Torção Em Barras E Veios

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Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Mecânica dos Materiais Capítulo 3 Torção Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Torção - Sumário Cap. 3 Introdução Veios Estaticamente Indeterminados Torção em Veios Circulares Projecto de Veios de Transmissão Componentes de Corte Axiais Concentração de Tensões Deformações em Veios Torção em Membros não-Circulares Deformações de Corte Veios Ocos de Parede Fina Tensões Normais Exercícios Resolvidos Modos de Dano em Torção Exercícios Propostos Ângulo de Rotação Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Cargas de Torção – Veios de Transmissão de Esforço Cap. 3 Preparado por: Filipe Samuel Silva gerador rotação turbina • Análise de tensões e deformações de veios circulares sujeitos a torques ou momentos torsores. • A turbina exerce um torque T no veio • O veio transmite o torque ao gerador Dep. Engª Mecânica • O gerador reage com um torque igual ao do veio (sentido oposto), T‘ Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Transmissão Internos de Esforços Cap. 3 • A resultante das forças internas de corte origina um torque interno. Este torque é igual, com sentido oposto, ao torque exterior, T = ∫ ρ dF = ∫ ρ (τ dA) • Embora o torque desenvolvido pelas forças de corte internas seja conhecido, a distribuição das tensões não é conhecida • A distribuição destas tensões de corte é estaticamente indeterminada – é necessário considerar as deformações • Contrariamente à tensão normal, devida a cargas axiais, a distribuição das tensões de corte devidas a momentos torsores, não se pode assumir como sendo uniforme. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Componentes de Corte Axiais Cap. 3 • O Torque aplicado ao veio produz tensões de corte nas faces perpendiculares ao eixo. Eixo do veio • As condições de equilibrio requerem a existência de iguais tensões nas faces dos dois planos que contêm o eixo do veio. • A existência de tensões de corte axiais é demonstrada considerando as marcas axiais existentes nos veios. As marcas têm um deslocamento relativo quando torques são aplicados nos topos do veio. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Deformações do Veio Cap. 3 • Observando verifica-se que o ângulo de torção é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento do veio. φ ∝T φ∝L • Quando sujeita a torção, qualquer secção recta do veio permanece plana e indeformada. • As secções rectas circulares, maciças ou ocas, mantêm-se planas e indeformadas porque um veio circular é axissimétrico. • As secções rectas de veios não circulares (não-axissimétricos) sofrem deformação quando sujeitos a torção. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Deformações de Corte Cap. 3 • Considere uma secção interior do veio. Consoante uma força de torção é aplicada, o elemento deforma-se transformando-se num losango. • Como as circunferências que constituem dois dos lados do elemento se mantêm inalteradas, a deformação de corte é igual ao ângulo de distorção. ρφ γ = ρφ γ = ou L • Então, L • A deformação de corte é proporcional ao ângulo de torção e ao raio. ρ cφ γ max = e γ = γ max L c Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Tensões no Domínio Elástico Cap. 3 • Multicando a equação anterior pelo módulo de distorção, Gγ = ρ Gγ max c Da lei de Hooke, τ= τ = Gγ , logo, ρ τ max c A tensão de corte varia linearmente com a distância radial ao eixo do veio. J = 12 π c 4 • Relembrando que o somatório das forças internas (momentos) é igual ao torque exterior, numa dada secção, τ τ T = ∫ ρτ dA = max ∫ ρ 2 dA = max J c c ( J = 12 π c24 − c14 ) • As seguintes fórmulas são as fórmulas de torção, no domínio elástico, τ max = Tc , ou J  M r Tρ , ou  τ max = t  e τ = I J p    M ρ  τ = t  Ip   Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Tensões Normais Cap. 3 • Elementos com as faces parapelas e perpendiculares ao eixo do veio, estão sujeitas apenas a tensões de corte. Tensões normais, tensões de corte, ou uma combinação das duas, podem ser encontradas para outras orientações. • Considere um elemento a 45o em relação ao eixo, F = 2(τ A )cos 45 = τ A 2 max 0 Dep. Engª Mecânica σ 45o = max 0 F τ max A0 2 = = τ max A A0 2 • O elemento a está em corte puro. • O elemento c está sujeito de tracção em duas faces, e tensões de compressão nas outras duas faces. • Note que todas as tensões nos elementos a e c têm o mesmo módulo. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Modo de Dano devido a Torção Cap. 3 • Nos materiais ducteis o dano ocorre devido ao corte. Nos materiais frágeis o dano acorre devido a tensões normais. • Quando sujeito a torção, um material ductil, rompe pelo plano de máxima tensão de corte, i.e., num plano perpendicular ao do eixo do veio. • Quando sujeito a torção, um material frágil, rompe pelo plano da máxima tensão normal, i.e., pelo plano que forma 45o com o eixo do veio. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Problema 3.1 Cap. 3 SOLUÇÃO: • Seccione os veios AB e BC e estabeleça o equilíbrio estático para achar os momentos torsores. • Aplique as fórmulas da torção para determinar as tensões máxima e mínima no veio BC O veio BC é oco, com diâmetros interno e • externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os veios AB e CD são maciços e de diâmetro d. Para as cargas aplicadas determine (a) as máximas e mínimas tensões de corte no veio BC, (b) o diâmetro d necessário para os veios AB e CD se a tensão de corte admissível para estes veios for de 65 MPa. Dada a tensão admissível de corte e sabido o momento torsor, determine o diâmetro necessário aos veios AB e CD. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Problema 3.1 Cap. 3 SOLUÇÃO: • Seccione os veios AB e BC e estabeleça o equilíbrio estático para achar os momentos torsores. ∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC ∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB TAB = 6 kN ⋅ m = TCD TBC = 20 kN ⋅ m Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Problema 3.1 Cap. 3 • Aplique as fórmulas da torção para determinar as tensões máxima e mínima no veio BC J= ( ) [ π 4 4 π c2 − c1 = (0.060 )4 − (0.045)4 2 2 • Dada a tensão admissível de corte e sabido o momento torsor, determine o diâmetro necessário aos veios AB e CD. ] Dep. Engª Mecânica = 13.92 ×10− 6 m 4 (20 kN ⋅ m )(0.060 m ) T c τ max = τ 2 = BC 2 = J 13.92 ×10− 6 m 4 τ max = τ min 45 mm = 86.2 MPa 60 mm τ min = 64.7 MPa 65MPa = 6 kN ⋅ m π c3 2 c = 38.9 ×10−3 m = 86.2 MPa τ min c1 = τ max c2 Tc Tc = J π c4 2 τ max = 86.2 MPa τ min = 64.7 MPa d = 2c = 77.8 mm Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Ângulo de Distorção no Domínio Elástico • Lembrando que o ângulo de distorção e a tensão de corte estão relacionados, γ max = cφ L • No domínio elástico a distorção e a tensão de corte estão relacionados através da lei de Hooke, τ Tc γ max = max = G JG • Usando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo de torção, φ= Dep. Engª Mecânica Cap. 3 TL JG • Se o momento torsor ou a secção recta mudar, ao longo do comprimento do veio,o ângulo de torção é dado pelo somatório dos ângulos de torção parciais. TL φ =∑ i i i J i Gi Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Veios Estaticamente Indeterminados 0.125m 0.125m • Dadas as dimensões do veio e o momento torsor, determine as reacções em A e em B. • Da análise de corpo livre do veio, 122Nm TA + TB = 122 Nm que não é suficiente para determinar as reacções. O problema é estaticamente indeterminado. 122Nm Dep. Engª Mecânica Cap. 3 • Dividindo o veio em duas partes que devem ter deformações compatíveis, T L T L φ = φ1 + φ2 = A 1 − B 2 = 0 J1G J 2G LJ TB = 1 2 TA L2 J1 • Substituindo na equação de equilíbrio inicial, TA + L1 J 2 TA = 122 Nm L2 J1 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Problema 3.4 Cap. 3 SOLUÇÃO: 0,9 m • Proceda à análise de equilíbrio estático dos dois veios para encontrar a relação entre TCD e T0 25mm 20mm 0,6 m 60mm 20mm Dois veios maciços de aço estão ligados pelas engrenagens indicadas. Sabendo que para cada veio G = 55 GPa e que a tensão de corte admissível é de 55 MPa, determine (a) o máximo momento torsor que pode ser aplicado na extremidade do veio AB, (b) o correspondente ângulo de torção da extremidade A do veio AB. • Proceda a uma análise cinemática para relacionar os ângulos de rotação das engrenagens. • Determine o momento torsor admissível em cada veio. Seleccione o menor. • Determine o correspondente ângulo de torção para cada veio e o ângulo de torção do ponto A. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 3.4 Cap. 3 Preparado por: Filipe Samuel Silva SOLUÇÃO: • Proceda à análise de equilíbrio estático dos dois veios para encontrar a relação entre TCD e T0 Dep. Engª Mecânica 20mm • Proceda a uma análise cinemática para relacionar os ângulos de rotação das engrenagens. 20mm 60mm 60mm ∑ M B = 0 = F (0.020 m ) − T0 ∑M C = 0 = F ( 0.060 m ) − TCD TCD = 3 T0 rBφ B = rCφC φB = 0.06 m rC φC = φC 0.02 m rB φ B = 3 φC Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Problema 3.4 • Determine o momento torsor admissível em cada veio. Seleccione o menor. Cap. 3 • Determine o correspondente ângulo de torção para cada veio e o ângulo de torção do ponto A. 10mm 0,6m 12,5mm 0,9m φA/ B = TAB L = J AB G (56.2 π 2 (0.01 Nm )(0.6m ) m ) ( 77 ×109 Pa ) 4 Dep. Engª Mecânica = 0.0279 rad = 1.597 o τ max T ( 0.01 m ) T c = AB 55*105 MPa = 0 4 π J AB 2 ( 0.01 m ) T0 = 86.4 Nm τ max = 3 T0 ( 0.0225 m ) TCD c 55*105 MPa = 4 π J CD 2 ( 0.0125 m ) T0 = 56.2 Nm T0 = 56.2 Nm φC / D = TCD L = J CD G 3 π 2 (56.2 (0.0125 Nm )(0.9m ) m ) ( 77 ×109 Pa ) 4 = 0.0514 rad = 2.94o φ B = 3φC = 3 ( 2.94 ) = 8.82 o o φ A = φ B + φ A / B = 8.82o + 1.597 o φ A = 10.42o Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Projecto de Veios de Trnsmissão de Potência • As principais especificações nos veios de transmissão de potência são: - potência - velocidade • O projectista deve seleccionar o material e dimensões por forma a atender as especificações sem ultrapassar as tensões admissíveis do material. • Determinação do momento torsor a partir da potência e velocidade, P = Tω = 2πfT T= P P = ω 2πf • Determinação da secção recta por forma a não ultrapassar a tensão admissível de corte, τ max = Tc J J π 3 T = c = τ max c 2 ( veios maciços ) π J T c24 − c14 ) = = ( c2 2c2 τ max ( veios ocos ) Cap. 3 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Concentração de Tensões • A expressão da fórmula de torção, Preparado por: Filipe Samuel Silva Dep. Engª Mecânica Cap. 3 τ max = Tc J assume um veio circular com secção recta uniforme. • O uso de ligações, engrenagens, entalhes, e outras descontinuidades geram concentração de tensões. • A nova tensão é dada por, τ max = K Factores de concentração de tensões para raios de concordância em veios circulares Tc J Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Torção em Elementos de Secção Não-Circular • As fórmulas anteriormente apresentadas são válidas para veios circulares Coeficientes para barras rectangulares em torção • Veios não circulares não permanecem planos e as tensões e deformações não variam linearmente. • Para secções rectas rectangulares, τ max = Dep. Engª Mecânica Cap. 3 T c1ab 2 φ= TL c2 ab3G • Para grandes valores de a/b, e para outras secções abertas, a máxima tensão de corte e ângulo de torção é a mesma que para a secção rectangular. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Torção em Elementos Ocos de Parede Fina Cap. 3 • Somando as forças na direcção x-na secção AB, F = 0 = τ (t ∆x ) − τ (t ∆x ) ∑ x A A B B τ At A = τ B t B = τ ; tτ = q ⇐ fluxo de corte a tensão de corte varia inversamente com a espessura • Determinando o momento torsor a partir do integral dos momentos devidos à tensão de corte Dep. Engª Mecânica dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2q dA T = ∫ dM 0 = ∫ 2q dA = 2qA τ= T 2tA • O ângulo de torção é dado por, φ= TL ds ∫ 4 A 2G t Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 3.10 Preparado por: Filipe Samuel Silva 100mm 4mm 60mm 4mm 100mm Cap. 3 A um perfil tubular de alumínio, de secção rectangular (60*100mm), extrudido, é aplicado um momento torsor de 3KNm. Determine a tensão tangencial em cada uma das quatro paredes do tubo. Admitindo: (a) Espessura de parede constante de 4mm (b) as paredes AB e CD têm 3mm de espessura e as paredes CD e BD têm 5mm de espessura. Dep. Engª Mecânica SOLUÇÃO: 3mm 60mm 5mm • Determine o fluxo de corte através das paredes • Determine as correspondentes tensões de corte para cada parede (espessura) Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 3.10 Preparado por: Filipe Samuel Silva SOLUÇÃO: • Determine o fluxo de corte através das paredes 100mm 4mm Cap. 3 • Determine as correspondentes tensões de corte para cada parede • Com espessura constante, q τ= t τ = 69.8 MPa 60mm 4mm Dep. Engª Mecânica Com espessuras diferentes A = (96 mm )(56 mm ) = 5.376*10−3 m 2 q= 300 Nm T = 2 A 2 (5.376*10−3 m 2 ) τ AB = τ AC = 3000 Nm 2(0.003m)(5.376*10−3 m 2 ) τ AB = τ BC = 93.0 MPa τ BD = τ CD = 3000 Nm 2(0.005m)(5.376*10−3 m2 ) τ BC = τ CD = 55.8 MPa Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos O veio seguinte roda a uma velocidade de 450 rpm. Sabendo que o raio de concordância é de r = 4 mm, determine a máxima potência que pode ser transmitida, sem que se atinja a máxima tensão de corte admissível, que é de 45 MPa. Sabendo que Kt=1,55 (factor de concentração de tensões) f=450 rpm = 7,5 Hz (ciclos por segundo) τ= Dep. Engª Mecânica Cap. 3 MT ρ * Kt ⇔ Ip M T *50 *1,55 ⇒ 1 π *504 2 M T = 5, 7 *106 Nmm 45 = P = 2π fM T ⇔ 2* π *7,5*5, 7 *106 = 268Kw Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos O veio maciço de latão AB (G = 0,39*105 MPa) está ligado ao veio maciço de alumínio BC (G = 0,27*105 MPa). Determine o ângulo de distorção: a) em B b) em A ∅ AB = MT l ⇔ GI p 3 Dep. Engª Mecânica Cap. 3 180*10 * 250 = 14,5*10−3 rad 1 0,39*105 * *π *154 2 ∅ BC = MTl ⇔ GI p 180*103 *320 = 12,94*10−3 rad 1 0, 27 *105 * *π *184 2 a) ∅ B = ∅ BC = 12,94*10−3 rad = 0, 741º b) ∅ A = ∅ BC + ∅ AB = 27, 44*10−3 rad = 1,573º Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva 30mm O sistema apresentado na figura é utilizado para transmitir uma potência de 0,3 KW, desde o ponto A até ao ponto D. a) Usando uma tensão de corte admissível de 75 MPa, determine a velocidade necessária para o veio AB. b) Resolva a alínea a) admitindo que os diâmetros dos veios AB e CD são, respectivamente 18 mm e 16 mm. 15mm 20mm τ= M T admissivel 100mm M TB = F1 * rB − F2 * rB Dep. Engª Mecânica MTB M TB = rB ( F1 − F2 ) F1 F2 M TC = rC ( F1 − F2 ) ⇒ MTC Cap. 3 M TB rB = M TC rC ⇒ ⇒ M TB = 0,3M TC MT ρ ; P = 2π fM T Ip veioAB; τ = 75MPa; r = 7,5mm 1 75* * π *7,54 τ I M 2 τ = T ρ ⇔ MT = p = = 49, 7 *103 Nmm ρ 7,5 Ip M T admissivel veioCD; τ = 75MPa; r = 10mm 1 75* * π *104 τIp MT 2 τ= ρ ⇔ MT = = = 117,8*103 Nmm ρ 10 Ip Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva 30mm Cap. 3 O sistema apresentado na figura é utilizado para transmitir uma potência de 0,3 KW, desde o ponto A até ao ponto D. a) Usando uma tensão de corte admissível de 75 MPa, determine a velocidade necessária para o veio AB. b) Resolva a alínea a) admitindo que os diâmetros dos veios AB e CD são, respectivamente 18 mm e 16 mm. 15mm 20mm MT admissíveis: MTAB=49,7*103MPa e MTCD=117,8*103MPa 100mm Dep. Engª Mecânica a) Ver o que limita: Sabendo que MTCD=117,8*103MPa e que MTAB =0,3 MTCD =35,3*103Nmm<49,7*103MPa, logo serve P = 2π fM T ⇒ f = b) ... 300 = 1,35Hz 2π 35,3 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos Para o veio sólido de latão determine a máxima tensão de corte em: a) porção AB b) porção BC TB=30000Nmm TC=7500Nmm 45mm 750mm 30mm 600mm a) AB MT=30000-7500=22500Nmm τ= 22500 MT * 22,5 = 1, 25MPa ρ= 1 Ip * π * 22,54 2 b) BC MT=7500Nmm τ= Cap. 3 7500 MT *15 = 1, 41MPa ρ= 1 Ip * π *154 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos Cap. 3 Projecte um veio sólido para transmitir 0.375 kW a uma frequência de 29 Hz, de forma que a tensão de corte no veio não ultrapasse 35 MPa. 375 P = = 2, 058 Nm 2π f 2* π * 29 2058 M * r ⇒ r = 3,35mm(d = 6, 7mm) τ = T ρ ⇔ 35 = 1 Ip *π * r 4 2 MT = Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Por forma a reduzir o peso total do componente mostrado na figura, um novo design está a ser considerado, no qual se pretende reduzir o diâmetro do veio BC. Determine o menor diâmetro possível para o veio BC, para o qual o máximo valor da tensão de corte no conjunto não aumente. Veio AB τ= τ= MT=300Nm; d=30mm; r=15mm 300000 MT *15 = 56, 6 MPa ρ⇔ 1 Ip 4 π *15 2 Veio BC Dep. Engª Mecânica Cap. 3 MT=300+400 Nm; d=46mm; r=23mm 700000 MT * 23 = 36, 6 MPa ρ⇔ 1 Ip 4 π * 23 2 A máxima tensão verifica-se em AB. Pode reduzir-se o diâmetro de BC até que a tensão máxima seja igual à de AB Veio BC τ= MT=300+400 Nm; d= ? mm; r= ?mm (30000 + 40000) MT * r ⇒ r = 19,8mm ρ ⇔ 56, 6 = 1 Ip π *r4 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos Dois veios com 20mm de diâmetro cada, estão ligados pelas rodas dentadas mostradas. Sabendo que G=0,79x105 MPa e que o veio está fixo em F, determine o ângulo que roda o veio no ponto A, quando um momento torsor de 7500 Nmm é aplicado em A. 75 mm 100 mm 200 mm 150 mm 1 Ip = πd4 2 125 mm Cálculo do MT no veio DF M TE M TB = F= F rE rB F M TE Distorção no veio FE 7500 100 75 ⇒ M TE = 10000 Nmm ⇔ Dep. Engª Mecânica Cap. 3 ∅ FE = = 10000 * 200 MTl = = 1, 6*10−3 rad GI p 0, 79*105 * 1 * π *10 4 2 Distorção no veio BA ∅ BA = S = rEθ E = rBθ B ⇔ 100*1, 6*10−3 = 75θ B ⇒ θ B = 2,15*10−3 rad 75000 *(150 + 125) MT l = = 1, 66*10 −3 rad GI p 0, 79*105 * 1 * π *104 2 Distorção em A ∅ A = ∅ B + ∅ BA = 2,15*10−3 + 1, 66*10−3 = 3,81*10−3 rad = 0, 22º Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Um veio tubular com 1.6 m de comprido, 42 mm de diâmetro exterior, d1, deve ser feito num aço com uma tensão de corte admissível de 75 MPa e com um módulo de rigidez de 0,77*105 MPa. Sabendo que o ângulo de distorção não deve exceder 4º quando o veio está sujeito a um torque de 900 Nm, determine o diâmetro interior, d2, que deve ter o veio τ= Dep. Engª Mecânica Cap. 3 900000 MT * 21 ⇒ I p = 2,52 *105 mm 4 ρ ⇔ 75 = Ip Ip ∅= 900000 *1600 MT l ⇔ 69,813*10−3 = ⇒ I p = 2, 67 *105 mm 4 5 0, 77 *10 * I p GI p O maior Ip prevalece, logo, 1 1 I p = π ( re 4 − ri 4 ) ⇔ 2, 67 *105 = π ( 214 − ri 4 ) ⇒ ri = 12, 45mm 2 2 ∅ = 4º = 69,813*10−3 rad Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Resolvidos Cap. 3 Dois veios maciços de aço, cada um com 30 mm de diâmetro, estão ligados pelos mecanismos representados. Sabendo que o modulo de rigidez é de 0,77*105 MPa, determine o ângulo de distorção em A quando um torque de 200 Nm é aplicado em A. Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Propostos Num dado momento, a cambota de um motor pode ser representada como na figura seguinte. Nesta figura, T1 = T3 = 10 kNm, T2 = T4 = 5 kNm, e x = 10 cm. O veio é maciço e deve ser dimensionado de forma que a máxima tensão de corte não exceda 150 MPa. Qual o diâmetro mínimo para o veio? Cap. 3 O veio oco (Di = 4 cm, De = 6 cm) de comprimento L=1m, feito de aço (G = 77 GPA), está carregado com T1 = T3 = 3 kNm e T2 = T4 = 10 kNm. Qual a rotação angular do plano C em relação ao plano A deste eixo? O veio oco (Di = 1.6 cm, De = 2 cm), de comprimento L=0.5m, feito de aço (G = 77 GPA) está fixo num veio maciço, em B (De = 2 cm), de comprimento L=0.25m, feito de latão (G = 39 GPA). O conjunto está rigidamente montado e fixo em A e em C. Qual a rotação angular do plano B quando lhe é aplicado um torque de 150 Nm no plano B? Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Exercícios Propostos A caixa de velocidades é usada para variar velocidades. Dois veios suportam as rodas dentadas B e E com apoios em A, C, D e F. O diâmetro da roda E é 8 cm e o da roda B é 14 cm. Um torque de 120 Nm é aplicado (T1). Qual a tensão de corte no veio DEF, que é maciço e tem um diâmetro de 4 cm? Cap. 3 O veio circular maciço tem as seguintes dimensões D = 4 cm, d = 3.33 cm, e r = 1.33 mm. Um momento torsor de 300 Nm é aplicado. Qual a máxima tensão de corte instalada no veio? Um veio oco tem um diâmetro interno de 3.7 cm e um diâmetro externo de 4.0 cm. Um momento torsor de 1 kNm é aplicado. Qual a tensão de corte nos diâmetros interior e exterior?