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TRABALHO DE ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” – ECC1002 TRELIÇA PLANA e PÓRTICO PLANO – 1º Semestre de 2009 Prof. Dr. João Kaminski Junior – DECC – CT – UFSM 1) Para a estrutura plana de aço apresentada na figura abaixo determinar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra (esforço normal), utilizando o método da rigidez e considerando todos os nós rotulados (treliça plana). Apresentar todos os passos da solução, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na análise. CONECTIVIDADES:
y 35 kN
35 kN
10 kN
NÓ INICIAL 1 1 2 2 3
NÓ FINAL 2 3 3 4 4
5 4
3
2
3m
BARRA 1 2 3 4 5
4 3
1
x
2
1
3m
3m
3m
Considerar o módulo de elasticidade longitudinal do aço E = 200 GPa. As barras têm seção transversal em dupla cantoneira, como indicado na figura abaixo.
y Perfil L 76 x 76 x 9,5
z
A = 13,6 cm2 (área da seção transversal de 1 perfil L) Iz = 73,3 cm4 (momento de inércia em relação ao eixo “z” de 1 perfil L)
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2) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (1). Apresente as reações de apoio e o diagrama de esforço normal fornecidos no FTOOL. 3) Para a mesma estrutura do item (1) determinar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra (esforço normal, esforço cortante e momento fletor), utilizando o método da rigidez e considerando todos os nós rígidos (pórtico plano). Apresentar todos os passos da solução, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na análise. 4) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (3). Apresente as reações de apoio e os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL. 5) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (3), considerando agora uma seção transversal com a mesma área e momento de inércia 10 vezes maior. Apresente as reações de apoio e os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL. 6) Comparar e comentar os resultados (deslocamentos, reações nos apoios e diagramas) obtidos nos itens (2), (3), (4) e (5).
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1) Cálculo dos deslocamentos, reações de apoio e das ações de extremidade de barra (esforço normal), considerando todos os nós rotulados.
Coordenadas dos nós de cada barra:
Tabela 1 - Coordenadas dos nós de cada barra de acordo com as coordenadas globais.
Barra
Nó inicial
Nó final
X
Y
X
Y
1
0,0
0,0
6,0
0,0
2
0,0
0,0
3,0
3,0
3
6,0
0,0
3,0
3,0
4
6,0
0,0
9,0
3,0
5
3,0
3,0
9,0
3,0
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referência local e global:
y 35 kN
35 kN
D6
D8
10 kN
D5
5
D7 4
3
3m
2
4 3
D2 1
D1
D4 2
D3
x
1
3m
3m
3m
Figura 1 - Treliça plana na numeração arbitrária.
A treliça plana possui quatro nós (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois nós com algum tipo de restrição (NRJ = 2), quatro deslocamentos livres (N = 4 → D5, D6, D7 e D8) e quatro
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deslocamentos restringidos (NR = 4 → D1, D2, D3 e D4), num total de oito GDL (N + NR = 4 + 4 = 8). BARRA 1: yL
y
D2
D4
D1
1
1
D3
x
xL
2 Figura 2 - Barra “1” da treliça plana na numeração arbitrária.
O comprimento “L” da barra “1” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência local fica:
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A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência global fica:
Pode-se observar que para a barra “1” a matriz SM1L é igual a SM1, pois θ = 0º. Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade. BARRA 2: xL
D6 yL
D5
x
3 2
y yL
D2 D1 1 Figura 3 - Barra “2” da treliça plana na numeração arbitrária.
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6
O comprimento “L” da barra “2” vale:
L=
m
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência local fica:
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência global fica:
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BARRA 3: y xL
D6 D5 3 3
D4
yL
D3
x
2
Figura 4 - Barra “3” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “3” vale:
L=
m
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A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência local fica:
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência global fica:
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BARRA 4: xL
D8 yL
D7
x
4 4
y yL
D4 D3 2 Figura 5 - Barra “4” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “4” vale:
L=
m
A matriz de rigidez da barra “4” no sistema de referência local fica:
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A matriz de rigidez da barra “4” no sistema de referência global fica:
BARRA 5: yL
y
D6
D8
D5 3
5
D7
x
xL
4
Figura 6 - Barra “5” da treliça plana na numeração arbitrária
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O comprimento “L” da barra “5” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência local fica:
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência global fica:
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Pode-se observar que para a barra “5” a matriz SM5L é igual a SM5 , pois θ = 0º. Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade. A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global (SJ = SM1 + SM2 + SM3 + SM4 + SM5).
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A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL para a treliça do exemplo está indicada na figura abaixo.
y 35 kN
35 kN
D2
D4
10 kN
D1
5
D3 4
3
3m
4
2 3
D6 1
D5
D8 2
D7
x
1
3m
3m
3m
Figura 7 - Treliça plana na numeração prioritária.
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Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se:
Assim, as matrizes S e SDR ficam:
O vetor de cargas nodais na numeração prioritária fica:
, (em N).
Resolvendo o sistema de equações
chega-se aos deslocamentos livres:
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, (em metros) na numeração prioritária.
As reações são calculadas por AR = ARL + SRD. D, sendo ARL = 0, uma vez que não existem cargas aplicadas diretamente sobre apoios, na direção de um deslocamento restringido.
, (em N) na numeração prioritária.
Estes valores devem ser apresentados na numeração arbitrária. Assim:
, (em metros) na numeração arbitrária.
, (em N) na numeração arbitrária.
As ações de extremidade de barra são calculadas através de que nas treliças
. A matriz de rigidez de barra em coordenadas locais
numeração arbitrária. Para avaliar
, basta fazer
. Assim,
, uma vez está na .
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, (em N).
, (em N).
, (em N).
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, (em N).
, (em N).
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Deve-se observar que para uma barra “i” compressão quando positivo e de tração quando negativo e
significa esforço normal de significa esforço normal de
compressão quando negativo e de tração quando positivo, enquanto que
e
são
sempre zero, pois não existe esforço cortante nas barras das treliças, como ilustrado na figura abaixo. 56568,0 N
7071,0 N 35000,0 N
35000,0 N
7071,0 N
49497,0 N
49497,0 N
56568,0 N
Figura 8 - Esforço normal nas barras da treliça plana.
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2) Verificação dos cálculos com o auxílio do Ftool. TRELIÇA PLANA COM APLICAÇÃO DE CARGAS:
Figura 9 - Treliça Plana com aplicação de cargas gerada com o auxílio do software Ftool.
DEN + Reações de apoio:
Figura 10 - Diagrama de esforço normal + reações de apoio da treliça plana gerado com o auxílio do software Ftool.
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3) Cálculo dos deslocamentos, reações de apoio e das ações de extremidade de barra (esforço normal), considerando todos os nós rígidos.
Coordenadas dos nós de cada barra:
Tabela 2 - Coordenadas dos nós de cada barra de acordo com as coordenadas globais.
Barra
Nó inicial
Nó final
X
Y
X
Y
1
0,0
0,0
6,0
0,0
2
0,0
0,0
3,0
3,0
3
6,0
0,0
3,0
3,0
4
6,0
0,0
9,0
3,0
5
3,0
3,0
9,0
3,0
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referência local e global:
y 35 kN
35 kN
D8
D11
10 kN D9 3m
D7
5
3
D12
2
4
4 3
D2 1
D10
D5
D1
D4 1
D3 3m
D6 3m
x
2
3m
Figura 11 - Pórtico plano na numeração arbitrária.
O pórtico plano possui quatro nós (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois nós com algum tipo de restrição (NRJ = 2), oito deslocamentos livres (N = 8 → D3, D6, D7, D8, D9, D10,
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D11 e D12) e quatro deslocamentos restringidos (NR = 4 → D1, D2, D4 e D5), num total de doze GDL (N + NR = 8 + 4 = 12). BARRA 1: yL
y
D2
D3
D5
D1
1
1
D6
D4
x
xL
2 Figura 12 - Barra “1” do pórtico plano na numeração arbitrária.
O comprimento “L” da barra “1” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência local fica:
onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m² = 2,0 x 1011 N/m² A = 27,2.10-4 m² _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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I = Iz = 146,6.10-8 m4 L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência global fica:
onde: C = cos θ = (XK – XJ) / L; S = sen θ = (YK – YJ) / L; , é o comprimento da barra “i”; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; A é a área da seção transversal da barra “i”; I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z” local.
Pode-se observar que para a barra “1” a matriz SM1L é igual a SM1 , pois θ = 0º. Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade.
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BARRA 2: xL
D8 yL
D7
x
D9 3 2
y yL
D2 D1
D3
1 Figura 13 - Barra “2” do pórtico plano na numeração arbitrária.
O comprimento “L” da barra “2” vale:
L=
m
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência local fica:
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onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m² = 2,0 x 1011 N/m² A = 27,2.10-4 m² I = Iz = 146,6.10-8 m4 L=
m
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência global fica:
onde: C = cos θ = (XK – XJ) / L; S = sen θ = (YK – YJ) / L; , é o comprimento da barra “i”; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; A é a área da seção transversal da barra “i”; I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z” local.
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BARRA 3: y xL
D8 3
D7
D9 3
D5
L
y
D6
D4
x
2
Figura 14 - Barra “3” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “3” vale:
L=
m
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência local fica:
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onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m² = 2,0 x 1011 N/m² A = 27,2.10-4 m² I = Iz = 146,6.10-8 m4 L=
m
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência global fica:
onde: C = cos θ = (XK – XJ) / L; S = sen θ = (YK – YJ) / L; , é o comprimento da barra “i”; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; A é a área da seção transversal da barra “i”; I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z” local. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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BARRA 4: xL
D11 D10 D12 4
y yL
4
D5
2
D4
x
D6 Figura 15 - Barra “4” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “4” vale:
L=
m
A matriz de rigidez da barra “4” no sistema de referência local fica:
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m² = 2,0 x 1011 N/m² A = 27,2.10-4 m² I = Iz = 146,6.10-8 m4 L=
m
A matriz de rigidez da barra “4” no sistema de referência global fica:
onde: C = cos θ = (XK – XJ) / L; S = sen θ = (YK – YJ) / L; , é o comprimento da barra “i”; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; A é a área da seção transversal da barra “i”; I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z” local. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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BARRA 5: yL
y
D8
D11
D7 D9
5
3
D10 D12
x
xL
4
Figura 16 - Barra “5” da treliça plana na numeração arbitrária
O comprimento “L” da barra “5” vale:
L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência local fica:
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30
onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m² = 2,0 x 1011 N/m² A = 27,2.10-4 m² I = Iz = 146,6.10-8 m4 L = 6,0 m
A matriz de rigidez da barra “5” no sistema de referência global fica:
onde: C = cos θ = (XK – XJ) / L; S = sen θ = (YK – YJ) / L; , é o comprimento da barra “i”; E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; A é a área da seção transversal da barra “i”; I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z” local.
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Pode-se observar que para a barra “5” a matriz SM5L é igual a SM5 , pois θ = 0º. Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade. A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global (SJ = SM1 + SM2 + SM3 + SM4 + SM5).
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A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL para a treliça do exemplo está indicada na figura abaixo.
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y 35 kN D4
10 kN
3m
2
D5
D7 D6
5
D3
3
4
4 3
D10 1
35 kN
D8
D12 D11
D9
D1
1
x
2
D2 3m
3m
3m
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se:
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Assim, as matrizes S e SDR ficam:
O vetor de ações nodais (AC) é obtido da mesma forma que nas vigas contínuas e nas treliças planas, na numeração prioritária. O vetor AC é formado pela soma do vetor de ações (forças e/ou momentos) diretamente aplicadas nos nós do pórtico plano (A) com o vetor de ações nodais equivalentes (AE).
A
, (em N).
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O vetor de ações nodais equivalentes (AE) é obtido a partir dos valores dos vetores AML de todas as barras, em coordenadas globais e com o sinal trocado. Para calcular os vetores AML de todas as barras em coordenadas globais deve ser usada a seguinte expressão: AMLi = RiT . AMLiL Para a barra “1” e “4” o vetor AML1 e AML4 (em coordenadas globais) são iguais a L
AML1 e AML4L (em coordenadas locais), pois θ = 0º e a matriz de rotação R1 e R4 são iguais à matriz identidade. Para o pórtico plano anterior, o vetor AE na numeração prioritária fica:
, (em metros) na numeração prioritária.
Assim, o vetor AC pode ser calculado, na numeração prioritária:
AC
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Finalmente, os vetores AC e AR – ARL ficam:
Resolvendo o sistema de equações AC = S . D , chega-se aos deslocamentos livres:
na numeração prioritária
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As reações de apoio são calculadas por AR - ARL = SRD . D, resultando:
, (em N) na numeração prioritária.
Os vetores D e AR na numeração arbitrária ficam:
, na numeração arbitrária.
, (em N) na numeração arbitrária.
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As ações de extremidade de barra são calculadas através de que neste pórtico plano
, uma vez
. A matriz de rigidez de barra em coordenadas locais
está na numeração arbitrária. Para avaliar
, basta fazer
. Assim,
.
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Deve-se observar que para uma barra “i”
significa esforço normal de
compressão quando positivo e de tração quando negativo e
significa esforço normal de
compressão quando negativo e de tração quando positivo. Portanto, sempre ocorrerá . As ações de extremidade de barra enquanto que
e
e
são esforços cortantes,
são momentos fletores.
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Figura 18 - Esforços nas barras do pórtico plano.
Verificações:
Lembrando que as ações de extremidade de barra são as ações (ou reações) situadas nas seções das extremidades das barras, de forma que, construindo um diagrama de corpo livre da barra, estas ações, junto com as cargas externas aplicadas no vão da barra, mantém a barra em equilíbrio.
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4) Verificação dos cálculos com o auxílio do Ftool.
Finalmente, os diagramas de esforço normal (EN), esforço cortante (EC) e momento fletor (MF) do pórtico plano ficam: PÓRTICO PLANO COM APLICAÇÃO DE CARGAS:
Figura 19 - Pórtico Plano com aplicação de cargas gerada com o auxílio do software Ftool.
DEN + Reações de apoio:
Figura 20 - Diagrama de esforço normal + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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DEC + Reações de apoio:
Figura 21 - Diagrama de esforço cortante + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
DMF + Reações de apoio:
Figura 22 - Diagrama de momento fletor + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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Deslocamento da estrutura de acordo com a linha elástica + Reações de apoio:
Figura 23 - Diagrama de deslocamento da linha elática + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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5) Com o auxílio do programa FTOOL, determinamos os mesmos valores calculados no item (3), considerando agora uma seção transversal com a mesma área e momento de inércia 10 vezes maior. PÓRTICO PLANO COM APLICAÇÃO DE CARGAS:
Figura 24 - Pórtico Plano com aplicação de cargas gerada com o auxílio do software Ftool.
DEN + Reações de apoio:
Figura 25 - Diagrama de esforço normal + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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45
DEC + Reações de apoio:
Figura 27 - Diagrama de esforço cortante + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
DMF + Reações de apoio:
Figura 28 - Diagrama de momento fletor + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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Deslocamento da estrutura de acordo com a linha elástica + Reações de apoio:
Figura 29 - Diagrama de deslocamento da linha elática + reações de apoio do pórtico plano gerado com o auxílio do software Ftool.
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