Transcript
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace - Tabela Observac¸a˜ o
Dom´ınio do Tempo
constante
k eat
eat × f unc¸a ˜o(t)
eat f (t)
n∈N
t
n
p > −1
tp sen(at) cos(at) senh(at) cosh(at) eat sen(bt) eat cos(bt) tn eat
n∈N convoluc¸a˜ o d f (t) dt d F (s) ds
Rt 0
f (t − τ )g(τ )dτ
F´abio Pereira Benjovengo
¨ encia Dom´ınio da Frequˆ k s 1 s−a L{f (t)}|s=s−a n! n+1 s Γ(p + 1) sp+1 a s2 + a2 s s2 + a2 a s2 − a2 s 2 s − a2 b (s − a)2 + b2 s (s − a)2 + b2 n! (s − a)n+1
condic¸a˜ o s>0 s>a dependente de F (s) s>0 s>0 s>0 s>0 s > |a| s > |a| s>a s>a s>a
F (s)G(s)
f (n) (t)
sn F (s) − sn−1 f (0) − . . . − f (n−1) (t)
(−t)n f (t)
F (n) (s)
2o. semestre de 2006
1
Transformada de Laplace
1 Defini¸ca˜ o A transformada de Laplace unilateral de um sinal x(t) e´ definida como Z ∞ x(t)e−st dt, X(s) = L{x(t)} =
(1)
0
sendo que t ∈ R e s ∈ C (s = σ + jω). Existe uma transformada de Laplace bi-lateral obtida substituindo o limite de integrac¸a˜ o inferior de (1) por −∞. Por´em, como estamos interessados em analisar apena sistemas causais (um sistema e´ dito causal se sua resposta a` entrada do tipo degrau n˜ao come¸ca a ocorrer antes da aplica¸ca˜ o da entrada), usamos a transformada unilateral.
2 Existˆencia da Transformada de Laplace E´ poss´ıvel encontrar a transformada de Laplace de um sinal x(t) sempre que este apresentar ordem exponen´ cial. Assim, existe um numero real B < ∞ tal que lim x(t)e−Bt = 0.
t→∞
Como um exemplo, considere o sinal x(t) = Aeαt (observe que este sinal apresenta transformada de Laplace para qualquer A e α). A transformada de Laplace da func¸a˜ o exponencial (causal) x(t) Aeαt , para t ≥ 0 x(t) = , 0, para t < 0 e´ dada por X(s)
=
Z
∞
x(t)e−st dt =
0
=
Z
∞
Aeαt e−st dt = A
Z
∞
e(α−s)t dt =
0
0
A (α−σ−jω)∞ A e − α−s α−s
Portanto
t=∞ A (α−s)t = e α−s t=0
A , para σ > α, s − α X(s) = (indeterminado), para σ = α, ∞, para σ < α.
(2)
˜ se a parte real da frequˆ Observac¸ao: ¨ encia complexa s for menor do que α, diz-se que este s n˜ao pertence ao dom´ınio da fun¸ca˜ o. Portanto, como a aplica¸ca˜ o do Teorema do Valor Final necessita fazer s = 0 (σ = 0), e´ importante verificar o dom´ınio da fun¸ca˜ o antes de sua aplica¸ca˜ o. Exemplo: o Teorema do Valor Final n˜ao pode ser aplicado, por exemplo, para o sinal x(t) = e2t ; neste caso, o ponto s = 0 est´a fora do dom´ınio da fun¸ca˜ o (s > 2). O dom´ınio de uma fun¸ca˜ o em s s˜ao os valores de s para os quais a fun¸ca˜ o X(s) e´ anal´ıtica. Para fun¸co˜ es fracionais polinomiais (como as transformadas de Laplace consideradas neste curso), o c´alculo do dom´ınio de s e´ facilitado. Para tais fun¸co˜ es, basta calcular os p´olos do sinal transformado em Laplace (X(s)) e ˜ em modulo). ´ encontrar o p´olo com maior parte real (maior σ - nao Caso o maior σ (chamado de σmax ) seja maior do que 0, o dom´ınio de s e´ s > σmax ; caso σmax < 0, o dom´ınio de s e´ s ≥ 0.
F´abio Pereira Benjovengo
2o. semestre de 2006
2
