Tópicos De Informática

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Tópicos de Informática APOSTILA SOBRE TÓPICOS DE INFORMÁTICA – 1ºSEMESTRE ENGENHARIA CIVILFACULDADES OBJETIVO Professores: Edmar e Deyse Março 2007 1 Tópicos de Informática 2 ÍNDICE PRIMEIRO MÓDULO 1. INFORMÁTICA NA ENGENHARIA 1.1 POR QUE UTILIZAR O MICROSOFT EXCEL? 2. INTRODUÇÃO DE DADOS 2.1 EXERCÍCIOS – RECURSOS DO EXCEL 3. CARACTERÍSTICAS OPERACIONAIS DO EXCEL 3.1 TIPOS DE OPERADORES 03 04 04 05 05 05 4. FUNÇÕES NO EXCEL 06 5. FORMATAÇÃO 07 5.1 FORMATAÇÃO DE CÉLULAS 07 5.2 SELEÇÃO DE CÉLULAS, LINHAS, COLUNAS E PLANILHA 07 5.3 ELIMINANDO LINHAS DE GRADE 08 6. EXERCÍCIOS SOBRE EXCEL 6.1 EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES MATEMÁTICAS E ESTATÍSTICAS 09 10 SEGUNDO MÓDULO 7. MATRIZES NO EXCEL 13 7.1 OPERAÇÕES COM MATRIZES 13 7.2 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 15 7.3 EXERCÍCIOS - OPERAÇÕES COM MATRIZES 18 TERCEIRO MÓDULO 8. UTILIZANDO MATRIZES, PRODUTO DE MATRIZES E MATRIZ INVERSA PARA RESOLVER SISTEMAS LINEARES 20 Tópicos de Informática 8.1 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 3 21 9. DOMÍNIOS E VALIDADE DE FUNÇÕES 22 9.1 DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIOS, IMAGENS E RAÍZES DE FUNÇÕES COM O EXCEL 22 QUARTO MÓDULO 10. GRÁFICOS NO EXCEL 10.1 EXEMPLOS NO EXCEL 10.2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS EXERCICIOS COMPLEMENTARES 24 28 29 33 Tópicos de Informática 4 PRIMEIRO MÓDULO: 1. INFORMÁTICA NA ENGENHARIA A informática genérica atingiu eficientemente todas as atividades da sociedade, oferecendo o computador como um eletrodoméstico corriqueiro envolto em um parafernália tecnológica ofuscante, que precisa ser devidamente desmistificada; a máquina também precisa ser incorporada pelo engenheiro a seu cotidiano como o meio de comunicação eficaz e multi-dimensional em que se tornou. O aluno deve perceber que o desenvolvimento de suas ferramentas de trabalho é coisa tangível, dependendo do nível de interesse com que se debruça neste campo do conhecimento (informática + métodos numéricos para engenharia). Mais ainda, que o papel do computador é de apoio ao trabalho do engenheiro, que deve dominar o campo matemático das soluções, das técnicas e bases científicas da computação para, com este domínio, construir a percepção da correta ponderação entre os elementos que concorrem em cada situação (problema, método de solução, qualidade da ferramenta, efetividade e eficácia no seu uso). A automatização de procedimentos, o controle administrativo sobre pessoas e materiais diversos e, ainda, a possibilidade da execução de cálculos rotineiros de forma mais precisa, foram os grandes motivadores do aprendizado no uso de computadores. O aspecto da computação e da programação como meios de gerar modelos simbólicos de representação de problemas reais é mais uma vez destacado, ressaltando-se a importância da lógica e do planejamento de qualquer sistema, por mais simples que ele possa parecer. Ao longo do curso, mais em contato com os desafios tecnológicos de sua habilitação, o estudante toma contato com um ferramental computacional especializado, hoje também muito sofisticado na interface gráfica e na organização da base de dados que o sustenta. Nesta fase, o aprendizado gira em torno dos métodos matemáticonuméricos que compõem o arsenal analítico de apoio à engenharia moderna, que permitem ao profissional tratar problemas por meio da modelação matemática e da simulação de soluções com o auxílio do computador. Dentre os vários modelos matemáticos podemos citar: 9 Métodos numéricos e computacionais - podem ser aplicados nas diferentes áreas da Engenharia, tais como: Desenvolvimento e aplicação de Métodos Finitos (MEF), Métodos de Elementos de Contorno (MEC), que podem ser utilizados na resolução de problemas de acústica, elastodinâmica, interação fluído-estrutura, interação solo estrutura, mecânica de fratura e otimização; 9 Métodos Estatísticos - são processos usados para obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza (método descritivo e método de probabilidade); 9 Resolução de sistemas de equações lineares; 9 Decomposição de Gauss; 9 Resolução de funções matemáticas e trigonométricas; 9 Integração de equações diferenciais a uma variável com condições iniciais; 9 Métodos de resolução de Polinômios de Newton; 9 Solução de equações diferenciais de primeira ordem (Método de Taylor, Método de Euler, Método de Runge-Kutta); 9 Métodos que utilizam polinômios interpoladores; 9 Métodos para equações de segunda ordem (Integração numérica, Integração com pontos igualmente espaçados); 9 Integração numérica usando Integração de Gauss-Legendre; 9 Outros. O potencial da informática para uso profissional do Engenheiro é um problema aberto, sem solução única e em constante evolução. E isto exige senso criativo, desenvolvida capacidade para formular e equacionar matematicamente problemas da engenharia e, ainda competência na programação desses métodos em modelos computacionais de solução. Tópicos de Informática 5 MICROSOFT EXCEL 1.1 POR QUE UTILIZAR O MICROSOFT EXCEL? • • • • O Microsoft Excel é acessível a uma variedade de sistemas operacionais de computadores pessoais. Excel é uma aplicação que permite a realização de um conjunto muito variado de tarefas, desde as mais simples aos mais complicados cálculos, nomeadamente no domínio da engenharia. A manipulação de dados, para além da realização de cálculos, permite a criação de relatórios, geração de gráficos, bem como a sua integração noutras aplicações, como por exemplo processadores de texto. Na área de gráficos, o usuário tem uma gama muito grande de tipos e subtipos de gráficos que podem ser criados, analisados e alterados de acordo com as necessidades do momento. 2. INTRODUÇÃO DE DADOS O ambiente básico do Microsoft Excel é um arquivo denominado de Pasta de Trabalho que pode conter uma ou mais planilhas (guias da parte inferior da pasta de trabalho). Ao iniciar o Excel, é disponibilizado um arquivo em branco com o nome de Pasta1 para você trabalhar. Esta pasta consiste em diversas planilhas nas quais você pode introduzir e editar dados. Quando se abre um documento(pasta) do Excel encontramos em geral 3 planilhas disponíveis, o usuário pode adicionar novas planilhas até o limite de 255 planilhas ou remover as planilhas indesejadas. Cada planilha no Excel consiste de colunas(256) e linhas(65.536), as colunas são identificadas por letras e as linhas por números. A interseção de uma coluna com uma linha é chamada célula, que é identificada pela letra da Coluna seguida do número da Linha. Ex. A1, A2, C1, D10, F5 ... Cada célula tem a função de armazenar dados, que podem ser um texto, um número ou uma fórmula, e que façam menção ao conteúdo de outras células. O Excel sempre classificará o que está sendo digitado em quatro categorias: um texto ou título; um número; uma fórmula ou um comando. Essa seleção quase sempre é feita pelo primeiro caractere que for digitado. Como padrão, o Excel alinha um texto à esquerda da célula e os números(valores numéricos) à direita. A principal característica de uma planilha é a possibilidade de utilizar e relacionar o conteúdo das células para a obtenção de algum resultado. O relacionamento entre células é obtido por intermédio da criação de fórmulas. Com elas, pode-se realizar operações matemáticas, trigonométricas, estatísticas, financeiras dentre outras, e manipular o conteúdo das demais células das planilhas. Tópicos de Informática 6 2.1 EXERCÍCIOS – RECURSOS DO EXCEL 1. Acesse o aplicativo Excel e identifique todos os recursos contidos nos principais Menus (Arquivo, Editar, Formatar, Ferramentas) deste programa. Exemplo: Menu Arquivo (comandos: Abrir, Salvar, Configurar página, Área de impressão....); Obs.: Lembre-se as barras de ferramentas ( Padrão, Formatação, Barra de Fórmulas, Barra de Status, e outras) nos aplicativos Word, Power Point e Excel recebem as mesmas denominações mas são compostas com recursos adequados a de cada aplicativo. 2. Transcreva para folha os nomes dos itens (ícones de comandos) existentes nas barras de Ferramenta Padrão e de Formatação. Verifique a aplicação de cada um dos recursos presentes nestas duas Barras de ferramentas. (caso não estejam visíveis, ative o Menu Exibir – Barras de ferramentas e marque a opção desejada). Exemplos de alguns destes ícones(botões de comandos): 3. Ativar em sua pasta de trabalho a ferramenta Análise de Dados ( menu Ferramentas – Suplementos – Ferramentas de análise), observe e anote todos os recursos de análise de dados que estarão disponibilizados. 3. CARACTERÍSTICAS OPERACIONAIS DO EXCEL Uma fórmula é composta basicamente de referências a outras células, operadores matemáticos e funções do Excel. O elemento básico que o Excel usa para entender que o usuário está digitando uma fórmula é o sinal de igualdade (=). Se não for digitado o sinal de igualdade antes do início da fórmula, o Excel interpretará o conteúdo da célula como um texto ou data. 3.1 TIPOS DE OPERADORES Um grande número de fórmulas escritas no Excel contêm algum operador matemático. Os operadores disponíveis no Excel são os seguintes: Tabela 1 – Operadores Artiméticos Operador Realiza Exemplo Comentário + Adição =B2+C2 - Subtração =E1-F1 Divisão Multiplicação Percentagem Exponenciação =F1/G2 =B2*C3 =D5*45% =L3^3 Soma os dados das células B2 e C2 Subtrai o valor da Célula F1 de E1 Divide F1 por G2 Multiplica B2 por C3 Multiplica D5 por 0,45 Eleva L3 à terceira potência / * % ^ Tabela 2 – Outros Operadores Operador Realiza Concatenação & = < <= > >= <> Igual =A3=B4 ?? Menor Menor ou Igual Maior Maior ou Igual Diferente de Comentário Operador de texto – concatena duas ou mais cadeias de caracteres. Operadores de Comparação Qualquer operação que envolva operadores de comparação tem como resultado um dado do tipo lógico. Tópicos de Informática 7 Tabela 3 – Operadores (continuação) Range(intervalo) : Operador de referência – quando utilizado entre duas referências devolve o conjunto de células entre essas referências. Espaço (intersecção) Operador de referência – devolve as ( ) células em comum em dois ou mais grupos de células. União Operador de referência – devolve uma ; união entre dois ou mais grupos de células Nos exemplos apresentados na Tabela 1 perceba que as fórmulas são compostas por referências as células que contem os dados que estarão envolvidas nos cálculos. O Excel usa dois tipos de referências de células: Relativas e Absolutas. Estes dois tipos de referência comportam-se de maneira muito diferente quando o comando Copiar ou recurso de Auto-preenchimento é utilizado. Referências relativas: O Excel muda (ajusta) as referências de uma fórmula em relação à sua posição na planilha de cálculos. Exemplo: Digitando-se em B6, =SOMA(B2:B4), pressionando-se ENTER, posteriormente copiando-se e colando-se a função em C6, quais valores aparecem em B6 e C6? B6 =SOMA(B2:B4) C6 =SOMA(C2:C4) Referências absolutas: É uma maneira do Excel impedir que haja mudança nas referências das células envolvidas na fórmula quando você as copiar para outro local da planilha. O símbolo $ (antes da coluna ou linha que identifica a célula) instrui o Excel a “travar” a referência. Digitando em B6, =SOMA($B$2:$B$4), pressionando ENTER, posteriormente copiando e colando a função em C6, quais valores aparecem em B6 e C6? B6 =SOMA($B$2:$B$4) C6 =SOMA($B$2:$B$4) 4. FUNÇÕES NO EXCEL O Excel contém uma série de funções predefinidas que economizam muito o trabalho do usuário. O Excel possui várias funções, divididas nas seguintes categorias: Data e Hora, Estatística, Matemática e Trigonometria, Lógica, Procura e Referência, Engenharia, Banco de Dados e Texto. As funções podem ser entradas diretamente, através da simples digitação, ou com a ajuda do próprio Excel, quando se utiliza o Assistente de Função ( que pode ser acionado pelo menu/comando Inserir/Função ou clicando no botão ƒx (Colar Função)). Funções Matemáticas e Estatísticas Função SOMA MEDIA CONT.SE MAXIMO MINIMO HOJE SE - Alguns exemplos Descrição Exemplo Calcula a soma de um ou mais intervalo de =SOMA(A5:B10) células Calcula o valor médio do intervalo de =MEDIA(D3:D18) células. (Faz a média aritmética). Calcula o número de células preenchidas =CONT.SE(F8:F20;“ >=1500”) em um intervalo selecionado a partir de um critério informado. Retorna o maior valor do intervalo de =MAXIMO(C4:E6) células especificado. Retorna o menor valor do intervalo de =MINIMO(C4:E6) células especificado. Retorna a data atual do sistema =HOJE() Verifica se uma condição foi satisfeita =SE(teste_lógico;valor_se_verdadei retorna um valor se for VERDADEIRO e ro;valor_se falso) retorna um outro valor se for FALSO Tópicos de Informática 8 5. FORMATAÇÃO 5.1 FORMATAÇÃO DE CÉLULAS Formatar célula pode ter três significados: dar novo formato ao seu conteúdo, configurar a célula em si (em termos de cores, altura, largura, bordas, sombreamento, etc) ou ambos. Para definir aspectos de formatação em uma célula ou grupo de células o usuário deve selecioná-las e usar o menu formatar- Células ou clicar nos ícones respectivos aos formatos desejados existentes na Barra de Ferramentas – Formatação. 5.2 SELEÇÃO DE CÉLULAS, LINHAS, COLUNAS E PLANILHA a) Seleção Seqüencial 1ºPasso: clicar na primeira célula da seleção; 2ºPasso: com a tecla SHIFT pressionada clicar na última célula da seleção. Obs.: outra forma de seleção seqüencial, seria clicar e arrastar. b) Seleção Aleatória 1ºPasso: clicar na primeira célula da seleção; 2ºPasso: com a tecla CTRL pressionada clicar nas demais células da seleção. c) Seleção de Linhas : Basta clicar no número (cabeçalho da linha) correspondente a Linha. d) Seleção de Colunas: Basta clicar na letra (cabeçalho da coluna) correspondente a Coluna. e) Seleção da Planilha: Basta clicar na intersecção entre os cabeçalhos das linhas e colunas. Para aplicar Bordas em uma ou mais células deve-se acionar o menu Formatar células para efetuar a escolhas de diferentes estilos de bordas. Veja a figura, abaixo. Fig. 2 – Adicionando bordas para contornar células selecionadas.. 9 Se quiser, pode aplicar bordas internas, ou seja, linhas que contornarão as células da área selecionada, criando uma espécie de grade (veja figura acima), para isso pasta clicar sobre o botão Interna. 9 O tipo de linha que irá contornar as células pode ser definido através do painel Linhas, bastando um clique sobre o estilo desejado; 9 A cor da borda pode também ser escolhida, é só abrir o drop-down Cor e clicar sobre a cor desejada; 9 Após efetuar todas as definições, deve-se concluir clicando sobre o botão OK. Tópicos de Informática Para transformar em uma só as células selecionadas e definir um retorno automático de texto e melhor organizar o conteúdo de das células, você deve acionar no menu Formatar a opção Células. Abra a guia Alinhamento e marcar as definições mostradas na Figura 3 abaixo. 5.3 ELIMINANDO LINHAS DE GRADE Para isso, aja da seguinte forma: 1. Abra o menu Ferramentas e clique sobre o comando Opções; 2. Na guia Exibir, apenas desmarque a opção Linhas de grade; 3. Clique sobre o botão OK, para concluir a ação. 9 Tópicos de Informática 6. EXERCÍCIOS SOBRE EXCEL 1. Identifique os elementos indicados 2) Descreva a função de cada botão abaixo. 3) Quais são os operadores aritméticos e os operadores de referencia? 4) O Excel sempre classificará o que está sendo digitado em categorias. Quais são essas categorias? 5) Descreva o procedimento para renomear uma planilha. 6) Descreva o procedimento para salvar um documento do Excel. 7) Dada a tabela abaixo substitua as interrogações pelas formulas adequadas. 10 Tópicos de Informática 11 6.1 EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES MATEMÁTICAS E ESTATÍSTICAS 1. Digite a Tabela A - Controle de Notas; - Inicie sua digitação na célula B2 2. Os campos Média, Situação, Prova Final, Maior, Menor, Aprovado(as), Reprovado(as) e célula I12 devem ser preenchidos com fórmulas e ou funções adequadas segundo o que se segue: • O campo MÉDIA deve ser preenchido com a função =MÉDIA( ) para calcular a média das notas obtidas por disciplina; • O campo SITUAÇÃO deverá ser preenchido com uma fórmula que analise os critérios abaixo: a) Se a média obtida for maior ou igual a sete (7) deve ser preenchido com o termo “APROVADO”. b) Se a média obtida for menor que sete (7) deve ser preenchido com o termo “REPROVADO”; • Use a função lógica SE. • O campo PROVA FINAL deve conter a nota que o aluno deverá obter na Prova Final caso o campo Situação contenha a informação REPROVADO. Caso o campo Situação contenha o termo APROVADO nada será calculado(preencher com - o - ) a) A nota da Prova Final deve ser no mínimo o equivalente a 10 - a média de cada disciplina. • Use a função lógica SE. • • • • • • • • • O campo NOTA MAIOR deve ser preenchido com uma fórmula capaz de calcular a maior nota obtida nos quatro bimestres por disciplina. Existe uma função estatística capaz de executar este cálculo. O campo NOTA MENOR deve ser preenchido com uma fórmula capaz de calcular a menor nota obtida nos quatro bimestres por disciplina. Existe uma função estatística capaz de executar este cálculo. O campo APROVADO(AS) deve ser preenchido com uma fórmula que calcule quantas disciplinas o aluno(a) já se encontra aprovado(a). Você pode aplicar a função CONT.SE O campo REPROVADO(AS) deve ser preenchido com uma fórmula que calcule quantas disciplinas o aluno(a) se encontra reprovado temporariamente. Você pode aplicar a função CONT.SE A célula I12 deve conter uma fórmula que apresente como resultado os termos “APROVADO” ou “REPROVADO” ou “PROVA FINAL” de acordo com os critérios abaixo: a) Se o valor em H13 for igual a zero (0) deve responder “APROVADO”; b) Se o valor em H13 for maior que três (3) deve responder “REPROVADO”; c) Se o valor em H13 for menor ou igual a três (3) deve responder “PROVA FINAL”. • Use a função lógica SE. Tópicos de Informática B C D E F G 12 H I J K CONTROLE DE NOTAS Tabela A ALUNO(A) Maria Cristina Silva DISCIPLINA NP1 o 1 BIM. Tópicos de INFORMÁTICA 7,00 MATEMÁTICA 7,00 PROJETOS TÉCNICOS 5,00 PRODUÇÃO DE TEXTOS 2,00 SOCIOLOGIA 8,00 FÍSICA 7,00 UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP NOTAS BIMESTRAIS NP2 o o 2 BIM. 3 BIM. 4 BIM. 7,00 7,00 6,00 9,00 3,00 5,00 3,00 8,00 7,00 9,00 8,00 9,00 MÉDIA SITUAÇÃO PROVA FINAL MAIOR MENOR 7,50 9,00 9,00 8,00 8,00 8,00 APROVADO (AS) ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? REPROVADO (AS) ?? Tabela B TURMA - 2004 ALUNOS Juliana Martins de Souza Kaio Ricardo Falcão Kátia Costa Soares Kenedy Carlos Viana Leandro Alves Ribeiro Leonardo Diniz de Souza Luciana Figueiredo Letícia Marciano Peixoto Marcelo Cunha Rosa Marcelo José Morais NOTAS 1ºBIM 2ºBIM 3,5 5,0 6,5 5,4 7,0 4,5 9,0 9,4 4,5 1,5 3ºBIM 6,9 6,6 7,7 5,0 7,5 6,5 9,5 6,5 5,2 3,9 4ºBIM 7,5 6,4 9,0 8,4 8,0 6,0 10,0 8,0 7,0 5,5 NOTA FINAL o MÉDIA 6,0 7,0 7,0 6,5 7,0 7,0 7,0 7,5 6,5 7,0 CLASSIFICAÇÃO ?? Tópicos de Informática 13 1. Abra uma pasta de trabalho do Excel e reproduza a tabela de dados apresentada, abaixo, cuja finalidade é permitir calcular o preço da composição básica de um equipamento de informática. Tabela de Preços de Equipamentos Eletrônicos 1 dolar Nome do produto placa mãe ASUS placa mãe SOYO placa mãe PC CHIPS processador Intel processador AMD HD SEAGATE HD MAXTOR Teclado Microsoft Teclado LOGITECH Teclado LEADRECHIP Monitor TOSHIBA (LCD) Monitor AOC Monitor SANSUNG Monitor LG Memória KING STON Memória OEN Gabinete 2 baias Gabinete 3 baias Placa mãe Processador HD Teclado Monitor Memória Gabinete 2,91 Preço em dolar ($) 120,00 110,00 60,00 110,00 70,00 100,00 80,00 40,00 30,00 15,00 700,00 100,00 130,00 200,00 110,00 60,00 30,00 40,00 Preço em real (R$) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? Preço à vista (6% desconto) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? Valor do desconto ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? Maior preço Menor preço ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? Preço do computador ??? montado mais caro Preço do computador montado mais barato ??? Lembre-se: para salvar um arquivo vá no menu Arquivo comando Salvar Como (se o arquivo ainda não existe), certifique-se do local onde o arquivo será armazenado digite o nome desejado e clique em Salvar. Se o arquivo já existe basta clicar no botão em forma de disquete da Barra de Ferramentas Padrão ou ir no menu Arquivo e clicar em Salvar. 2. Dê um clique no botão Colar Função existente na Barra de Ferramentas Padrão, selecione o grupo de Funções Matemáticas e Trigonométricas, identifique-as criando exemplos de suas aplicações. Dica: Você pode selecionar a função e ativar o ajuda da caixa de diálogo que se abre. Tópicos de Informática 14 SEGUNDO MÓDULO 7. MATRIZES NO EXCEL Embora tenha suas origens mais antigas, para o estudo e resolução de certos sistemas de equações, tem uma teoria que só foi desenvolvida bem mais recentemente, para atender às aplicações, como na linguagem par o computador. As aplicações da álgebra de matrizes incluem solução de equações algébricas lineares simultâneas de diversas variáveis e rotação de sistemas de coordenadas. No Excel, as funções para operações algébricas de matrizes disponíveis são limitadas, mas podem ser muito úteis em várias situações. 7.1 OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES – SOMA A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem, resulta numa matriz C, cujos elementos são somados dos elementos correspondentes de A e de B. A adição de matrizes tem as mesmas propriedades que a adição de números reais. Exemplo: A 1 –1 4 0 2 5 + + B 0 -2 1 = 4 5 0 C 1+0 -1+4 = 4+(-2) 0+ 5 2+1 5+5 1 = 2 3 3 5 5 Usando o Excel : A 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D E A F G B 1 4 2 -1 0 5 0 -2 1 4 5 0 C 1 2 3 3 5 5 No intervalo das células correspondentes a matriz resultante C você deverá criar a fórmula: {=A2:B4+D2:E4} Procedimento: Selecione a célula ou as células que conterão a fórmula, crie a fórmula, e depois pressione CTRL+SHIFT+ENTER para inseri-la. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Seja A uma matriz e K um número, então B será uma matriz resultante de K.A. A matriz resultante é obtida multiplicando cada elemento de A pelo número K. Exemplo: No Excel deve-se selecionar a célula ou as células que conterão a fórmula, crie a fórmula e, em seguida, pressione CTRL+SHIFT+ENTER par inseri-la. C 2A 3 4 D F G 3XA 1 2 1 3 3 6 3 9 Neste caso a fórmula em F3 será: {=C3:D4*3} Tópicos de Informática 15 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Na Matemática: Dadas as matrizes A=[ aij ]mxp e B= [bjk]pxn a matriz produto A x B é a matriz C=[cik]mxn , onde cada elemento cik é obtido multiplicando-se a linha i da matriz A pela coluna k da matriz B. Exemplos: a) 1 3 2 0 0 1 b) 2 0 x 2 1 1 3 1 2 x 1 2 1.2 + 3.1 2.2 + 0.1 0.2 + 1.1 = -1 2 0 5 5 4 1 = 2.3+0.1+1.2 2.2+0.0+1.5 = 8 9 3 -3 = 1.3+2.1+(-1).2 1.2+2.0+(-1).5 No EXCEL : Existe uma função que permite efetuar a multiplicação de matrizes quadradas, esta função é conhecida como MATRIZ.MULT. MATRIZ.MULT – Retorna o produto matricial de duas matrizes. O resultado é uma matriz com o mesmo número de linhas que a matriz1 e com o mesmo número de colunas que a matriz2. Sintaxe: =MATRIZ.MULT(matriz1;matriz2) O número de colunas da matriz1 deve ser igual ao número de linhas da matriz2, e as duas matrizes devem conter números. Se alguma célula estiver vazia ou contiver texto, ou se o número de colunas da matriz1 for diferente do número de linhas da matriz2, a função MATRIZ.MULT retornará o valor de erro #VALOR!. Exemplo no EXCEL: K L A 18 19 20 21 22 23 24 25 2 1 M N 0 P Na célula O21 teremos a fórmula : 0 2 1 -1 B 3 1 2 {=MATRIZ.MULT(K19:M20;L 23:M25)} AxB 8 3 9 -3 2 0 5 DIFERENÇA DE MATRIZES Dadas a matrizes C e D, a diferença C-D é a soma da matriz com a oposta de D. Exemplo: 5 3 1 4 2 1 - 2 -1 3 3 2 0 = 5 3 1 4 2 1 + -2 1 -3 -3 -2 0 = 3 4 -2 1 0 1 Tópicos de Informática 16 Exemplo no Excel: C D 11 12 13 14 E F G C H D 5 3 1 4 2 1 2 -1 3 I J C-D 3 2 0 3 4 -2 1 0 1 Na célula I12 deverá conter a seguinte fórmula: {=C13:D14-F13:G14}. 7.2 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA A partir do século XIX os determinantes passaram a ser estudados mais sistematicamente, este conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a saber se uma matriz é inversível, se um sistema admite ou não solução. Determinante de ordem 2: a11 a12 a21 a22 Se A = , isto é, A é uma matriz quadrada de ordem 2, o seu determinante é o número: detA = a11.a22 – a12.a21 Exemplo: 3 2 5 4 detA = 3.4 – 2.5 = 2 Determinante de ordem 3: Para definir determinante de ordem 3, recorremos aos determinantes de ordem 2. Se B é uma matriz quadrada de ordem 3: B= b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 o seu determinante detB pode ser obtido pela REGRA DE SARRUS : detB = b11(b22.b33 – b23.b32) – b21(b12.b33 – b13.b32) + b31(b12.b23 – b13.b22) MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se existe uma matriz B, tal que: A.B = In. Neste caso , dizemos que B é a inversa de A : B = A –1 Exemplo: 3 -2 Se A = 5 2 e B= -7 5 , B é a matriz inversa de A pois são matrizes quadradas e A. B = I2 7 3 Tópicos de Informática 17 Verifique esta afirmativa. Determinante e Matriz Inversa no Excel : como: São determinadas através de funções específicas, tais MATRIZ.DETERM – Retorna o determinante de uma matriz. Sintaxe: MATRIZ.DETERM(matriz) Onde, matriz é uma matriz numérica com um número igual de linhas e colunas. MATRIZ.DETERM é calculada com precisão de aproximadamente 16 dígitos. MATRIZ.INVERSO – Retorna a matriz inversa de matriz armazenada no intervalo de células correspondente. Sintaxe: MATRIZ.INVERSO(matriz) O argumento da função (matriz) é uma matriz numérica com um número igual de linhas e colunas. Exemplos: Resolva a(s) Lista(s) de Exercícios proposta(s). Tópicos de Informática 18 7.3 EXERCÍCIOS - OPERAÇÕES COM MATRIZES LISTA Nº 1 1. Dadas as matrizes, abaixo, obtenha a matriz resultante A + B. Use o método matemático (manual) e depois faça o mesmo cálculo usando o Excel. 2 8 0 A= 1 -1 4 3 0 B= 3 0 -1 0 2. Com as matrizes A e B, abaixo, obtenha a matriz resultante correspondente a : 3.A + 2.B. Apresente uma solução matemática e outra solução usando os recursos do Excel. 1 1 A = 1 0 0 1 B= 1 1 3. Usando o Excel, calcule a matriz C – D , dadas : 4 8 C= 3 6 0 -2 D = -1 2 4. Para as mesmas matrizes dadas na questão anterior, obtenha: a) D – C b) 2.C - 3.D * Use o Excel 5. Obtenha o produto A x B, dadas as matrizes: 2 1 0 A = B= 1 3 1 4 0 1 1 -1 2 Resolva: 1 - Usando um método matemático; e 2 - Usando os recursos do Excel 6. Observe as matrizes dadas, use os recursos do Excel para calcular o que se pede: 1 2 3 1 C= 1 0 2 0 D= a) C x D b) 1 0 0 -1 E= C x E c) E x F 1 2 3 3 2 1 F= d) D x F e) F x C Tópicos de Informática 19 LISTA Nº 2 1. Dadas as matrizes, abaixo, use funções específicas do Excel para calcular 2.G.H. 1 2 G= 2 -1 4 3 H = 0 3 2. Usando o Excel, calcule L x M 2 1 -1 2 L= 3. -2 5 a) O x P 1 5 2 7 3 b) P x O 1 1 Se A = 3 -1 -2 1 , mostre que B = 2 3 é inversa de A. Usando funções do Excel obtenha as matrizes inversas de : a) A = 1 0 0 -1 1 -1 -1 2 -1 b) B = 1 0 0 0 -1 1 -1 -2 1 Observando os resultados obtidos a que conclusão você chegou? Calcule as matrizes inversas, usando recursos adequados do Excel: 3 a) -3 P= -7 6. 3 Dadas as matrizes O e P , obtenha o que se pede através de cálculos matemáticos e usando os recursos do Excel. 3 5. 1 M= O= 4. e M x L a partir das matrizes dadas a seguir. 4 D= 2 1 5 3 b) E = 1 2 5 F= 1 0 0 -2 0 -3 1 -1 G= 1 -1 0 3 -2 4 7. Usando um método matemático e depois funções do Excel, calcule os determinantes de todas as matrizes apresentadas nos exercícios das listas Nº 1 e Nº 2. TODOS OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS DEVERÃO SER ENTREGUES EM FORMA DE RELATÓRIO IMPRESSO E PERSONALIZADO NO DIA DA 1ª NP1. Tópicos de Informática 20 TERCEIRO MÓDULO: 8.UTILIZANDO MATRIZES, PRODUTO DE MATRIZES E MATRIZ INVERSA PARA RESOLVER SISTEMAS LINEARES Resolver o sistema utilizando o Excel baseado na forma matricial do sistema AX=B => X=A-1B , onde A é a matriz dos coeficientes das variáveis do sistema e B é a Matriz coluna dos termos independentes, e A-1 a matriz inversa de A) . Supondo que o sistema resultante da interpretação do problema seja o seguinte: Procedimentos para obter x, y e z usando o Excel: 1º Passo: Marcar uma região para uma Matriz 3x4 e digitar os coeficientes do sistema bem como os termos independentes; 2ºPasso: Marcar uma região 3x3 para obter a Matriz Inversa de A (use a função =MATRIZ.INVERSO( )); 3ºpasso: Selecione uma região 3x1 para que sejam calculados os valores de x, y , z e sem sair da região faça a multiplicação entre a matriz Inversa (A¹) de A e pela matriz B. Os valores de x, y e z deverão aparecer neste local. EXEMPLO em PLANILHA: Tópicos de Informática 21 8.1 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 1. Resolva os sistemas lineares abaixo usando produto de matrizes e matrizes inversa em planilhas do Excel: a) Sistema de 4 variáveis 2x +2y – z + w = 8 3x –2y +2z – w = 12 x + y + z + 3w = 6 3x +6y –3z + 8w = 14 b) Sistema de 3 variáveis 2x + 2y – 3z = 10 5x – y + 2z = 8 6x +2y + z = 9 c) Sistema de 5 variáveis 2x1 + 3x2 – x3 + x4 + x5 = 20 5x1 + 6x2 – 5x3 + 4x4 + 3x5 = 13 7x1 + 10x2 – 3x3 + 11x4 + 13x5 = 35 x1 + 2x2 + x3 – 15x4 – x5 = 67 3x1 + 7x2 + 5x3 – 16x4 + 2x5 = 79 2. A partir de cada item resolvido anteriormente encontre novos sistemas lineares com as mesmas dimensões e resolva-os usando o mesmo método matemático exercitado no momento. Existem vários outros métodos que podem ser aplicados para solucionar sistemas de equações classificados como Métodos Diretos e Iterativos. Dentre estes grupos de métodos de soluções os mais conhecidos são: Método de Gauss, Método de Jordam, Método de Resíduo e Refinamento, Método de Jacobi e Método GaussSeidell. Caso tenha interesse em conhecê-los faça uma pesquisa sobre os mesmos! Tópicos de Informática 22 9. DOMÍNIOS E VALIDADE DE FUNÇÕES Definição: Uma função real com uma variável independente x é um conjunto de pares ordenados (x, y) de números reais no qual dois pares distintos não podem ter o primeiro elemento x em comum. Outra forma de definição de função: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números reais. Diz-se que y é uma função de x e se escreve y = f(x), se entre as duas variáveis existe uma relação unívoca no sentido x->y. Domínio, imagem , contra - domínio e raízes Domínio: Df de uma função é o conjunto de todos os valores que x realmente devem/podem assumir, ou seja, é o conjunto de todos valores de x para os quais a função está definida. Imagem: é o conjunto composto somente pelos valores que y realmente assume, quando x assume os valores do domínio. No caso da função: A imagem é formada pelo conjunto dos números reais maiores ou iguais a zero, visto que, por definição, os resultados reais de uma raiz quadrada são positivos ou zero, e que a função é crescente. Contra domínio: é um conjunto que contém o conjunto imagem. Resumindo: O conjunto de todos os valores de x da função é chamado DOMÍNIO da função, o conjunto de todos os valores de y é chamado IMAGEM da função e um conjunto que contém a imagem é chamado contra-domínio da função. Os valores de x que anulam os valores de y são , denominados raízes da função. 9.1 DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIOS, IMAGENS E RAÍZES DE FUNÇÕES COM O EXCEL Funções de 1º Grau: 1. Fixado o preço de certo combustível a R$2,49 por litro, cada vez que compramos deste combustível, o que pagamos, y, é função linear da quantidade de litros comprados, x: y = 2,49x Construa no Excel uma tabela que mostre a variação do valor pago pelo combustível por quantidade de litros comprados. Especifique o domínio e a imagem deste problema. 2. Seguindo o mesmo princípio de resolução anterior determine o domínio e imagem da funções abaixo: a) y = 3x – 2 b) y = 2x + 1 c) y = 2x – 1 Tópicos de Informática Resolução de Funções de Múltiplos Graus no Excel 2ºGrau : f(x) = ax² + bx + c ( a = 0 , x ∈ R ) 3º Grau: f(x) = ax³ + bx + c ( a ≠ 0, x ∈ R ) Resolva as funções a seguir para determinar o seu Domínio e Imagem : a) f(x) = 3x² - 5x + 2 b) f(x) = x³ + 1 c) f(x) = x³ - 8x + 6 Crie as tabelas com os valores de x iguais aos da tabela correspondente ao item a) do exercício 2. 23 Tópicos de Informática 24 QUARTO MÓDULO 10. GRÁFICOS NO EXCEL O Excel permite a criação de gráficos na mesma planilha de seus dados, ou então em uma planilha separada de gráfico na mesma pasta de trabalho. Quando você cria um gráfico, na mesma planilha de seus dados você, pode visualizar ao mesmo tempo tanto os dados como também o gráfico. Você pode criar gráficos no Excel usando o Assistente de Gráfico existente na barra de Ferramentas Padrão ou pelo menu Inserir/ Gráfico. • • • • Para criar um gráfico você deve : Selecionar previamente a seqüência de dados da planilha, que será representada pelo gráfico; Clicar no botão Assistente de Gráfico e na primeira etapa do processo de criação de gráficos você deve definir o tipo de gráfico pretendido, em seguida dê um clique em Avançar; Nas etapas seguintes você definirá uma série de aspectos que farão parte da apresentação do seu gráfico(seqüência de dados, legenda, rótulos, títulos, eixos, tabelas de dados e outros). Na Quarta e última etapa de criação do gráfico é que você definirá em que local o seu gráfico será exibido (se na mesma planilha de dados ou se em uma planilha exclusiva de gráfico), nesta etapa o usuário, finalmente, deve clicar em Concluir. Etapas do Excel para construção de gráficos . Tópicos de Informática 25 O gráfico xy ( ou de dispersão) é a representação gráfica mais freqüentemente utilizada em engenharia e na área científica, porque utiliza pares de dados. Essa é a forma segundo o qual os dados são registrados no mundo real. Construção de gráficos de funções Lineares e de funções do 1º e 2º Graus em planilha de cálculos do Excel a) Vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x + 2, ou seja, y = 3x + 2. b) Vamos construir o gráfico das funções y = x² - 2x – 3 e y = -x² + 2x + 3 . Construa uma tabela de dados em planilhas do Excel tomando alguns pontos que formarão o domínio da função. Logo, em seguida, selecione os dados referentes a x e y. Ative o assistente de gráfico e escolha o tipo de gráfico Dispersão, siga todas as etapas seguintes preenchendo as informações necessárias para edição do gráfico. O campo referente aos valores de y devem ser calculados com a seguinte fórmula : =($C$1*B4)+F$1 Tópicos de Informática 26 Para construir os gráficos acima você deve calcular os valores de y com fórmulas adequadas, selecionar os dados de x e y e através do Tipo de gráfico Dispersão –Compara pares de valores siga todas etapas de construção oferecidas pelo assistente de gráfico do Excel para editá-lo Como objeto em (na mesma planilha que apresenta a tabela dos dados). E para visualizar o resultado gráfico em forma de parábola selecione os pontos da seqüência de dados com o botão direito do mouse a opção adicionar linha de tendência e escolha do tipo polinomial. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Construa os gráficos de todas funções apresentadas, nos exercícios anteriores. 2. Com valores de x da sua escolha componha tabelas de dados capazes de obter os valores de y (f(x)) e em seguida construa os seus gráficos. a) f(x) = 3x² - 2x + 7 b) y = -3x + 2 c) y = -16x² + 8x - 1 3. Desafio: Deslocando-se sobre uma mesma reta, dois móveis têm suas posições s em cada instante dadas pelas “equações horárias” : s1 = 5 – 2t e s2 = t/2 , para t >= 0. Tópicos de Informática 27 a) Usando o mesmo par de eixos coordenados, faça os gráficos destas duas funções s1 e s2 . b) Em que instante se dá o encontro dos dois móveis? Construção de gráficos de funções Trigonométricas no Excel O Excel através do recurso Colar Função (Assistente de Função) reúne as funções trigonométricas circulares mais úteis em aplicações das áreas de Engenharia e científicas. Aqui analisaremos as funções seno, cosseno, tangente e radianos. Função seno : =SEN(núm) retorna o seno de um determinado ângulo; onde núm é o ângulo em radianos para o qual se deseja obter o seno. Função cosseno: =COS(núm) retorna o cosseno do ângulo dado. ; onde núm é o ângulo em radianos para o qual se deseja obter o cosseno. Função Tangente: =TAN(núm) retorna a tangente de um determinado ângulo; onde núm é o ângulo em radianos para o qual se deseja obter a tangente. Função Radianos: =RADIANOS(ângulo) converte graus em radianos. Gráfico da função Seno Para cada número x real existe em correspondência um e um só ponto M do ciclo trigonométrico. Cada ponto M do ciclo tem a sua ordenada, um número, único para cada ponto, definido como sen (x). Temos, portanto, uma função em R: y = sen x Para analisar o comportamento da função seno, deve-se criar o seu gráfico no plano cartesiano xOy. A construção de gráfico de funções trigonométricas no Excel é viável com a utilização da categoria de gráficos do Tipo Dispersão. É preciso, antes, criar uma tabela de dados com valores de x em radianos e calcular os valores de y usando as funções disponibilizadas pelo aplicativo. Gráfico da função Cosseno Para cada número real x, existe um e um só valor cos (x). Temos, portanto, uma função em R: y = cos (x). Para analisar o comportamento da função cosseno, deve-se criar o seu gráfico no plano cartesiano xOy. A construção de gráfico de funções trigonométricas no Excel é viável com a utilização da categoria de gráficos do Tipo Dispersão. Os valores de x devem ser trabalhados em radianos para se efetuar os cálculos que determinam os valores de y. Tópicos de Informática 28 10.1 EXEMPLOS NO EXCEL Gráfico - Interação sen(x) e cos(x) 1,5 1 0,5 0 0 -0,5 y = sen(x) 2 4 6 8 y = cos(x) -1 -1,5 Gráfico da função Tangente Para cada número real x, tal que cos(x) ≠0, isto é, x ≠ π/2 + kπ, com k ∈ z, existe um e um só valor de tg(x). Assim, temos uma função: y = tg(x) Tópicos de Informática 29 Vamos construir o gráfico desta função usando alguns pares (x,y) apresentados na tabela abaixo, marcando os pontos no plano cartesiano. Em planilhas do Excel os valores de x deverão ser representados adequadamente. x -π/3 -π/4 tg x -√3 -√3/3 Veja exemplo abaixo: -π/6 -1 0 0 π/6 √3/3 π/4 1 π/3 √3 10.2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a, a > 0 e a ≠ 1, chamamos de função exponencial de base a à função f definida por f(x) = a x (ou y = a x ), para x real. Veja exemplos abaixo: Lembrando-se o tipo de gráfico ideal a ser usado no Excel é o de Dispersão. Tópicos de Informática 30 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Dada uma base a (a>0 e a ≠ 1), para cada número positivo x temos um único valor de loga x; temos portanto a função: y = loga x definida para x > 0. Construa em planilhas do Excel os gráficos das funções representadas na página seguinte: Para calcular os valores de y deve-se usar a função LOG(num;base) presente no Colar função do Excel. Tópicos de Informática 31 Estes gráficos são do tipo Dispersão – Compara pares de valores. Após a sua edição deve-se adicionar linha de tendência logarítmica para obter o resultado final representado nesta imagem. EXERCICIOS COMPLEMENTARES 1. Construa em planilhas do Excel os gráficos das funções apresentadas abaixo e analise a diferença de comportamento existente entre elas: a) y = x³ b) y = 3.x c) y = 3 x 2. Construa em planilhas do Excel os gráficos das funções apresentadas abaixo: a) y = e x b) y = e 2x c) y = 2. e x 3. Construa no Excel os gráficos das funções trigonométricas abaixo: a) y = cos x + 2. sen x b) y = 5.sen x - sen (5x) Construção de gráficos de funções polinomiais de vários graus. Função Polinomial Dados os números reais a n, a n-1, . . ., a2 , a1, a0 (n ∈ N) denominamos função polinomial à função: Tópicos de Informática P(x) = a nxn + a n-1.x n-1 + .... + a2 x² + a1x + a0 definida para todo x real. Exemplo: P(x) = 3x4 - 2x³ + x² + x – 6 Busca de valores Máximos e Mínimos locais a) As noções de máximo local e mínimo local referem-se a uma vizinhança do ponto considerado que satisfaça a função analisada. b) Chamamos de máximo absoluto da f(x) ou somente máximo de f(x), o maior valor que f(x) atinge em seu domínio, e mínimo absoluto de f(x), ou somente, mínimo de f(x), o valor atingido por f(x). Ao construir os gráficos das funções polinomiais podemos observar visualmente os valores máximos e/ou mínimos locais que a função pode apresentar. 32 Tópicos de Informática EXERCICIOS COMPLEMENTARES 1. Construa os gráficos das funções polinomiais abaixo e identifique os valores máximos e mínimos locais. a) f(x) = 2x4 – 3x3 + 2x² + x – 4 b) f(x) = 2x5 – 4x3 + 2x – 3 c) f(x) = -x3 + 6x² - 9x + 5 2 ) De acordo com dados do Ministério da Agricultura e Instituto Nacional de Meteorologia, represente os dados da tabela 2 conforme as letras a, b e c: a) Com os valores médios de precipitação pluviométrica de Goiânia em 1994, elabore um gráfico de linhas relacionando mês e altura total de precipitação. b) Calcule o valor médio anual de precipitação pluviométrica. Em seguida utilizando a função “se” compare os valores de cada mês, na coluna subseqüente a da altura total, com valor médio anual e caso seja superior ao valor anual escreva: “ Período Chuvoso” do contrário “Período Seco”. 33 Tópicos de Informática 34 c) A partir da letra b crie um gráfico de barras comparativo entre o valor médio anual de precipitação obtido e os valores mensais. Tabela 2 Precipitação pluviométrica no município de Goiânia - 1994 Mês Altura total (mm) Janeiro 337,70 Fevereiro 186,50 Março 304,30 Abril 67,70 Maio 30,90 Junho 28,70 Julho 8,60 Agosto 0,00 Setembro 5,10 Outubro 112,00 Novembro 296,20 Dezembro 249,70 3 ) De acordo com dados da Saneago (Tabela 3) represente através de um gráfico de barras 3D cada categoria de ligação e em seguida calcule o valor médio de cada categoria entre 1990 e 1995, então crie outro gráfico de linhas com os valores médios: Tabela 3 Ligações de Esgoto por Categoria em Goiás Dados 1990 - 1995 Anos Residencial Comercial Pública 1990 13672 10929 1401 1991 151682 11867 1425 1992 164188 12444 1503 1993 172570 13522 1554 1994 181035 15259 1693 1995 189632 15781 1722 4) Represente graficamente através da dispersão xy, as equações do 2° grau, considerando os domínios das tabelas 1, 2 e 3, respectivamente. Tabela 1 y = x2 – 2x -3 x 0 -1 1 2 3 y Tabela 2 y = x2 – 4x + 4 x 0 1 2 3 4 y Tabela 3 y = -x2 +2x -2 x 0 1 -1 2 3 y Tópicos de Informática 35 Funções trigonométricas e exponenciais 5) Construa no excel os gráficos das funções trigonométricas abaixo apresentadas: a) y = sen (x) b) y = cos (x) c) y = tg (x) d) y = cos (x) + 2 sen (x) e) y = 5 sen (x) - sen (5x) f) y = 6 sen (2x) – tg (x) 6) Construa no excel os gráficos das funções apresentadas abaixo: a) y = ex b) y = e2x c) y = 2 ex d) y = 5 ex+2 e) y = e(2x –1)/4 7) Construa em planilhas no excel os gráficos das funções apresentadas abaixo e análise a diferença do comportamento existente entre as mesmas: a) y = x3 b) y = 3x c) y = 3x