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Cálculo diferencial em IRn (Elementos de Topologia)
DMAT 17 Abril 2001
Conteúdo 1 Introdução
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2 Noções Topológicas em IRn 2.1 Noção de Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Noções Topológicas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introdução
A noção de “proximidade” ou “vizinhança” foi uma noção fundamental na aplicação da noção de limite quer ao estudarmos sucessões reais quer ao estudarmos funções reais de variável real. Com efeito, sem uma medida da “proximidade” relativa, como mostrar que uma sucessão de objectos matemáticos (números ou vectores, por exemplo) se aproxima cada vez mais de um outro objecto matemático do mesmo tipo? A convicção da importância destas noções é reforçada ao repararmos que muita da matemática que se aplica na engenharia é delas tributária: a noção de soma de uma série (limite da sucessão das suas somas parciais), a noção de série de potência, a noção de velocidade instantânea (limite de uma certa razão incremental), a noção de integral de Riemman (limite das somas de Riemman), a noção de continuidade, etc, etc. A construção matemática dos conceitos que permitem a exploração do conceito de limite apoia-se no campo da matemática conhecido por Topologia, no qual se estudam as propriedades dos conjuntos matemáticos estruturados recorrendo à noção de vizinhança abstracta. Neste capítulo iremos estudar noções de topologia elementar no quadro mais restritivo (e intuitivo) dos espaços métricos, isto é, em conjuntos munidos do conceito matemático de distância (Euclideana) tendo em vista a aplicação dos conceitos desenvolvidos ao estudo da noção de limite, continuidade e diferenciabilidade de campos escalares e vectoriais. O conceito de vizinhança, essencial na construção de um espaço topológico, será então definido com base na noção de distância Euclideana entre elementos dos conjuntos estudados (vectores de IRn ). De notar, no entanto, que em estudos mais profundos e com maior alcance a Topologia pode ser estudada sem recorrer ao conceito de distância (ou métrica).
2 2.1
Noções Topológicas em IRn Noção de Vizinhança
É a noção de bola aberta, conceito que generaliza a noção de intervalo aberto de IR que tão bem conhecemos que permitirá, como veremos de seguida, definir o conceito de vizinhança de um ponto necessário à estruturação “topológica” de IRn . Comecemos por recordar a noção de norma Euclideana e de distância associada a esta última norma, definidas naturalmente no espaço vectorial
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Euclideano IRn , a partir do conceito de produto interno canónico. Seja x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ IRn , a aplicação · : IRn → IR x → x = x|x = x21 + ... + x2n diz-se norma Euclideana. De notar que esta aplicação (como todas as normas) goza das seguintes propriedades: • x ≥ 0, ∀x ∈IRn ; • ax = |a| x , ∀x ∈ IRn e ∀a ∈ IR; • x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ IRn ; • Se x = 0 então x = 0. Chama-se distância (ou métrica) associada à norma anterior a função d : IRn × IRn → IR . (x, y) → d (x, y) = x − y A função distância goza das seguintes propriedades naturais (que resultam das propriedades da norma): • d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈IRn • d (x, y) = 0 sse x = y; • d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈IRn ; • d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) , ∀x, y, z ∈IRn . Notemos que a função distância satisfaz as propriedades que a distância usual satisfaz e define qualitativa e quantitivamente a noção de “proximidade” entre os objectos matemáticos em estudo (neste caso vectores de IRn ). Chama-se bola aberta de centro a e raio r > 0, e representa-se por B (a, r) ou Br (a) ao conjunto dos pontos x de IRn tal que d (x, a) < r isto é Br (a) = {x ∈ IRn : d (x, a) < r} . Uma bola aberta de centro a e raio r é o conjunto de todos os vectores cuja distância ao vector a é estritamente menor do que r. Não é difícil verificar que em IR as bolas abertas representam intervalos abertos (porquê?). Em IRn o conceito de bola aberta pode ser geometricamente interpretado, como veremos nos exemplos seguintes. 3
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Exemplo 1 Em IR2 , uma bola aberta de centro num ponto (a1 , a2 ) e raio r será o conjunto dos pontos (x1 , x2 ), tais que d ((x1 , x2 ) , (a1 , a2 )) = (x1 , x2 ) − (a1 , a2 ) < r ⇔ ⇔ (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r isto é, representa o “interior” do círculo de centro (a1 , a2 ) e raio r. Exemplo 2 Em IRn , uma bola aberta de centro em a = (a1 , ..., an ) e raio r será constituída pelos vectores x, tais que
d (x, a) = (x1 , ..., xn ) − (a1 , ..., an ) < r ⇔ ⇔ (x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 < r isto é, representará os pontos do interior de uma hiper-esfera centrada em a e de raio r. Em IR3 quais são os sólidos geométricos cujo interior representa uma bola aberta? Vizinhança de um ponto a é qualquer subconjunto de IRn que contenha uma bola aberta de centro em a, isto é, V é uma vizinhança de a se Br (a) ⊆ V para algum r > 0. Note-se que qualquer bola aberta é vizinhança do seu próprio centro e facilmente se mostra que é vizinhaça de qualquer um dos seus pontos. Exemplo 3 Seja a = (1, 1). Os conjuntos 1 2 , (x1 , x2 ) ∈ IR : x1 ≥ 0 e x2 ≥ V1 = 2 2 2 2 V2 = (x1 , x2 ) ∈ IR : (x1 − 1) + (x2 − 1) ≤ 2 e
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2 1 1 x1 − (x1 , x2 ) ∈ IR2 : + x2 − ≤2 V3 = 2 2 4
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são todos vizinhanças de a, já que todos contêm uma bola aberta centrada em a (a bola aberta B 1 (a) por exemplo). No entanto os conjuntos 4 W1 = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x1 ≥ 1 e x2 ≥ 1 , √ 2 W2 = (x1 , x2 ) ∈ IR : x21 + x22 ≤ 2 já não são vizinhanças de a.
2.2
Noções Topológicas Elementares
Vamos estudar agora algumas noções topológicas elementares. Seja S um subconjunto de IRn , um ponto a diz-se ponto interior de S, se S for uma vizinhança de a, isto é, se existir uma bola aberta centrada em a e contida em S. Um ponto diz-se exterior ao conjunto S se for interior ao seu complementar. No caso de um ponto não ser interior nem exterior ao conjunto S, esse ponto designa-se por ponto fronteiro de S. O conjunto dos pontos interiores de um conjunto S, designa-se por interior de S e representa-se por intS. O conjunto dos pontos exteriores de S, designa-se por exterior de S e representa-se por extS. De forma análoga frS, representa o conjunto dos pontos fronteiros de S que se designa fronteira de S. A fronteira de um conjunto S pode ser representada por ∂S. Exemplo 4 O ponto a é ponto interior do conjunto S = Br (a). Com efeito Br (a) ⊆ S = Br (a) o que mostra que existe uma bola aberta centrada em a e contida em S = Br (a). O conjunto dos pontos interiores de S é intS = Br (a) uma vez que Br (a) é vizinhança de todos os seus pontos. O conjunto dos pontos exteriores de S é extS = {x ∈ IRn : d (x, a) > r} uma vez que estes pontos são interiores ao complementar de Br (a). O conjunto frS = {x ∈ IRn : d (x, a) = r} constitui o conjunto dos pontos fronteiros de S pois estes pontos não são pontos interiores de S, nem do seu complementar. 5
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Exemplo 5 Seja a = 12 , 12 , 12 . Este vector é ponto interior de S = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : x1 ≥ 0 ∧ x2 ≥ 0 ∧ x3 ≥ 0 , já que B 1 (a) ⊆ S, por exemplo. 4 Os pontos de S tais que (0, x2 , x3 ) , com x2 e x3 maiores do que zero, são pontos fronteiros de S, já que não são pontos interiores nem de S, nem do seu complementar Exemplo 6 Seja S = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x2 = 2x1 . Este conjunto não tem pontos interiores. Suponha-se (com vista a um absurdo) que (s, 2s) ∈ S é ponto interior de S. Então certo r = r0 , para r0 r0 r0 Br0 (s, 2s) ⊆ S. Mas s + 2 , 2s − 2 ∈ Br0 (s, 2s) e s + 2 , 2s − r20 ∈ / S, o que é absurdo. Este facto mostra que S não pode ter pontos interiores. Por outro lado, o conjunto dos pontos exteriores de S é extS = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x2 = 2x1 , já que todos estes pontos são interiores ao complementar de S. Pode facilmente mostrar-se que intS ⊆ S, extS ⊆ IRn \S e ·
·
IRn = intS ∪ extS ∪ frS. ·
Relembremos que ∪ representa a chamada união disjunta de conjuntos. Certos conjuntos só têm pontos interiores. Se todos os pontos de um conjunto, forem pontos interiores, o conjunto diz-se aberto. Assim um conjunto S é um conjunto aberto se e somente se S coincide com o seu interior. Exemplo 7 Todas as bolas abertas são conjuntos abertos pois Br (a) = intBr (a) . Exemplo 8 Seja 1 2 . V = (x1 , x2 ) ∈ IR : x1 > 0 e x2 > 2 Este conjunto é aberto, pois só tem pontos interiores. 6
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Exemplo 9 O conjunto 1 2 V = (x1 , x2 ) ∈ IR : x1 ≥ 0 e x2 ≥ 2 não é aberto, já que por exemplo (0, 1) não é ponto interior de V . Exemplo 10 Seja S = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x2 = 2x1 . Este conjunto não é aberto pois tem pelo menos um ponto que não é ponto interior o ponto (1, 2), por exemplo. A união finita ou infinita numerável1 de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. Assim, a união de bolas abertas é ainda um conjunto aberto. A intersecção finita de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. Notemos que a intersecção infinita de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto! Os conjuntos abertos são particularmente importantes em Topologia já que muitas das definições e resultados são expressos em termos deste tipo de conjuntos. Um conjunto diz-se fechado se o seu complementar for aberto. Exemplo 11 O conjunto ¯r (a) = {x ∈ IRn : d (x, a) ≤ r} B é um conjunto fechado que se designa por bola fechada centrada em a e de raio r. Com efeito o seu complementar é um conjunto aberto. Exemplo 12 Seja S = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x2 = 2x1 . Este conjunto é fechado pois o seu complementar é aberto. Exemplo 13 O conjunto 1 2 V = (x1 , x2 ) ∈ IR : x1 ≥ 0 e x2 > 2 não é fechado nem aberto já que nem V, nem o seu complementar são abertos. 1
∪n∈IN An = {x: existe i ∈ IN tal que x ∈ Ai } diz-se uma união numerável de conjuntos.
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Exemplo 14 O conjunto vazio ∅ é fechado em IR2 pois o seu complementar é aberto: o complementar de ∅ é IR2 que é aberto. Por outro lado, como ∅ é aberto, já que só tem pontos interiores (porquê?), o seu complementar IR2 é fechado. Assim, ∅ e IR2 são fechados e abertos simultâneamente. Notemos, como se pode verificar nos exemplos anteriores, que certos conjuntos podem ser abertos e fechados simultâneamente ou nem abertos nem fechados. Assim, um dado conjunto pode ser aberto, fechado, nem aberto nem fechado e simultâneamente aberto e fechado. Chama-se fecho ou aderência do conjunto S à união de S com a sua ¯ Um ponto a diz-se aderente a S se fronteira que se representa por S. pertencer à aderência de S. É possível mostrar que o fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Os conjuntos abertos podem ser caracterizados à custa do conceito de conjunto fechado. Com efeito um conjunto S é aberto sse o seu complementar é fechado. O ponto a ∈ IRn é ponto de acumulação de um conjunto S ⊆ IRn se e só se em toda a vizinhança de a existem uma infinidade de pontos de S. Chama-se derivado de S ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S. O derivado de S denota-se por S . Notemos que um conjunto finito não tem pontos de acumulação. Pode mostrar-se que ¯ A ⊆ A. Um ponto a de S diz-se isolado se existir uma bola Br (a) tal que Br (a) ∩ S = {a} . Exemplo 15 Consideremos o subconjunto de IR 1 B = x ∈ IR : x = ∧ n ∈ IN . n Não é difícil verificar que B tem por único ponto de acumulação x = 0. O seu derivado será pois B = {0} . Exemplo 16 Determinar o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado do conjunto, A = (x1 , x2 ) ∈ IR2 : 1 < x21 + x22 ≤ 4 .
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Conclui-se imediatamente que intA = (x, y) ∈ IR2 extA = (x, y) ∈ IR2 frA = (x, y) ∈ IR2 A¯ = (x, y) ∈ IR2 A = (x, y) ∈ IR2
: 1 < x2 + y2 < 4 , : x2 + y2 > 4 ∨ x2 + y2 < 1 , : x2 + y2 = 1 ∨ x2 + y2 = 4 , : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 .
Neste caso verifica-se A = A¯ (o que nem sempre acontece. Porquê?). Além disso, nem o conjunto A é aberto, nem o seu complementar o é, pelo que A é um exemplo de um conjunto que não é aberto nem fechado. Um conjunto S diz-se limitado se existir alguma bola que o contenha. Os subconjuntos de IRn que são limitados e fechados dizem-se compactos. Seja C um subconjunto de IRn . Diz-se que dois subconjuntos abertos A e B de IRn separam C se C ⊆ A ∪ B, A ∩ B = ∅, C ∩ A = ∅ e C ∩ B = ∅. O subconjunto C de IRn diz-se conexo se não puder ser separado por nenhum par A e B de subconjuntos abertos de IRn . Exemplo 17 Mostremos que C = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y = 0 não é conexo. Sejam os abertos A = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < 2 ∧ y > 0 , B = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 < 2 ∧ y < 0 . Com efeito, C ⊆ A ∪ B, A ∩ B = ∅, C ∩ A = ∅ e C ∩ B = ∅ o que mostra que C é separado pelos abertos A e B. Então C não é conexo.
Referências [1] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em IR e IRn , McGraw-Hill, 1995; [2] Lipschutz, S., Topologia Geral, Schaum, 1971; [3] Machado, Armando, Topologia, Universidade Aberta, 1995; [4] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995; 9
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