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1) Mencione algumas características de sistemas reais e as respectivas suposições normalmente feitas durante a modelagem. Comente as consequências de não se fazer tais suposições em termos da complexidade do modelo resultante.
Um sistema pode ser classificado com relação a inúmeras características, entre elas: Linear ou não-linear Contínuo ou discreto Parâmetros concentrados ou distribuídos Causal ou não-causal Invariante ou variante com o tempo Estável ou instável É praticamente impossível considerar todos as características de um sistema real, sendo assim o modelador precisa levar em consideração algumas das características citadas acima para simplificar seu modelo, como por exemplo a consideração de linearidade. Mas até mesmo esta característica não é adequada para todo tipo de sistema. Torna se imprescindível saber o que levar em consideração durante a modelagem para se obter um modelo mais simplificado e próximo do comportamento real, caso contrário, o modelo, depois de pronto apresentará um comportamento indesejado e o que se deve fazer é rever e reavaliar a pertinência das considerações feitas durante o seu desenvolvimento.
2) Mostre que o sistema estático y=2+5x, apesar de ser a equação de uma reta, não é linear. y (x 1 ) = 2 + 5 x 1 y (x 2 ) = 2 + 5 x 2 ?
2 + 5( x 1+ x 2) = 2 +5 x1 + 2 +5 x2 2 + 5( x 1+ x 2) = 4 + 5 x1 + 5 x 2
y (x ) = 2 + 5 x não é linear !!
3) Demonstre que a relação de Ohm, V = R.i é linear v (i 1) = Ri 1 v (i 2 ) = Ri 2 v (i 1 +i 2 ) = R(i 1+ i 2) R(i 1 + i 2) = Ri 1 + Ri2
é linear.
4) Dados os sistemas abaixo, dizer se são lineares ou não: a) y(x) = 6.x y (x 1 ) = 6 x 1 y (x 2 ) = 6 x 2 y (x 1 + x2 ) = 6 x1 + 6 x 2 6(x 1 + x 2 ) = 6 x 1 + 6 x 2
b) y(t) = et
y (t 1) = e
t1
y (t 2) = e
t2
t1
( x1 + x2 )
6 x 1+ 6 x 2 = 6 x1 + 6 x 2 y (x ) = 6 x é linear !!
t2
y (t 1+ t 2) = e + e e
x
?
= e 1+ e
y (t ) = e
t1
x2
não é linear ! !
5) Calcule pela definição a Transformada de Laplace para f(t) = cos(ωt); ∞
∫
L {cos (ωt )} = F (S ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
[
]
[
−
− st
{
0
( )
− st
2
(s + ω ) 2 s
(
lim
=
)
−st
cos (ω t)e ω sin(ω t )e + 2 s s
−
b → ∞
[
−
cos(ω b)e s
−sb
2
)
→
0
∞
]
0
ω sin(ωb)e 2 s
cos (ω 0)e s
1 S s (S 2+ ω 2)
)]
0
0
=
∞
∞
− sb
+
F (s ) =
S 2 2 (s + ω )
][
− −
v=
−e
−st
s
− st
du = ωcos (ω t)
]
− st
2 cos(ω t)e ω sin(ωt )e + − ω 2 F (s) 2 s s s
[
du=−ωsin (ω t )
u=sin(ω t)
(
2
F (s ) =
∞
cos(ω t)e− st ω sin(ω t )e−st ω −st − − − + ∫ e cos (ωt )dt s s s s
F (s ) 1 + ω2 s
2
u = cos(ω t)
[
− st
cos(ω t)e −ω e− s t sin (ω t) dt ∫ s s
2
(
{
−s t
e cos(ω t) dt
−
F (s )+ ω2 F (S) = s
F (s )
0
0
0
cos (ω 0)e ωsin (ω 0)e + 2 s s
]
v =−e s
} }
6) Encontrar as transformadas de Laplace para as funções abaixo:
−t
f (t ) = − 3t e
L {− 3t e
→
∞
−t
−t
−t
}
= −3 L {t e
}
−st
F (s ) = − 3∫0 t e e dt ∞
F (s ) = − 3∫0 t e
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
(
3t
(
3t
(
3t
−(s + 1)t
{
dt
u= t
− (s +1) t
−(s +1 )t e 3 − ∫ e dt s + 1 s +1
− (s +1) t
−(s +1 )t
e 3 e + s + 1 s+ 1 s+ 1
− (s +1) t
−(s +1) t
e 3e + s + 1 (s+ 1)2
(
lim 3b b → ∞
∞
)
0
∞
)
0
∞
)
0
)(
e−( s+ 1)b 3e−( s+ 1)b e0 3e 0 + + 2 − 3∗0 s + 1 (s +1) s + 1 (s + 1)2 ↓ ↓ ↓ 0
( )
0
0
0
F (s ) = −
3e 2 (s +1)
du= dt
→
F (s) = −
3 2 (s+ 1)
)
v =−
e
(s +1 )t
s
}
f (t ) = 5 t
4
L { 5t
→
4
}
= 5 L {t
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
F (s ) =
du= 4t 3 dt
v = −e
{
du =3t dt
∞
(
(
−5 t
(
20 −t e 3 −t e 2 − st −5t + + + ∫ t e dt s s s s s s
(
20 −t e 3 −t e 2 −t e 1 − st −5 t + + + + ∫ e dt s s s s s s s s
(
20 −t e 3 −t e 2 −t e e −5 t + + + − 2 s s s s s s s s
(
20 −t e 3 −t e 2t e 2e −5t + + − − 3 2 s s s s s s s
(
−5 t
−st
4
e 20 3 −st + ∫ t e dt S S
−st
4
4
4
4
4
4
(
e
e
e
e
e
−st
(
3
(
−st
(
−st
(
−st
−st
s
5
3
3
3
− st
− st
− st
− st
3 − st
−
− st
(
2
(
2
(
2
(
2
∞
))
{
− st
)))
0
− st
(
(
−st
− st
− st
−st
0
)
)( −
− 120e
s
5
{
u =t
0
0
)
))))
∞
−st
−st
− st
−st
v = −
))))
0
∞
)))
0
∞
)
0
e
s
}
v = −e
du=2 t dt
∞
− st
}
− st
u =t 2
0
2 − st
∞
− sb
2
∞
0
(
3
20 t e 60t e 120t e 120 e − − − 2 3 4 5 s s s s ↓ ↓ ↓
lim −1205 e b → ∞ s 120 5 s
0
0
−120 e
s
(
3 − st
)
s
− st
u=t
e + 20 t e + 3 t 2 e− st dt ∫ s s s s
0
F (s ) =
− st
u =t 4
−5 t
↓
F (s ) =
}
{
∞
F (s ) = 5∫0 t 4 e −st dt
F (s ) =
4
0
s
} − st
2
du =2t dt
v = −
e
s
}
como f (t n) sua transformada é
3
2
L {−3t + 2 t −t +5 t
0
}
3
2
1
= − 3 L { t }+ 2 L {t }− L {t } +5 L {t
0
}
=
3×3! + 2× 2! −1× 1! + 5× 0 ! 3+1 2+ 1 1+1 0+ 1 s s s s
=
jt
como o cos(t ) = −5 L {cos(t )} =
F ( s) = −
5 ∞ −(s − j)t −( s+ j) t (e + e ) dt 2 ∫0
F (s) = −
5 −e−( s− j) t e−( s + j )t − 2 s− j s+ j
F (s) =
lim b → ∞
F (s) =
(
[ ( 2
s− j ↓0
5 −1 1 − 2 s− j s + j
)
4
+
4 − 1 +5 3 2 s s s
− jt
e +e 2
, então
∞
)
0
e s+ j ↓0
)] (
→
F (s ) =
F (s) =
− 5s 2 2 s−j
−(s − j)b
− 5 −e
s
5 ∞ − st ( jt − jt ) ∫ e e + e dt 2 0
F (s) = −
(
−18
L { t n } = n! n+ 1 , s
−( s+ j) b
−
−(s − j)0
−( s+ j) 0
5 −e e − 2 s− j s+ j
+
)
(
5 −(s + j)− (s − j ) 2 2 2 s −j
→
F (s) =
) −5 s 2 s +1
→
F (s ) =
( )
5 −2 s 2 s2 − j 2
então
− jt
como o sin (3t ) =
L {t sin(3t )} = F (s ) = −
j ∞ −st −3jt − st+ 3jt t (e −e ) dt 2 ∫0
F (s ) = −
j ∞ −(s +3j) t ∫ ( t e −t e −(S −3j) t) dt 2 0
F (s ) = −
j e 1 −t + ∫ e−( s+ 3j)t dt + 2j −t es−3 j + s −13 j ∫ e− (s −3j)t dt 2 s + 3 j s+ 3 j 0
(
(
−( s+ 3j)t
{ ∞
) (
−( s +3j)t
∞
) (
−
b → ∞
−( s −3j)t
(
−(s +3j) t
∞
) (
F (s ) =
(
F (s ) =
j (s− 3 j) −(s +3 j ) 2 2 2 (s + 9)
F (s ) =
j s − s − 6 js−6 js −9+ 9 2 2 2 (s + 9)
F (s ) =
(
j j − 2 2 2( s + 3 j) 2(s− 3 j)
2
(
2
2
2
−6 j S 2
2
(S + 9)
)
−e s± 3 j
v=
}
∞
)
0
∞
)
0
0
−( s− 3j)t
j −e j −e + 2 (s + 3 j )2 0 2 (s −3 j)2
(
du = dt
−(s −3j) t
−(s −3j) t
0
lim
−( s± 3)t
u = t
j e e j e e F (s ) = − −t − + −t − 2 s+ 3 j (s + 3 j)2 0 2 s− 3 j (s− 3 j)2 ↓ ↓
F (s ) =
2
j ∞ − st − 3jt 3jt ∫ t e ( e −e ) dt 2 0
F (s ) = −
−(S + 3j)t
je
2
∞
)
(
) (
−1 j −1 F ( s) = − j + 2 (s + 3 j)2 2 (s − 3 j )2
→
F (s) =
→
F (s) =
j (s − 6 js −9)−(s + 6 js− 9) 2 2 2 (s + 9)
→
F ( s) =
j − 12 js 2 ( s2+ 9)2
2
)
) )
)
→
0
→
F (s) =
2
j(s −3 j ) − j (s+ 3 j) 2(s2 +9)2
(
2
(
6s 2 2 (s + 9)
2
)
)
je
jt
, então
∞
L { 7e−0,5t cos(3t) } = 7 L { e−0,5 t cos(3t )} = 7 ∫0 e−st ( e−0,5 t cos(3t ) ) dt
∞
F (s) = 7 ∫0 e−s t−0,5 t cos(3t )dt
∞
{
u = cos(3t )
(
u = sin(3t )
1 −(s+ )t
−e s +1/ 2
(
1 − (s + )t 2
(
1 − (s + )t 2
(
3 −e s+1/2
cos(3t )-
)
0
du = 3cos(3t )dt
(
(
9 F (s) 1+ (s +1/ 2)2
)
=
(
0
0
∞
)
0
∞
1 − ( s+ )t
2 +21e sin(3 t) e −7 cos(3t) s+1/2 (s +1/ 2)2
1 −(s + )t
))
))
2 +3 e sin(3t ) −e 2 9 F (s) = 7 cos(3t ) − F (s) s +1/ 2 (s+1/2)2 (s +1/ 2)2
9 F (s)+ F (s) = (s +1/ 2)2
}
∞
sin (3 t) 3 + F ( s) s +1/ 2 s +1/ 2
1 −(s+ )t 2
1 2
∞
1
− (s+ )t sin (3 t) 3 2 + e cos(3t )dt s +1/ 2 s +1/ 2 ∫
1 − (s+ )t
1 −(s+ )t
v = −
1 −(s+ )t 2
e
s+
−e 2 3 −e F (s) = 7 cos(3t )s +1/ 2 s+1/2
(
}
1 2
∞
1
{ F (s) = 7
v =−
1 −(s+ )t 2
e
s+
1 −(s+ )t
1 −(s+ )t 2
cos(3t )dt
du = −3sin (3t )dt
− (s+ )t −e 2 3 2 F (s) = 7 cos(3t )e sin(3t )dt ∫ s +1/ 2 s+1/2
(
1 − (s + )t 2
F (s ) = 7∫0 e
→
)
0
∞
1 − (s+ )t
2 e 2 21 e sin(3t ) −7 cos(3 t)+ s +1/ 2 (s +1/ 2)2 ↓
)
(
9 F (s ) 1+ (s +1/ 2)2
→
0
)
=
(
1 −(s + )t
0
(
(s +1/ 2)2 +9 F (s) (s +1/ 2)2
)
= lim
b → ∞
(
1 −(s+ )b
)(
1 −(s+ )0
0
F (s)
(
(s +1/ 2)2 +9 (s +1/ 2)
)
= 7
)
e 2 e 2 −7 cos(3 b) − −7 cos(3×0) s+1/2 s+1/2 ↓
→
F (s) =
7( s+0,5) ( s+0,5)2 +9
→
(
F (S )
( s+1/2)2 +9 (s +1/ 2)2
)
=
7 s+1/2
∞
)
e 2 −7 cos(3 t) s +1/ 2
0
7) Verificar, para as funções abaixo, quais possuem valor final, e calcular o valor final daquelas que possuírem valor final:
df (t ) forem funções transformáveis por dt Laplace e se existir. Nestes casos ,a igualdade estabelecida na equação abaixo é válida , i.e.
O teorema dovalor final poderá ser empregadoa uma função temporal f (t ), se f (t) e
se lim f (t) = lim sF (s ) t → ∞
lim s → 0
lim s → 0
1s 2 s (s + 1)
5 (s+ 1)(s + 2)
1 s (s +1)
= lim s → 0
= lim
{
s→0
lim
s (s −30 )
= lim
2
s (s + 4s+ 13)
s→ 0
s → 0
5 (0 + 1)(0 + 2)
=
5 2
= ∞
2 s (2s+ 1) 2s 1s = lim 2 + 2 2 s + 2s + 10 s→0 s + 2s + 10 s + 2s +10
lim
s→0
5s = lim s (s + 1)( s + 2) s → 0
S → 0
{
}
= lim s→0
{
s 30 − 2 2 ( s + 4s+ 13) (s + 4s + 13)
0 +1 10 10
}
=
}
lim s →0
= 0
{
1
13 s +4 + s
+
1 2 (s + 4s + 13)
}
= ∞
8) Encontrar as transformadas inversas de Laplace para as funções abaixo, utilizando uma tabela de transformadas:
−1
F (s ) = L [ 20] = f (t ) = 20 δ(t )
−1
L
[
12 10 1 2 4 + 3 − 2− s s s s
]
3
2
= f (t ) = 4t + 5t − t − 2
−1
L
−1
L
[ ] −10 s+ 3
[
= − 10 L
s 2
2
s +3
]
−1
[ ] 1 s+ 3
−3 t
= f (t ) =−10 e
= f (t) = cos(3 t)
−1
L
[
2 2 (s +1) + 1
]
−t
= f (t ) = 2e sin(t)
9)
Com o auxílio de uma tabela e usando as propriedades conhecidas, calcule a transformada de Laplace.
a) 2
− at
f (t ) = t e F (s ) =
2! 2 = F (s ) = 2+ 1 3 (s + a) (s + a)
b)
t
−t
f (t ) = − e + e cos(t)
(
f (t ) = − 1e t+ e −t e (it )+ e
c)
−(it )
2
)
f (t ) = − 1e t+ e
→
F (s ) = −
1 1 1 + + s −1 2(s +(1− i)) 2(s+ (1 + i))
F (s ) = −
1 s +1 + s −1 s 2+ 2s + 2
→
(s ) = −
−(1− i)t
−(1 +i) t
+e
2
1 s+ 1 + s− 1 (s +1)2+ 1
=
−t
t
−t
t
f (t ) = e + e cos(t )
(
−(it )
(it )
f (t ) = e + e e +
e
2
)
→
−t
f (t ) = e +
F (s ) =
1 1 1 + + s + 1 2(s −(1− i)) 2(s −(1 + i))
F (s ) =
1 s−1 + s + 1 s 2− 2s+ 2
d)
−5 t
f (t ) = 2 −(2+ t )e − 5t
f (t ) = 2 − 2e + t e
F (s ) =
−5 t
2 2 1 − + s ( s+ 5) ( s + 5)2
→
(s ) = −
e
(1+ i)t
( 1−i) t
+e
2
1 s−1 + s+ 1 ( s− 1)2 +1
=
e) − αt
f (t ) = e
{ A cos(ω b t )+ Bsin (ω b t )} −α t
f (t ) = A cos(ω b t )e + B sin(ωb t)e
f (t ) = A
(
i ωb t
−α t
f (t ) =
−i ωb t
e +e 2
iω b t
− αt
Ae e +Ae e 2 −(α − iω b) t
f (t ) = A e
(
−i ωb t
−( α +i ωb )t
+
2
Ae
−i e
iω b t
2
− αt
+Bie
−i ωb t
e
−(α +iω b) t
+
2
Ae
−i ωb t
ie
)
e
−α t
− Bi e
−α t
i ωb t
e
2
+Ae
−(α − iω b) t
f (t ) =
)
− αt
e +B
−αt
Bie
−(α + iωb )t
−(α −i ωb )t
2 −( α+i ωb )t
+
2
− Bi e
Bie
−( α −i ωb) t
−
2
Bi e
2
f (t ) = A e−( α−i ω )t + A e−(α+ iω ) t+ B i e −(α+ iω ) t−Bi e −(α−i ω )t 2 2 2 2 b
b
(
)
b
f (t ) =
(
F (s ) =
(
F (s ) =
(A −Bi ) (A + Bi ) + 2 s + 2α −2 i ωb 2 s + 2α + 2i ω b
F (s ) =
(A −Bi )(2 s + 2α + 2i ω b)(A + Bi )(2 s+ 2 α −2i ω b) (2s + 2 α −2i ω b)(2 s + 2α + 2i ω b)
F (s ) =
2 As + 2A α + 2 Ai ωb− Bi 2 s − Bi 2 α + 2 B ω b+ 2 As + 2A α − 2 Ai ωb + Bi 2 s+ Bi 2α + 2 B ωb 2 2 2 (4 s + 8 α s + 4 α + 4 ωb )
F (s ) =
4 As + 4 Aα + 4 B ωb 2 2 2 (4 s + 8α s + 4α + 4 ωb )
F (s ) =
(As + A α + B ωb ) 2 2 (s+ α ) + ωb
F (s) =
)
b
A −B i e−(α− iω ) t+ A + B i e−(α+ iω ) t 2 2 b
)
(
b
)
A −B i 1 A+ B i 1 + 2 s +(α −i ωb ) 2 s +(α + i ωb )
A (s+ α) B ωb 2 2 + 2 2 ( s + α) + ωb ( s+ α) + ωb
→
→
→
F (s) =
F (s) =
4( As+ A α + B ω b) 2 2 2 4(s + 2α s + α + ω b)
A(s + α)+ B ωb 2 2 ( s+ α) + ωb
F (s ) = A
ωb ( s+ α) 2 2 +B 2 2 (s + α) + ω b (s + α) + ω b
