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Técnicas de Janelamento de Sinais Andrade, A. O. e Soares, A. B. Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Engenharia Elétrica • • •
Triangular Flattop Exponencial
Resumo: O janelamento de sinais é uma técnica simples que pode aumentar as características espectrais do sinal amostrado. É visando analisar e apresentar os principais métodos de janelamento existentes que esse texto foi elaborado. Além dos métodos de janelamento são abordados também suas aplicações.
A seguir serão apresentadas e analisadas cada um desses tipos de janelas.
1. Introdução
2.1 Retangular (Nenhuma)
Em aplicações práticas envolvendo a amostragem de sinais pode-se obter somente uma gravação finita do sinal. Isso resulta em uma forma de onda truncada que possui características espectrais diferentes do sinal original. Tal discontinuidade produz a perda da informação espectral original. Uma maneira simples de aumentar as características espectrais de um sinal amostrado é pela aplicação de janelas sobre o mesmo. Ao analisar uma seqüência de dados finita através de Fourier ou outro método de análise espectral, o janelamento minimiza as margens de transição em formas de onda truncadas, reduzindo dessa forma a perda espectral. Existem várias razões para a utilização do janelamento de sinais. Algumas delas são:
A janela retangular possui o valor igual a 1 sobre todo o seu intervalo de tempo. Matematicamente, uma janela de tamanho N pode ser definida através da Equação 1.
• • •
w[n] = 1, n = 0, 1 , 2,..., N-1
(1)
Aplicar uma janela retangular é equivalente a não utilizar qualquer janela. A janela retangular possui o maior volume de perda espectral. Ela é útil para a análise de transientes que possuem uma duração menor do que a da janela em análise. Uma janela retangular para N = 32 é mostrada na Figura 1.
Definição da duração do período de observação do sinal. Redução da perda espectral. Separação de um sinal de pequena amplitude de um sinal de grande amplitude com freqüências muito próximas uma das outras.
Aplicar uma janela a um sinal no domínio do tempo é equivalente a multiplicar o sinal pela função que representa a janela. Devido a multiplicação no domínio do tempo ser equivalente à convolução no domínio da freqüência, o espectro de um sinal janelado é a convolução do espectro do sinal original com o espectro da janela. Dessa maneira, o janelamento modifica a forma do sinal tanto no domínio do tempo quanto no da freqüência. Existem vários tipos de janelas disponíveis para análises. Várias delas já estão implementadas em programas como o LabVIEW e MatLAB. Dependendo do tipo de aplicação algumas podem ser mais úteis que as outras. Algumas dessas janelas são: • • • •
2. Tipos de Janelas
Retangular (Nenhuma) Hanning Hamming Kaiser-Bessel
Figura 1: Janela retangular.
2.2 Hanning Esta janela possui uma forma similar aquela de meio ciclo de uma forma de onda cossenoidal. Uma janela de tamanho N está definida através da Equação 2. w[n] = 0.5-0.5cos(2πn/N), n = 0, 1, 2,..., N-1 Uma janela de Hanning com N = 32 é mostrada na Figura 2.
(2)
2.5 Kaiser-Bessel Kaiser-Bessel é uma janela flexível na qual sua forma pode ser modificada pelo ajuste de um parâmetro β. Dessa forma, dependendo da aplicação, pode-se modificar a forma da janela para controlar a perda espectral. A Equação 5 define uma janela Kaiser-Bessel com N amostras.
Figura 2: Janela Hanning.
A janela de Hanning é útil para a análise de transientes maiores que o tempo de duração da janela e também para aplicações de objetivos gerais.
Yi = X i
I 0 (â 1 - a 2 ) I 0 (â )
i = 0,1,2, , N - 1
2.3 Hamming Essa janela é uma versão modificada da janela de Hanning. Sua forma também é similar a de uma onda cossenoidal. Uma janela de tamanho N é definida pela Equação 3. W[n] = 0.54-0.46cos (2πn/N), n = 0, 1, 2,..., N-1
a=
(5)
n -1 i-k , k= 2 k
A janela Kaiser-Bessel com diferentes valores de β é mostrada na Figura 5.
(3)
Uma janela de Hamming com N = 32 é mostrada na Figura 3.
Figura 3: Janela Hamming.
As janelas de Hanning e Hamming são bastante parecidas. Contudo, deve ser observado que no domínio do tempo, a janela de Hamming não se aproxima do zero como a janela de Hanning. 2.4 Triangular A forma dessa janela é a de uma onda triangular. Matematicamente uma janela de tamanho N é definida pela Equação 4. W[n] = 1-|2πn/N|, n = 0, 1, 2, ..., N-1
(4)
Uma janela triangular para N = 32 é mostrada na Figura 4.
Figura 5: Janela Kaiser-Bessel.
Observe que para pequenos valores de β, a forma aproxima-se daquela de uma janela retangular. Esta janela é boa para detecção de dois sinais com a mesma freqüência com amplitudes significantemente diferentes. 2.6 Flattop
Figura 4: Janela Triangular.
Esta janela possui a melhor precisão em amplitude entre todas as janelas. O aumento da precisão em amplitude (0.02 dB para sinais entre ciclos integrais) está no custo da seletividade de freqüência. A janela Flattop é mais útil em medições precisas de amplitudes de componentes simples de freqüências.
A janela Flattop pode matematicamente pela Equação 6.
ser
definida
W[n] =ao – a1 (2πn/N) + a2cos (4πn/N), onde: n = 0, 1, 2, ..., N-1 ao = 0.2810638602 a1 = 0.1980389663
(6)
Uma janela Flattop é mostrada na Figura 6.
seguinte situação: sejam dois sinais senoidais 1 e 2, sendo que o sinal1 possui uma amplitude de 0.001 V e freqüência de 73 Hz, e o sinal2 possui uma amplitude de 1 V e freqüência de 59 Hz. Suponhamos ainda que o sinal1 é adicionado ao sinal2 no domínio do tempo. Pode ser observado dessa forma que o sinal de menor amplitude (sinal1) será corrompido pelo sinal de maior amplitude (sinal2). Uma maneira de realizar a detecção do sinal de menor amplitude será justamente através da aplicação de janelas sobre o sinal soma (sinal1 + sinal2). A Figura 7 ilustra essa situação através da aplicação de diferentes métodos de janelamento.
Figura 6: Janela Flattop.
2.7 Exponencial A forma dessa janela é a de uma função exponencial. Ela pode ser matematicamente expressa pela Equação 7. W[n] =exp(nln(f)/(N-1)), n = 0, 1, 2, ..., N-1 onde : f = valor final da exponencial N = tamanho da janela
(7)
O valor inicial da janela é 1, e ele decai gradualmente em direção a zero. O valor final da exponencial pode ser ajustado entre 0 e 1. Uma janela exponencial para N = 32, com o valor final especificado como 0.1 é mostrado na Figura 7.
Figura 7: Janela Exponencial.
Esta janela é útil em análise de transientes (sinais que existem somente em um período curto de duração) os quais a duração é maior que o comprimento da janela. Ela pode ser aplicada a sinais que decaem exponencialmente. 3. Exemplo de Utilização de Janelas Para ilustrar a aplicação dos métodos de janelamento descritos anteriormente considere a
Figura 8: Comparação entre os vários tipos de janelas.
4. Conclusão Este texto mostrou a existência de vários métodos de janelamento de sinais que podem ser empregados em análises espectrais. Essa grande quantidade de métodos disponíveis podem levar ao seguinte questionamento: que tipo de janela deve ser utilizada? A resposta para essa questão depende do tipo de sinal que está em observação. A escolha de uma janela correta requer algum conhecimento a priori do sinal em análise. Em muitos casos esse conhecimento não está disponível. Dessa forma, o que pode-se fazer nessa situação é experimentar os diversos métodos de janelamento existentes e encontrar o que melhor se adapta a análise em questão. 5. Referências [1] M. Akay, “Biomedical Signal Processing,” Academic Press, 1994. [2] E. C. Ifeachor and B. W. Jervis, “Digital Signal Processing - A Pratical Approach,” Addison-Wesley, 1993. [3] National Instruments, “LabVIEW - User Manual,” January 1998.
