Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

Tema: “proposta De Introdução Do Tema Equações Trigonométricas Da Forma...

Trabalho de Fim do Curso-Licenciatura em Ciências da Educação .Opção: Matemática

Rating
Date

December 2018
Size

856KB
Views

2,687
Categories

Aprendizagem Construtivismo. Ensino Equações Trigonométricas

Transcript

INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO DA HUÍLA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS REPARTIÇÃO DE MATEMÁTICA TEMA: “Proposta de Introdução do Tema Equações Trigonométricas da Forma , = no Capitulo I: Trigonometria, no Programa da 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário”. Trabalho de fim de curso para obtenção do título de licenciatura em ciências da educação Opção: Matemática AUTOR: Evaristo José das Mangas Lubango, 2014 INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO DA HUÍLA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS REPARTIÇÃO DE MATEMÁTICA TEMA: “Proposta de Introdução do Tema Equações Trigonométricas da Forma , = no Capitulo I: Trigonometria, no Programa da 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário”. Trabalho de fim de curso para obtenção do título de licenciatura em ciências da educação Opção: Matemática AUTOR: Evaristo José das Mangas TUTOR: Msc. Augusto Moura Rasga Lubango, 2014 Dedicatória Dedico este trabalho a meus pais Eugénio João das Mangas e Helena Mendes. ŝ Agradecimentos Os meus agradecimentos inicialmente são dirigidos a Deus Pai Todo Poderoso, por ter me feito sua imagem e semelhança, tendo doado a mim parte do seu saber sobre sua criação, pois que sem o seu auxílio divino nada seria possível. Ao meu Pai por me incentivar a fazer o curso que sempre desejei, tendo me ensinado a respeitar os meus Mestres, não esquecendo os momentos que sobre os joelhos ensinava-me o algoritmo da divisão, a prova dos nove e a prova real. À minha Mãe, por todo o seu apoio ao longo do curso. As suas palavras de motivação e o seu apoio familiar, foram fundamentais para a realização do presente trabalho. Obrigado Mãe, por estares sempre ao meu lado. A minha gratidão é extensível aos demais membros da família, pelo alento, com que nunca me faltaram. Ao meu orientador, Professor Augusto Moura Rasga, pelo tempo que me dispensou na transmissão dos seus conhecimentos, sugestões e estímulo. O seu rigor e método tornaram possível a realização deste trabalho. A minha esposa Joaquina das Mangas, pelos conselhos e leituras do trabalho. Pela compreensão das minhas muitas ausências para confeccionar o trabalho e pelo entendimento constante por saquear seu adorável sono ao teclar de madrugada aquando das inspirações. Ao meu irmão Manuel das Mangas que sempre esteve pronto para atender as minhas inúmeras solicitações nas transferências de ficheiros pela internet, pela atenção e carinho, por acreditar e torcer para o meu sucesso. Ao meu Primo Emílio Capamba Evaristo “ Emérito”, pela ajuda constante, ao não poupar esforço no sentido de me ver triunfar. A direcção do ISCED-HUILA por permitir que a recolha de dados fosse feita no ISCED. Aos funcionários da biblioteca, pela atenção dada aquando das minhas muitas solicitações. ŝŝ A todos meus Professores antigos e presentes (do ensino de base, Médio e Superior), sem deixar de recordar os Professores: Bernardo Filipe Matias, Augusto Moura Rasga, Boaventura Beleza, Agostinho Chipi, Júlio Traquino, Lopo de Jesus, Francisco Ndala, Carlos Pinto, Francisco Cabral, Makanatoko Wanzolani, Hélder Bahú, Jorge Mayer, António Eurico, Francisco Bento, Henriqueta Camenhe,OctávioCampos,CostaNumbi (in memorian) … Também gostaria de expressar o meu reconhecimento aos colegas e companheiros de luta ao longo dessa árdua jornada, tanto os da Escola de Formação de Professores “Comandante Liberdade” do Lubango quanto os meus colegas de licenciatura pela motivação, opiniões e amizade, são eles: Sandra Elvas, João Tchilanda, Elias Sacusseia, André Lino, Manuel Kangombe, Nelson Lázaro, Angelino Ndjengue, Celsio Dias, Armandina Raimundo, Faustino Mande, Paulo Macala, Belmira Tchimuku, João Domingos, Luís Manuel, Cesaltina Daniel, Iraceles da Silva, Francisco Jeremias, Mariano Tchamba, Fraciel Diambo, João Quintas, Abel Guengo, Emérito, Manuel Sitongua, Alberto Mauricio, Daniel Cameque, Daniel Estevão, Belchior Numbi, Fernandes Neto, Avelino Camundongo, Benvindo Lisboa, Manuel Texeira, Raimundo Pikita,Mateus Akuaki. Aos meus amigos Luiz Fernando, Maria LewtchukEspindola, Regina Moraes e Maria Souza que a partir do Brasil, não deixaram de apresentar sugestões e enviaram bibliografia actualizada ,bem como pela vossa prontidão e amizade. A todos que de uma forma directa ou indirecta tornaram este trabalho possível, a minha eterna gratidão. ŝŝŝ Resumo Os estudos desenvolvidos no âmbito das equações trigonométricas têm se revelado como gritos de alerta e desânimo dos agentes envolvidos no processo de Ensino e Aprendizagem da Matemática. Tal desânimo motivou o desenvolvimento do trabalho cujo objectivo que o norteou o foi: elaborar uma Proposta de Introdução das Equações Trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, no Capítulo 1: Trigonometria, nos Programas e Manuais da 11ª. Classe do II Ciclo do Ensino Secundário, para uma aprendizagem significativa baseada no repertório cognitivo dos alunos. Com a presente proposta de introdução do tema equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, procurou-se proporcionar uma construção menos fragmentada dos conhecimentos relativos a Trigonometria de forma específica e os conhecimentos matemáticos em geral. Tal proposta enfatiza em grande medida a construção dos conhecimentos por parte do aluno para que o mesmo seja arquitecto e construtor dos seus próprios conhecimentos, tendo como enfoque teórico pedagógico o modelo ausubeliano e o construtivismo radical de Piaget e social de Vygotsky. A resolução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, requer do aluno o desabrochar de sua criatividade, conhecimentos sobre os mais variados conteúdos de trigonometria em particular e Matemática em geral, capacidades, hábitos e habilidades, então faz-se necessário que o Professor seja um mediador capaz de motivar e incentivar a descoberta das diferentes vias possíveis de solução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ. Palavras-chave: Equações Trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, Ensino, Aprendizagem Significativa e Construtivismo. ŝǀ ANDICE 0. INTRODUÇÃO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭ 0. Introdução͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘Ϯ 0.1. Justificação da investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϯ 0.2. Antecedentes do tema͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϰ 0.3. Definição do alcance da investigação a realizar͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϱ 0.3.1. Desenho da investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϲ 0.4. Problema de investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϳ 0.4.1. Objecto da investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϴ 0.4.1.1. Campo de acção da investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϴ 0.4.2. Objectivos da investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϴ 0.5. Tarefas de investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 0.6. Caracterização actual do problema͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 0.7. Marco Metodológico͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 0.7.1. Desenho metodológico͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϵ 0.7.2. População e Amostra͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϬ 0.7.3. Tipo de investigação͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϬ 0.8. Estrutura do trabalho͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϮ CAPITULO I- MARCO TEÓRICO E ENFOQUE TEÓRICO PEDAGÓGICO͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϰ 1.0. Introdução͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϰ 1.1. Equações Trigonométricas͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϱ 1.1.1. Soluções particulares.͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϲ 1.2. Relações entre as razões trigonométricas͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϲ 1.2.1. Relação fundamental͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϳ 1.2.2. Relações derivadas͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϳ 1.2.3. Arcos complementares͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϳ 1.2.4. Arcos suplementares͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϳ 1.2.5. Fórmulas de adição e subtracção de arcos͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘ϭϳ 1.2.6. Fórmulas do arco duplo 1.2.7. Fórmulas do arco metade 1.2.8. Fórmulas de transformação logarítmica (transformação de soma em produto) 1.3. Equações Fundamentais do Tipo ࢙ࢋ࢔࢞ ൌ ࢇ 1.4. Equações Fundamentais do Tipo ࢉ࢕࢙࢞ ൌ ࢇ 1.5. Equações Fundamentais do Tipo ࢚ࢍ࢞ ൌ ࢇ 1.6. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TIPO ࡾ࢙ࢋ࢔࢞ǡ ࢉ࢕࢙࢞ ൌ ࢉ 1.6.1. Equações que se Reduzem a Quadráticas 1.6.2. Equações do tipo ࢇ ή ࢙ࢋ࢔࢞ ൅ ࢈ ή ࢉ࢕࢙࢞ ൌ ࢉ 1.6.2.1. Algoritmo de resolução a) Método do ângulo auxiliar. Exercícios resolvidos Exercícios resolvidos. Método da substituição universal Exercícios resolvidos. a) Método da aplicação de sistemas de duas equações a duas variáveis Exercícios resolvidos. 1.6.3. Equações fatoráveis Exercícios resolvidos 1.6.4. Resolução de Equações Trigonométricas homogéneas do 2º grau Exercícios resolvidos. Exercícios gerais do capítulo. 1.7. ENFOQUE TEORICO PEDAGÓGICO A APLICAR AO TEMA. 1.7.1. Aprendizagem significativa e aprendizagem mecânica 1.7.2. Aprendizagem Significativa 1.7.3. Aprendizagem Mecânica 1.7.4. O Construtivismo 1.7.5. Currículo 1.8. PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO TEMÁTICA DO CAPITULO 1:TRIGONOMETRIA Conclusões do capítulo I CAPITULO II: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA PROPOSTA. 2.1. 2.2. População e Amostra Teste de Conhecimento 2.2.1.1. Resultados dos candidatos ao Regime Diurno 2.2.1.2. Resultados dos candidatos ao Regime Pós-Laboral 2.3. Avaliação da proposta 2.3.1. Validação da Proposta de introdução das Equações trigonométricas da forma ǡ ൌ , no Programa da 11ª. Classe 2.3.2. Selecção dos Peritos 2.3.3. Caracterização dos peritos 2.4.Valorização Teórica da Efectividade da Proposta Conclusões do capítulo II CONCLUSÕES GERAIS SUGESTÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E OUTRAS FONTES. ANEXOS ÍNDICE DE TABELAS Tabela nº 1: Equações Trigonométricas Fundamentais e sua forma geral de solução. -------------------------------------------------------------------------------15 Tabela nº 2: Proposta de planificação temática do capítulo 1: Trigonometria--49 Tabela nº 3: Curso de precedência de ensino médio (candidatos do regime diurno).----------------------------------------------------------------------------------56 Tabela nº 4: Curso de precedência de ensino médio (candidatos do regime pós-laboral)----------------------------------------------------------------------------57 Tabela 5: Coeficiente de competência dos peritos------------------------------------70 Tabela nº 6: Tabela de caracterização das respostas dos peritos a cada iten do inquérito---------------------------------------------------------------------------------71 Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte--------------------------------------72 ǀŝŝŝ LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1: distribuição dos candidatos do regime diurno quanto à resposta dada-------------------------------------------------------------------------------58 Gráfico 2: distribuição dos candidatos do Pós-Laboral quanto a resposta dada à 1ª questão----------------------------------------------------------------------------64 Gráfico 3: distribuição dos candidatos do Pós-Laboral quanto a resposta dada à 2ª questão. --------------------------------------------------------------------------65 ŝǆ 0. INTRODUÇÃO 0. Introdução O presente trabalho consiste em apresentar uma proposta de introdução das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ ǡ nos Programas e Manuais da 11ª Classe de forma que possibilite a melhoria do Programa e o Ensino da Trigonometria, pois estas equações são de aplicação, para então assegurar uma melhor docência e aprendizagem. Com a intenção de criar condições para que o aprendiz seja um sujeito activo no processo de Ensino-Aprendizagem, contrastando com a condição passiva, ou como sujeito coadjuvante neste processo, a presente proposta busca promover uma interacção entre Professores e alunos na sala de aula em busca de soluções dos mais variados exercícios sobre as Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , exigindo que o Professor seja um mediador capaz de estimular o aluno para que o mesmo sinta disposição e interesse pelo conteúdo das Equações Trigonométricas a serem abordados. Os conteúdos de Equações Trigonométricas não são entendidos de maneira isolada, ou seja, apenas como conteúdo matemático, mas sim mediante uma relação de interdisciplinaridade, onde os alunos podem comprovar a necessidade dos conteúdos de Trigonometria para dar respostas aos mais variados problemas da realidade quotidiana. Os estudos desenvolvidos no âmbito das equações trigonométricas têm se revelado como gritos de alerta e desânimo dos agentes envolvidos no processo de Ensino e Aprendizagem da Matemática, apelando a necessidade da tomada de consciência para uma mudança significativa que urge introduzir nos Programas novas abordagens a respeito das Equações Trigonométricas e consequentemente a devida reformulação dos Programas e redefinição de alguns objectivos. A fim de dar um contributo com algo inovador, numa perspectiva de melhoria do Ensino e Aprendizagem das Equações Trigonométricas, desenvolveu-se o trabalho sob o tema: “Proposta de Introdução do Tema Equações Trigonométricas da Forma ǡ ൌ no Capitulo I: Trigonometria, no Programa da 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário”. Ϯ Mediante um estudo descritivo, sequencial e compreensivo, seguiu-se alguns princípios e formalidades da investigação acção, onde traçou-se como objectivo principal: elaborar um proposta de introdução das equações trigonométricas da forma ǡ ൌ , nos Programas e Manuais da 11ª.Classe. Como foi possível olhar para o Ensino e Aprendizagem das Equações Trigonométricas sob várias perspectivas, ainda traçou-se como tarefas o seguinte: fazer uma dosificação do Capitulo 1:Trigonometria, em função do número de aulas disponibilizadas para o Capitulo 1 no programa actual (reformulação do capítulo e redefinição de alguns objectivos); avaliação da proposta pelos peritos; descrever as diferentes vias possíveis de resolução de uma equação trigonométrica conforme a proposta e proporcionar um estudo dinâmico e diferenciado das equações trigonométricas. 0.1. Justificação da investigação A comunidade educativa é unânime em afirmar que, a Matemática, é uma ferramenta simbólica e que é necessária para o sujeito que nasce num universo cultural. A Matemática é parte do mundo da criança e deve-se fazer com que a criança aprenda esse conhecimento como parte do seu equipamento cultural. A Matemática precisa ser, para a criança e, ao longo de toda sua vida, um instrumento para auxiliá-la na construção do conhecimento. Como o Ensino requer do Professor respostas imediatas, soluções concretas, recorrendo ao seu saber profissional e pessoal, perante o conjunto heterogéneo de alunos que com diferentes motivações, orienta para aprender, pensa-se em fornecer mais um contributo para o melhoramento do processo de Ensino e Aprendizagem das Equações Trigonométricas. Os Programas do Ensino Médio são os únicos que prevêem o tratamento de Equações Trigonométricas, assim sendo, pergunta-se: se não aprenderem neste Ciclo de Ensino este conteúdo que se propõe que seja introduzido nos Programas e Manuais, onde irão aprendê-lo? O estudo dessas equações permitem ao aluno compreender melhor os conteúdos de Ensino nos seus estudos posteriores nos Isced´s, nos cursos de Ciências Exactas e nas Faculdades de Engenharia ou Cursos de Engenharia como por ϯ exemplo na Análise Matemática, concretamente no estudo da variação de funções trigonométricas, no cálculo de integrais definidas mediante substituição trigonométrica, na Análise Complexa (na transformação de um número complexo da forma algébrica para a forma polar) e nas Equações diferenciais nos problemas de valor inicial de contorno e fronteira. 0.2. Antecedentes do tema É sabido que não existe investigação alguma que parte de estaca zero, por mais exploratória que possa parecer, já em algum momento ou em algum lugar alguém pensou ou investigou a respeito, investigação esta que serve sempre de base, quer para aceitação das ideias de hoje como para refutá-las. Dentre os trabalhos realizados a nível do ISCED-Huila tem-se a tese de licenciatura dos estudantes Benjamin S.A. Jamba, Clarice M. Pena e Pedro Domingos, que tem como tema: Proposta de Tratamento Metodológico Para a Resolução de Equações Trigonométricas na 10 ª Classe da Escola de Formação de Professores (E.F.P) nos Municípios do Lubango e Humpata. Na proposta em causa, faz-se o tratamento conceitual e resolução de algumas Equações Trigonométricas Simples ( ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ൌ ), que servem de base para a correcta compreensão do tema de acordo o contexto. Não apresentaram o enfoque teórico didáctico-psicológico, ou seja, não descreveram a teoria psicopedagógica em que se apoiaram e tiveram como objectivos o seguinte: • Elaborar e introduzir as vias concretas e seguras para o tratamento das Equações Trigonométricas na 10ª Classe da E.F.P. • Proporcionar aos professores de Matemática mais uma base para abordagem das Equações Trigonométricas. • Fornecer ao INIDE uma fonte de sugestões metodológicas para o tema (Jamba, et al. 2007). ϰ Segundo Jamba et al (2007), da recolha e interpretação dos dados obtidos tiveram como resultado o seguinte: dos vinte professores inqueridos, dezassete deles disseram não possuir conhecimentos prévios necessários e suficientes para uma assimilação efectiva das Equações Trigonométricas, por parte dos alunos. Ainda dos vinte professores apenas cinco responderam que possuem uma bibliografia suficiente para uma preparação eficaz do tema. Todos os professores inquiridos foram unânimes em afirmar que têm encontrado dificuldades dessas equações (SIC). Schor e Tizziotti (1975), fazem a abordagem das Equações Trigonométricas do tipo simples ( ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ǡ ൌ ൌ ), apoiandose sempre no conhecimento dos arcos de extremidades associadas para encontrar a solução quer particular como a solução geral de uma equação trigonométrica fundamental. Marta (2008) aborda também Equações Trigonométricas simples de forma análoga a Schor e Tizziotti no livro Matemática 2º Grau, Volume I. Lezzi et al (2011), propõem algumas vias de resolução das Equações Trigonométricas da forma ǡ ൌ , como por exemplo o método da introdução da variável auxiliar e a transformação de somas em produtos. Fernandes (1975) e Santos (1975), nos seus livros, exercícios de Álgebra, Trigonometria e Geometria Analítica e, Sebenta de Matemáticas Modernas, respectivamente, fornecem muitos subsídios a respeito das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , o que constitui base para o trabalho que se propõe. 0.3. Definição do alcance da investigação a realizar A definição do alcance da investigação é muito importante, pois que, dela depende a estratégia de investigação. Assim, o desenho, os procedimentos e outros componentes do processo de investigação serão distintos nos estudos com alcance exploratório, descritivo, correlacional e explicativo. Na prática qualquer investigação pode incluir mais de um destes quatro tipos de alcance (Sampieri, 2010:78). Em função dos factores: estado de conhecimento do tema de investigação que revela a revisão da literatura e o enfoque que se pretende dar ao estudo, a presente investigação iniciou-se como uma investigação de alcance basicamente descritiva, no seu decurso foi correlacional e terminou como explicativa, uma vez que uma investigação que se realiza em um campo de conhecimento específico pode incluir alcances diferentes nas suas distintas etapas. Tendo em conta que se propõe a introdução nos Programas e Manuais da 11ª Classe, no Capitulo I: Trigonometria, o tema Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ ǡ a investigação a princípio foi descritiva na etapa em que se descreveu os diferentes tipos de equações da forma supracitada e as diferentes vias de resolução, foi correlacional ainda na mesma etapa em que colocou-se em evidência a relação que existe entre as identidades trigonométricas e as equações trigonométricas e entre cada tipo de equações com a sua forma própria de solução quer na forma particular como geral, a investigação foi de alcance explicativo em todas as etapas, visto que não se pode descrever ou relacionar fenómenos ou conceitos sem os explicar. O alcance de estudo descritivo foi o principal para este trabalho. 0.3.1. Desenho da investigação Segundo Sampieri (2010:120), desenho de uma investigação é um plano ou uma estratégia (maneira prática e concreta) concebida pelo investigador para responder as perguntas de investigação, ou para obter a informação que se deseja. O desenho indica ao investigador o que deve fazer para alcançar seus objectivos de estudo, responder às perguntas que foram levantadas e analisa a precisão dos pressupostos feitos em um contexto particular. A presente investigação obedece a um desenho característico de um estudo não experimental ou ex post-facto. Porque nesse tipo de estudo o investigador observa as variáveis, sem a manipulação deliberada das mesmas para posteriormente analisá-las. Mais precisamente foi aplicado um desenho não experimental transversal ou transaccional pela dimensão temporal da investigação que se realizou. 0.4. Problema de investigação Cada etapa da história da ciência começa com o surgir de uma questão. Para isso parte-se de uma visão do mundo, a qual questiona-se e, considera-se uma situação problemática. Esta indica a finalidade da investigação (Maria Caldeira, 2009). Feita uma análise dos Programas e Manuais da 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário, notou-se haver a inexistência do tratamento de Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ Ǥ Ciente de que, a apropriação dos conhecimentos matemáticos é um direito dos estudantes, com o propósito de melhorar o Ensino das Equações Trigonométricas e, colocar a Matemática cada vez mais próxima de nossos educandos, urge a necessidade de contribuir para o melhoramento da prática de Ensino e Aprendizagem da Matemática. Assim sendo formulou-se o seguinte problema: “Inexistência do conteúdo Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , nos Programas e Manuais da 11ª Classe, por ser a Classe onde são abordadas as equações trigonométricas sem contemplar as equações que se propõem”. As Equações Trigonométricas são importantes para a vida, uma vez que têm sua aplicação nos diferentes domínios do saber, como na Engenharia Civil (Por exemplo, na construção de um telhado o conhecimento das Equações Trigonométricas é indispensável para o cálculo das inclinações mínimas e máximas.), na Química (Na Química, recorre-se às equações trigonométricas para calcular os ângulos óptimos de ligação entre diferentes átomos-geometria molecular- e assim definir diversas propriedades das moléculas em estudo.) na Computorização e Robótica (Por exemplo, os braços robóticos da Estação Espacial Internacional são controlados através do cálculo dos ângulos das suas juntas. Para calcular a posição final do astronauta é necessário recorrer às funções trigonométricas dos respectivos ângulos e na Electricidade (na determinação da tensão eléctrica sinusoidal máxima e mínima num osciloscópio), na Acústica (na determinação da amplitude máxima e mínima de oscilação de uma onda que se propaga ao longo de uma corda), na Topografia (na determinação de alturas de locais inacessíveis). 0.4.1. Objecto da investigação O Processo de Ensino e Aprendizagem da Matemática na 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário. 0.4.1.1. Campo de acção da investigação A presente investigação tem como campo de acção, o Ensino das Equações Trigonométricas da forma ǡ ൌ , na 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário. 0.4.2. Objectivos da investigação Segundo Caldeira (2009), explicitar objectivos educativos é identificar as intenções que se pretendem atingir com o acto educativo. Assim sendo com este trabalho pretende-se: • Propor a introdução nos Programas e Manuais de Matemática da 11ª Classe no Capitulo I: Trigonometria, a resolução de Equações Trigonométricas da forma ǡ ൌ . • Contribuir para minorar as dificuldades e limitações que se enfrentam durante o processo de Ensino e aprendizagem das Equações Trigonométricas. a) Objectivo Geral Esta proposta tem como objectivo elaborar uma Proposta de Introdução do Tema Equações Trigonométricas da forma ǡ ൌ no Capitulo 1: Trigonometria, no Programa da 11ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário, para uma aprendizagem baseada nas estruturas prévias cognoscitivas dos alunos. Dessa forma, tal objectivo pode ser desdobrado em objectivos secundários elencados a seguir: Estimular a motivação do estudante na aprendizagem do conteúdo mediante uma aprendizagem significativa e construtivista; e Difundir técnicas e/ou aprimorar a metodologia de Ensino das Equações Trigonométricas. 0.5. Tarefas de investigação . Analisar o levantamento bibliográfico a respeito do conteúdo. Descrever as diferentes vias possíveis de resolução de uma equação trigonométrica da forma ǡ ൌ . Proporcionar um estudo dinâmico e diferenciado das equações trigonométricas. Fazer uma dosificação do Capitulo I- Trigonometria, em função do número de aulas disponibilizadas para o Capitulo 1 no programa actual. Submeter a proposta sob validação dos Peritos. 0.6. Caracterização actual do problema Esta temática é de especial interesse no período que actualmente se vive em Angola, visto que os conhecimentos que os estudantes dispõem a respeito das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , é muito reduzido para fazer face aos problemas relacionados as Equações Trigonométricas. Dos dados que se tem, facilmente se comprova a necessidade da introdução das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , nos Programas e Manuais. O ensino actual das Equações Trigonométricas caracteriza-se por: • Um ensino expositivo baseado na apresentação dos conteúdos • Falta de sistematização dos conhecimentos de Trigonometria e, de exercícios que exijam a aplicação de conhecimentos de forma criativa. • Não abordagem das Equações ǡ ൌ nos Programas e Manuais. 0.7. Marco Metodológico 0.7.1. Desenho metodológico Para a construção do projecto de pesquisa e extensão, a princípio foi feita uma pesquisa bibliográfica abordando o assunto de trabalho. Após a leitura, uma pesquisa de campo em que os alunos que terminaram o Ensino médio, foram submetidos a um teste exploratório com determinados exercícios do tema proposto e também foi feita a validação da proposta por Peritos. Para caracterizar melhor os elementos do marco metodológico, definiu-se como: 0.7.2. População e Amostra A investigação desenvolvida teve como: - População: Professores e, alunos que terminaram o Ensino Médio nas Escolas Secundárias do II Ciclo do Lubango e não só. -Amostra: para a recolha de dados utilizou-se uma amostra composta por 176 indivíduos e foi obtida a partir dos candidatos dos exames de admissão ao curso de Informática Educativa do ISCED-Huila, ano académico 2014, utilizando as técnicas de amostragem probabilística. 0.7.3. Tipo de investigação A investigação que se desenvolveu, teve uma abordagem não experimental ou ex post-facto. 0.7.4. Método da abordagem Para uma abordagem mais ampla, utilizou-se o método da abordagem contendo: Método Hipotético-Dedutivo: que se inicia pela percepção de uma lacuna nos conhecimentos acerca da qual formula hipóteses e, pelo processo de inferência dedutiva, testa a predição da ocorrência de fenómenos abrangidos pela hipótese (Aplicou-se este método na escolha do tema, uma vez que se inicia pela percepção de uma lacuna). Método indutivo: cuja aproximação dos fenómenos caminha geralmente para planos cada vez mais abrangentes, indo das constatações mais particulares às leis e teorias (conexão ascendente). Método dedutivo: que, partindo das teorias e leis, na maioria das vezes prediz a ocorrência dos fenómenos particulares (conexão descendente). Técnicas As técnicas são consideradas um conjunto de preceitos ou processos de que se serve uma ciência; são, também, a habilidade para usar esses preceitos ou normas, na obtenção de seus propósitos. Correspondem, portanto, à parte prática de colecta de dados. Assim para o estudo que se pretendeu, utilizou-se a documentação directa (Marconi e Lakatos, 2012), contendo: -observação directa intensiva, com as técnicas: • Observação: utiliza os sentidos na obtenção de determinados aspectos da realidade. Não consiste apenas em ver e ouvir, mas também em examinar factos ou fenómenos que se deseja estudar. -observação directa extensiva, apresentando as técnicas: • Questionário: constituído por uma série de perguntas que devem ser respondidas por escrito e sem a presença do pesquisador; • Testes: instrumentos utilizados com a finalidade de obter dados que permitam medirem o rendimento, a frequência, a capacidade ou a conduta de indivíduos, de forma quantitativa. • Análise do conteúdo: permite a descrição sistemática, objectiva e quantitativa do conteúdo da comunicação. O método de DELPHI utilizado na validação da proposta, pelos peritos. ϭϭ 0.8. Estrutura do trabalho O trabalho é constituído por dois capítulos, conclusões e sugestões. Capitulo I- Marco Teórico e Enfoque Teórico Pedagógico a Aplicar ao Tema. Neste capitulo são apresentadas as equações trigonométricas simples e, as diferentes vias e estratégias de resolução das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , conforme a complexidade do exercício. Ainda neste no capítulo é apresentado o Enfoque Teórico Pedagógico a Aplicar ao Tema, onde faz-se a apresentação do modelo ausubeliano e o construtivismo de Piaget e Vygotsky colmatados com as ideias de Paulo Freire, visto que o conteúdo estudado requer que a aula seja construída mediante a orientação do Professor e no respeito as concepções prévias dos alunos. Neste mesmo capítulo apresenta-se a proposta de introdução do tema Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , no Programa mediante uma dosificação do Capitulo 1: Trigonometria, bem como a redefinição de alguns objectivos. Capitulo II- Apresentação e Análise de Dados. Validação da Proposta. Caracteriza-se a amostra dos alunos participantes e apresentam-se os resultados obtidos por questão no teste de conhecimentos. Também caracteriza-se os Peritos, inquiridos e apresentam-se as respostas obtidas no Inquérito e na Validação da Proposta. Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e sugestões deduzidas dos resultados obtidos pela investigação realizada e sugestões cuja aplicação contribuirá para o melhoramento do processo de Ensino e Aprendizagem das Equações Trigonométricas contribuindo para a elevação da qualidade de Ensino. Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos. ϭϮ CAPITULO I: MARCO TEÓRICO E ENFOQUE TEÓRICO PEDAGÓGICO CAPITULO I- MARCO TEÓRICO E ENFOQUE TEÓRICO PEDAGÓGICO 1.0. Introdução Faz-se uma abordagem dos conceitos matemáticos relacionados com as Equações Trigonométricas, assim como também faz-se um estudo das Equações Trigonométricas desde as elementares até as equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ ,o que constitui objecto de escopo deste trabalho. Para melhor compreender o estudo das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ ,inicialmente neste capítulo, fez-se a apresentação das formas gerais de solução de uma equação trigonométrica fundamental e das relações trigonométricas fundamental e derivadas, as fórmulas de arcos complementares e suplementares, as fórmulas de adição ou subtracção de arcos, fórmulas do arco duplo ou arco metade e as fórmulas trigonométricas de transformação logarítmica, seguida da resolução de algumas Equações Trigonométricas Fundamentais ൌ ǡ ൌ ൌ , são também apresentadas as diferentes formas de Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ ,bem como as diferentes vias possíveis de resolução. Após a apresentação das diferentes vias de resolução, segue-se sempre alguns exercícios propostos. Este capítulo culmina com a apresentação de alguns exercícios gerais sobre as equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ . Ainda é apresentado o fundamento teórico psico-pedagógico que sustenta a abordagem do tema. Também é abordado a temática currículo, seguida da sugestão do autor, com a apresentação da planificação temática do capítulo 1: Trigonometria, introduzida nela não só o conteúdo que se propõe mas também reformulado e redefinido alguns objectivos. Na planificação temática que se apresenta os conteúdos foram distribuídos em função do número de aulas presentes no Programa actual. Abordou-se a temática currículo porque, os Conteúdos matemáticos, devem ser situados no tempo e no espaço e organizados de forma a favorecer uma representação do conhecimento menos fragmentada e mais integrada, articulada aos problemas enfrentados pelos alunos em sua vida social e laboral. Conteúdos ϭϰ actualizados, que reflictam as transformações que ocorrem na sociedade, no mundo do trabalho e no campo da ciência. Assim para enfoque teórico psico-pedagógico deste trabalho adoptou-se o modelo ausubeliano (aprendizagem significativa) e o modelo construtivista (Piaget e Vygotsky), colmatados com as ideias de Paulo Freire (Para uma Pedagogia da Autonomia, 1996). 1.1. Equações Trigonométricas Equações trigonométricas são igualdades que envolvem uma ou mais razões trigonométricas de arcos incógnitos. Exemplos. a) ൌ ͳ b) ൌ Ͳ c) െ ൌ ͳ Resolver uma equação trigonométrica significa determinar o conjunto de valores dos arcos, para os quais essa equação se transforma numa igualdade verdadeira. Toda equação trigonométrica é verdadeira para uma infinidade de arcos. Recordemos as fórmulas de soluções gerais para resolver as equações trigonométricas fundamentais sem no entanto haver restrições. Equação Solução ൌ ǡ || ൑ ͳ ൌ ሺെͳሻ௞ ൅ ǡ ‫ א‬ ൌ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ൌ ǡ || ൑ ͳ ൌ ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ Tabela nº 1: Equações Trigonométricas Fundamentais e sua forma geral de solução. Especialmente, assinalemos alguns casos particulares de equações trigonométricas mais sensíveis, quando a solução se pode escrever sem empregar a forma geral de solução. ൌ ՞ ൌ ǡ ‫ א‬ ൌ ͳ ՞ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ ൌ Ͳ ՞ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ൌ െͳ ՞ ൌ െ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ ൌ ͳ ՞ ൌ ʹǡ ‫ א‬ ൌ െͳ ՞ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ൌ ՞ ൌ ǡ ‫ א‬ 1.1.1. Soluções particulares. Na resolução de Equações Trigonométricas, podemos obter soluções particulares. Para isso, basta estabelecer intervalos dentro dos quais essas soluções são verdadeiras. As soluções particulares podem ser obtidas a partir da solução geral, bastando para isso atribuir valores a ( ‫ ) א‬e verificar se a solução pertence ao intervalo considerado. Na verdade, não há um processo único para resolver todas as Equações Trigonométricas. Diante disso procuramos reduzi-las as equações mais simples, do tipo ൌ ǡ ൌ ൌ ǡ denominadas equações fundamentais, as quais passaremos a estudar. Observação: quando não se fizer menção do intervalo a ser considerado, admite-se como tal o conjunto ℜ . 1.2. Relações entre as razões trigonométricas Não serão apresentadas as deduções das fórmulas que se seguem, porque foge do escopo deste trabalho, em virtude da necessidade do conhecimento das mesmas para a compreensão dos exercícios aqui presentes faz-se constar neste trabalho. ൌ ௦௘௡௫ ௖௢௦௫ , ou ൌ ଵ ௖௢௧௚௫ ൌ ௦௘௡௫, ou ൌ ௧௚௫ ௖௢௦௫ ൌ ଵ ͳ ൌ ͳ 1.2.1. Relação fundamental ଶ ൅ ଶ ൌ ͳ 1.2.2. Relações derivadas ଶ ൌ ͳ ൅ ଶ ଶ ൌ ͳ ൅ ଶ 1.2.3. Arcos complementares ൌ െ , válida ‫Ͳ א ׊‬ǡ గ గ ଶ ଶ ൌ ଶ െ ǡ válida ‫Ͳ א ׊‬ǡ ଶ గ గ 1.2.4. Arcos suplementares െ ൌ െ ൌ െ 1.2.5. Fórmulas de adição e subtracção de arcos ൅ ൌ ൅ െ ൌ െ ൅ ൌ െ െ ൌ ൅ ൅ ͳ െ ൅ ൌ െ ͳ ൅ െ ൌ 1.2.6. Fórmulas do arco duplo ʹ ൌ ʹ, ou ʹ ൌ మ ʹ ൌ െ ൌ ʹ െ ͳ ൌ ͳ െ ʹ , ou ainda ʹ ൌ మ మ ʹ ൌ ʹ ͳ െ 1.2.7. Fórmulas do arco metade ൌ ൌ ൌ ,ou ൌ ,ou ൌ , ou ൌ 1.2.8. Fórmulas de transformação logarítmica (transformação de soma em produto) ൅ ൌ ʹ െ ൌ ʹ ൅ ൌ ʹ ൅ െ ʹ ʹ ൅ െ ʹ ʹ െ ൅ ʹ ʹ െ ൌ െʹ ൅ ൌ െ ൅ ʹ ʹ ൅ െ ൌ 1.3. െ Equações Fundamentais do Tipo ൌ ! A equação ൌ ǡ apenas terá solução se െͳ ൑ ൑ ͳ. Na forma geral de solução, ൌ ሺെͳሻ ൅ ǡ ‫ א‬presente na tabela anterior está implícita a propriedade: se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou são suplementares. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) ʹ ൅ √͵ ൌ Ͳ Solução. ʹ ൅ √͵ ൌ Ͳ ՜ ʹ ൌ െ√͵ ՜ ൌ െ ൌ െͳ #െ √͵ ՜ ʹ √͵ $ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ Portanto: % ൌ ሼ ൌ െ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬ሽ b) ʹ െ ൌ √ʹ, no intervalo Ͳ ൑ ൑ ʹ Solução √ʹ ʹ െ ൌ √ʹ ՜ െ ൌ ՜ ʹ ʹ ʹ െ √ʹ ൌ െͳ # $ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ʹ ൌ ሺെͳሻ ൅ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ Ͷ Fazendo ൌ Ͳǡ temos ൌ ൅ ՜ ൌ Fazendo ൌ ͳǡ temos ൌ െ ൅ ൅ ՜ ൌ , Portanto:% ൌ ሼ ǡ ሽ c) ͵ ൌ ǡ no intervalo ሾͲǡʹሿ Solução. ͵ ൌ , substituindo a forma geral de solução para a equação ൌ , presente na tabela 1, tem-se: ͵ ൌ ሺെͳሻ ൅ ǡ ‫ א‬՜ ൌ ሺെͳሻ ൅ ǡ ‫ א‬ ͵ Fazendo ൌ Ͳǡ temos ൌ ՜ ͵ െ ൌ Ͳ ՜ ʹ ൌ Ͳ ՜ ൌ Ͳ Fazendo ൌ ͳǡ temos ൌ െ ൅ ՜ ͵ ൌ െ ൅ ͵ ՜ Ͷ ൌ ͵ ՜ ൌ . Portanto: % ൌ ሼͲǡ ሽ 1.4. Equações Fundamentais do Tipo ൌ ! A equação ൌ , tem solução somente se െͳ ൑ ൑ ͳ. A forma de solução ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬ǡ escrita na tabela anterior, cumpre com a propriedade: se dois arcos têm cossenos iguais, então eles são côngruos ou replementares. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) ʹ ൌ Solução ʹ ൌ ՜ ʹ ൌ േ ൅ ʹ ՜ ൌ േ ൅ ǡ ‫ א‬՞ ʹ ൌ ൅ & ൌ െ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ʹ െ ൌ & ൅ ൌ ǡ ‫ א‬ ʹ ʹ ʹ ൌ ʹ & ൌ ǡ ‫ א‬ ͵ Portanto: % ൌ ' ൌ ʹ & ൌ ǡ ‫( א‬. π b) ൅ ൌ ͳ, no intervalo Ͳ ൑ ൑ ʹ Solução ൅ ൌ ͳ, no intervalo Ͳ ൑ ൑ ʹ Ɏ ൅ ൌ ͳ ՜ ൅ ൌ ʹǡ ‫ א‬ ͵ ͵ ൌ െ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ͵ Fazendo ൌ ͳǡ temos: ൌ െ ൅ ʹ ՜ ൌ Portanto: % ൌ ' (. c) ʹ െ ൌ ͳ, no intervalo ሾͲǡʹሿ Solução ʹ െ ൌ ͳ, no intervalo ሾͲǡʹሿ ʹ െ ൌ ͳ ՜ െ ൌ ͳ ՜ ʹ ͳ െ ൌ േ ) * ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ ൌ േ ൅ ൅ ʹ ՞ ൌ െ ൅ ൅ ʹ & ൌ ൅ ൅ ʹ ͵ ͵ ͵ ʹ Ͷ ൌ ൅ ʹ & ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ͵ ͵ Fazendo ൌ Ͳ, nas duas expressões respectivamente: ൌ e ൌ . 1.5. obtém-se Portanto:% ൌ ' ǡ (. anteriores Equações Fundamentais do Tipo +, ൌ ! A equação ൌ , tem solução para todo ‫ א‬-. Os valores de , tais que ് ൅ ǡ com ‫ א‬, que satisfazem essa equação podem ser obtidos a partir da fórmula Ϯϭ ‫ݔ‬ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ǡ que cumpre com a propriedade: se dois arcos têm tangentes iguais, então eles são côngruos ou são explementares. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) ൌ െ√͵ Solução ൌ െ√͵ ՜ ൌ .െ√͵/+ǡ ‫ א‬ ൌ െ ൅ ǡ ‫ א‬ ͵ Portanto % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െ ൅ ǡ ‫( א‬. b) √ʹʹ ൌ √ʹ , no intervalo 0Ͳǡʹ1 Solução √ʹʹ ൌ √ʹ , no intervalo 0Ͳǡʹ1 ʹ ൌ √ʹ √ʹ ՜ ʹ ൌ ͳ ՜ ʹ ൌ ͳ ൅ ǡ ‫ א‬2 ʹ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬. Fazendo ൌ Ͳǡ temos ൌ Fazendo ൌ ͳǡ temos ൌ Fazendo ൌ ʹǡ temos ൌ Fazendo ൌ ͵ǡ temos ൌ Portanto : % ൌ ' ǡ ǡ ǡ (. c) ൌ , no intervalo Ͳ ൑ ൑ Solução ϮϮ ൌ , no intervalo Ͳ ൑ ൑ ͷ ͷ ൌ ՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͸ Fazendo ൌ Ͳǡ temos: ൌ Portanto: % ൌ ' (. 1.6. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TIPO ǡ ൌ Chama-se equação trigonométrica do tipo ǡ ൌ , a uma equação trigonométrica, definida por uma expressão racional de ǡ e constantes com a ajuda da adição, subtracção, multiplicação ou divisão. As equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ , dividem-se em: 1.6.1. Equações que se Reduzem a Quadráticas Existem equações trigonométricas que desenvolvidas convenientemente podem ser reduzidas a equações do 2º grau, em ǡ 3 . 1.6.1.1. Algoritmo de resolução Se entra na equação com expoentes pares, substitui-se por ͳ െ e se obtem uma equação racional com relação a . Do mesmo modo, se entra na equação com expoentes pares, substitui-se por ͳ െ , conduz a que a equação seja racional em relação a . Para os casos em que não aparece 3 , com expoente par, faz-se uma substituição conveniente, em função da criatividade do indivíduo. Para estes casos em que a equação se transforma numa equação quadrática, para a sua resolução emprega-se o método da variável auxiliar. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) ͵ ൌ ʹ Ϯϯ Solução ͵ ൌ ʹ Como entra na equação com expoente par, substitui-se por ͳ െ , porque ൅ ൌ ͳ, assim tem-se: ͵ ൌ ʹ ՜ ͵ ൌ ʹͳ െ ͵ ൌ ʹ െ ʹ ՜ ʹ ൅ ͵ െ ʹ ൌ Ͳ Empregando o método da variável auxiliar fazendo ൌ , com െͳ ൑ ൑ ͳǡ obtem-se: ʹ ൅ ͵ െ ʹ ൌ Ͳ. Aplicando a fórmula de Bháskara (fórmula resolvente das equações do 2º grau), ൌ േ√ο , onde οൌ 4 െ ͶǤ ൌ െ͵ േ √ʹͷ െ͵ േ ͷ െ͵ െ ͷ െ͵ ൅ ͷ ՜ൌ ՞ൌ & ൌ Ͷ Ͷ Ͷ ʹൈʹ Assim tem-se οൌ ͵ െ Ͷ ൈ ʹ ൈ െʹ ՜ οൌ ʹͷ ൌ െʹ & ൌ . Note que ൌ െʹ, não satisfaz a condição dada a y. Retornando a equação ൌ para determinar a variável . ൌ ൌ ͳ ͳ ՜ ൌ െͳ ) * ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ʹ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െͳ ൅ ǡ ‫( א‬. b) ൌ ͳ ൅ Solução: ൌ ͳ ൅ , substituindo por ͳ െ ,porque ൅ ൌ ͳ, logo tem-se: Ϯϰ ͳ െ ൌ ͳ ൅ ՜ ൅ ൌ Ͳ, fazendo ൌ , com െͳ ൑ ൑ ͳǡ obtem-se: ൅ ൌ Ͳ, fatorando e aplicando a lei do anulamento do produto obtém-se ൌ Ͳ ൌ െͳ. Retornando a equação ൌ para determinar a variável tem-se: Para ൌ Ͳ , tem-se ൌ Ͳ ՞ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ Para ൌ െͳ , tem-se ൌ െͳ ՞ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ Ou ൅ ൌ Ͳ ՞ ൅ ͳ ൌ Ͳ, que aplicando a lei do anulamento do produto obtém-se os resultados anteriores. Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ 3 ൌ ൅ ʹǡ ‫( א‬. c) ൅ ൌ Solução ൅ ൌ ǡ , multiplicando ambos os membros por 4 tem-se Ͷ െ ͵ ൌ Ͳ, fazendo ൌ , vem: Ͷ ൅ Ͷ െ ͵ ൌ Ͳ, resolvendo obtém-se ൌ െ ou ൌ , Pelas condições impostas a , apenas satisfaz ൌ Retornando em ൌ , tem-se ൌ Ͷ ൅ ͳ ͳ ՞ ൌ േ ) * ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ ʹ ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬, Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ ʹǡ ‫( א‬Ǥ d) ʹ ൅ ͵ ൌ Ͷ ʹ ൅ ͵ ൌ Ͷ , substituindo por ʹ െ ͳ,a partir da fórmula do arco duplo do cosseno, tem-se: ʹ ൈ ʹ െ ͳ ൅ ͵ ൌ Ͷ ʹ ʹ Ͷ െ Ͷ ൅ ͳ ൌ Ͳ, fazendo ൌ ǡ vem: Ͷ െ Ͷ ൅ ͳ ൌ Ͳ ՜ ൌ , raiz de multiplicidade 2. Retornando em ൌ , tem-se: ͳ ͳ ൌ ՜ ൌ േ ) * ൅ ʹǡ ‫ א‬ǡ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ͵ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ ʹǡ ‫( א‬Ǥ Exercícios propostos. Resolver as seguintes equações em IR. a) ʹ ൌ b) 3 ൅ ൌ ͳ c) √͵ ൅ ʹ ൌ Ͳ d) ͷ െ ʹ ൌ ͳ ൅ మ e) െ Ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ f) ʹ ൌ g) ൅ ൌ ͳ 1.6.2. Equações do tipo ! ή ൅ 5 ή ൌ A equação ή ൅ 4 ή ൌ , sendo ǡ 4 números reais, representa o caso geral das equações trigonométricas simples, quando ൌ Ͳ, 4 ൌ Ͳ ou ൌ Ͳ. A equação ή ൅ 4 ή ൌ Ͳ, recebe o nome de equação homogénea trigonométrica do 1º (primeiro) grau. Ao passo que, a equação ή ൅ 4 ή ൅ ή ൌ Ͳ, recebe o nome de equação homogénea do 2º (segundo) grau. De modo análogo é possível uma equação trigonométrica homogénea de qualquer grau natural n. 1.6.2.1. Algoritmo de resolução As equações do tipo ή ൅ 4 ή ൅ ൌ Ͳ, não têm uma única forma de resolução, a sua resolução depende sempre da criatividade, dos hábitos e habilidades do indivíduo e principalmente de todo um manancial de conhecimentos sobre aritmética, álgebra e conhecimentos específicos sobre trigonométrica de forma geral. Não obstante a isso serão apresentadas algumas vias e estratégias de resolução das equações trigonométricas do tipo ή ൅ 4 ή ൌ . Dentre as vias existentes, podemos citar: aplicação do ângulo auxiliar, a aplicação de sistemas de equações de duas variáveis e a introdução da variável auxiliar. a) Método do ângulo auxiliar. Este método é empregado para resolver equações da forma ή ൅ 4 ή ൌ em que ǡ 4 representam números diferentes de zero. Faz-se a aplicação do método do ângulo auxiliar da seguinte maneira: a) Dividem-se ambos os membros da equação pelo coeficiente de , ou seja por , obtendo-se a equação 4 ൅ ൌ b) Substitui-se o coeficiente de por 6, ficando, por isso, ൅ 6 ൌ ǡ sendo 6 ൌ . c) Como 6 ൌ obtém-se ൅ ൌ , simplificando, d) Da igualdade 6 ൌ ou desembaraçando ൅ 6 ൌ de denominadores e 6 tira-se um valor de 6ǡ interessando apenas o que verificar à condição Ͳ ൑ 6 ൑ (6 ± o ângulo auxiliar). Este valor de 6 substituindo na equação da alínea anterior permite determinar os valores de que a verificam. Exercícios resolvidos Resolver as seguintes equações: a) ൅ √͵ ൌ ͳ Solução ൅ √͵ ൌ ͳ Como 1 é o coeficiente de na equação dada, esta já se encontra na forma precisa para aplicar o indicado na alínea b) do procedimento. 6 ൌ √͵, conclui-se que 6 ൌ e, portanto, ൅ ൌ ͳ ՞ ൅ ൌ ͵ ͵ ͵ ͵ ͳ ͳ ൅ ൌ ՜ ൅ ൌ െͳ ) * ൅ ǡ ‫ א‬ ͵ ʹ ͵ ʹ ൌ െͳ െ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͵ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െͳ െ ൅ ǡ ‫( א‬ b) √͵ ൅ ൌ √͵ Solução √͵ ൅ ൌ √͵ ՜ ൅ ൌ ͳ, √ Como 6 ൌ ՜ 6 ൌ √ ൅ ൌ ͳ ՜ ൅ ൌ ൅ ൌ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬՜ ൌ െ ൅ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͵ ͸ ͵ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െ ൅ െͳ ൅ ǡ ‫( א‬. c) െ ൌ ͳ Solução: െ ൌ ͳ, como 6 ൌ ͳ ՜ 6 ൌ െ ൌ ͳ ՜ െ ൌ Ͷ Ͷ Ͷ െ ൌ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬՜ ൌ െͳ ൅ ൅ ǡ ‫ א‬ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െͳ ൅ ൅ ǡ ‫( א‬. Por outra via teremos: െ ൌ ͳ, isolando obtém-se ൌ ͳ ൅ , quadrando ambos os membros tem-se: ൌ ͳ ൅ ʹ ൅ , sabe-se que ൌ ͳ െ , então ͳ െ ൌ ͳ ൅ ʹ ൅ ՞ ൅ ൌ Ͳ ൅ ͳ ൌ Ͳ ՞ ൌ Ͳ & ൅ ͳ ൌ Ͳ ൌ Ͳ & ൌ െͳ ՜ ൌ ൅ ʹ & ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ ʹ & ൌ ൅ ʹǡ ‫( א‬. Obs: Os dois conjuntos de solução são equivalentes, sendo o primeiro mais geral. Para encontrar o conjunto de arcos que correspondem a primeira condição do segundo conjunto de solução, basta substituir por um número impar no primeiro conjunto de solução e para encontrar o conjunto de valores correspondentes a segunda condição do segundo conjunto de solução, basta substituir por um número par. Ou ainda por mais outra via tem-se: െ ൌ ͳ, sabe-se que െ ൌ െ, então vem: ൅ െ ൌ ͳ, pela fórmula de transformação logaritmica de senos tem-se: ൅െ െ൅ ʹ 7 8 7 8ൌͳ ʹ ʹ ʹ െ ൌ ͳ Ͷ Ͷ ʹή √ʹ െ ൌ ͳ ʹ Ͷ √ʹ െ ൌ Ͷ ʹ െ ൌ െͳ ൅ ՜ ൌ െͳ ൅ ൅ ǡ ‫ א‬ Ͷ Ͷ Ͷ Ͷ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െͳ ൅ ൅ ǡ ‫( א‬. Para os casos em que o coeficiente de não é um arco notável, eis o procedimento para o método do ângulo auxiliar. ή ൅ 4 ή ൌ a) Divide-se ambos os membros por √ ൅ 4 , obtendo Como √మ , మ √ మ √ ൅ 4 మ ൅ √ మ ή ൅ 4 √ ൅ 4 ή ൌ √ ൅ 4 ή మ ൌ ͳ, existe um valor 9 tal que 9 ൌ √ మ onde 9 ൌ √మ మ é o ângulo auxiliar (ou 9 ൌ √మ b) A equação √మ మ ή ൅ √మ మ ή ൌ √మ మ మ ). e 9 ൌ మ fica reduzida na seguinte forma 9 ή ൅ 9 ή ൌ √మ మ ǡ que aplicando a fórmula da subtracção de arcos do cosseno facilmente se resolve. െ 9 ൌ √మ మ . Este método permite determinar também as soluções aproximadas, como se comprova facilmente nos exercícios que se seguem. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações. a) ൅ ͹ ൌ ͷ Solução ൅ ͹ ൌ ͷ, dividindo ambos os membros por √ͳ ൅ ͹ ൌ √ͷͲ, tem- se: ͳ √ͷͲ ൅ ͹ √ͷͲ ൌ ͷ √ͷͲ ൅ ൌ ͳ, existe tal valor de 9 em que 9 ൌ e √ √ √ , onde 9 ൌ (9 ൌ ). 9 ൌ √ √ √ Assim a equação ൅ ൌ , pode ser escrita do seguinte √ √ √ Como modo: √ʹ ՜ െ 9 ൌ ՜ Ͷ ʹ െ 9 ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬՜ ൌ േ ൅ 9 ൅ ʹǡ ‫ א‬ Ͷ Ͷ 9 ൅ 9 ൌ Como 9 ൌ √ seguintes soluções: (9 ൌ √ ) definitivamente obtém-se as ͳ % ൌ :‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ ൅ ʹɎǡ ‫; א‬ Ͷ √ͷͲ 3 ͹ ൅ ʹɎǡ ‫; א‬ % ൌ :‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ Ͷ √ͷͲ b) ͵ ൅ Ͷ ൌ Solução. ͵ ൅ Ͷ ൌ , como √͵ ൅ Ͷ ൌ ͷ, dividindo ambos os membros por 5 tem-se: ϯϭ ൅ ൌ , visto que ൅ ൌ ͳ, existe um valor de 9 tal que 9 ൌ e 9 ൌ , onde 9 ൌ (9 ൌ ) Assim ൅ ൌ pode ser escrita do seguinte modo: 9 ൅ 9 ൌ ͳ ՜ െ 9 ൌ ՜ ͵ ʹ െ 9 ൌ േ ൅ ʹǡ ‫ א‬՜ ൌ േ ൅ 9 ൅ ʹǡ ‫ א‬ ͵ ͵ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ ൅ ʹɎǡ ‫( א‬ 3 % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ ൅ ൅ ʹɎǡ ‫( א‬. Método da substituição universal O método da substituição universal, constitui uma das vias ou estratégias de resolução da equação trigonométrica da forma ή ൅ 4 ή ൌ , para tal basta substituir por ೣ మ ೣ మ మ e ೣ మ మ ೣ మ మ facilmente se resolve. , respectivamente, fazendo ൌ 3, o que Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) √͵ ൅ ൌ √͵, para Ͳ ൑ ൑ Solução √͵ ൅ ൌ √͵, para Ͳ ൑ ൑ Substituindo por ೣ మ మೣ e మ ೣ మ మ ೣ మ మ , respectivamente vem: ͳ െ √͵ ή ൅ ൌ √͵ ͳ ൅ ͳ ൅ ʹ ϯϮ ʹ√͵ ൅ ͳ െ ͳ ൅ ൌ √͵ ՜ ʹ√͵ ൅ ͳ െ √͵ െ .ͳ ൅ √͵/ ͳ ൅ ൌͲ A fracção anterior é igual a zero se ʹ√͵ ൅ ͳ െ √͵ െ .ͳ ൅ √͵/ ൌ Ͳ e ͳ ൅ ് Ͳ ʹ√͵ ൅ ͳ െ √͵ െ .ͳ ൅ √͵/ ൌ Ͳ ʹ ʹ െ.ͳ ൅ √͵/ fazendo ൌ 3 ൅ ʹ√͵ ൅ ͳ െ √͵ ൌ Ͳ ʹ ʹ െ.ͳ ൅ √͵/3 ൅ ʹ√͵3 ൅ ͳ െ √͵ ൌ Ͳ , aplicando a fórmula de Bháskara (fórmula resolvente das equações do 2º grau), obtém-se: 3 ൌ ͳ & 3 ൌ ʹ െ √͵ Retornando em ൌ 3 Para 3 ൌ ͳ ՜ ൌ ͳ ՞ ൌ ͳ ൅ ǡ ‫ א‬ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ Para 3 ൌ ʹ െ √͵ ՜ ൌ ʹ െ √͵ ՞ ൌ .ʹ െ √͵/ ൅ ǡ ‫ א‬ ൌ ʹ.ʹ െ √͵/ ൅ ʹǡ ‫ א‬՜ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ͸ Como Ͳ ൑ ൑ , então o conjunto de solução é: % ൌ ' ǡ (. b) ʹ ൅ √͵ʹ ൌ ͳ, no intervalo Ͳ ൑ ൑ Solução ʹ ൅ √͵ʹ ൌ ͳ, no intervalo Ͳ ൑ ൑ Substituindo por మ e మ , respectivamente, obtém-se మ ϯϯ ʹ ൅ √͵ െ √͵ ൌͳ ͳ ൅ ʹ െ .ͳ ൅ √͵/ ൅ √͵ െ ͳ ൌͲ ͳ ൅ A fracção anterior é igual a zero se ʹ െ .ͳ ൅ √͵/ ൅ √͵ െ ͳ ൌ Ͳ e ͳ ൅ ് Ͳ ʹ െ .ͳ ൅ √͵/ ൅ √͵ െ ͳ ൌ Ͳ .ͳ ൅ √͵/ െ ʹ ൅ ͳ െ √͵ ൌ Ͳ Fazendo ൌ 3, vem: .ͳ ൅ √͵/3 െ ʹ3 ൅ ͳ െ √͵ ൌ Ͳ Aplicando a fórmula de Bháskara tem-se 3 ൌ ͳ 3 3 ൌ െʹ ൅ √͵ Retornando em ൌ 3, tem-se Para 3 ൌ ͳ ՜ ൌ ͳ ՞ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ Para 3 ൌ െʹ ൅ √͵ ՜ ൌ െʹ ൅ √͵ ՞ ൌ .െʹ ൅ √͵/ ൅ ǡ ‫ א‬ ൌെ ൅ ǡ ‫ א‬ ͳʹ Como tem que pertencer ao intervalo Ͳ ൑ ൑ , então o conjunto de solução é:% ൌ ' (. a) Método da aplicação de sistemas de duas equações a duas variáveis A equação ή ൅ 4 ή ൌ , sendo ǡ 4 números reais conhecidos, pode ser resolvida mediante o seguinte sistema: ή ൅ 4 ή ൌ < ' ൅ ൌ ͳ ϯϰ Fazendo ൌ 3 ൌ =, obtém-se o sistema: ή 3 ൅ 4 ή = ൌ < ' 3 ൅ = ൌ ͳ Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações em IR. a) െ ൌ Ͳ Solução െ ൌ Ͳ Formando o sistema tem-se: െ ൌ Ͳ - < : ൅ ൌ ͳ -- Fazendo ൌ 3 ൌ =, obtem-se o seguinte sistema: 3 െ = ൌ Ͳ - < : 3 ൅ = ൌ ͳ -- De - tem-se 3 ൌ = Substituindo 3 por = em -- , vem: ͳ ͳ = ൅ = ൌ ͳ ՜ ʹ= ൌ ͳ ՜ = ൌ ՜ = ൌ േ> ʹ ʹ =ൌെ √ʹ √ʹ & = ൌ ʹ ʹ Para = ൌ െ √ ǡ tem-se 3 ൌ െ √ √ʹB @ ʹ ՜ ൌ ͷ ൅ ʹǡ ‫ א‬ < Ͷ √ʹ A ൌ െ @ ʹ? ൌ െ √ Nota: como o seno e o cosseno são negativos e valem ambos െ ,então o argumento é do III quadrante e é igual a .Determina-se os arcos côngruos a este mesmo argumento adicionando ʹǤ Para = ൌ ǡ tem-se 3 ൌ √ √ √ʹB @ ʹ ՜ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ < Ͷ √ʹ A ൌ @ ʹ? ൌ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ ʹ & ൌ ൅ ʹ ‫( א‬ Por outra via tem-se: െ ൌ Ͳ ՜ ൌ ՜ ൌ ͳ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬, concerteza menos trabalhosa. Portanto : % ൌ '‫ א ׊‬- ൌ ൌ ൅ ǡ ‫( א‬ b) ʹ ൅ √͵ʹ ൌ ͳǡ no intervalo െ ൑ ൑ Solução a) ʹ ൅ √͵ʹ ൌ ͳǡ no intervalo െ ൑ ൑ Formando o sistema vem: ʹ ൅ √͵ʹ ൌ ͳ - < C ǡ ʹ ൅ ʹ ൌ ͳ -- Fazendo ʹ ൌ 3 ʹ ൌ =, tem-se: 3 ൅ √͵= ൌ ͳ - < C ǡ 3 ൅ = ൌ ͳ -- De ሺ-ሻ tem-se 3 ൌ ͳ െ √͵= Substituindo 3 ൌ ͳ െ √͵= em ሺ--ሻ vem: .ͳ െ √͵=/ ൅ = ൌ ͳ ͳ െ ʹ√͵= ൅ ͵= ൅ = ൌ ͳ Ͷ= െ ʹ√͵= ൌ Ͳ ʹ=.ʹ= െ √͵/ ൌ Ͳ ՞ ʹ= ൌ Ͳ & ʹ= െ √͵ ൌ Ͳ = ൌ Ͳ & = ൌ √͵ ʹ Para = ൌ Ͳǡ tem-se 3 ൌ ͳ ʹ ൌͳ < ( ՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ൌ Ͳ Ͷ Para = ൌ √ , tem-se 3 ൌ െ ͳ ʹ ൌ െ B ʹ < ՜ ൌ െ ൅ ǡ ‫ א‬ ͳʹ √͵ A ʹ ൌ ʹ ? Como tem pertencer ao intervaloെ ൑ ൑ . Portanto: % ൌ 'െ ǡ ǡ (. 1.6.3. Equações fatoráveis As equações cujos membros apresentam somas de senos ou de cossenos, podem ser resolvidas com o auxílio das fórmulas de transformação em produto. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações: a) ͵ ൅ ʹ ൌ Ͳ Solução ͵ ൅ ʹ ൌ Ͳ ʹ ͵ ൅ ʹ ͵ െ ʹ ൌͲ ʹ ʹ ͷ ͷ ൌ Ͳ ՞ ൌ Ͳ & ൌ Ͳ ʹ ʹ ʹ ʹ ͷ ͷ ʹ ൌ Ͳ ՜ ൌ ՜ ൌ ǡ ‫ א‬ ʹ ͷ ʹ ൌ Ͳ ՜ ൌ ൅ ՜ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ & ൌ ൅ ʹǡ ‫( א‬. b) Ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ Solução Ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ Ͷ ൅ ͵ Ͷ െ ͵ ൌͲ ʹ ʹ ͹ ͹ ൌ Ͳ & ൌ Ͳ ൌ Ͳ ՞ ʹ ʹ ʹ ʹ ͹ ͹ ʹ ൌͲ՞ ൌ ൅ ՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ʹ ʹ ͹ ͹ ൌ Ͳ ՜ ൌ ൅ ՜ ൌ ൅ ʹǡ ‫ א‬ ʹ ʹ ʹ ʹ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ & ൌ ൅ ʹǡ ‫( א‬. c) ͷ ൅ ʹ ൌ Ͳ Solução ͷ ൅ ʹ ൌ Ͳ ͷ ൅ ʹ ൌ Ͳ ՞ ͹ ൌ Ͳ ͷʹ A fracção anterior apenas tem sentido se ͷʹ ് Ͳ ͹ ൌ Ͳ ՜ ͹ ൌ ՜ ൌ ǡ ‫ א‬ ͹ Portanto: % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ǡ ‫( א‬. d) െ ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ Solução. െ ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ ʹ െ ͷ ൅ ͷ ൅ ͵ ൌ Ͳ ʹ ʹ െʹʹ͵ ൅ ͵ ൌ Ͳ ͵െʹʹ ൅ ͳ ൌ Ͳ ՞ ͵ ൌ Ͳ & െ ʹʹ ൅ ͳ ൌ Ͳ ͵ ൌ Ͳ ՜ ͵ ൌ ൅ ՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬ ʹ ͸ ͵ െʹʹ ൅ ͳ ൌ Ͳ ՜ െʹʹ ൌ െͳ ՜ ʹ ൌ ʹ ൌ െͳ ൅ ՜ ൌ െͳ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͳʹ ʹ ͳ ʹ Portanto:% ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ & ൌ െͳ ൅ ǡ ‫( א‬. 1.6.4. Resolução de Equações Trigonométricas homogéneas do 2º grau Resolve-se uma equação Trigonométrica homogénea do 2º grau, após transformações convenientes, utilizando relações trigonométricas, a fim de obter-se equações cujo processo de resolução foi visto anteriormente. Exercícios resolvidos. Resolver as seguintes equações em -Ǥ a) ͵ ൅ ʹ√͵ ൅ ൌ Ͳ Solução ͵ ൅ ʹ√͵ ൅ ൌ Ͳ, dividindo ambos os membros por , obtém- se a equação: ͵ ൅ ʹ√͵ ൅ ͳ ൌ Ͳ, cujo tratamento foi feito anteriormente. Fazendo ൌ , resulta ͵ ൅ ʹ√͵ ൅ ͳ ൌ Ͳǡ resolvendo-a tem-se: ൌ െ ǡ raíz de multiplicidade dois. √ Retornando em ൌ , vem: ൌ െ √͵ ՜ ൌ െ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͵ Logo, % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ െ ൅ ǡ ‫( א‬. b) െ √͵ʹ ൅ ͵ ൌ Ͳ Solução െ √͵ʹ ൅ ͵ ൌ Ͳ, sabe-se que ʹ ൌ ʹ, substituindo na equação anterior vem: െ ʹ√͵ ൅ ͵ ൌ Ͳ Por analogia ao exercício anterior tem-se: െ ʹ√͵ ൅ ͵ ൌ Ͳ, fazendo ൌ , resulta: െ ʹ√͵ ൅ ͵ ൌ Ͳ, resolvendo-a obtém-se: ൌ √͵ ǡ tambem raiz de multiplicidade dois. Retornando em ൌ , vem: ൌ √͵ ՜ ൌ ൅ ǡ ‫ א‬. Logo, % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ ൅ ǡ ‫( א‬. c) ͷ ൅ ͵ െ ͵ ൌ ʹ Solução ͷ ൅ ͵ െ ͵ ൌ ʹ A equação anterior não é homogénea, visto que o segundo membro não é igual a zero. Não obstante pode ser transformada em homogénea. Com este fim, empregase a identidade fundamental trigonométrica ൅ ൌ ͳ. Então a equação pode ser escrita da seguinte forma: ͷ ൅ ͵ െ ͵ ൌ ʹ ൅ , reduzindo os termos semelhantes obtém-se: ͵ ൅ ͵ െ ͷ ൌ Ͳ Esta ultima equação é homogénea do 2º grau. Procedendo-se como anteriormente tem-se: ͵ ൅ ͵ െ ͷ ൌ Ͳ,fazendo ൌ , vem: ͵ ൅ ͵ െ ͷ ൌ Ͳ, resolvendo tem-se: ൌ െ͵ േ √͸ͻ ͸ Voltando em ൌ , vem: ൌ െ͵ േ √͸ͻ െ͵ േ √͸ͻ ՜ ൌ # $ ൅ ǡ ‫ א‬ ͸ ͸ Logo, % ൌ '‫ א ׊‬-ǣ ൌ േ√ ൅ ǡ ‫( א‬. Exercícios gerais do capítulo. Resolver as seguintes equações: a) ͵ ൅ ͷ ൌ Ͷ b) ͵ ൅ √ ͷ ൅ ͷ ൌ Ͳ c) ʹ ൅ ͵ ൌ ʹ, no intervalo Ͳ ൑ ൏ ʹ. d) ʹ ൅ ͷ ൅ ͷ ൅ ͳ ൌ Ͳ e) ͵ െ Ͷ ൌ ͷ f) െ ൌ െ , no intervalo Ͳ ൏ ൏ g) െ √͵ ൌ ͵ h) ൅ ʹ√͵ ൅ ͵ ൌ Ͳ i) ͵ ൅ ͷ ൅ ͷ ൌ Ͳ j) Ͷ ൅ ʹ ൌ ͳ k) √͵ െ ൌ െ l) ͳ ൅ ൌ ʹ, no intervalo Ͳ ൏ ൏ ʹ ϰϭ 1.7. ENFOQUE TEORICO PEDAGÓGICO A APLICAR AO TEMA. O Ensino é a criação de possibilidades para a produção e construção de conhecimentos. Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender. Inexiste validade de Ensino de que não resulta um aprendizado em que o aprendiz não se tornou capaz de recriar ou de refazer o ensinado (Paulo Freire:13). Aprendizagem é um processo (ou resultado), caracterizado pela aquisição de novos comportamentos ou conhecimentos resultante da necessidade psicológica ou fisiológica de adaptação ao meio (Mesquita e Duarte, 1996). Para cada forma de Ensino (colectivo, em grupo, individualizado, tradicional e Ensino tutorial) existe um tipo correspondente de aprendizagem, os tipos de aprendizagem aqui apresentados foram seleccionados conforme os modelos pedagógicos frisados anteriormente. 1.7.1. Aprendizagem significativa e aprendizagem mecânica Partindo das ideias de Ausubel (1978), segundo a qual, o factor isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe. Averigúe isso e ensine-o de acordo. Pois que segundo Paulo Freire (1996:14-22), entre os muitos requisitos, ensinar exige respeito aos saberes do educando, exige criticidade, exige criatividade e ainda ensinar exige consciência do inacabado. 1.7.2. Aprendizagem Significativa Para Ausubel, aprendizagem significa organização e integração do material na estrutura cognitiva. A aprendizagem significativa processa-se quando o material novo, ideias e informações que apresentam uma estrutura lógica, interage com conceitos relevantes e inclusivos, claros e disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo para sua diferenciação, elaboração e estabilidade (Ausubel 1968, apud Moreira 1982, p.4). Ainda segundo Ausubel, Aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimentos do indivíduo. Ou seja, neste processo a nova informação interage ϰϮ com uma estrutura de conhecimento específica, a qual Ausubel define como conceitos subsunçores, ou simplesmente subsunçores (subsumers), existentes na estrutura cognitiva do indivíduo. A aprendizagem significativa ocorre quando a nova informação ancora-se em conceitos relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende. O subsunçor é um conceito, uma ideia, uma proposição já existente na estrutura cognitiva do indivíduo, capaz de servir de “ancoradouro” a uma nova informação de modo que esta adquira, assim, significado para o indivíduo (isto é, que ele tenha condições de atribuir significados a essa informação). Pode-se, então, dizer que a aprendizagem significativa ocorre quando a nova informação “ancora-se “ em conceitos relevantes (subsunçores) preexistentes na estrutura cognitiva. Ou seja, novas ideias, conceitos, proposições podem ser aprendidos significativamente (e retidos), na medida em que outras ideias, conceitos, proposições, relevantes e inclusivos estejam, adequadamente claros e disponíveis, na estrutura cognitiva do indivíduo e funcionem, dessa forma, como ponto de ancoragem às primeiras. Os conceitos de equações e equações trigonométricas, identidades trigonométricas, arcos complementares e suplementares, fórmulas do arco duplo (ou metade) e fórmulas de transformação logarítmica já existentes na estrutura cognitiva do aluno, eles serão subsunçores para novas informações referentes as Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ . Entretanto, este processo de ancoragem da nova informação resulta em crescimento e modificação do conceito subsunçor. Assim sendo o Professor deverá fazer uma adequação dos conhecimentos dos alunos a nova realidade. Para ensinar de acordo as concepções alternativas dos alunos o Professor deve se engajar na difícil tarefa de identificação dos conceitos básicos da matéria de Ensino e de como eles estão estruturados. Uma vez resolvido esse problema deve-se dar atenção a outros aspectos (Ausubel, 1968). ϰϯ 1.7.3. Aprendizagem Mecânica Contrastando com aprendizagem significativa, Ausubel define aprendizagem mecânica (rote learning) como sendo aprendizagem de novas informações com pouca ou nenhuma associação com conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva do indivíduo. Neste caso, a nova informação é armazenada de forma arbitrária. Não há interacção entre a nova informação e aquela já armazenada. O conhecimento assim adquirido fica arbitrariamente distribuído na estrutura cognitiva sem ligar-se a conceitos subsunçores específicos. A simples memorização de fórmulas, leis e conceitos em Matemática, pode ser tomada como exemplo, embora se possa argumentar que algum tipo de associação ocorrerá nesse caso. Na verdade Ausubel não estabelece a distinção entre aprendizagem significativa e mecânica como sendo uma dicotomia, e sim como um continuum. Da mesma forma, essa distinção não deve ser confundida com a que há entre aprendizagem por descoberta e aprendizagem por recepção. Segundo Ausubel, na aprendizagem por recepção, o que deve ser aprendido é apresentado ao aprendiz em sua forma final, enquanto que na aprendizagem por descoberta o conteúdo principal a ser aprendido é descoberto pelo aprendiz. Entretanto, após a descoberta em si, a aprendizagem só é significativa se o conteúdo descoberto ligar-se a conceitos subsunçores relevantes já existentes na estrutura cognitiva do indivíduo. Ou seja, quer por descoberta ou recepção a aprendizagem é significativa, segundo a concepção ausubeliana, se a nova informação incorporar-se de forma não arbitrária à estrutura cognitiva. Há aprendizagem mecânica quando um indivíduo adquire informação numa área de conhecimento completamente nova para ele. Isto é, a aprendizagem mecânica ocorre até que alguns elementos de conhecimentos, relevantes a novas informações na mesma área, existam na estrutura cognitiva do indivíduo, e possam servir de subsunçores, ainda que pouco elaborados. À medida que aprendizagem começa a ser significativa esses subsunçores vão ficando cada vez mais elaborados e mais capazes de ancorar novas informações. Para Ausubel (1968), aprender um novo conceito depende de propriedades existentes na estrutura cognitiva do indivíduo, do nível de desenvolvimento do aprendiz, de sua habilidade intelectual, bem como da natureza do conceito em si e do modo como é apresentado. ϰϰ A resolução das equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ , requer do aluno o desabrochar de sua criatividade, conhecimentos sobre os mais variados conteúdos de trigonometria em particular e Matemática em geral, capacidades, hábitos e habilidades, então faz-se necessário que o Professor seja um mediador capaz de motivar e incentivar a descoberta das diferentes vias possíveis de solução das equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ . Parafraseando Freire (1996), o Educador que, ensinando Matemática, “castra” a curiosidade do educando em nome da eficácia da memorização mecânica dos conteúdos, tolhe a liberdade do educando, a sua capacidade de aventurar-se. Não forma, domestica. 1.7.4. O Construtivismo O construtivismo é uma teoria de conhecimentos e aprendizagem, desenvolvida por Piaget e Vygotsky, que explica o que é o conhecimento e como se pode obtê-lo. Nesta perspectiva o conhecimento não é um dado adquirido e transmissível, mas algo pessoal, cujo significado é construído pela pessoa em função da sua experiência. Esta teoria considera que as fontes de conhecimento são, simultaneamente, de origem interna e externa. Sander (1995, apud Caldeira, 2009,p.216) afirma que todos somos construtivistas, se pensarmos que a mente é activa na construção do conhecimento. Na investigação há duas tendências em educação construtivista: a construtivista cognitiva ou radical e a construtivista social. A perspectiva construtivista cognitiva ou radical é fundamentada por Piaget, segundo a qual o desenvolvimento da inteligência do ser se processa em três estágios: sensório motor, pré-operatório e operatório (concreto e formal). Segundo Piaget (1980) a criança assimila determinado conteúdo em função do estágio cognitivo em que se encontra. A criança ao assimilar um conceito, reelaborao, e nesse processo de reelaboração imprime nos conceitos as peculiaridades específicas de seu próprio pensamento. O construtivismo social foi influenciado por Vygotsky. A perspectiva social afirma que o conhecimento está na cultura, na intersubjectividade, nas construções sociais do ϰϱ significado e do conhecimento, que se adquirem através de convenções linguísticas e processos sociais. A postulação interaccionista de Vygotsky ganha vida nos planos genéticos por ele postulado: a filogénese (história da espécie humana), ontogénese (desenvolvimento do ser), sociogénese (história cultural, formas do funcionamento cultural que interferem no desenvolvimento psicológico) e a microgénese (cada fenómeno psicológico tem sua própria historia). Cobb (1997, apud Caldeira, 2009,p.217) et al defendem que a aprendizagem Matemática é um processo activo de construção individual e enculturação nas práticas Matemáticas da sociedade. Assim, o Ensino deve proporcionar aos alunos oportunidades de experiências concretas, com significados e, contextualizadas de maneira a descobrir padrões, formular questões e construir os seus próprios modelos, conceitos e estratégias. O professor como mediador e orientador vai guiar a discussão dos pontos de vistas, de cada aluno em sala de aula, apresentando contra-exemplos que estimulem o pensamento, testando a generalização dos padrões apresentados pelos alunos. Mediante o construtivismo a aula vira uma actividade carregada de desafios, reflexão conjunta quer das ideias dos alunos como as do professor e não mais uma mera “ cantiga de ninar” em que muitos adormecem, porque os alunos são activos na construção dos seus próprios conhecimentos. É na inconclusão do ser, que se funda a educação como processo permanente. Parafraseando Papert (1980, apud Fino 2004), os aprendizes não aprendem melhor pelo facto de o professor ter encontrado melhores formas de os instruir, mas por lhes ter proporcionado melhores oportunidades de construir o conhecimento. Segundo Freire (1977) quando se constrói de forma crítica os conhecimentos os alunos recriam ideias e não mais importam. Dessa forma, um Ensino construtivista crítico não poderia ser entendido como conjunto de receitas prontas a serem seguidas, mas como sugestões a serem examinadas pelos professores. O Ensino das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , exige que o professor na sala de aula seja um orientador capaz de mediar de acordo as situações. Porque os alunos têm os seus pontos de vistas, afinal de contas, diferentes pessoas olham sobre a mesma realidade de forma diferente. De forma a construir a aula no Ensino das Equações Trigonométricas, o Professor deve estar ciente de que, os alunos já possuem concepções alternativas e que sobre muitas realidades científicas eles podem estar mais informados ,as vezes com o mesmo grau de conhecimentos que o Professor, as vezes, muito mais informados e o caso frequente nunca estar informado. O Professor precisa ser um grande gestor, para poder aproveitar os pontos de vistas dos alunos nas diferentes vias e estratégias por eles apresentadas. Como se viu, as equações trigonométricas do tipo ǡ ൌ , muitas vezes não têm uma única forma de resolução, face a isso o Professor precisa, fazer da aula um processo de inclusão social dos alunos, respeitando as opiniões dos alunos e permitir que os mesmos se desabrochem na resolução das Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ . 1.7.5. Currículo Durante a selecção de conteúdos devem ser privilegiados aqueles que possam ser utilizados como instrumentos teórico-práticos, capazes de orientar a tomada de decisões nos diferentes problemas da vida profissional e social. Nesse processo, entretanto, é fundamental realizar uma escolha que, por incorporar conteúdos científicos, universais e amplos, evite o empobrecimento da formação. A palavra currículo é usada em diferentes contextos e com diversificados significados, dentre as muitas semânticas sobre currículo, nesse trabalho elegeu-se a formulada por D´Ambrósio (2009), segundo a qual, currículo é uma estratégia para a acção educativa que envolve um conjunto de orientações sobre o Ensino em um determinado nível, onde se contemplam, de um modo geral, objectivos, conteúdos, metodologias, materiais e formas de avaliação. Assim um currículo de Matemática, deve privilegiar um modo mais eficaz de ensinar/aprender Matemática, em que os alunos aprendem factos, conceitos, princípios, destrezas, processos de raciocínio e estratégias de resolução de problemas. Um currículo tem que estar voltado aos interesses e necessidades dos alunos. Segundo Pacheco (1996, apud Caldeira, 2009,p.191) o professor não deve ser “apenas o operário do currículo mas também um dos seus arquitectos”. Assim é necessário o professor ter uma atitude investigativa, criativa, crítica e reflexiva do seu próprio trabalho, para poder imprimir nos currículos uma retro alimentação sempre que necessário. De acordo com a Lei 13/01 Lei de bases do sistema de educação, no seu artigo 20º no ponto 2, são objectivos específicos do 2º ciclo o seguinte: a) Preparar o ingresso no mercado de trabalho e/ou no subsistema de Ensino superior. b) Desenvolver o pensamento lógico, abstracto e a capacidade de avaliar os modelos científicos na resolução de problemas da vida prática. Assim sendo faz-se necessário a introdução do tema Equações Trigonométricas do tipo ǡ ൌ , nos programas e manuais da 11ª Classe, dado que constitui requisito base para a compreensão dos conteúdos ministrados nos cursos de Ciências Exactas nos ISCED´s e em alguns cursos de engenharia, como engenharia petroquímica, de construção civil e computacional. De modo assegurar uma sólida preparação científica, há uma necessidade extrema de reformulação do currículo de Matemática e consequentemente redefinição de alguns objectivos, visto que um dos objectivos da educação é: formar um indivíduo capaz de compreender os problemas nacionais, regionais e internacionais de forma crítica e construtiva para a sua participação activa na vida social, à luz dos princípios democráticos (lei 13/01, artigo 3º alínea b). 1.8. PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO TEMÁTICA DO CAPITULO 1:TRIGONOMETRIA Nas páginas seguintes do presente trabalho segue-se a proposta de planificação temática do Capítulo1:Trigonometria, introduzido nele o conteúdo que se propõe, reformulado e redefinido alguns objectivos. Não é apresentado aqui a reformulação completa do programa da 11ª Classe, pois não constitui objecto de escopo do trabalho elaborado. Situação de Aprendizagem (conteúdos e temas) Expectativas e Habilidades de Aprendizagem Estratégias - Localizar na circunferência trigonométrica a Resolução de situações Generalização da noção de ângulo. extremidade final de arcos dados em graus problemas. As razões trigonométricas ou em radianos; 1.1 -Medidas de um ângulo. • Medida de um ângulo - Reconhecer as razões trigonométricas Utilização e exploração da • Generalização da noção de (seno, cosseno e tangente) no triângulo Calculadora científica na ângulo rectângulo e utilizá-las para resolver e elaborar resolução de alguns • As razões trigonométricas problemas. problemas. • Fórmulas e resultados de Compreender as leis do seno e do cosseno e referência aplicá-las para resolver e elaborar Utilizar a ênfase geométrica Resolução de triângulos problemas. (objecto concreto) para • - Conhecer as razões trigonométricas para compreensão dos conceitos a) Lei dos senos ângulos agudos num triângulo rectângulo, e trigonométricos de forma b) Lei dos cossenos desenvolver a capacidade de aplicá-las no natural. cálculo de triângulos e na resolução de problemas da vida prática. - Identificar as simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução de situações problema; - Conhecer as identidades trigonométricas e saber demonstrá-las. 49 Tempo Previsto 12 Aulas (aulas de 45 minutos cada) 1.2 -As funções trigonométricas - Construir o gráfico de uma função , trigonométrica dada a equação que a Resolução de situações problema contextualizadas. para ângulos quaisquer. representa; identificar alguns parâmetros Construção de gráficos e As funções trigonométricas no importantes do modelo ondulatório para a identificação das constantes, círculo trigonométrico descrição matemática de fenómenos avaliando significados; -As funções trigonométricas num periódicos; determinar a equação da função utilização de software auxiliar referencial em que a amplitude do representada por um gráfico dado. para a construção de ângulo é a abcissa -Identificar gráficos de funções trigonométricas. gráficos. -Transformação dos gráficos das Conhecer os valores das funções Utilização e exploração da funções trigonométricas para ângulos comuns e a Calculadora científica na Equações trigonométricas construção dos gráficos dessas funções, resolução de alguns a) Equações trigonométricas reconhecendo suas propriedades. problemas. simples. Redução a 1º quadrante. -Relacionar a representação algébrica com a representação gráfica das funções b) Equações Trigonométricas do trigonométricas. tipo Relacionar situações-problema, apresentadas . em língua materna, com os significados associados aos fenómenos periódicos; -Resolver equações trigonométricas simples. Utilizar as transformações trigonométricas na resolução de problemas e a resolução de 50 24 Aulas (aulas de 45 minutos cada) equações trigonométricas. -Resolver equações trigonométricas que envolvem senos e cossenos; interpretar resultados e fazer referências. Aulas de Avaliação Diagnosticar, retro informar e favorecer o Aplicação de testes com desenvolvimento individual. diferentes graus de complexidade -Manter ou reformular as técnicas de ensino de conteúdo. 2 Aulas (aulas de 45 minutos cada) aprendizagem. -Verificar o nível de conhecimento dos alunos através da produção livre de conhecimentos. Aulas de Reserva - Fazer retro alimentação de alguns conceitos Identificar as fragilidades dos que não fora bem assimilado. alunos nos conceitos e aplicação - Contribuir para a compreensão, pelos alunos, dos dos mesmos e fazer de ponto de aspectos abordados em classe (ou relacionados a partida para a aula. 2 Aulas (aulas de 45 minutos cada) eles) e que geraram dúvidas. Total de Aulas Tabela nº 2: Tabela da Proposta de reajustamento do Capítulo 1: Trigonometria 51 40 Aulas Na planificação temática anterior foi feita a distribuição dos subtemas do Capítulo 1: Trigonometria, em função do tempo disponível para este tema no Programa actual e em função do currículo, sendo que cada semana corresponde a quatro tempos lectivos de Matemática, cada um com a duração de quarenta e cinco minutos. Conclusões do capítulo I O estudo das equações trigonométricas da forma ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ está subordinado a muitos conhecimentos matemáticos, desde a álgebra, aritmética e a própria trigonometria de forma específica. As equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ integram a própria trigonometria, visto que para sua resolução é necessário que o indivíduo tenha domínio das relações trigonométricas fundamental e derivadas, as fórmulas de arcos complementares e suplementares, as fórmulas de adição e subtracção de arcos, fórmulas do arco duplo, arco metade e as fórmulas trigonométricas de transformação logarítmica. Na integração dos conhecimentos matemáticos, para a resolução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, é necessário também que o individuo saiba trabalhar ou expressar os arcos em graus ou em radianos. Neste capítulo se expôs os principais fundamentos que se tiveram em conta para se introduzir nos programas e manuais de Matemática da 11ª Classe a resolução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ. Os referentes teóricos que o autor assume estão apoiados nos princípios, leis e categorias da Didáctica Geral e da Matemática e assume como pressuposto psico-pedagógico o enfoque ausubeliano-construtivista no contexto de um Ensino-Aprendizagem desenvolvedor como base para estudar o processo de Ensino e Aprendizagem das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ. A reestruturação do capítulo I: Trigonometria, presente na proposta garante um estudo aprofundado e integrado do tema trigonometria de forma geral e integra os conhecimentos matemáticos (algébricos, aritméticos e trigonométricos). CAPITULO II: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA PROPOSTA CAPITULO II: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA PROPOSTA. Neste capítulo faz-se a análise dos dados colectados na pesquisa, do teste aplicado aos alunos e dos inquéritos aos espertos. Para facilitar a sua compreensão foram organizados em tabelas e gráficos distribuídos em diferentes categorias. Em cada gráfico apresenta-se a referida análise. 2.1. População e Amostra Para averiguar o problema levantado no trabalho utilizou-se a população dos alunos que terminaram o Ensino Médio e teve-se como amostra os candidatos ao exame de admissão ao curso de informática Educativa do ISCED-Huila, ano académico 2014. Os dados foram recolhidos no ISCED-HUILA, a partir das provas de Matemática dos exames de admissão, ano académico 2014 do curso de Informática Educativa, diurno e pós laboral, em virtude dos respectivos exames englobarem uma das questões tangentes ao referido tema de investigação, com o objectivo de averiguar o estado de conhecimento do tema em um grupo mais heterogéneo e representativo, uma vez que estão inclusos, candidatos vindos de diferentes cursos e escolas da Província da Huila e não só. Tendo os mesmos constituído uma amostra composta por 176 indivíduos dos quais 121 para o curso regular e 55 para o curso pós laboral. Além dos mesmos exames terem incluído questões relativas ao tema, também constituiu necessidade fazer a recolha no ISCED-Huila, o facto do posicionamento do tema Equações Trigonométricas no Programa da 11 ª Classe ser o último do Capítulo e no momento em que se fez a recolha os alunos dessa classe não haviam dado tais conteúdos. 2.1.2. Caracterização geral da Amostra dos candidatados quanto ao curso de Proveniência do Ensino Médio. Os candidatos são provenientes de diferentes cursos do Ensino Médio, desde os cursos de Formação Geral ao Ensino Técnico-Profissional, distribuídos em regime Diurno e Pós-Laboral. A caracterização dos mesmos estudantes segundo o regime, consta das tabelas nº 3 e 4, fornecidas pela Repartição Académica do Departamento dos Assuntos Académicos do ISCED-Huila. a) Candidatos do Regime Diurno. Nº CURSO DE PRECEDÊNCIA DE ENSINO CANDIDATOS MÉDIOMÉDIO M 1. Educação Visual e Plástica 1 2. Ensino Primário - 1 3. Matemática e Física 3 - 4. Ciências Económicas e Jurídicas 6 1 5. Ciências Físicas e Biológicas 16 4 6. Ciências Humanas 3 - 7. Informática de Gestão 1 - 8. Administração e Serviços 1 - 9. Administração Pública 5 1 10. Ambiente e Controlo da Qualidade 1 - 11. Contabilidade e Gestão 3 1 12. Electricidade Electrónica e telecomunicações 2 - 13. Energia e Instalações Eléctricas 5 - 14. Estatística e Planeamento 3 1 15. Agricultura 1 - 16. Informática 15 10 17. Informática Aplicada à Gestão 6 3 18. Informática de Gestão 21 10 19. Mecânica 1 - 20. Obras de Construção Civil 2 - 21. Secretariado - 1 22. Electrónica 1 - TOTAL DE CANDIDATOS F 130 Tabela nº 3: curso de precedência de Ensino Médio (candidatos do regime diurno). Fonte: DAAC-RA, ISCED-HUILA, 2014. b) Candidatos do regime Pós-Laboral. Nº CURSO DE PRECEDÊNCIA DE ENSINO CANDIDATOS MÉDIOMÉDIO M F 1. Biologia e Química 2 - 2. Educação Moral e Cívica 1 - 3. Ensino Primário - 1 4. História e Geografia 1 - 5. Matemática e Física 5 1 6. Ciências Humanas 1 - 7. Construção Civil 1 - 8. Contabilidade e Gestão 2 - 9. Económicas e Jurídicas 7 - 10. Físicas e Biológicas 7 3 11. Administração Pública 1 2 12. Construção Civil 2 - 13. Contabilidade e Gestão 4 1 14. Estatística e Planeamento - 1 15. Informática 1 1 16. Informática de Gestão 5 1 17. Instalações Eléctricas 2 - 18. Manutenção Industrial 1 - 19. Metalomecânica - 1 20. Secretariado - 2 Total candidatos 57 Tabela nº 4:curso de precedência de Ensino Médio (candidatos do regime PósLaboral). Fonte: DAAC-RA, ISCED-HUILA, 2014. 2.2. Teste de Conhecimento Para realização deste trabalho, aproveitou-se o exame de admissão do ISCED-Huila para o Curso de Informática Educativa, ano académico 2014, pelas razões já justificadas anteriormente. 2.2.1. Resultados dos candidatos ao teste de conhecimento 2.2.1.1. Resultados dos candidatos ao Regime Diurno Os resultados obtidos pelos 121 estudantes avaliados no curso regular no exame de admissão ao curso de Informática Educativa no ISCED-Huila, quanto a alínea d) da terceira questão (ver anexo nº 6), permitiram agrupar os candidatos nos grupos: A, B, C e D. Sendo: A: candidatos que resolveram razoavelmente ou conseguiram dar o primeiro passo. B: candidatos que erradamente resolveram o exercício. C: candidatos que apenas transcreveram a questão na folha de prova. D: candidatos que nem transcreveram a questão na folha de prova. Mediante o gráfico que se segue pode-se perceber melhor o aproveitamento dos candidatos. ŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽĚŽƐĐĂŶĚŝĚĂƚŽƐƌĞŐƵůĂƌĞƐ ƋƵĂŶƚŽĂƌĞƐƉŽƐƚĂĚĂĚĂ Ϯ͖Ϯй Ϯϴ͖Ϯϯй ϭϭ͖ϵй ϴϬ͖ϲϲй Gráfico 1: distribuição dos candidatos do regime diurno quanto a resposta dada Nos elementos do grupo A, apenas um conseguiu demonstrar habilidades e conhecimentos para resolver a questão, sendo que o outro elemento desse mesmo grupo somente conseguiu dar o primeiro passo de forma razoável e correspondem a +, a via de resolução por eles utilizada foi a aplicação da fórmula da soma de arcos e posteriormente os conhecimentos de arcos de extremidade associada. Relativamente ao grupo B que corresponde a !!+, os elementos mostraram não conhecer as fórmulas de transformação logarítmica e as fórmulas de adição ou subtracção de arcos, ou se conheciam não sabiam quando e como utilizar as fórmulas trigonométricas, sendo que muitos davam a resposta como se de um cálculo mental se tratasse, dizendo que a equação tinha n soluções. Os elementos do grupo C, transcreveram apenas o exercício na folha e correspondem a )+ e já o grupo D, os seus elementos nem transcreveram o exercício na folha para ao menos tentar, correspondendo a + dos avaliados. Apesar de o exercício inicialmente ter duas vias de solução, os indivíduos avaliados de um modo geral não conseguiram resolver. O exercício podia ser resolvido em primeira instância, pela aplicação da fórmula da soma de arcos ou pela aplicação da fórmula de transformação logarítmica do seno. A terceira questão (ver anexo nº 6) do enunciado do regime diurno que tinha na sua alínea d) uma equação trigonométrica, foi: Determine o conjunto solução das seguintes equações e inequações. d. no intervalo A equação podia ser resolvida da seguinte maneira: no intervalo . Assim resolvendo o exercício pela primeira via, aplicando a fórmula da soma de arcos vem: , anulando os termos simétricos obtem-se √ # √ √ √ # $ , solução geral da equação dada. Como se estabeleceu um intervalo para as raízes da equação, então tem-se: Para Para Para Para O primeiro valor e o último obtidos quando k é igual a zero e a 3 respectivamente, não são soluções da equação porque não pertencem ao intervalo estabelecido. Portanto a equação tem duas soluções no intervalo , % ' ( Ou ainda podia ser resolvida pela fórmula de transformação logarítmica do seno, como se segue. ഏర ഏర ഏర ഏర , reduzindo e anulando os termos simétricos no argumento vem : # √ , que é a equação anteriormente resolvida. √ Em virtude de serem muitos os cortes que se fez nas provas quanto as questões avaliadas, serão apresentadas somente a principio as respostas dadas pelos candidatos que mostraram conhecimentos capazes para dar solução as questões. No anexo nº 8 são apresentados algumas respostas dadas pelos candidatos para se poder ter noção das dificuldades apresentadas pelos mesmos na busca de uma estratégia para resolução dos exercícios propostos relativamente ao tema em estudo nesse trabalho. Figura 1: Raciocínio dos estudantes Abaixo segue-se o corte feito nos exames de admissão do curso regular, dos dois únicos candidatos que conseguiram dar o primeiro passo ou resolver razoavelmente 2.2.1.2. Resultados dos candidatos ao Regime Pós-Laboral Já para o curso Pós-Laboral, onde foram avaliadas duas questões a respeito das equações trigonométricas do tipo , conforme o enunciado em anexo (ver anexo 6) na sua segunda questão alínea a) e terceira questão alínea b). Quanto a primeira questão referente as equações trigonométricas, nenhum candidato conseguiu resolver e nem dar o primeiro passo. Mostraram desconhecer o algoritmo de resolução ou desconhecer essas equações. Muitos apenas davam a resposta, afirmando que a equação tinha duas soluções ou n soluções, uns transcreveram apenas a questão na folha e outros nem isto fizeram. Pela formulação a pergunta em si, não exigia do candidato a resolução do exercício, afinal de contas diga-se de passagem, elaborar perguntas não é uma tarefa fácil. No sentido de determinar a resposta da questão formulada com maior certeza é sempre em muitos casos necessário resolver o exercício dado. Para obter a resposta com maior certeza para a primeira questão, inicialmente podia ser resolvida mediante duas vias: primeiro dividindo ambos os membros por , transformando-a numa equação somente de tangentes e aplicar o método da variável auxiliar ou ainda podia ser resolvida mediante a aplicação do complemento quadrático e posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto. A questão foi: 3. Quantas soluções, tem a seguinte equação, no intervalo 0, 1: a) Mediante a primeira via vem: , dividindo ambos membros por tem-se: , fazendo -, vem , resolvendo obtém-se respectivamente & Retornando em , tem-se Para , onde Para . Determinando as raízes da equação pertencentes ao intervalo dado vem: Quanto a primeira solução geral tem-se: Para Para Para , vemos que este valor não faz parte do intervalo. Quanto a segunda solução geral tem-se: Para Para Para , vemos que este valor não faz parte do intervalo. Portanto a equação dada tem quatro soluções no intervalo 0, 1, % ' (. Por outra via, aplicando o complemento quadrático, teremos: , adicionando e subtraindo , vem: ) ) , que é uma diferença de quadrados, logo tem-se ) * ) * & , dividindo ambos membros por , tem-se , que é a equação resolvida anteriormente. De forma análoga em dividindo ambos os membros por , tem- se , que também já foi resolvida anteriormente. As respostas obtidas para essa questão, permitiram agrupar os candidatos também nos mesmos grupos. A partir do gráfico que segue, é possível aclarar melhor os resultados obtidos. ŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽĚŽƐĐĂŶĚŝĚĂƚŽƐĚŽWſƐͲ>ĂďŽƌĂů ƋƵĂŶƚŽĂƌĞƐƉŽƐƚĂĚĂĚĂăƉƌŝŵĞŝƌĂƋƵĞƐƚĆŽ͘ Gráfico 2: distribuição dos candidatos do Pós-Laboral quanto a resposta dada à 1ª questão Duma forma geral, a segunda questão a línea a) foi um “mártir”, para os candidatos. Vale recordar que nas Equações Trigonométricas do tipo , elas são subordinadas a muitos conhecimentos e artifícios de álgebra e aritmética, pode se dizer em linhas gerais que são as mais complexas. No anexo nº 8 consta algumas das respostas dadas pelos candidatos face a esse exercício. Referente a segunda questão, apenas um candidato mostrou conhecer o algoritmo de resolução, tendo feito a substituição necessária, factorizado e aplicado a lei do anulamento do produto, posteriormente baseando-se no conhecimento dos arcos de extremidade associada. Relativamente a segunda questão foi possível distinguir também quatro grupos: No gráfico a seguir pode-se observar com maior precisão o agrupamento dos candidatos do Pós-Laboral quanto aos resultados relativos a segunda questão. ŝƐƚƌƵŝĕĆŽĚŽƐĐĂŶĚŝĚĂƚŽƐĚŽWſƐͲ>ĂďŽƌĂů ƋƵĂŶƚŽĂƌĞƐƉŽƐƚĂĚĂĚĂăƐĞŐƵŶĚĂƋƵĞƐƚĆŽ͘ Gráfico 3: distribuição dos candidatos do Pós-Laboral quanto a resposta dada à 2ª questão. Os candidatos avaliados, quanto a segunda questão demonstraram não saber como realizar os cálculos, as relações trigonométricas e consequentemente as identidades trigonométricas. Uns mostraram ter noção do método da variável auxiliar, mas não sabiam quando e como aplicar, porque aplicavam mesmo quando a equação não tinha uma expressão comum. Muitos candidatos transcreveram somente a questão para a folha e outros nem isso fizeram. Em linhas gerais )-+ dos candidatos apresentaram dificuldades graves na resolução do exercício. A segunda questão foi: Determine o conjunto solução das seguintes equações: Tendo como alínea b) a equação . Inicialmente a segunda questão tinha duas vias de resolução, podia ser resolvida aplicando a identidade e posteriormente factorizando-a (ou aplicando o método da variável auxiliar) ou ainda podia inicialmente ser aplicada a relação మ , posteriormente transformada a equação em uma equação só de tangentes, aplicar também o método da variável auxiliar. Resolvendo a equação pela primeira via tem-se , substituindo por vem: , factorizando & Portanto % ' - & (. Ou ainda, pela segunda via tem-se: Sabe-se que మ మ , então , multiplicando ambos membros por vem: , sabe-se que da identidade fundamental então: , dividindo ambos os membros por obtém-se a equação , que é a equação resolvida anteriormente. A seguir vai resposta dada pelo único candidato que conseguiu resolver razoavelmente a segunda questão. Mais cortes das provas, ver anexo nº 8. Figura 2: Raciocínio do estudante 2.2.1.3. Erros mais comuns Além dos erros específicos relativos a trigonometria, os erros mais comuns foram de carácter algébrico e aritmético, visto que mostraram desazo em manejar variáveis assim como não dispunham de técnicas necessárias para operar com números, no sentido de encontrar respostas para os exercícios propostos (ver anexo 8). Além dos erros já citados, outro erro mais comum foi o facto de os candidatos não conhecerem a trigonometria, ou seja, saber que os conteúdos de trigonometria e não só, relacionam-se entre si, porque tiveram muitas dificuldades em aplicar as fórmulas trigonométricas, como por exemplo, as identidades trigonométricas, fundamental e derivadas, as fórmulas de adição e subtracção de arcos, arco duplo e arco metade e as fórmulas de transformação logarítmica. 2.3. Avaliação da proposta Para avaliação da proposta, foram inqueridos onze Professores afectos a repartição de Ensino e investigação da Matemática do ISCED-Huila e seis coordenadores de Matemática das Escolas do II Ciclo do Ensino Secundário do Lubango (Escola Secundária do Lubango, Escola Secundária da Arimba, Escola Secundária do Nambambe, Magistério Primário, Escola de Formação de Professores “Comandante Liberdade” E.F.P e Instituto Médio de Economia do Lubango-IMELUB). 2.3.1. Validação da Proposta de introdução das Equações trigonométricas da forma , no Programa da 11ª. Classe A validação qualitativa da proposta foi feita pelo método de Delphi (critério de Validação pelos peritos) tida como útil para investigações pedagógicas, (Sungo 2007 apud Rasga 2010:108p). Durand citado por Grelo (2009) definiu perito como: “É um indivíduo, um grupo de indivíduos ou uma organização capazes de oferecer valorização conclusivas de um problema e fazer recomendações a respeito dos seus momentos fundamentais com um máximo de competência.” Os peritos foram consultados individualmente, mediante inquérito (Anexo nº 1), com o objectivo de obter valorizações e opiniões sobre as discrepâncias. Para tal, metodologicamente, seguiram-se três fases: 1. A elaboração do questionário; 2. Selecção dos Peritos a inquirir; 3. A recolha, análise e interpretação dos dados. Para que um profissional se assuma como perito numa dada temática, requer um certo nível de competência demonstrada. Este nível de competência pode ser dado pelo coeficiente K, calculado a partir da sua própria opinião sobre o seu grau de conhecimentos acerca do problema e das fontes que permitem argumentar os seus critérios, dado pela fórmula K = 1 ( K C + K a ) , onde: 2 K C indica o coeficiente de conhecimentos do perito sobre o problema e cujo valor é determinado multiplicando por 0,1, o valor do nível de informação quanto ao problema tratado, dado pelo próprio perito numa escala de zero a dez (onde zero indica o nível mais baixo e dez o pleno conhecimento do assunto, Anexo nº 2 tabela nº 9); K a indica o coeficiente de argumentação ou informação do perito a partir das fontes padronizadas (Anexo nº 2 , tabela nº 8). 2.3.2. Selecção dos Peritos Foram seleccionados 17 profissionais da educação da área de Matemática, sendo 11 Professores do Instituto Superior de Ciências da Educação da Huila (ISCEDHuila) e 6 coordenadores de Matemática das Escolas do II Ciclo do Ensino Secundário do Lubango (Escola Secundária do Lubango, Escola Secundária da Arimba, Escola Secundária do Nambambe, Magistério Primário, Escola de Formação de Professores “Comandante Liberdade” E.F.P e Instituto Médio de Economia do Lubango-IMELUB). Foram excluídos 2, 1 por abstenção a respostas do inquérito e outro por coeficiente de conhecimento baixo, ficando apurados 15. Esta selecção baseou-se nas respostas ao teste de auto-avaliação do perito (Anexo nº 1, Anexo nº 2 tabela nº 8 e 9 e, Anexo 3 tabela nº 10), tendo em conta os seguintes aspectos: (1) Anos de experiência e docência, (2) categoria do professor, (3) Grau científico, (4) Centro onde trabalha, (5) cargo que ocupa e (6) coeficiente de competência em relação ao tema da pesquisa (Anexo 4, tabela nº 11). 2.3.3. Caracterização dos peritos Os peritos seleccionados apresentam as seguintes características: - Tempos de experiência profissional – 8 peritos, têm mais de 20 anos de trabalho e 7 peritos com mais de 4 anos. - Grau científico – 2 são Doutorados, 8 são mestrados e 5 são licenciados em Ensino de Matemática (ver anexo nº 4, tabela nº 11). - Coeficiente de competência – foi tomado o nível alto como revelam os valores de todos os peritos, conforme a tabela seguinte: Perito D D ‫ܭ‬ Nível de competência 1 1,0 1,00 1,000 Alto 2 1,0 1,00 1,000 Alto 3 0,8 1,00 0,900 Alto 4 0,9 1,00 0,950 Alto 5 0,8 1,00 0,900 Alto 6 0,9 1,00 0,950 Alto 7 1,0 1,00 1,000 Alto 8 1,0 1,00 1,000 Alto 9 1,0 1,00 1,000 Alto 10 1,0 1,00 1,000 Alto 11 0,9 0,95 0,925 Alto 12 0,9 0,95 0,925 Alto 13 0,9 0,95 0,925 Alto 14 1 1 1 Alto 15 0,9 0,9 0,9 Alto Tabela 5: Coeficiente de competência dos peritos De realçar que os limites de avaliação da competência dos peritos são: Se 0 ≤ K ≤ 0.5 o coeficiente de competência é Baixo; Se 0.5 ≤ K ≤ 0.8 o coeficiente de competência é Médio; Se 0.8 ≤ K ≤ 1.0 o coeficiente de competência é Alto. 2.4.Valorização Teórica da Efectividade da Proposta Foram seleccionados como critérios de qualidade para a avaliação da proposta os seguintes indicadores: • Os Objectivos • As exigências de introdução da Proposta • Os métodos e meios de Ensino • Grau de Relevância da Proposta • A estratégia Sobre estes critérios foram formuladas cinco questões às quais os peritos deveriam responder com base nas categorias: MA – Muito Adequada (5); BA – Bastante Adequada (4); A – Adequada (3); PA – Pouco Adequada (2) e NA – Não Adequada (1). Designações Peritos Q2 Q1 Q4 Q3 Q5 1º Perito 3 3 3 3 3 2º Perito 4 3 4 3 3 3º Perito 4 5 4 5 5 4º Perito 4 3 4 4 4 5º Perito 5 4 5 4 5 6º Perito 4 4 4 4 4 7º Perito 4 4 4 4 4 8º Perito 4 3 4 4 3 9º Perito 4 5 5 4 4 10º Perito 3 3 4 4 3 11º Perito 3 3 3 3 3 12º Perito 4 5 5 4 5 13º Perito 5 4 5 4 5 14º Perito 5 5 5 5 5 15º Perito 4 4 3 3 5 Tabela nº 6: Tabela de caracterização das respostas dos peritos a cada iten do inquérito Estes resultados foram organizados em tabelas de frequência absolutas (Tabela nº 12), frequência absolutas acumuladas (Tabela 13) e frequências relativas e relativas acumuladas (Tabela nº 14 e nº 15), todas do anexo 5. Nº Aspectos MA BA A PA NA Soma P N-P 1 I.1 -0,84 0,84 3,49 3,49 3,49 10,47 2,09 -0,01 2 I.2 -0,63 0,26 3,49 3,49 3,49 6,61 2,02 0,06 3 I.3 -0,43 0,85 3,49 3,49 3,49 7,40 2,18 -0,09 4 I.4 -1,11 0,62 3,49 3,49 3,49 6,49 2,00 0,09 5 I.5 -0,25 0,43 3,49 3,49 3,49 7,16 2,13 -0,05 Soma -3,26 3,00 17,45 17,45 17,45 38,13 Pontos de Corte -0,65 0,60 3,49 3,49 3,49 2,08 Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte Estes valores foram obtidos mediante as tabelas de distribuição normal da probabilidade presente no anexo 9. Os pontos de corte a considerar são os pontos que se apresentam abaixo: MA -0.65 BA 0,60 A 3,49 PA 3,49 NA 3,49 Ao analisar cada uma das questões, verifica-se que todos os cinco indicadores são bastante adequados. Estes resultados provam que existem evidências suficientes para se considerar a proposta de introdução das equações trigonométricas do tipo no Capítulo I: Trigonometria no Programa da 11ª. Classe válida para a sua introdução no processo de Ensino-Aprendizagem das equações trigonométricas. Conclusões do capítulo II O estado de conhecimento do tema é muito reduzido, uma vez que não houve grande êxito da parte dos candidatos na resolução dos exercícios propostos no exame de admissão para o curso de Informática Educativa no ISCEDHuila, ano académico 2014. A auto-avaliação dos peritos mostrou que possuem uma alta competência para a validação da proposta. Os Peritos inquiridos de uma forma geral foram unânimes em considerar a proposta como sendo Bastante Adequada. As respostas e sugestões dos peritos permitem concluir que a implementação da proposta poderá melhorar o processo de Ensino e aprendizagem das equações trigonométricas. CONCLUSÕES GERAIS E SUGESTÕES CONCLUSÕES GERAIS A necessidade de propiciar uma perspectiva globalizante do conhecimento matemático sobre trigonometria de modo a entende-la de forma integrada e o facto de as competências mobilizarem múltiplos saberes – saberes para a acção, desenvolveu-se o trabalho sob o tema: Proposta de Introdução das Equações Trigonométricas da Forma ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ no Capitulo I: Trigonometria, no Programa da 11 ª Classe do II Ciclo do Ensino Secundário, onde pode-se depreender que: A introdução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ, nos programas e manuais da 11ª. Classe, constitui uma grande necessidade, visto que a este nível integra os conhecimentos matemáticos sobre aritmética, álgebra e trigonometria e nos níveis posteriores são exigidos dos estudantes o domínio das mesmas. O conceito de equações trigonométricas é um conceito subordinado aos conceitos bases de trigonometria (como por exemplo as razões trigonométricas) assim como a resolução das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ é subordinada a todo um aparato muito forte sobre os conhecimentos de Trigonometria. A proposta que se apresenta, para elevar a qualidade de EnsinoAprendizagem e minimizar as dificuldades encontradas no processo de Ensino-Aprendizagem das Equações Trigonométricas, fazendo uso de métodos activos, demonstrou ser exequível e pertinente segundo a avaliação positiva realizada pelos peritos; A proposta possibilita que: Os professores que leccionam a 11ª classe e não só, tenham um guia em que se possam apoiar para a o Ensino das equações trigonométricas da forma ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿǤ Os alunos podem desenvolver o pensamento reflexivo e abstracto e integrado da trigonometria mediante a inclusão dos conteúdos e objectivos presentes na proposta. SUGESTÕES Que seja introduzido pelo órgão de tutela, a resolução das equações trigonométricas da forma ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ , nos Programas e Manuais da 11ª. Classe, assim como a reestruturação do capitulo I: trigonometria, conforme a proposta. No processo de Ensino e aprendizagem das equações trigonométricas do tipo ܴሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ǡ ܿ‫ݔݏ݋‬ሻ ൌ ܿ , o Professor deve ser um verdadeiro mediador na gestão dos diferentes pontos de vistas dos alunos para a resolução dos exercícios propostos, uma vez que a resolução dessas equações está subordinada a muitos conhecimentos. Os alunos devem sentir premência em aprender as equações trigonométricas devido a necessidade desses conteúdos a este nível e nos estudos posteriores. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E OUTRAS FONTES. 1. ANGOLA, Lei de Bases do Sistema de Educação Nº 13/2001. Luanda. 31 de Dezembro de 2001. 2. AUSUBEL, David P. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: Uma Perspectiva Cognitiva.1ª ed. Plátano Edições Técnicas -Lisboa. Paralelo Editora Lda, 2000. 3. CALDERA, Maria Filomena Tomaz Henriques Serrano. A Importância dos Materiais para uma Aprendizagem Significativa da Matemática. Tese de Doutoramento. Málaga. Abril, 2009. 4. D´AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria a prática. 17ª ed. Papirus editora. S.P-2009. 5. FERNANDES, António do Nascimento Palma. Exercícios de Álgebra, Trigonometria e Geometria Analítica Para o 7º Ano dos Liceus.15. ed. Livraria Didáctica. 1971. 6. FINO, Carlos Nogueira. Convergência entre a teoria de Vygotsky e o Construtivismo/Construcionismo. Universidade da Madeira, 2004. 7. FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. 8. HERNÁNDEZ SAMPIERI, Roberto; COLLADO, Carlos Fernández; LUCIO, María del Pilar Baptista. Metodologia de la Investigación. Quinta Edición. McGraw Hill. México, 2010. 9. INIDE. Programa de Matemática do 2º Ciclo do Ensino Secundário 11.ª Classe(Reforma Educativa-Fase de Experimentação). 10. LARSON, Ron; FARBER, Betsy .Estatística Aplicada. Tradução Luciana Ferreira Pauleti Viana-4ª Ed. São-Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 11. LEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática Volume Único. Atual Editora. 4.ed.São Paulo, 2007. 12. ___________. Matemática Volume Único. Atual Editora. 5.ed.São Paulo, 2011. 13. MARCONI, Marina de Andrade; LAKATOS, Eva Maria. Metodologia Cientifica. 6. ed.São Paulo: Atlas, 2011. 14. MARCONI, Marina de Andrade; LAKATOS, Eva Maria. Metodologia do Trabalho Cientifico. 7. ed.São Paulo: Atlas, 2012. 15. MARQUES, Ramiro. Dicionário breve de pedagogia. 2ª ed.(Revista e Aumentada). 16. MESQUITA, Raul; DUARTE, Fernanda. Dicionário de Psicologia. 1ª ed. Plátano Editora, S.A. 1996. 17. MOYER, Robert E. AYRES, Frank. Trigonometry With Calculator BasedSolutions. Fourth Edition. McGraw Hill. US. 2009 18. MOREIRA, Marco António. A Teoria da Aprendizagem Significativa e sua implementação em sala de aula. Editora Universidade de Brasília, 2006. 19. MOREIRA, Marco António; MASINI, Elcie F.SalZano. Aprendizagem Significativa A Teoria de David Ausubel. Editora Moraes Ltda. São Paulo.SP 1982. 20. PERNAMBUCO, Secretaria de Educação. Currículo de Matemática Para o Ensino Médio com base nos parâmetros curriculares do Estado de Pernambuco. 21. SANTOS, Fernando Borja . Sebenta de Matemáticas Modernas. II Volume-5.º Ano (Antigo 7.º Ano), Lisboa: Paralelo, 1975. 22. SCHOR, Damian. TIZZIOTTI, José Guilherme. Matematica-2º Grau, Volume I. 2.ª ed, São Paulo: Ática, 1975. 23. TOMÁS, Marta Teresa. Matemática 11ª Classe, 2 º Ciclo do Ensino Secundário. textoeditores,Lda, 1.ed, Luanda, 2008 (Manual da reforma Educativa de Angola). 24. VYGOTSKY, Lev S. A formação Social da Mente. 4ª ed. Fontes editora Ltda. São Paulo-S.P 1991. 25. http://www.moodle.ufba.br/mod/forum/discuss.php?d=13294-acessada a 02/03/1014 26. http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artig o_mari_luci_santin_pietrobon.pdf-acessada a 4/10/2013. 27. http://sbhe.org.br/novo/congressos/cbhe2/pdfs/Tema7/0737.pdf-.acessada a 12/08/2013 28. http://serex2012.proec.ufg.br/uploads/399/original_RODRIGO_BASTOS_DAU DE.pdf acessado a 21 /02/2014 29. http://penta.ufrgs.br/~marcia/teopiag.htm acessada a 20/12/2013 30. http://educacao.uol.com.br/matematica/equacoes-e-inequacoestrigonometricas-veja-como-resolve-las.jhtm acessada a 3/11/2013 31. http://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensinomedio/trigonometria/equacoes-trigonometricas-do-tipo-cos-x-a/ acessada a 07/01/2014 32. http://pt.azdoctips.com/doc/109809594/Aprendizagem-do-Conceito-NumerosFraccionarios-por-Augusto-Rasga acessada a 22/12/2013 ANEXOS

Tema: “proposta De Introdução Do Tema Equações Trigonométricas Da Forma...

Rating

Date

Size

Views

Categories

Share

Transcript

Forgot your password?.