Teorema De De Morgan E Portas De Passagem

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO DANIEL RONEI DE SÁ – 1575031 LEONARDO BAGGIO – 1572083 MATHEUS BATISTA – 1575058 TEOREMA DE DE MORGAN E PORTAS DE PASSAGEM Relatório técnico apresentado como requisitoparcial para obtenção de aprovação na disciplina T3LD1 – Laboratório de Eletrônica Digital 1, no Curso de Engenharia Eletrônica, no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo. Prof. Me. Alexandre de Jesus Aragão SÃO PAULO 2° SEMESTRE 2016 1. OBJETIVO Analisar o comportamento de portas lógicas com mais de 2 entradas, verificar o teorema de De Morgan, verificar aplicações das portas lógicas em circuitos de passagem com máscaras. 2. INTRODUÇÃO TEÓRICA Para compreensão deste experimento é necessário o conhecimento de alguns teoremas da álgebra booleana, em especial os teoremas de De Morgan, estes teoremas são essenciais para a eletrônica digital, pois visam a simplificação de funções booleanas, que por sua vez representam circuitos lógicos na eletrônica digital, então conhecendo estes teoremas é possível otimizar os circuitos lógicos. O primeiro teorema mostra que o resultado de uma operação AND que tem como entradas uma variável ou expressão qualquer “X” e 0 será sempre 0, isto é evidente pois uma operação AND de duas entradas só resultará em 1 quando ambas as entradas forem 1, a figura 1 apresenta o teorema (1) em um circuito lógico. Figura 1 – Operação AND entre X e 0. O segundo teorema mostra uma situação semelhante, uma operação AND entre duas entradas sendo uma entrada igual a 1 e a outra entrada uma variável ou expressão qualquer “X”, neste caso o resultado sempre será o valor da variável “X”. O teorema (2) é representado no circuito lógico da figura 2. Figura 2 – Operação AND entre X e 1. O teorema (3) informa que a operação AND entre duas variáveis ou funções iguais resultará no valor da função em questão, pode ser provado verificando o resultado para cada valor possível de entrada. Se 𝑋 = 0, então 0 ∙ 0 = 0; se 𝑋 = 1, então 1 ∙ 1 = 1 ∴ 𝑋 ∙ 𝑋 = 𝑋, conforme o circuito lógico da figura 3. Figura 3 – Operação AND entre X e X. O teorema (4) diz que o resultado de uma operação AND entre uma variável 𝑋 e o inverso desta variável𝑋̅ será sempre 0, este teorema pode ser provado analogamente ao teorema (3), porém também é possível deduzir que a todo momento 𝑋 ou 𝑋̅ será igual a 0 e uma operação AND só resultará em 1 quando ambas as entradas forem 1. A figura 4 apresenta um circuito lógico com esta situação. Figura 4 – Operação AND entre 𝑋 e𝑋̅. O teorema (5) mostra que a operação OR entre 0 e uma variável “X” qualquer sempre resultará no valor da própria variável “X”, isto é evidente pois 0 adicionado a qualquer valor não altera este valor, seja na adição ordinária ou na operação OR. A figura 5 ilustra o teorema (5). Figura 5 – Operação OR entre X e 0. O teorema (6) afirma que o resultado de uma operação OR que possui como entradas uma variável “X” qualquer e 1 será sempre igual a 1, o que é facilmente verificado pois uma operação OR com 2 entradas resultará em 1 sempre que uma das entradas for igual a 1, independentemente do valor da outra entrada. A figura 6 apresenta um circuito lógico que representa o teorema (6). Figura 6 – Operação OR entre X e 1. O teorema (7) mostra que uma operação OR entre uma variável “X” e uma mesma variável “X” resultará no valor desta variável, isto pode ser provado atribuindo valores a X, pois 0 + 0 = 0 e1 + 1 = 1 portanto 𝑋 + 𝑋 = 𝑋, conforme a figura 7. Figura 7 – Operação OR entre X e X. O teorema (8) afirma que uma operação OR entre uma variável “X” e o inverso desta variável será sempre 1, este teorema pode ser provado analogamente ao teorema (7), mas também é possível deduzir que em todo momento 𝑋 ou𝑋̅ será igual a 1 e em uma operação OR de 2 entradas o resultado será 1 sempre que uma das entradas for igual a 1. A figura 8 mostra um circuito lógico com esta situação. ̅. Figura 8 – Operação OR entre 𝑋 e𝑋 É importante enfatizar que a variável “X” citada nos teoremas (1) a (8) pode ser a representação de uma função booleana com mais de uma variável. Por exemplo, dada a ̅̅̅̅̅ ), é possível aplicar o teorema (4) se definido 𝑋 = 𝐴𝐵̅ portanto expressão 𝐴𝐵̅(𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ ) = 𝑋𝑋̅ = 0. Este raciocínio é aplicável a todos os outros teoremas. 𝐴𝐵̅(𝐴𝐵 Entre os teoremas da álgebra booleana, dois dos mais importantes teoremas são atribuídos a um grande matemático chamado DeMorgan. Os teoremas de DeMorgan são extremamente úteis para simplificar expressões nas quais as operações AND ou OR são invertidas, ou seja, expressões com operações NAND e NOR. Os dois teoremas são: (9) (̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥 + 𝑦) = 𝑥̅ ∙ 𝑦̅ (10) (̅̅̅̅̅̅ 𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑥̅ + 𝑦̅ O teorema (9) diz que a operação NOR é equivalente à operação AND com entradas invertidas e o teorema (10) diz que a operação NAND é equivalente à operação OR com entradas invertidas, como mostram as figuras 9(a) e 9(b) referente ao teorema (9) e figuras 10(a) e 10(b) referente ao teorema (10). Figura 9(a) – Equivalência entre porta NOR e NAND com entradas invertidas. Figura 9(b) – Representação alternativa da função NOR. Figura 10(a) – Equivalência entre porta NAND e NOR com entradas invertidas. Figura 10(b) – Representação alternativa da função NAND. 3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 3.1Material Utilizado  01 Circuito Integrado 7400 (Porta NAND – MED50).  01 Circuito Integrado 7402 (Porta NOR – MED50).  01 Circuito Integrado 7408 (Porta AND – MED50).  01 Circuito Integrado 7432 (Porta OR – MED50).  01 Circuito Integrado 7486 (Porta XOR – MED52).  01 Circuito Integrado 74266 (Porta XNOR – MED52).  01 Circuito Integrado 7404 (Porta NOT – MED52).  01 Fonte de alimentação DC (LEG2000).  01 Gerador de Sinais (LEG2000)  Led’s e resistores para monitoramento dos níveis lógicos (LEG2000).  01 Osciloscópio.  02 Cabos para osciloscópio. 3.2 Procedimentos Experimentais Primeiramente, foram pegos os equipamentos citados no item anterior, ainda com os itens na bancada, antes de realizar qualquer montagem, então, foram verificados Data Sheet dos Circuitos Integrados que seriam usados no experimento, para que se pudesse montar de forma correta o experimento, uma vez que, cada CI comportase de maneira diferente. Com a análise da Data Sheet dos CI’s feita, foi iniciado a montagem do circuito, primeiro foi alimentado o Banco de Ensaios em Eletrônica Digital numa tomada 110V, em seguida, encaixado a placa MED50, alimentando-a ao bastidor com 12V, que continha as portas lógicas AND e OR que seriam utilizadas nos circuitos da figura 11, portas AND de 3 entradas, e no da figura 12, portas OR de 4 entradas. U1 A U2 R1 B AND2 AND2 C 150Ω LED1 Figura 11 – Porta AND de 3 Entradas. U1 U2 A U3 R1 B OR2 C OR2 150Ω OR2 LED1 D Figura 12 – Porta OR de 4 Entradas. A placa MED52 foi alimentada numa saída de 12V do Banco de Ensaios em Eletrônica Digital, com essa etapa concluída, foi montado um circuito por vez, para isso foi utilizado chaves com ajuste de níveis 1 (ligado) ou 0 (desligado) para alimentar as entradas das portas lógicas (A, B, C e D), enquanto que a saída dos circuitos (S) foi ligada a um Led que representava se a saída era 1 (Led acesso) ou 0 (Led apagado). As tabelas verdade para cada circuito podem ser vistas na Tabela 1 e Tabela 2. Tabela 1 – Tabela Verdade da Figura 11. A B C A.B.C 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Tabela 2 – Tabela Verdade da Figura 12. A B C D A+B+C+D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Em seguida foram montados os circuitos da figura 13a e 13b, que se tratam de inversores a partir de portas lógicas. U1 U2 R1 NAND2 150Ω LED1 NOR2 a R2 150Ω LED2 b Figura 13 – a) Porta NOT a partir da Porta NAND. Figura 13 - b) Porta NOT a partir da Porta NOR. As tabelas verdade das figuras 13a (Sa ) e 13b (Sb ) podem ser vistas na Tabela 3. Tabela 3 – Tabela Verdade das Figuras 13a e 13b A 𝐒𝐚 𝐒𝐛 0 1 1 1 0 0 A próxima etapa do experimento foi a montagem dos circuitosda figura 14, que se tratam da inversão lógica aplicando o teorema de De Morgan. Para cada circuito foi preenchido sua tabela verdade, conforme Tabela 4, e foi encontrado suas funções originais e equivalente, como pode ser visto na Tabela 5. U1 U4 A A U3 NOT U2 R1 NOR2 B NOT 150Ω NOT LED1 U5 B NOT a U7 U6 NAND2 R2 LED2 150Ω b U10 A A U9 NOT U8 R3 150Ω OR2 B NOT NOT LED3 U11 B NOT c U12 AND2 R4 LED4 150Ω d Figura 14 – Aplicações do Teorema de De Morgan para Inversões Lógicas Tabela 4 – Tabela Verdade da Figura 14. A B 𝐒𝐚 𝐒𝐛 𝐒𝐜 𝐒𝐝 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 Tabela 5 – Funções Equivalentes dos Circuitos da Figura 14. Saída Função Original Função Equivalente 𝐒𝐚 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅+B ̅ A A. B 𝐒𝐛 ̅̅̅̅̅ ̅. B ̅ A A+B 𝐒𝐜 ̅+B ̅ A ̅̅̅̅̅ A. B 𝐒𝐝 ̅. B ̅ A ̅̅̅̅̅̅̅ A+B Para a próxima etapa foi utilizado o circuito da figura 15, ajustando o gerador de sinais para uma frequência de 1kHz e Vin = 5Vp (somente sinal positivo) e o k foi alimentado por uma chave com ajuste de nível 1 (ligado) ou 0 (desligado). A saída da porta AND foi ligada ao osciloscópio para que pudesse ser analisado o comportamento da onda quando variava a posição de k (0 ou 1). Um canal do osciloscópio também foi ligado no gerador de frequência, de forma que pudesse analisar a entrada e saída do circuito ao mesmo tempo no osciloscópio. VCC 5.0V k vai para o osciloscópio U1 V1 1kHz 5V AND2 Figura 15 – Circuito usando Porta AND e Sinal de Máscara (k). O mesmo circuito foi utilizado para as portas lógicas OR, XOR, NAND, NOR e Key = Space XNOR, o comportamento dos circuitos pode ser visto na Tabela 6 e Tabela 7. Tabela 6 – Comportamento dos Circuitos de Passagem AND, OR e XOR em relação ao sinal de Máscara (k) Porta AND Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica igual a 0. A saída fica igual a entrada. Vide figura 19. Vide figura 19. Porta OR Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica igual a entrada. A saída fica igual a 1. Vide figura 20. Vide figura 20. Porta XOR Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica igual a entrada. A saída fica o inverso da entrada. Vide figura 21. Vide figura 21. Tabela 7 – Comportamento dos Circuitos de Passagem NAND, NOR e XNOR em relação ao sinal de Máscara (k) Porta NAND Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica igual a 1. A saída fica o inverso da entrada. Vide figura 22. Vide figura 22. Porta NOR Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica o inverso da entrada. A saída fica igual a 0. Vide figura 23. Vide figura 23. Porta XNOR Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 A saída fica o inverso da entrada. A saída fica igual a entrada. Vide figura 24. Vide figura 24. 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES Os blocos lógicos das figuras 11 e 12 se comportaram da maneira esperada, sendo função lógica AND de 3 entradas e OR de 4 entradas respectivamente, pois para o circuito lógico da figura 11 só obtemos saída em nível lógico 1 quando todas as entradas estavam em nível 1 e para o circuito da figura 12 obtemos saída em nível lógico 1 sempre que uma das entradas estava em nível 1. Já nos circuitos lógicos das figuras 13(a) e 13(b), verificamos que as portas NAND e NOR podem funcionar como portas inversoras quando conectado uma única entrada “X” nos 2 terminais de entrada destas portas. Os circuitos lógicos da figura 14 demonstram a equivalência entre blocos lógicos e portas lógicas quando utilizado os teoremas de De Morgan, em que para todos os circuitos as entradas são invertidas e aplicadas em portas NOR, NAND, OR e AND em cada caso. Caso as entradas invertidas sejam aplicadas à uma porta NOR, será equivalente à função AND, caso aplicadas em uma porta NAND, será equivalente à função OR, caso aplicadas a uma porta OR, obteremos a função NAND e caso aplicadas à função AND, teremos uma função NOR como equivalente. Estas relações de equivalência entre blocos lógicos e portas lógicas é importante para a minimização do circuito porque em um único circuito integrado pode conter mais do que uma porta lógica e então ao invés de acrescentar um circuito integrado em que não seriam utilizadas todas as portas lógicas, utiliza-se esta relação de equivalência com as portas lógicas de circuitos integrados já empregados assim economizando energia e aprimorando a utilização de espaço físico para os componentes. No circuito da figura 15 as portas lógicas são utilizadas como portas de passagem, em que em uma de suas entradas é conectado um sinal digital oscilando entre 0V e 5V em uma frequência de 1kHz e a outra entrada conectada à uma chave, chamada de máscara "k", que pode ser ligada (nível 1 - 5V) ou desligada (nível 0 - 0V) para determinar a saída, o comportamento de cada porta de acordo com a máscara é descrito nas tabelas 6 e 7, sendo que para os casos em que a saída é igual a 0 significa que o sinal não está chegando à saída por conta do estado da máscara, quando a saída fica igual a entrada a máscara está posicionada de modo à permitir o sinal de entrada chegar à saída quando utilizado aquela porta lógica, caso a saída fique igual a 1 significa que a saída está fornecendo 5V continuamente e quando a saída é descrita como o inverso da entrada, significa que quando o sinal de entrada está em nível lógico 1 (5V) o sinal de saída está em nível 0 (0V) na mesma oscilação da entrada 1kHz. 5. QUESTÕES 1) Preencha os resultados dos teoremas Booleanos abaixo: a) x . 0 = 0 e) x + 0 = x b) x . 1 = x f) x + 1 = 1 c) x . x = x g) x + x = x ̅= 0 d) x .𝒙 ̅ =1 h) x + 𝒙 2) Demonstre usando álgebra Booleana que x + x .y = x. x+x.y = x ( 1 + y) – distributiva = x (1) – identidade de adição = x – identidade da multiplicação 3) Desenhe os circuitos lógicos equivalentes segundo o teorema de De Morgan. Figura 16 – Circuito lógico equivalente da expressão ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥+𝑦 Figura 17 – Circuito lógico equivalente da expressão 𝑥𝑦 ̅̅̅ 4) Em um determinado processo de fabricação, um alarme da esteira de transporte deve ser ligado (nível 1) sempre que determinadas condições ocorrerem, de acordo com sinais descritos na tabelo 8 (do guia de experimento). A esteira deve parar sempre que a velocidade estiver alta e o recipiente cheio, ou então quando a tensão estiver alta e o comando manual estiver desabilitado. Com essas condições: a) Qual a expressão lógica do circuito? A – Velocidade da Esteira, sendo 1 alta e 0 não alta; B – Recipiente no final da Esteira, sendo 1 cheio e 0 não cheio; C – Tensão da Esteira, sendo 1 alta e 0 não alta, e D – Comando Manual, sendo 1 desabilitado e 0 habilitado. Portanto temos como expressão lógica: S= A.B+C.D, uma vez que a esteira deve ser ligada sempre que a velocidade estiver alta e o recipiente cheio, ou então quando a tensão estiver alta e o comando manual estiver desabilitado. A tabela verdade do problema pode ser vista na Tabela 8, e a tabela verdade escalonado, conforme Tabela 9. b) Monte a tabela verdade baseada na sua respectiva expressão. Tabela 8 – Tabela verdade do processo de fabricação. A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 c) Desenhe o circuito lógico utilizando apenas um circuito integrado digital TTL. Usando o circuito integrado TTL 7400, conforme figura 18, temos que: Figura 18 – Circuito lógico utilizando um circuito integrado TTL. d) Mostre a expressão e tabela verdade escalonada (teórica) do circuito proposto. Expressão: S= A.B+C.D Tabela 9 – Tabela verdade escalonada do processo de fabricação A B C D A.B C.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6. CONCLUSÃO Nesse experimento, foram montados circuitos básicos usando portas AND, OR,NOT, NAND e NOR para analisarmos o comportamento de blocos lógicos com mais de duas entradas e ampliarmos os conhecimentos sobre equivalência entre blocos lógicos, em especial a equivalência de portas NAND e NOR com a porta NOT no caso de uma única entrada. Após análise de conceitos de equivalência entre blocos lógicos que utilizam a porta inversora (NOT), verificamos a aplicação do teorema de De Morgan, salientando a função original e a função equivalente, estudamos as relações de equivalência visando a otimização do circuito lógico, para que caso falte algum circuito integrado de alguma porta lógica necessária para um projeto, possamos aplicar estes conceitos de equivalência, ou então para otimização do espaço físico do circuito completo, já que podem vir a existir casos em que nem todas as portas lógicas de um determinado circuito integrado já empregado estão sendo utilizadas, então utiliza-se esta relação de equivalência com as portas lógicas de circuitos integrados já empregados assim economizando energia e aprimorando a utilização de espaço físico para os componentes. Por último, foram analisados os comportamentos de todas as portas lógicas estudadas até agora quando aplicadas em um circuito de passagem em relação ao estado da máscara (k), que funciona como uma chave alternando entre os níveis lógicos 0 (desligado/0V) e 1 (ligado/5V). Conforme os resultados obtidos, pode-se perceber intuitivamente que este tipo de circuito pode ser utilizado para o controle de processos automatizados, como processos de produção, demarcação, etc., em que é necessário algum meio de se interromper ou modificar o sinal de saída a fim de interromper o processo ou modifica-lo rapidamente. No caso do teorema de De Morgan, temos o fato de que, através de artifícios da álgebra booleana, podemos simplificar circuitos, teoricamente mais complexos, em circuitos lógicos mais simples e que possuem a mesma finalidade. Resumidamente, o teorema pode ser exemplificado através de dois fatos, que são: O complemento, ou negação de um produto (AND) de variáveis é igual à soma (OR) dos complementos das variáveis e o complemento, ou negação de uma soma (OR) de variáveis é igual ao produto (AND) dos complementos das variáveis. 7. BIBLIOGRAFIA CAPUANO, Francisco G.; IDOETA, Ivan Valeije. Elementos de Eletrônica Digital. 40ª ed. São Paulo: Érica, 2000. TOCCI, R.J. &WIDMER,N.S.Sistemas digitais: princípios e aplicações. 11a ed, Prentice-Hall, 2011. 7. ANEXOS Figura 19 – Representação gráfica, da porta AND, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. Figura 20 – Representação gráfica, da porta OR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. Figura 21 – Representação gráfica, da porta XOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. Figura 22 – Representação gráfica, da porta NAND, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. Figura 23 – Representação gráfica, da porta NOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. Figura 24 – Representação gráfica, da porta XNOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio.