tz) é a combinação das translações.
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Exercício 1 Demonstre que se os vetores (colunas da matrix 3x3 superior esquerda) +
Exercício 1 (cont.) ,
Considere x1 x2 x3 y y y 1 2 P1 = , P2 = , P3 = 3 z1 z2 z3 1 1 1
r11 r12 r13 r , r e r 21 22 23 r31 r32 r33
r11 r12 r13 tx r 21 r 22 r 23 ty T = r 31 r 32 r 33 tz 0 0 1 0
forem unitário e linearmente independentes, a transformação r11 r 21 r31 0
r12 r22 r32 0
r13 t x r23 t y r33 t z 0 1
Assim, a condição de preservação de distâncias pode ser dada por: P2 − P1 = (T ⋅ P2 ) − (T ⋅ P1 )
preserva distâncias e ângulos.
E a condição de preservação de ângulos pode ser dada por:
(P2 − P1 )⋅ (P3 − P1 ) = ((T ⋅ P2 ) − (T ⋅ P1 ))⋅ ((T ⋅ P3 ) − (T ⋅ P1 )) (T ⋅ P2 ) − (T ⋅ P1 ) ⋅ (T ⋅ P3 ) − (T ⋅ P1 ) P2 − P1 ⋅ P3 − P1 ____________________________________________________________________________ EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 303
Transformações Geométricas
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Exercício 2 Demonstre que a composição de uma ou mais transformações de de rotação preserva distância e ângulo.
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Exercício 3 Demonstre que a composição translações e rotações preserva distância e ângulo.
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Exercício 4 /
Projeção 0
Demonstre que no caso geral a transformação r11 r12 r13 r 21 r 22 r 23 T = r 31 r 32 r 33 0 0 0
A transformação de um objeto 3D para o espaço imagem 2D é denominada projeção. 1
tx ty tz 1
A projeção de um objeto 3D é definida por linha projetoras que emanam do centro de projeção, passam por cada ponto do objeto. A interseção deste projetores com o plano de projeção definem o que é denominado de projeção do objeto. 1
não preserva distância e ângulo, porém preserva paralelismo.
Projeção Planar: a projeção no plano é denominada de projeção planar. No caso genérico, o plano pode ser substituído por uma superfície qualquer. 1
Supondo 4 pontos, P1, P2, P3 e P4, a condicão de paralelismo pode ser dada por:
(P2 − P1 ) = α (P4 − P3 )
α ≠0
Projeção perspectiva: o centro de projeção localiza-se a uma distância finita do plano de projeção 1
P4 P3 1
P2 P1 ____________________________________________________________________________ EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 307
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Projeção Planar Perpectiva
Projeção paralela: a distância entre o centro de projeção e o plano de projeção é infinita (centro de projeção no infinito).
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Projeção Planar Paralela
Plano de Projeção
Plano de Projeção A A
A'
A' Centro de Projeção
B B B' Projetor
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Centro de Projeção no infinito
B'
Projetor
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Projeção Perpectiva - classificação 4
As projeções perspectiva podem ser classificadas pelo número de eixos (X, Y e Z) que o plano de projeção interseciona: 5
6
6
6
Perspectiva de um ponto (no eixo Z) 8
Perspectiva de 1 ponto Perspectiva de 2 pontos Perspectiva de 3 pontos
A projeção perpectiva de qualquer conjunto de retas paralelas para aos eixos e não paralelas ao plano de projeção convergem para um ponto ponto de perspectiva (vanishing point). 5
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Projeção Perpectiva - classificação 7
Projeção Perpectiva - classificação :
Perspectiva de 2 pontos (eixos X e Z)
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ ;
Projeção Paralela - classificação <
As projeções paralelas podem ser classificadas dependendo da relação entre a direção de projeção e a norma do plano de projeção. Projeção ortográfica: vetor direção de projeção e a normal do plano de direção são paralelos. A direção de projeção é perpendicular ao plano de projeção. =
=
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Projeção oblíqua : o vetor direção de projeção a a norma do plano não são paralelos. A direção de projeção não é perpendicular ao plano de projeção.
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Projeção Perspetiva (Matriz de transformação) >
?
Projeção Planar Perspetiva (Matriz de transformação) A
Considerações:
Olhando na direção X (Y é análogo) X
@
@
Plano de projeção normal ao eixo Z na posição z=d Centro de projeção no origem
P = (x , y , z) x Pp = (xp , yp , zp) xp
X
Z d
z
P = (x , y , z)
Podemos deduzir por semelhança de triângulos que, as relações entre ponto projetado e original são:
Pp = (xp , yp , zp)
d
xp d
=
x z
⇒
=
y z
⇒
x x = z z d y y yp = d ⋅ = z z d
xp = d ⋅
Z
yp Y
d
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ B
Projeção Planar Perspetiva (Matriz de transformação) A Matriz de transformação é portanto:
M per
1 0 = 0 0
0
0
1
0
0
1 1 d
0
0 0 0 0
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ C
Projeção Ortográfica (Matriz de transformação) D
Considerações: Plano de projeção normal ao eixo Z na posição z=0 Direção projeção paralela a Z E
E
X
Pois: 1 x′ 0 y ′ = M per ⋅ P = 0 z′ w 0
0
0
1
0
0
1 1 d
0
0 x x′ x y y ′ y 0 ⋅ ⇒ = 0 z z′ z z 0 1 w d
Pp = (xp , yp , zp)
P = (x , y , z)
Homogeneizando (dividindo por w) e pegando o ponto em coordenadas cartesianas x x′ z x p w d y′ y y p = w = z z p z′ d w d ____________________________________________________________________________ EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 317
Y
Z
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Transformações Geométricas
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Transformações Geométricas
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Projeção Ortogonal (Matriz de transformação) F
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador G
As coordenadas dos pontos projetadas são dadas por: xp = x ,
Síntese se imagens por computador pode ser entendido como o processo que transforma uma representação 3D de uma cena em uma imagem 2D. H
yp = y , zp = 0
A matriz de projeção é portanto:
M ort
1 0 = 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Pois: x′ 1 y ′ = M per ⋅ P = 0 z′ 0 w 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 x x′ x y y′ y 0 ⋅ ⇒ = z z′ 0 0 1 1 w 1
O ponto projetado em coordenadas cartesianas é dado por: x p x′ x y p = y ′ = y z p z′ 0 ____________________________________________________________________________ EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 319
Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ I
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador J
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ L
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador
Uma cena em geral é composta de
Os objetos a serem visualizado são definidos por sua forma (geometria) e aparência (atributos ópticos - opacidade, cor, textura, etc.). M
Um ou mais objetos que serão visualizados (por exemplo: mesas, cadeiras, etc…) K
Assim, no que se refere a geometria, para a composição da cena é necessário:
Uma ou mais fontes de luz. É necessário especificar pelo menos uma fonte de luz para que se possa visualizar a cena, que de outra forma estaria escura, produzindo uma imagem totalmente preta. K
K
Uma câmera (virtual) para capturar a imagem. A definição da câmera estabelece entre outros o tamanho da imagem (formato do filme), o tipo de projeção (o tipo de lente). Assim como na vida real, o posicionamento relativo da câmera e os objetos da cena definem que porção da cena aparecerá na imagem.
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M
1 Especificar a geometria (forma) dos objetos (por exemplo: mesa, cadeira) 2. Posicionar os objetos na cena (por exemplo, mesa no centro, quatro cópias da cadeira em volta). M
A área da computação gráfica voltada para os problemas associado à especificação da geometria é denominada Modelagem Geométrica ou Modelagem de Sólidos (para objetos que ocupam um volume).
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador N
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador P
Uma maneira simples e bastante usual na Computação Gráfica para a modelagem geométrica é a denominada representação poligonal. Nesta representação uma superfície é representada por um conjunto de polígonos, em geral, planares (triângulos, quadrados, …). O
Exemplo - cubo Q
Vértices Q
V1 (-0,5; -0,5; -0,5) V2 ( 0,5; -0,5; -0,5) V3 ( 0,5; 0,5; -0,5) V4 (-0,5; 0,5; -0,5) V5 (-0,5; -0,5; 0,5) V6 ( 0,5; -0,5; 0,5) V7 ( 0,5; 0,5; 0,5) V8 (-0,5; 0,5; 0,5) R
R
R
R
Por exemplo, um cubo pode ser representado por seis polígonos, sendo que cada polígono é representado por um conjunto de vértices. O polígono é formado traçando as linha que unem os vértices na seqüência, sendo que o último é conectado ao primeiro. O
R
R
R
R
Polígonos Q
R
R
R
R
R
R
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ S
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador T
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ U
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador
Exemplo - cubo
É possível a criação de objetos mais complexos a partir de primitivas (elementos geométricos básicos pré-definidos) ou objetos mais simples através da aplicação de transformaçãoe geométricas. V
V8
V
V7 V4 V5
V3
P1 (V1, V2, V3, V4) P2 (V5, V8, V7, V6) P3 (V4, V3, V7, V8) P4 (V2, V6, V7, V3) P5 (V1, V4, V8, V5) P6 (V1, V5, V6, V2)
Exemplo: Uma mesa poderia ser criada utilizando-se 5 cubos como objetos de construção. Um cubo seria o tampo e os outros quatro as pernas.
V6 V1
V2
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________
Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador W
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador Y
As transformações geométricas utilizadas na construção de objetos e o posicionamento destes na cena são denominadas, no contexto do processo de síntese de imagens, de transformações de modelagem (geométrica). X
Após o posicionamento relativo dos objetos na cena é necessário determinar o posicionamento destes em relação à câmera virtual. As transformação necessárias para tal são denominadas de transformação de visualização. Z
Após a transformação de modelagem, todos os objetos da cena estão em um sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas de mundo (3D world coordinate system). X
Observe que a câmera (plano imagem e tipo projeção) define um volume de visualização (somente objetos dentro deste volume aparecerão na imagem final). Z
O sistema de coordenadas original do objeto é denominado de sistema de coordenadas de modelagem. X
Para a especificação da câmera são, em geral, especificados ainda um plano frontal e um traseiro que limitam o volume de visualização. Z
Após a transformação de visualização, temos os objetos no denominado sistema de coordenadas de visualização (view coordinate system / camera coordinate system / eye coordinate system) Z
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Transformações Geométricas
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Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador \
Volume de visualização - projeção perspectiva
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Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ ]
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador ^
Volume de visualização - projeção ortográfica
Plano traseiro Volume de Visualização
Volume de Visualização
Plano traseiro
Plano frontal
Posição da Câmera
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Direção da Câmera
Plano frontal
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Transformações Geométricas
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Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador Para facilitar os cálculos das porções visíveis de objetos parcialmente dentro do volume de visualização pode-se transformar o sistema de coordenadas de visualização para sistema normalizado de projeção através de transformação de normalização que normaliza o volume de visualização transformando-o em um cubo de aresta 1. `
Transformações Geométricas
____________________________________________________________________________ a
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens por Computador b
Visão Geral:
Coordenadas de Modelagem (Modeling Coordinates)
Coordenadas de Mundo (World Coordinates)
Transformação de Modelagem (Modeling)
Após a transformação de normalização as coordenadas dos objetos estão no denominado sistema de coordenadas de visualização normalizadas ou apenas sistema de coordenadas normalizadas. `
Coordenadas de Visualização (View Coordinates)
Transformação de Visualização
Transformação de Normalização
(Viewing)
(Normalizing)
Coordenadas Normalizadas (Normalized Coordinates)
Coordenadas de Dispositivo (Device Coordinates)
Projeção e mapeamento para o dispositivo (Projection)
Finalmente os objetos são projetados para o sistema de coordenadas da imagem normalizada. `
`
Antes da rasterização final pode se fazer faz-se necessária uma transformação 2D para as coordenadas do dispositivo ou janela.
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