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Coordenadoria de Automação Industrial
Técnicas de Análise de Circuitos Eletricidade Geral
Serra – 10/2005
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Definição de nó, malha e ramo ...................................................................3 Figura 2 – LKC ............................................................................................................4 Figura 3 – Exemplo 1 da LKC .....................................................................................5 Figura 4 – Aplicação do exemplo 1 da LKC ................................................................5 Figura 5 – Exemplo 1 da LKC .....................................................................................6 Figura 6 – Aplicação do exemplo 2 da LKC ................................................................6 Figura 7 – LKT.............................................................................................................7 Figura 8 – Exemplo 1 da LKT......................................................................................8 Figura 9 – Aplicação do exemplo 1 da LKT.................................................................8 Figura 10 – Exemplo 2 da LKC ...................................................................................9 Figura 11 – Aplicação do exemplo 2 da LKT...............................................................9 Figura 12 – Transformação de fontes .......................................................................11 Figura 13 – Equivalência entre fonte de tensão e fonte de corrente .........................11 Figura 14 – Exemplo de transformação de fonte.......................................................11 Figura 15 – Exemplo da aplicação do teorema da superposição ..............................12 Figura 16 – Efeito da fonte de 60 V no circuito..........................................................12 Figura 17 – Efeito da fonte de 36 V no circuito..........................................................12 Figura 18 – Circuito equivalente de Thévenin ...........................................................13 Figura 19 – Exemplo da aplicação do teorema de Thévenin ....................................13 Figura 20 – Retirando a carga do circuito, para análise de Thévenin .......................13 Figura 21 – Calculo da resistência equivalente de Thévenin ....................................14 Figura 22 – Calculo da tensão de Thévenin ..............................................................14 Figura 23 – Circuito equivalente de Thévenin do exemplo........................................14
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................3 2 LEIS DE KIRCHHOFF ............................................................................................4 2.1 LEI DE KIRCHHOFF PARA AS CORRENTES (LKC)..........................................4 2.1.1 Como utilizar a LKC, procedimentos: ...........................................................4 2.2 LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÃO (LKT)........................................................7 2.2.1 Como utilizar a LKT, procedimentos:............................................................7 3 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES .......................................................................11 4 SUPERPOSIÇÃO .................................................................................................12 5 TEOREMA DE THÉVENIN ...................................................................................13 6 REFERÊNCIAS ....................................................................................................15
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1 INTRODUÇÃO Em alguns circuitos, como a ponte de wheaststone e circuitos com mais de uma fonte, observa-se a necessidade de utilização de outros métodos mais avançados para análise e resolução de circuitos, pois os métodos utilizados para circuitos série-paralelo nem sempre podem ser aplicados. Para a utilização de métodos mais sofisticados devem ser entendidas algumas definições: • • •
Nó: É a junção de três ou mais elementos de um circuito. Ramo: É um caminho entre dois nós. Malha: É um caminho elétrico fechado.
Figura 1 - Definição de nó, malha e ramo
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2 LEIS DE KIRCHHOFF Esta técnica foi desenvolvida pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff e é descrita em duas formas. 2.1 Lei de kirchhoff para as correntes (LKC) “A soma das intensidades de correntes que chegam em um nó de um circuito é igual a soma das intensidades de correntes que saem desse mesmo nó.” I2
I4
I1
Figura 2 – LKC
= ∑I ∑I ∑ - SÍMBOLO DE SOMATÓRIO CHEGAM
SAEM
I 2 + I3 + I5 = I1 + I 4 2.1.1 Como utilizar a LKC, procedimentos: 1) Adotar quais serão os nós principais e qual será o nó de referência do circuito (o terra do circuito, potencial é nulo, ou seja, 0V); 2) Definir, arbitrariamente, os sentidos das correntes nos ramos do circuito; 3) Aplicar a LKC, ICHEGAM = ISAEM , nos nós principais;
∑
∑
4) Cálculo da corrente I do ramo pela seguinte expressão:
G H VN − VN ± E I= R eq Ramo G VN : Tensão do nó onde a corrente sai H VN : Tensão do nó onde a corrente chega
+E: Caso haja uma fonte de tensão que favorece a corrente -E: Caso haja uma fonte de tensão que desfavorece a corrente R eq Ramo : Resitência equivalente do ramo 5) Resolver o sistema de equações da LKC, caso alguma corrente resultante seja negativa, o sentido real está ao contrário ao adotado.
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Exemplo 1: A R1 V1
R2
V2 R3
B Figura 3 – Exemplo 1 da LKC
1) Adotando nó A como nó principal e o nó B como nó de referência (0V); 2) Adotar os sentidos das correntes nos ramos; 3) Aplicar a LKC, ICHEGAM = ISAEM , nos nós principais;
∑
∑
Figura 4 – Aplicação do exemplo 1 da LKC
Obtendo a seguinte expressão: I1 + I 2 = I3 4) Cálculo da corrente I em cada ramo:
I1 =
0 - Va + V1 - Va + V1 = , a corrente sai do nó B (0V), chega ao nó A (Va) e a fonte R1 R1 V1 favorece a corrente;
I2 =
0 - Va + V2 - Va + V2 = , a corrente sai do nó B (0V), chega ao nó A (Va) e a fonte R3 R3 V2 favorece a corrente;
V -0 V I3 = a = a , a corrente sai do nó A (Va), chega ao nó B (0V) e não existe fonte no R2 R2 ramo. 5) Resolver o sistema
I1 + I 2 = I3 ⎛ - Va + V1 ⎞ ⎛ - Va + V2 ⎞ Va ⎟= ⎜ ⎟+⎜ ⎝ R1 ⎠ ⎝ R 3 ⎠ R 2 Como V1, V2, R1, R2 e R3 são dados, determinam-se Va, e posteriormente, as correntes I1, I2, I3. Caso uma das correntes seja negativa, o sentido real da corrente está ao contrário em relação ao sentido adotado. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo
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Exemplo 2: Calcule as correntes em cada ramo do circuito abaixo.
Figura 5 – Exemplo 1 da LKC
1) Adotando nó A como nó principal e o nó B como nó de referência (0V); 2) Adotar os sentidos das correntes nos ramos; 3) Aplicar a LKC, ICHEGAM = ISAEM , nos nós principais.
∑
∑
Figura 6 – Aplicação do exemplo 2 da LKC
Obtendo a seguinte expressão: I1 = I 2 + I3 4) Cálculo da corrente I em cada ramo:
I1 =
0 - Va + 60 - Va + 60 , a corrente sai do nó B (0V), chega ao nó A (Va) e a = 4 4 fonte de 60 V favorece a corrente;
I2 =
Va - 0 V = a , a corrente sai do nó A (Va), chega ao nó B (0V) e não existe fonte 3 3 no ramo;
V - 0 - 36 V − 36 , a corrente sai do nó A (Va), chega ao nó B (0V) e.fonte I3 = a = a 12 12 36 V desfavorece a corrente 5) Resolver o sistema
I1 = I 2 + I3 ⎛ - Va + 60 ⎞ Va ⎛ Va - 36 ⎞ +⎜ ⎜ ⎟= ⎟ 4 ⎝ ⎠ 3 ⎝ 12 ⎠ - 3Va + 180 4Va + Va − 36 = 12 12 - 8Va = - 216 Va = 27 V
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Como: - Va + 60 - 27 + 60 I1 = = = 8,25 A 4 4 V 27 I2 = a = =9A 3 3 V - 36 27 - 36 I3 = a = = - 0,75 A 12 12 Observa-se que a corrente I3 está negativa, ou seja, o sentido adotado está inverso. 2.2 Lei de Kirchhoff para tensão (LKT). “A soma de todas as tensões no sentido horário de uma malha, ou num circuito fechado, é igual às somas das tensões no sentido anti-horário.” ou “A soma de todas as quedas de tensões de uma malha, ou num circuito fechado, é igual à soma de todos os aumentos de tensão em relação à corrente adotada na malha, ou seja, a soma de todas as tensões na malha é igual à zero.”
Figura 7 – LKT
Para realização de soma algébrica das tensões no circuito elétrico, deve-se estabelecer: • Para um aumento de tensão atribuir um sinal positivo; • Para uma queda de tensão atribuir um sinal negativo. Resolvendo o circuito por LKT:
∑V = 0 V1 − V2 − V3 = 0
Observa-se que V1 é um aumento de tensão em relação a corrente I, pois a fonte V1 auxilia a corrente I, que foi adotada, e V2 e V3 são quedas de tensão, pois como são resistências (oposição à passagem de corrente elétrica) as diferenças de potencial nas resistências sempre é contrária a corrente.
2.2.1 Como utilizar a LKT, procedimentos: 1) Definir o sentido das correntes nas malhas (horário ou anti-horário), na prática defini-se o mesmo sentido da corrente para todas as malhas; 2) Aplicar a LKT, V = 0;
∑
3) Resolver o sistema de equações originado da aplicação da LKT, caso alguma corrente seja negativa o sentido real está ao contrário ao adotado.
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Exemplo 1: C
R1
A
E
R2
V1
D
V2
B
R3
F
Figura 8 – Exemplo 1 da LKT
1) Definir o sentido das correntes nas malhas (horário) V = 0; 2) Aplicar a LKT,
∑
Figura 9 – Aplicação do exemplo 1 da LKT
Malha A: ACDBA Malha B: AEFBA Observa-se que o ramo “AB” pertence à malha A e também a malha B. Malha A
∑V = 0 V1 − V3 − V4 + V5 = 0 • V1 e V5 são aumentos de tensão, pois auxiliam a corrente I1; • V3 e V4 são quedas de tensão, pois estão ao contrário da corrente I1, isto é devido por serem quedas nas resistências; • V5 está na equação da malha A, pois é uma tensão provocada por I2 no ramo “AB” que pertence à malha A. Como V3 =R 1.I1 , V4 =R 2 .I1 , V5 =R 2 .I 2
V1 - R1.I1 - R 2 .I1 + R 2 .I 2 = 0
( R1 + R 2 ) .I1 - R 2 .I2 = V1 Malha B
∑V = 0 − V2 − V6 − V5 + V4 = 0
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• V4 são aumentos de tensão, pois auxiliam a corrente I2; • V2, V5 e V6 são quedas de tensão, pois estão ao contrário da corrente I2. V5 e V6 é devido por serem quedas nas resistências; • V4 está na equação da malha B, pois é uma tensão provocada por I1 no ramo “AB” que pertence a malha B. Como V4 =R 2 .I1 , V5 =R 2 .I 2 , V6 =R 3 .I 2
-V2 - R 3 .I 2 - R 2 .I 2 + R 3 .I1 = 0 - R 2 .I1 + ( R 2 + R 3 ) .I 2 = − V2
`
3) Resolver o sistema de equações originado da aplicação da LKT, caso alguma corrente seja negativa o sentido real está ao contrário ao adotado.
⎧⎪( R1 + R 2 ) .I1 - R 2 .I 2 = V1 ⎨ ⎪⎩- R 2 .I1 + ( R 2 + R 3 ) .I 2 = −V2 Exemplo 2: Calcule as correntes em cada malha do circuito abaixo.
Figura 10 – Exemplo 2 da LKC
1) Definir o sentido das correntes nas malhas (horário) 2) Aplicar a LKT, V = 0;
∑
Figura 11 – Aplicação do exemplo 2 da LKT
Malha 1
∑V = 0 V1 − V2 − V5 + V6 = 0 60 - 4I1 - 3I1 + 3I 2 =0 -7I1 + 3I 2 = −60
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• V1 e V6 são aumentos de tensão, pois auxiliam a corrente I1; • V2 e V3 são quedas de tensão, pois estão ao contrário da corrente I1, isto é devido por serem quedas nas resistências; • V6 está na equação da malha A, pois é uma tensão provocada por I2 no ramo “AB” que pertence à malha 1. Malha 2
∑V = 0 -V4 − V3 − V6 + V5 = 0 -36 - 12I 2 - 3I 2 + 3I1 =0 3I1 − 15I 2 = 36 • V5 são aumentos de tensão, pois auxiliam a corrente I2; • V3, V4 e V6 são quedas de tensão, pois estão ao contrário da corrente I2. V3 e V6 é devido por serem quedas nas resistências; • V5 está na equação da malha B, pois é uma tensão provocada por I1 no ramo “AB” que pertence a malha 2. 4) Resolver o sistema de equações
⎧−7I1 + 3I 2 = −60 ⎨ ⎩ 3I1 - 15I 2 = 36 Multiplicando a primeira equação por 5 e somando as duas equações tem-se:
⎧−35I1 + 15I 2 = −300 ⎨ ⎩ 3I1 - 15I 2 = 36 - 32I1 = - 264
I1 = 8,25 A 3I1 - 15I 2 = 36 3 × 8,25 - 15I 2 =36 -15I 2 = 11,25 I 2 = - 0,75 A Observe-se que a corrente I2 está negativa, ou seja, o sentido adotado está invertido. A corrente no ramo AB, resistor de 3Ω, é igual a I1 - I 2 , ou seja, 8,25 – (0,75) igual a 9Ω.
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3 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES Existe uma equivalência entre uma fonte de tensão em série com uma resistência com uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência, mantendo as mesmas características nos terminais da fonte, obedecendo à lei de ohm V = R x I. r
A
A I
V
r
B
B
Figura 12 – Transformação de fontes
Dado os circuitos abaixo, existe uma equivalência entre eles, a corrente percorrida no resistor RL é a mesma nos dois circuitos. r
A
RL
V
A I
RL
r
IL
IL B
B
Figura 13 – Equivalência entre fonte de tensão e fonte de corrente
Exemplo: Calcular a corrente IL no resistor de 3Ω, utilizando transformação de fontes.
Figura 14 – Exemplo de transformação de fonte
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4 SUPERPOSIÇÃO “Dado um circuito, contendo somente elementos lineares e com mais de uma fonte de tensão (e/ou corrente), a corrente em qualquer trecho do circuito é igual à soma algébrica das correntes individuais causadas por cada fonte independente atuando sozinha, com todas as outras fontes de tensão substituída por curtos-circuitos e todas as outras fontes de corrente substituídas por circuitos abertos". Exemplo: Calcular a corrente IL no resistor de 3Ω, utilizando o teorema da superposição.
Figura 15 – Exemplo da aplicação do teorema da superposição
Analisando o efeito da fonte de 60 V
Figura 16 – Efeito da fonte de 60 V no circuito
Analisando o efeito da fonte de 36 V
Figura 17 – Efeito da fonte de 36 V no circuito
Calculo da corrente IL e a tensão VL no resistor de 3 Ω será a soma algébrica do efeito de cada fonte. IL = IL’ + IL’’ IL = 7,5 + 1,5 IL = 9 A
VL = VL’ + VL’’ VL = 22,5 + 4,5 VL = 27 V
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5 TEOREMA DE THÉVENIN O teorema de Thévenin foi desenvolvido pelo engenheiro francês M.L.Thévenin. Este teorema tem como objetivo reduzir parte ou todo circuito num gerador de tensão, ou seja, uma fonte de tensão em série com uma resistência. O teorema de Thévenin descreve “para qualquer circuito de elementos resistivos e fonte de energia com um par de terminais identificado (em aberto), o circuito pode ser substituído por uma combinação série de uma fonte de tensão (VTH) e uma resistência (RTH)”. Resistência equivalente de Thévenin: RTH é igual à resistência equivalente vista entre os terminais identificados (em aberto), quando substituindo as fontes de tensão por um curtocircuito e as fontes de corrente pó um circuito aberto. Fonte equivalente de Thévenin: VTH é igual à tensão vista entre os terminais identificados (em aberto). Circuito Elétrico Linear
A
RTH
A RL
VTH
I
RL
I
B
B Circuito equivalente de Thévenin
Figura 18 – Circuito equivalente de Thévenin
Exemplo: Calcular a corrente IL no resistor de 3Ω, utilizando o teorema de Thévenin.
Figura 19 – Exemplo da aplicação do teorema de Thévenin
Primeiramente deve ser retirada a carga, ou seja, o resistor de 3Ω.
Figura 20 – Retirando a carga do circuito, para análise de Thévenin
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• Cálculo da resistência de Thévenin (RTH): substitui-se as fontes de tensão por um curtocircuito e as fontes de corrente por um circuito aberto e calcular a resistência equivalente entre os pontos A e B. Observa-se que a resistência equivalente entre os pontos A e B é o paralelo entre os resistores de 4 Ω e 12 Ω. 4
A
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A RTH 3
B
B
Figura 21 – Calculo da resistência equivalente de Thévenin
• Cálculo da tensão de Thévenin (VTH): calcular a tensão entre os pontos A e B.
Figura 22 – Calculo da tensão de Thévenin
I=
( 60 - 36 )
= 1,5 A 4 + 12 VTH = 60 - 4 × 1,5 = 54 V Calculo da corrente na carga de 3 Ω, através do circuito equivalente de Thévenin. RTH = 3
RTH = 3
A
VTH 54 V
VTH 54 V
Circuito equivalente de Thévenin
B
A Carga 3
IL= 9 A Cálculo da corrente na carga
B
Figura 23 – Circuito equivalente de Thévenin do exemplo
Observa-se que o circuito equivalente de Thévenin, em alguns casos, pode ser obtido através do teorema de transformação de fontes.
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6 REFERÊNCIAS 1
BARTKOWIAK, ROBERT A. Circuitos Elétricos. Editora Makron Books do Brasil, 1999.
2
GUSSOW, MILTON. Eletricidade Básica. Editora McGraw-Hill do Brasil, 1985.
3
MARKUS, OTÁVIO. Circuitos Elétricos – Corrente Contínua e Corrente Alternada. Editora Érica, 2ª Edição, 2002.
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