Swokowski - Calculo 1 - Cap. 03 A Derivada (a)

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~ ~IAKRON . Books - ,_Capi~u~o,3,1 ""': ",1 ;(••• ,_.' ....• , .: ..•.. A DERIVADA INTRODUc;Ao Iniciamos este capitulo considerando dois problemas aplicados. 0 primeiro consiste em determinar 0 coeficiente angular (inclina<;ao) da reta tangerite em urn ponto do grafico de uma fun<;ao, e 0 segundo, em definir a velocidade de urn objeto em movimento retilineo. E digno de nota 0 fato que est as dmis ~plica<;6es, aparentemente tao diversas, conduzam ao mesmo conceito de derivada. Nosso estudo proporciona uma visao do poder'~' 'da generalidade da matematica. Especificamente, na Se<;ao 3.2, abandonaremos os aspectos fisico e geometrico dos dois problemas e definiremos a derivada como 0 limite de uma expressao que envolve uma fun<;ao f. Isto permite, em se<;6es posteriores, aplicar 0 conceito de derivada a qualquer quantidade, ou grandeza, que possa ser representada por uma fun<;ao. Como grandezas dessc lipo ocarrem em quase todos os ramos do conhecimento, as aplica<;6es da derivada sao numerosas e variadas - mas, em cada caso, esta sempre em jogo uma taxa de variar;ao. Assim, voltando aos dois problemas do come<;o, 0 coeficiente angular da reta tangente pode ser usado para indicar a taxa it qual 0 grafico de uma curva sobe (ou desce), e a velocidade e taxa it qual a distancia varia em rela<;ao ao tempo. a Nosso objetivo neste capitulo e introduzir 0 conceito de derivada e esfahelecer regras para o respectivo calculo sem apelar para Iimites. Consideraremos algumas aplica<;6es aqui e muitas outras em capftulos subsequentes. I 3.1 RETAS TANGENTES E TAXAS DE VARIAc;AO t':/ /Pf],o. ,. As retas tangentes a graficos tern muitas aplica<;6es no calculo. Na geometria a reta tangente I em urn ponto P de urn cfrculo pode ser interpretada como a reta que intercepta (toea) 0 cfrculo em apenas urn ponto, conforme ilustrado na Figura 3.1. Nao pod em os estender esta interpreta<;ao ao grafico de uma fun<;ao f qualquer, pois a reta pode "tocar" (tangenciar) 0 grafico de f em urn determinado ponto P e intercepta-Io novamente em outro ponto (Figura 3.2). Nosso intuito 15 defmir 0 coeficiente angular da tangente em P, po is, conhecido 0 coeficiente angular, podemos estabelecer uma equa<;ao para I usando a forma ponto-coeficiente-angular (1.8)(ii). Para definir 0 coeficiente angular da reta tangente I no pontop(a, f(a» do grafico de f, escolhemos priineiro outro ponto Q(x, f(x» (veja a Figura 3.3(i)) e consideramos a reta por P e Q. Esta reta 15 chamada secante do grafico. Utilizamos Q Se f e continua em a, pod em os fazer Q(x, f(x» tender para fazendo x tender para a. Isto motiva a seguinte defini<;ao do coeficiente angular l1la de I em p(a, f(a»: p(a, f(a» ° . f(x) - f(a) m =hm---a X - a a nota<;ao seguinte: desde que 0 limite exista. IpQ: A secante por P e Q mpQ: 0 coeficiente angular de IpQ E ° ma: 0 coeficiente angular qa tangente I em P(a, f(a») <;ao de m tr AIem disse, 15 de se esperar que esta aproxima<;ao em melhore quando Q se aproxima de P. Com isto mente, fazemos Q tender para P - isto 15 (intuitivamente) fazemos Q ficar cada vez mais pr6ximo de P - mas Q " P. Se Q tende paora P pel a direita, temos a situa<;ao da Figura 3.3(ii), onde as linhas tracejadas indicam possiveis posi<;6es de IPQ' Na Figura 3.3(iii), Q tende para P pel a esquerda. Poderiamos fazer Q tender para P de outras maneiras, por exemplo, tomandoaltemadamente pontos 1i esquerda e iI direita de P. Se mPQ tern urn valor limite o is to 15, se m PQ se aproxima de algum numero qua~d~ Q se aproxima de P - entao esse numero 15 o· coeficiente :l1la da reta tangente I. angular Reformulemos esta discussao em termos da fun<;ao de f. Referindo-nos iI Figura 3.3 e utilizando as coordenadas de p(a, f(a)) e Q(x, f(x», vemos que 0 coeficiente angular da reta secante I 15 PQ f(x) - f(a) mPQ= --x---a-- conveniente passando-se usar uma forma alternativa de ma obtida da variavel x para uma varHivel h, como segue. 0 Se Q esta pr6ximo de P, parece que m PQ 15 uma aproxima-. - :' p. Fazer h = x - a ou, equivalentemente, x = a + h. Apelando para a Figura 3.4 e considerando as coordenadas p(a, f(a» c Q(a + Jr, f(a + h), vemos que 0 coeficiente angular lIJJ'Q till secante e f(a + h) - f(a) mPQ= h fIn ('fflrlt/u 'com Geometria Ana/(tica Cap. 3 Como x ---. a equivale a h ---. 0, nossa defini~ao de coeficiente. angular ma da tangente I pode ser formulada como segue: ,)il.9c~~~,~ci:~nf~Il~.I:it .,;~~data\nge~te:ao (IesM·que'b'limite"'i;'xigt~.-'.. ' {,"'. ":/';:"! 'i' ,:,,'.',: '\ , pod em os grafico de uma :}1r~1~if~l~(~l~i(f]:1?;(u:,r "' ..'...•... ,., ... Utilizando a f6mula ponto-coeficiente angular (l.8)(ii), escrever a equae,iio da tangenle como Se 0 limite na Defini~ao (3.1) nao exisle, entao 0 coeficiente angular da tangente em p(a, f(a)) nao e definido. o limite da Defini~iio (3.1) surge em diversas aplica~Qes; uma das mais familiares e a delerminae,iio da velocidade de urn move!. Consideremos 0 caso do movimento retilineo, em que 0 movel percorre uina rela. Para determinar a velocidade media vm em urn intervala de 'ten;po, utilizamos a formula d = rt, onde rea taxa, t e 0 coinprimento do intervalo de tempo, e d e a distiincia percorrida. Resolvendo em rela~ao a r obtemos a seguinte definie,ao. Seja f(x) ~ xl, e seja a urn numero real arbitrario. (a) Determine 0 coeficiente fern P(a, a2). angular da tangente ao grafico de SOLu<;Ao (a) ~ Figura 3.5 exibe a grafico de y = xl e urn ponto tipico 0 coefiClente angular em P e p'(a, a2). Aplicando a Defini~iio (3.1'), vemos 'que Como ilusira~iio, se urn autom6vel deixa a cidade A 11Ih, percorre uma estrada retilfnea, e chega 11 cidade B a 240 km de A as 4h (veja a Figura 3.6), entao, pel a Defini~ao (3.2), com d = 240 e t = 3 (horas), a velocidade media durante 0 intervalo de tempo [1, 4] e: v ~ 240 = 80 kmlh m . f(a + h) - f(a) m =hm-----Ii-O h Q , (a+lzf-az =lim---- h h-O = lim a2 + 2alz + 1z2 _ aZ h-O = Hm 2alz + h2 h-O (b) Iz II 0 coeficiente angular da tangente no ponto R(-2, 4) e urn caso especial da formula ilia = 2a com a = -2; iSla e 3 Esta e a velocidade que, se mantida constante durante 3 horas, permitiria ao movel percorrer as 240 km de A a B. A velocidade media nada nos diz sobre a velocidade em urn dado instante. Por exemplo, as 2h30 min 0 velocfmetro poderia registrar 60 ou 45, ou 0 aulomovel poderia ale mesmo eslar parada. Se quisermos deterrninar a taxa a qual 0 ~6vel esta viajando as 2h30 min, precisamos conhecer seu movimento ou posi~ao proxima a este instante. Suponhamos por exemplo, que, as 2h30 min 0 automovel estivesse a 120 km e as 2h35 min a 126 km de A, conforme ilustrado na Figura 3.7. 0 intervalo de tempo de 2h30 rnin a 2h35 min e de 5 minutos, ou 1/12 da hora, e a distancia d e de 6 km. Levando estes valores em conta na Defini~ao (3.2), obtemos a velocidade media naquele intervalo de tempo: v = ~= m 1 12 48 km/h Suponhamos' que'!um ponto P percorra uma reta coor\; denada' 1 de modo que sua coordenada no instante 1 seja . s(I). A veIocidade v~ de P no instante a e Este resultado ainda nao constitui uma indica~ao precisa da velocidade as 2h30 min pois, por exemplo, 0 autom6vel poderia estar trafegando muito devagar as 2h30 min, aumentando em seguida consideravelmente a velocidade para chegar as 2h30 min ao ponto a 126 Ian deA. Evidentemente, obteremos uma melhor aproxima~ao usando a velocidade media durante urn intervalo de tempo menor, digamos, de 2h30 a 2h31 min. Parece que 0 melbor seria tomar intervalos de tempo cada vez menores na vizinhan~a de 2h30 miD e estudar a velocidade media em cad a intervalo. Isto conduz a urn processo de limite analogo ao das· retas tangentes. o ~ e Varia9ao na posi9ao de P o a+~ o • • • s(a) s(a + h) v varia~ao no tempo :-1 . ," "V = . s(a + It) - s(a) lim-----, It h-O o e limite na Defini<;ao (3.3) tambem chamado instantanea de P no instanle a. velocidade Se s( I) e medida em centimetros e 1 em segundos, entao a unidade de velocidade e centimetros por segundo (cm/seg). Se S(I) em milhas, e I em horas, a velocidade e milhas por hora. Naturalmente, pod em tambem ser usadas outras unidades de e medida. Voltaremos ao conceito de velocidade no Capitulo 4, onde mostraremos que, se a velocidade e positiva em um dado inlervalo de tempo, enlao 0 ponto se move na dire<;ao positiva em I. Se a velocidade e negativa, 0 ponlo se move na dire<;ao negativa. Conquanto estes fatos nao ten ham ainda sido provados, utiliza-Ios-emos no exemplo seguinle. De urn balao a 150 m acima do solo, deixa-se cair urn saco de areia. Despreza~do-se a resistencia do ar, a distancia s(t) do solo ao saco de areia em queda, ap6s t segundos, e dada por s(t) = -4,9P + 150 . Deterrninar I a velocidade do saco de areia (a) . quando 1= a segundos -,---- It,··', L . Definimos assim a velocidade como urn limite, quando It tende para 0, de v m' conforme a defini<;ao seguinte. !. desde que ~.limite exista. media de P entre os Como anteriormente, admitimos que quanto mais pr6ximo de " zero estiver It, mais pr6xima de P no instante a estaTiI v m' ..•.• ,: .~ i i~":". ":,':'~: .1' = varia~ao na distancia _ s(a+ It) - s(a) m """"'i' g Para definir a velocidade de P no instante a, primeiro determinamos a velocidade media em urn (pequeno) intervalo de tempo pr6ximo de a. Consideramos assim, instantes a e a + It, on de It e urn numero real (pequeno). As posi~6es correspondentes sao s(a) e s(a + It) conforrne ilustrado 'na Figura , - 3.9. A varia~ao na posi~o deP e s(a + h) - s(a). Este numero pode ser positivo, negativo ou zero. Note que s(a + It) ~ s(a) nao e necessariamente a distancia percorrida por P entre os"instantes a e a + h, pois, por exemplo, P pode ter ultrapassado 0 ponto correspondente a s(a + It), retomando em seguida aquele ponto no in stante a. Pel a Defmi~ao (3.2), a velocidade instantes a e a + It e "." •• Para maior precisao, representemos a posi~ao de urn objeto em movimento retilineo por urn ponto P em uma reta coordenada I. Referimo-nos as vezes ao movimento do ponto P, ou ao movimento de urn objeto cuja posi~ao e especificada por P. Admitiremos conhecida a posi~ao de P a cada instante do intervalo de tempo dado. Se S(I) denota a coordenada de P no . in stante I, entao a fun~ao sea fun~iio posi~iio de P. Registrando o tempo por meio de urn rel6gio (Figura 3.8), entao, para cad a I, 0 ponto P estara a S(I) unidades da origem. Tempo Varia9ao no tempo " . ,.. • 150m _--~- (b) quando t = 2 segundos (c) 'no instante em que ele toca (a) Conforrne a Figura 3.10, consideramos 0 saco de ••rcia movendo-se ao longo de uma coordenada vertical I CUll' origem' no solo. Note que no instante em que 0 SilCO . J 0 solo r----1 S(I) jogado, t = 0 e s(O) = -:4,9(0) + 150 = 150 Para, achar a velocidade do saco de areia quando t = a, aplicamos a Defini<;ao (3.3) obtendo . '5(a + h) - s(d) ~. =l1m----• h-O h . [-4,9(a + h)2 + 150] - [-4,9a2 + 150] h-O h = IJm-------------- = lim -9,8ah + 4,9h2 h-O t=2 h v2 = (-9,8)(2) m/s = -19,6 m/s t2 = 150 4,9 = 30 61 ' Usa rem os indiscriminadamente as expressoes riar;iio e taxa illSlantanea de variar;iio. taxa de va- Se, Da Defini<;ao (3.4), considerarmos 0 casu especial e y = s(t) (posi<;ao em uma reta coordenada), obteremos a seguinte interpreta<;ao do movimento retilineo: x Ha muitas outras aplica<;oes que exigem limites semelhantes as abordadas em (3.1) e (3.3). Em algumas, a variavel independente e 0 tempo I, tal como na defini<;ao de velocidade. Por exemplo, durante certo tempo, urn quimico po de estar interessado na taxa a qual certa subsHincia se dissolve na agua; urn engenheiro eletricista pode desejar saber a taxa de varia<;ao da corrente em parte de urn circuito eletrico; a urn biologo pode interessar a taxa a qual as bacterias se desenvolvem ou se reduzem em uma cultura, Pod em os considerar taxas de varia<;ao em rela<;ao a outras quantidades que nao 0 tempo. Por exemplo, a lei de Boyle, para urn gas confinado aruma que se a temperatura pennanece constante, entao 0 volume v e a pressao p estao relacionados pela formula v = clp para alguma constante c. Se a pressao varia, urn problema tipico consiste em achar a taxa a qual 0 volume varia por unidade de varia<;ao na pre'ssao. Esta taxa e conhecida como taxa inslanlanea de variar;iio em rela<;ao a p, Para estabelecer metodos gerais que possam ser aplicados a diferentes problemas deste tipo, utilizaremos x e y como variaveis e suporemos que y = f(x) para alguma fun<;ao f. (Na ilustra<;ao precedente, y = v, x = p e f (x) = clx.) Definimos a seguir as taxas de varia<;ao de uma v{uiavel y em rela<;ao a uma variavel x. = t (tempo) taxa media de varia<;ao de s em rela<;ao a I em urn intervalo de tempo. taxa instantanea de varia<;ao de s em rela<;5.o a I no instante a. Para inlcrprclar (ii) da I)crinir;ilo (3.'1) gcol1lctricamentc, imaginclTlos um ponto T' PCI 'orrcnclu 1I grMico dc y = f(x) na Figura 3, II, tin csqucrda p,Ha ;' dircita, 1\ taxa inslantanea de varia<;iio dc y Clll rcla<;i\o a x nos inl'unna sobre a maneira como o gnlfico sobe ou desce por unidade de varia<;ao de x. Na Figura 3.11, mu (0 coeficiente angular da reta tangente em A) e menor Assim, quando R = 20, a corrente est a decrescendo do que m b (0 mesmo coeficiente de ampere por ohm. em B), e a taxa Yu' na qual y a taxa de ~ varia em reJa<;ao a x, e inferior a essa mesma taxa em B. Note tambem que, como me < 0, 0 coeficiente angular da tangente em C e negativo, e y decresce o exemplo a medida que x cresce. que segue da uma aplica<;ao ffsica da Defini<;ao (3.4). :,'Exercs. 1-6, (a) Use a Defini<;ao (3.1) para obler 0 :' eoeficienle angular da langenle ao grafico de fern pea, f(a». (b) Determine a equa<;aoda tangente ; ~lnP(2, f(2)). A voltagem em certo circuito eletrico e de 100 volts. Se a corrente (em amperes) e I e a resistencia (em ohms) e R, entao, pela lei de Ohm, 1= 1OOIR. Se R est a aumentando, ache a taxa instantanea de varia<;ao de I em rela<;ao a Rem: (a) qualquer resistencia R. (b) uma resistencia f(x) - 3x + 2 , 6 f(x) = 4 - 2x P(2, ~) Exeres.1l·12 (a) Esboee 0 grafieo da equa<;aoe das tangentes nos pontos de eoordenadas-x, -2, -1, 1 e 2. (b) Determine 0 ponto em que 0 eoeficiente angular da tangente e m. 100 100 ----R+h h-O R h lim 100R - 100(R + h) h-O h(R +h)R =Jim -IOOh h_oh(R + h)R =lim~=_100 h_ 0 (R + h)R o sinal R2 negativo indica que a corrente estll decrescendo. Aplicando a f6rmula IR = -1001R2 da parte (a), obtemos a taxa instantanea R=20: P(2,P I =Jrm ----= P(-8, -2) I h-O . P(4,2) feR + h) - f(R) de varia<;ao de I em rela<;iio a R para 11 y=x2; m 12 y-x3; m =9 = ,20 2Q2.4 ! saeo de areia atinge 0 (a) Ache a velocidade do projetil para / = 2, / - 3 e / = 4. (b) Quando 0 projetil atinge 0 solo? (c) Ache a velocidade no momento em que ele atinge 0 solo. 17. No videogame da figura, os avi6es voam da esquerda para a dire ita segundo a trajet6ria y = ] + (] I x), e podem disparar suas balas na dire<;iio da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x em x = ], 2, 3,4 e 5. Determine se alguem sera atingido se 0 aviiio disparar urn projetil quando estiver em 6 18 Urn alleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distancia set) percorrida ap6s / segundos e 15 Urn balonista deixa cair, de urn 'baliio, urn saeo de areia de ]60 m acima do solo. Ap6s / segun".' , .. ".... .... ,.. dos, (, saeo de areia esla a ]00 -4,9/. 100 = _ 0 solo? Exercs. 13-14 A fun<;iioposi<;ao s de urn ponto P que se move em uma reta eoordenada P e dada por / em segundos e s(t) em eentfmetros. (a) Ache a velocidade media de P nos seguintes intervalos de tempo: [1; 1,2] [1; 1,1] e [I; ],01]. (b) Determine a vdocidade de P em / =.1. . , ... "'" " j'= ~ (b) Com que velocidade ]6 Urn projetil e lan<;adoverticalmente do solo com uma velocidade inicial de ] 12 mis, Ap6s I segundos, sua distancia do solo e de 112/ - 4,9 / metros. 4 f(x)=x4 ;3 f(x)=x3 Usando a Defini<;ao (3.4) (ii) com y = I, x = R e feR) = 100/R, obteremos a tfxa instantanea de varia<;iio de I em reJa<;ao a R para uma resistencia de R ohms: IR = Jim (b) ,;:1:, .. Exercs. 7-10: (a) Use a Defini<;ao (3.1) para obter 0 coeficiente angular da tangente ao gratieo da equa<;ao no ponto com eoordenada-x. a. (b) ESlabeJe<;a a , equi<;ao da tangente em P. (c) Esboee 0 grafico da . euiva e da tangente em P. de 20 ohms. SOLUf;Ao (a) 2 f(x)=3-2x2 1 f(x)=5x2-4x (a) Ache a veloeidade do saeo de areia em / = 1. 2 ' do solo. dad~ por S(I) = i + 8/ m (veja a Figura). Deter- mine a velocidade do atleta. (II) 11'''"11101- 5 se, (b) Use a Defini~o (3.1) com h = '" 0,0001 para obter uma aproxima~ao do coelicienle anguJar em (a). (I) III' Irlll final . . @] 24 Fa~a 0 ~raficO de f(x) = 102cos x em [-2, 2). x +4 (a) Use 0 grafico para estimar 0 coeficienle angular da tangente em P( -0,5; f( -0,5». [3; 3,5) (e) Determine uma eqtia~ao (aproximada) tangente ao grafico em P. . da A afirma~ao 1'(x) existe significa que 0 limite na Dcfini~ao (3.5) existe. Nesse caso, dizemos que f diferenciavel em x, ou que f tem uma derivada em x. Se 0 limite nao existe, enUio f nao e diferencHivel em x. As express6es diferenciar f(x) ou achar a derivada de f(x) significam deter:ninar 1'(x). e @] 25 A posiC;iio de urn objeto em uma rela coordenada e dada [2; 2,4) I 1\ Icy ", Boyle afirma que se a temperatura tll'''"l1l1ece conslante, a pressiio pc 0 volume v II '"11 gr.s confinado estiio relaeiomidos pOl' I'M "/0" para alguma conslanle c. Se, para cerlo 1\ • (' 200 e vesta aumentando, determine a IUxll IIISllIlIliillea de varia~iio de p em re)a~ao a v 1111111 pOl' . S(I) on de S(I) = cos2 t + 12 sen I 12 + 1 e em metros clem @] 26 A fun~ao posiC;iio S de urn objeto em movimento ao longo de uma reta coordenada \ 1111111,,",, esfcrico esla sendo inflado. Ache a laxa II"1111111'11de varia,ao da area S da superficie II., hllllill III rela~ao ao raio r. 1tX em [0, 2). (II) I i," lJ grMico para estimar 0 coeficiente 111'/,,111111' da tangenle em P(l,4; f(1,4». S(I) = Ocasionalmente sera conveniente utilizar a seguinte altemativa da Defini~ao (3.5) para achar 1'(a). segundos. Aproxime sua velocidade em t = 2 usando a Defini~iio (3.3) com h = 0,01, 0,001 e 0,0001. M \ 1'11,,11 II 1',IMico de f(x) = sen o sfmbolo l' na Definj~o (3.5) le-se "f linha". II importante notar que, ao determinar f'(x), consideramos x urn numero real. arbitrario e o'limite quando 11 tende para zero. Obtida l' (x), po de'-y'C!(x)lloji<:into(a,}(a)) (ii). 'f~~a , "yaria:~ao '1: D F1NIl:;Ao DE DERIVADA f(a + h) - f(a) Na se~ao precedente usamos 0 limite lim -----h-O equivalenlemenle forma ou h f(x) - f(a) lim x _a ' em varias aplica~6es rentes. Este limite e a base de urn dos conceitos do calculo, a derivada, definida a seguir. dife- fundamentais 'd~~a~i~'~'~o-:seY= deyem rela~ao aogr~: ~1'(a). 'f(~),::a~tax:i~~taht5ne.a ef'(a). . de axema Corrio caso especial de (3.7)(ii), recordemos, da Defini~ao (3.3), que se x = t denota 0 tempo e y = S(I) e a posi~ao de urn ponto P em uma reta coordenada, entao S'(I) e a velocidade P no instanle a. Uma fun~ao e diferenciavel em um inten'alo aberto (a, b) se 1'(x) existe para todox em (a, b). Consideraremos tambem fun~6es diferenciaveis em urn intervalo infinito (a, (0), (-00, a) au (-00, (0). Para intervalos fechados, usaremos a seguinte convcn~ao, analoga 11defini~ao de continuidade em urn intervain fechado dad a em (2.22). ': Uma fUiJ~aor~ diferenciavel [a/b]se j e difereociavelno , os seguinteslimiies existem: vamente. Como os coeficientes em urn intervalil fechado ioiervalo aberio (a; b) e se ,:.~::,)~:§~~~::~~::;~~:~) h,~~ ,e hl~- f(b + angulares de 11e 12sao diferentes, f(a) nao existe. 0 grafico de f tern um. ponto, anguloso e~ p(a, f(a» se f e continua em a e se as denvadas a es~uerda e a direita de a existem e sao diferentes, ou se urna das denvadas em a existe e If(x) 1--+ 00 quando x -- a- ou x -- a+. f(b) /1 y Os limites laterais da Defini«ao (3,8) costumam ser design';90s' por del"ivada a direita e derivada a esquerda de t, respectivamente. Note que, para a derivada 11direita, 11 -- 0+ e a + h tende para a pela direita. Para a derivada a esquerda, 11 -- 0" e b + h tende para b pela esquerda. Se f e definida em urn intervalo fechado [a, b) e nao e definida em nenhum outro ponto, entao as derivadas 11direita e , 11esquerda definem os coeficientes angulares das tangentes nos pontos p(a, f(a» cR(b, f(b», respectivamente, conforme Figura 3.12. Para 0 coeficiente angular da tangente em P, tomamos 0 valor limite da secante poc P e Q quando Q se aproxima de P pel a direita. Para a tangente em R, 0 ponto Q se aproxima de R pela esquerda. A difereociabilidade em um intervalo da forma [a, b), [a, (0), (a, b] ou (_00, b] se define de maneira analoga, utilizan,do-se 0 limite lateral em urn extremo. o doininio da derivada f consiste em todos os pont os, ou numeros, para os quais f e diferenciavel, e tambem, possivel mente, pontos extr~mos do dominio de j, sempre que existam os limite;; hiterais; tal como indieado na Figura 3.12. em Coef. ang. = =lim[(a+II)- f(a) Coef. ang. = = Jim !(b + II) - [(b) _ h c h h-O', h-O I a Se f a +11 (h > 0) , I b+ h (II < 0) e definida em urn' intervalo aberlo que contem a, entao f(a) existe see sornellte Sl! as derivadas tl direita e tl esquerda aiste/n' e ''sliD iguais. As' fun«oes cujos graficos se acham esbo«~dos n~ FigUra 3:13'teJri derivadas a direita e 11esquerda de Ii; as quais sa~ '6~'Coeficiehtes angulares das retas 11e 12 respecti- Con forme indicado na pr6xima defini«ao, pode oeorrer uma tallgellte vertical em p(a, f(a» se f(a) nao existe. q'&rafico d~[m~a}un~aO f x = cl no pontI? ,., "~'J_.~~~ ..! tern u~a tangente vertical P(a, f(a» se f e contmua em a e se lim If'(x) I =00 ' x-a Se P e urn ponto extrema do dominio de f, podemos enunciar defini«ao semelhante utilizando a derivada 11direita ou 11esquerda. A Figura 3.14 ilustra alguns casos tipicos de tangente ve~ical. Confonne indicado na pr6xirna defmi~o, 0 ponto P, na Figura 3.l4(iii) e chamado POlitOde reversiio ou pOlltO cuspidal. ;lJmpootdP(a;'f(~)rdo'gr~fi(j()<1e uriiafun~ao .. p;g~iiid~hvefSiio;;'~,rpont~:ciispid!,l,se j ,: 'a ~'~ff~~e~f~.~~~:d,u,~!$~~~9.~~s, f 6 chainado e continua em ~egu~?tes: ;f'(i)lf'(i)'¥.+'oorquaiidox teode parap por, urn lado. ....@ fJxt-::"::::~ql1~ll.Qq,,~y~ndepara ~ pelo oulro lado. ~OLUl;A~. (a) Se 'i(x) ~ 3r - 12x + 8, entao par (3.7) (i) e a Excmplo .I, o coefieiente angular da tangentc em (x, f(x» c ,J'(x) = 6x - 12. Em particular, 0 coeficiente angular cm P(3, -1) e (b) Como a tangente horizontal se 0 coeficiente angular f'(x) e zero, resolvemos 6x - 12 0, obtendo x 2, 0 valor correspondente de y -4. Logo, a tangente horizontal em Q(2, -4). SOLUl;Ao (a) Pela DefiniC;ao (3.5), f(x) ~ lim f(x+ 10-0 h) - f(x) h lim [3(x + h)2 - 12(x + h) + 8]- (3x - 12x + 8) h 10-0 . = )1m 10-0 (3x2 + 6x1l + 3112- 12x - 12h + 8) - (3x2 - 12x + 8) e '. A Figura 3.15 exibe os graficos de f (uma parabola) e das tangentes em P e Q. Note que 0 vert ice cia parabola e 0 ponto Q(2, -4). EXEMPLO h 10-0 = lim 10-0 = h . 6x1l + 3112- 1211 )1m = = e 2 = e Se f(x) (6x +3h-12) 3 = 5, (a) Fac;a (b) determine f(x) e 0 f. grafico de 0 dominio de f. SOLUl;Ao f(4) ~ 6(4) - 12 ~ 12, (a) A Figura 3.16 exibe 0 grafico de f. Note que 0 dominio de f consiste em todos os nllmeros nao-negativos. (b) Como x = 0 e urn ponto de parada do domlnio dc examinaremos separadamente as casas x> 0 ex = O. f'(-2) ~ 6(-2) -12 = -24, f(a) (c) = 6a - 12 Como f(x) = 6x - 12, a derivada existe para todo numero real x, Logo 0 dominio de f' e ~. Se x > 0, enUio pela DefiniC;ao (3.5), r: YX+7i - 5 '() f x EXEMPLO Se y ~ minar (a) (b) 3i' - 2 12x + 8, use 0 resultado do Exemplo 1 pa;~'deter- '() coeficiente angular de tangente ao grafico desta equac;ao no ponto P(3, -1). a ponto do grafico em que a tangente c horizontal. h = hl~O . Para achar 0 limite, primeiro racionalizamos do quociente e em scguida simplificamos: f x 0 f, = a numeraclor I' YX + 11 - 5 YX + II + x Jm ---. --=--" h x+II+{X 10-0 . = IJm . x+II)-x "(Yx+" 10-0 ~ Jim + {X) --1-- 0" 10--0 .-- +{X Cap. 3 A deril'ada 1 131 1 ~VX+VX=2VX Como x = 0 e urn ponlo de parada do dominio de f, devemos usar urn limite lateral para determinar se existe. Usando a Defini«;ao (3.8) com x = 0, obtemos reO) I' I·1m f(O+II)-[(O) -0· II ';O+II-YO = 1m ----_ h II h-O. · -= YJi = Iun h-O· I'1m -_00 1 II h-O. ['(~) = lim YJi . Como 0 limite nao 'existe, 0 domfnio de reo conjunlo dos inteiros reais positivos. 0 ultimo limite mostra que 0 gr:lfico de f tem tangente vertical (0 eixo-y) no ponto (0, 0). x-a [(x) - [(a) x-a escrever f(x) em uma forma que contenha [f(x) - f(a)] / (x - a) como segue desde que x;< a: Podemos f(x) = f(x) - f(a) (x - a) + f(a) x-a lim f(x) = lim f(x) - f(a) x-a x-a x-a . lim (x - a) + Iim f(a) x-a .(-a reO) A Figura 3.17 da 0 grafico de f. Podernos provar que nao existe mostrando que as derivadas 11 direita e 11 esquerda SaD diferentes. Utilizando os limites da Defini«;ao (3.8) com a = 0 e b = 0, temos · f(O+h)-[(O) Ilm h-O· Tm f(0+h)-1(0) . 1 _ h-O Assim reO) h I' = 10+111-101 . = nao existe e r f h 10+111-101 Im_ h-O h . Ih' h-O. h = Ilm l.!.!J 1m --~~- Ji-o. h = nao e diferenciavel r 1m h-O· Utilizando limites laterais, pod em as estender 0 Teoreina (3.11}"a fun«;oes que SaDdiferenciaveis em urn intervalo fechado. =1 o ~rocesso de dete~ina«;iio de uma derivada por meio da Defmi«;iio (3.5) pode ser cansativo se f(x) e uma expressao complicada. Felizmente, e posslvel estabelecer formulas e rcgras gerais que nos permitem achar ['(x) sem rccorrer a limites . ill 11' =-1 x em O. Note que 0 grafico de y = Ix I (Figura 3.17) tern urn ponto anguloso em P(O, 0) e, por conseguinte, nao tern tangente ai. A fun«;ao f no Exemplo 4 e continua em x = 0 (veja Exemplo 1 da Se«;ao 2.5); entretanto, nao existe. Assim, nem toda fum;ao contfnua e diferencidve/. Em contraposi«;ao, o pr6ximo teorema rnostra que tada fum;ao diferencidve/ continua. reO) e Derivada de uma fUn/;ao linear (3.12) Se f e uma fun«;iio linear, entao f(x) = mx + b para reais m e b. 0 grafico de f e a reta de coefi.ciente angular 111 e intercepto-y b (veja a Figura 3.18). Como indicado na Figura, a tangente / .em urn ponto P Coincide com 0 gra.fico de f e, conseqiientemente, tern coeficiente angular 111. Asslm, par (I) de (3.7), ['(x) = m para todo x. Pode-se provar isto diretamentc da Defini«;ao (3.5). Ternos assim a seguinte regra. I I II I 1//1 Se 11 e negalivo ex •• 0, podeinos 'entao fazer positivo, ASsiin . -.• -.... - -._,' . _ .. t( I rf It/lit lima (3.13) ( f'(x) = lirnX+ o resultado precedente e tambem evidente no grafico, porque 0 grafico de uma fum;ao constanle e uma reta horizontal que tern coeficiente angular O. h-O A ilustra~ao que segue da alguns casos especiais de (3.12) e (3.13). J)'k /I a -;k, k Ir Como anteriormente, utilizando 0 teorema binomial para desen. volver'(x + h)\ simplificando e tom an do 0 limite, obtemos ILUSTRA<;Ao ~},I t. ,. J~x.) , 3x-7 ,J:(x) , -4x+2 3 7x -4 x 7 13 0 1 Vto 112 Se 0 0 /I a 0 ex" 0, a regra da pOlencia ainda neste caso f(x) =xo = 1 e, par -" .-',.. i 11· ~ ' .• ".i:"(~:j'<'~' :f(iY r .x3 .:~' ..'~~~,i,: ; f~P~~:T"~~:' f~(x) 2x 3r .. " '.-'.'" " x4 ·x1OO 4x3 10Qx'J9 ,,', . x·1 = (-1).r2 1 x x·2 1 =-? _2x.3 = ,,~o 2 h) - Ir fu2 se f(x) =xt/", r'yn+1L\"n-JIJ+~)..n-2h2+ /1(/1- I • !In. h-U 1 x10 =- 10 XII entao f'(x)=.!.x(l/nl.t 11 h Se /I e urn inteiro positivo, podemos desenvolver teorema binomial, oblendo f(x)= -10x-1l = I = lim (x+h)"-x" ,,~o x'lO Podemos estender a regra da potencia ao caso de expoentes racionais, Em particular, no Apendice 11mostraremos que; para todo inteiro positivo /I, Pela Defini~iio (3.5), = lim f(x+ 1 ? =-? DEMONSTRA9AO f'(x) pois, A proxima ilustra~iio da alguns casos especiais da regra da potencia. ' Muilas expressiies algebricas contem uma variavel x elevada a uma potencia 11.0 proximo rcsuitado, chamado regra da palellcia, constitui uma formula simples para achar a derivada quando .II e intciro. :,:Seja.II"\inteiro. ' ~:~" :~e.!(x) =.X', entao f'(x) =,Jo.1, desde que ,')(;"0 qiian'do'll;;O":;"'U"':'~" ~,:" ... ':,~',.:., ':." -0;" e valida, = 0 = 0 .xO-l. (3.13), f'(x) 1\ ••. (x + h)" pelo +llxhn-1+""]_xri . '. desde que essas expressiies sejam definidas. Aplicando regras demonslradas nas Se~iies 3.3 e 3.4, podemos entao moslrar que, para qualquer numero racional mIll, sef(x)=x",/", entao f'(x)=!!!.x(mlnl.l 11 -----------------'--h No Capilulo 7 provaremos que a regra da pOlencia c valida para lodo numero realn, A iluslra~ao seguinle da alguns casos especiais da regra da polencia para expoenles racionais. Como cad a lermo denlro dos colchctes, contem uma polencia de h, vemos que exceto 0 rex) = Izx" -I. primeiro, . ,.~:.~~~~'~;~.: •.: ..' -k -x I ;~'~ Justificaremos a nota"ao dy/dx na Se~ao 3.5, onde se define 0 conceito de diferencial. f(x) A proxima !x-1/2 __ 1_ 2 -2£ 2 3 2 3 \IX ilustra~ao apresenta alguns exemplos da utili- za"ao de (3.16) e (3.15). ILUSTRAGAo -x-I13=-3F ~XI/4=~ 4 1 1 -113 - 3x Xl/3 =X 3 -Zx 4 --413 -5/2 VX 1 = - 3X4/3 Concluiremos para a derivada. = ( ~. 12)/11 = ~ (4x312) = (4. 3 =-7jX1T2 Com 0 mesmo lipo de demonslra"ao usado para a regra da potencia, podemos provar, para qualquer real c. Em palavras, para diferenciar cienle c pelo expoell/e II e reduzimos D, ( ~ 1l2) Note f(x) = Dx(x3)] nota"oes adicionais Jim [(HII) - f(x) II h-O A letra x em Dx e dldx denota a variavel independente. Se utilizarmos outra vari 0 38 fix) = {x22~- I se X" 1 se x> I X2 Exercs. 25-30: Determine se f tern (a) tangente vertica( em (0,0) e (b) ponto de reversao em (0,0). f(x)':'xI/326 Ix + 21; = Exercs. 37-40: Use 0 grMico o dominio de f'. (b) [I, 3] : •..•. ; "" 22 f(x)'; = 39 f(x) = { fix) = {x2 - 40 ~n3 -3 se x<-1 se x>:-I 2 se x < 0 se x>: 0 Exercs. 41-42: eada figura fun~ao f. Esboce 0 gnlfico de nao diferenciavel. e e I' 0 grafico de uma e determine onde f .. e f'(3) /,(.) e H') _. ',,2 .• 8.<+ 2; /(,)-.1' -2x-4; P(-I, -11) 10 f(x) = 1 / xl; P(I,I) P(2,4) 11 f(x) = 4x P(81,12) 12 fIx) = 12~1/3; \ HI) - ,'1'1 x; P{1,2) I / (I) - \ I- 4x; P(2, 0) ~·12: (a) lIse (3.12) a (3.15) para achar (I.) I) 'lcI'IlI;ne 0 domin;o de f. (c) Escreva a I'IIII'~II till I m!lClllc ao gnlfico de f em P. (d) III1 11(' ." "Ollios em que a tangente horizontal. .' ~l\l'~. "~(I) '"1 (I e /(1)-'11-2; P(3,25) I P(-2.11) I) - 41"13; 1/4; P(-27, -36) 13 H~)=3x6 14 fIx) = 15 fIx) =9 «;i 16 fIx) = 3x 17 Se z Exercs. 43-44: Dada a fun~ao posi~ao s de urn ponto P em movimento sobre uma reI a coordenada I, determine os inslantes em que a velocidadc tern 0 valor k. 6x4 = 25t 7/3 43 srI) = 3t 915, determine 213; k=4 D~ z. 44 sit) = 4t 3; k = 300 45 A rela,ao entre a temperaturaFna escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius e dada por C = % (F - 32). Determine a taxa de varia,ao (c) Se [(x) = 1 / x2, use a formula de aproxima••ao para estimar f(l) com il = 0,1, 0,01 e O,OOL de F em rela••ao a C. (d) Determine 46 A lei de Charles para os gases afirma que se a pressao permanece constante, enlao a rela••ao entre 0 volume V que urn gas ocupa e sua temperatura T (em ·C» e dada por V = Vo (1 + 1). Determine a taxa de varia••ao valor exato de ['(1). 52 Use a formula de aproxima ••ao do Exercicio 51 para mostrar que se il - 0, entao ["(a) _ [(a + il) - 2[~) + f(a - il) il 2h de T em rela••ao a V. (c) Determine 0 (i) Dxc=O ", (ii) Dx (mx + b) = Ill' (x") (iii)D _,' (b) Se [(x) = 1 / x2, use a parte (a) para estimar f"(l) co~ h = 0,1; 0,01 e 0,001. 47 Mostre que a taxa de varia ••ao do volume de uma esfera em rela••ao ao seu raio e numericamente igual it area da esfera. 48 Mostre que a taxa de varia,ao 'do raio de urn cfrculo em rela••ao it sua circunferencia e independente do tamanho do cfrculo. 0 ciaveis, c, III e b sac numeros reais e /I e urn numero racional. As tres primeiras partes do teorema seguinte foram demonstradas na Seliao 3.2 e sac reenunciadas aqui por uma queslao de complelude. .. - "ll .';' _/ .'.1 ' ',' ,,"'" ,_ g(x)] = D. f(x) - D. g(x) 0 numero aproximado de metros s(t) que urn carro percorre em t segundos para atingir uma velocidade de 90 km/h em 6 segundos DEMONSTRA<;Ao (iv) Aplicando a cf(x) c D. [ f( x )] = a definiliao de derivada, r (a) Interprete esta formula graficamente. iI = lim c f(x + i1) - f(x) h-O iI . = c lun f(x+ i1) - [(x) I "-0 54 Use 0 Exercicio 52 para aproximar a taxa de varia ••ao da velocidade do carro em rela,ao a t em I =cD.f(x) (v) 0 grafico de f(x) = Ix5 ..:2x4 + 3x3 - x + 11 no intervalo [-1,1) e estime onde f nao e diferenciavel. 19 55 Fa,a Aplicando a f(x) + g(x) a definiliao da derivada, D [f(x) + g(x)] . = hm x = If(x+ i1) + g(x+ h)L:_ x + ()J [[(X+h)-[(X) I II iI I " "·.Il Podemos provar (vi) d~ maneira an~log" [(x) - g(x) = f(x) I e aplicar (v) e (iv). Esta SeliaO contem algumas regras gerais para calcular derivadas.· Essas regras sac formuladas,em lermos do operador diferencial D x' onde Dx f(x) = em que f e g denotam funl$oes diferen- rex), x+II + -8(')1 Jim f(x+ i1) - [(x) ~. lim8(o':.:I. i1) h-O DE DIFERENCIA<;Ao tcmos h-O = hm h-O 19 56 Fa••a 0 gn\fico de f(x) = x4 - 3~ + 2x -1 no intervalo [-1,3) e estime as coordenadas-x dos pontos onde a tangente e horizontal. - f(a - ill ['() (b) M oSlre que hr~o [(a + il)2il = a 3.3 TECNICAS temos cf(x + h) - cf(x) /~o . - il) .•..••:'. valor exato de f"(1). 19 Exercs. 53-54: Use a tabela seguinte, que da 50 Urn balao esferico esta sendo inflado. Determine a taxa na qual seu volume V varia em rela••ao ao raio r do balao para h);, (a ,,_,_ (vi)D.[f(x):- 53 Use 0 Exercfcio 51 para aproximar a velocidade do carro em f'(a) ~ f(a + i., ," ;,~,~i 1"1 '~M' "(iv)D: [cf(x)] ';cD~f(X) ; (v)'px [f(x).+.8(~)] = D. f(x) + D. g(x) 49 Uma mancha de oleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a area A da superficie da mancha varia em rela••ao ao raio r do cfrculo para 51 Em algumas aplica ••oes, os valores funcionais f(x) pod em ser conhe'"cidosapenas para alguns valores de x, proximos de a. Em tais situa,oes, f(a) costuma ser aproximada pela formula .. = /lx·-1,;, -I- (-J )g(x) Oil 8(·1) " 'Ilt l) , I'll V I Utilizando 0 operador diferencial d/dx em lugar de D ' as x regras do Teorema (3.18) tomam as seguinles form as: d .. d dxc=O dx(mx+b)=m - d dx !!Y- =!!... dx _ 4X-112 (fu213) dx _.!f. (4x"12) dx d dx As partes (v) e (vi) do Teorema (3.18) podem ser enunciadas como segue: A derivada de lima soma = full3 [cf(x)] = c -- f(x) d d d dx [f(x) ± g(x)] = dx f(x) ± dx g(x) (v) y e a soma (vi) A derivada de lima diferelll:;a Para achar 0 coeficiente angular da tangente em P(I, 2), calculamos dy/dx em x I: = das derivadas. e a diferell~a das derivadas. Estes resultados pod em ser estendidos a somas ou diferen<;asde urn numero arbitrario de fun<;6es. Como urn polinomio e uma soma de term os da forma cx", onde c e urn numero real e n urn inteiro nao-negativo, podemos utilizar resultados sobre somas e diferen~as para obler a derivada, con forme iluslrado no exemplo seguinle. Utilizando a forma ponto-coeficiente escrever a equa~ao da tangente como y - :2 = 6(x - angular, podemos 1), ou 6x - Y = 4 e As formulas para derivadas de produtos e quocientes sac mais complicadas do que as formulas para somas e diferen<;as. Em particular, a derivada de lIIn prodllto nao igllal ao prodllto das derivadas. Jlustremo-Io com 0 produto x2 .x5: e D (x2.x')=D (x7)=7X' D (J..2).D (x5) = (2x). (Sx4) = lOx' x D ();x5);"D (X2-).D)x5) x x A derivada de qualquer produto f(x) g(x) pode expressar-se em termos das derivadas de f(x) e g(x) conforme a regra abaixo. DEMONSTRAC;Ao Determine a equaC;ao da tangente ao grafico de Sejay = f(x)g(x). Aplicando a defini~ao de derivada, escrevemos 3 y=6N-- 4 em P(J,2) Vi Expressamos primeiro y em termos de expoenles racionais e, em seguida, calculamos dy / de DxY . = hm f(x + II) g(x + II) - f(x) g(x) II h-O Para mudar a forma do quociente, de modo que 0 limite possa ser calculado, subtraimos e adicionamos ao numerador a expressac f(x + II) g(x). Assim D Y = Jim .r f(x+ h)g(x +hhJ(x SOLU<;AO f(x)g(x) II [f( x+ · = I1m "-0 = Jim + f(x +h)g(x)- +h)/:(x) h-O I)I· g(x + h) - g(x) . ( f(x +h) - f(x) +gx).-- f'(x) __ =X113 Dx (r - 3x + 2) + (x2 =XI13 (2x - 3) + (r- 3x + 2) II 11-0 It-O II h-O 113) (~X-2I3) 3x(2t - 3) + (r - 3x + 2) Como f e diferenciavel em x, e continua em x (veja Teorema 3.11). Logo, lim f(x + Il) = f(x). Outrossim, Jim g(x) h-O aplicando 3x + 2)Dx (x + 11) . Jim g(x +,11)- g(x) + Jim g(x). Jim f(x+ II) - ftx). h-O = g(x), pois - II h (f(X Pela regra do produto (3.19), (a) 3x2l3 h-O e fixo neste processo de limite. Finalmente, a definic;ao da derivada a f(x) e g(x), obtemos x (b) DxY = f(x) g'(x) + g(x) f'(x). A tangenle ao grafico de f e horizontal se seu coeficiente angular e zero. Fazendo f'(x) = 0 e aplicando a formula quadratica, obtemos A regra do produlo pode ser enunciada como segue: A derivada de um prodllto e igllal aDprimeiro fator vezes a derivada do segundo fator, mais 0 segllndo fator vezes a derivada do primeiro. X 12±Vf44=56 2 Vemos que x = O. Como f 0 = 12±v'88 =6+Y22 2- denominador 3x 213 de em 0 e Jim If'{x) e continua x-o f'(x) e zero I = co, segue-se em da Definic;ao (3.9) que 0 grafico de f tem uma tangente vertical em x = 0, islo e, no ponio (0,0) (a origem). Utilizando Obteremos a seguir uma f6rmula para a derivada de urn quociente. Note que a derivada de um qllociente nlio igual 00 quociente das derivadas. Ilustramos este fato com 0 a regra do Produto (3.19), temos e DxY = (.0 + 1) Dx (U + 8x - 5) + (:b.2 + 8x - 5) D (.0 + 1) x quociente = (x3+ 1)(4x + 8) + (2x2 + 8x - 5)(3x2) = (4x4 + 8x3 + 4x + 8) + (&4 + 24x3 = lOx4 + 32x3 - 15x2 + 4x + Se f(x) =X _ x?/i: 15x2) 8 113(r - 3x + 2), determine (a) f'(x) (b) a coordenada-x dos pontos horizontal ou vertical. em que a langente de f e A derivada de qualquer quociente f(x) / g(x) pode expr 'ssar-se em termos das derivadas de f(x) e g(x) de acordo c 111 n seguinte regra: DEMONSTRAl;AO 4x" + 14x - 5 (4r+5) Seja y = f(x) / g(x). Pel a defini<;ao de derivada, f(Hh) fu2 g(x + h) - g(x) DxY= Jim h Fazendo f(x) = 1 na regra do quociente (3.20), entao, como D x( 1) = 0, obtemos a seguinte regra recfproca: h-O = lim g(x)f(x + h) - f(x)g(x + h) hg(x + h)g(x) . [ 1] h-O Sublraindo e somando g(x)f(x) quociente, obtemos D xY = lim h-O . h- g(x)f(x + h) - g(x)f(x) + g(x)fN-:1(x)g(x hg(x + h)g(x) 0 g(x) [ f(x = Dx g(x) do Ultimo +'2 - f(x) ] _ f(x) [ g(x D _ e do denominador, A regra do quociente pode ser derivada de um quociente e igua' ao pe/a derivada do llumerador, menos pela derivada do denominador, tudo denominador. ·1 D)x) 1 -=---=-(X)2 r DX3r-5x+4 =- . t!Y.. se y enunciada como segue: A dellomillador mllltiplicado a numerador mllltiplicado dividido pelo qlladrado do Pela regra do quociente t!Y.. _ (4.~ + 5)Dpr I I I I I I [ [ -x + 2) - (3.\2 -x + 2)Dx(4.~ + 5) (4.\2+5)(6x-l) - (3r -x+ 2)(8x) (4.\2 + 5)" (24x 3 - =f'g~fg' g-. I I I I I l-f ..•••.. J-~ I I Concluiremos regra do quociente. esta se<;ao com urna aplica<;ao que utiliza a k---q----.... Figura 3.19 (4r+5) lit - I I I I e (;)' Pode ser util memorizar estas formulas. Para obter a regra do quociente, basta trocar 0 sinal + pelo sinal - na formula de (fg)', e dividir por 7 4r+5 (3.20), (3r-5x+4)2 Utilizando esta nota<;ao para as regras do produto e do quociente e ao mesmo tempo comutando alguns dos fatores que aparecem em (3.19) e (3.20), obtemos 3.~-x+2 = (Lt 6x _ 5 =- a obtemos a (fg)'=f'g+fg' DetermIne.1. Dp.~- 5x + 4) (3x"-5x+4)" As formulas de diferencia<;ao em (3.18) estao enunciadas em termos dos valores funcionais f(x) e g(x). Se quisermos formular tais regras sem referencia variavel x, podemos escrever g(x + h)g(x) Tomando 0 limite do numerador regra do qUociente. D)g) . [g(x)F ., X 1 +'~)- g1:!2] Jim -------.------h- 0 =- + h) + h) - f(x)] - .t<:ill8i.x + h) - gM hg(x + h)g(x) Mrf(x = lim ao numerador 4.~ + 30x - 5) - (24x) (4r + 5)2 sr + 16x) A Figura 3.19 exibe urna lente convexa de distiincia focal f. Se urn objeto esta a distancia p da lente, entao a distiincia q da lcnlc iJ imagem esta relacionada com p e f pel a eqllac;iio da lelltc '-11.. (a) uma formula gem P,:UO a taxa de varia~o de q em relac;ao a p. (b) a taxa de varial$iio de q em relal$iio apse Lj.L , '" '1 '6& p 'f (a) 17h(z)Q~ .J'lJc D = pq -- OU ~:o,~ .1 (P-2)D q2p = (p _ 2)2 "i- f" • ~) F=~ 11 2w w3-7 u3 -1 19 G (u) Q u3 + 1 20 f(l) _ (P- 2)2 (P-2) p 3x - 1 47 y=-2 :::~; "b"moo 22 f(x) " Zx2 _ 4x + 8 x1 + Xi1 + Xi1 24 p(x) " 1 + 7 25 h(x) = x2 + 5 6 26 k(z) Q z2 + Z 27 F(I) " 12 + ~- 28 s(x)Q2x+"h _ . 9 f(x)=xl12(x2+x-4) 2 10 hex) 3 f(;) = 15 - s + 4s2 - 5s4 11 her) = r2(3r 4 - 7r + 2) Q 12 - 314 + 416 12 k(v) = v3(-2v3 + v - 3) 4 fell 5 f(x)=3x2+ U = x 213 (3x2 - = (2w 55 Determine as eoordenadas-x de todos os pontos + 1)3 32 Sew) 33 g(r) = (5r - 4)-2 34 Sex) = (3x + 1)-2 do grafico de y - x3 + 2x2 tangente e 3/(51)-1 35 ft.1) - (2//2) + 7 4/ Z2 36 N(z) - (3/ z) + 2 (a) horizontal, (b) paraleJa 11reta 2y + 8x ~ 7 .g'(~) = (x3 - 7)(2):2 + 3) 4x + 5 em que 57 Ache os pontos do grafico de y = x que a tangente e paralela 11reta y 38 T(z) • 5z4 +~ - 2z 3 =x 3/2 - Q II 5. em que x 1/2 el'll - x = 3. 58 Ache os pontos do grafico de y _ x 5/ 3 -I- X I / • em que a tangente e perpendicular h rell' 2y+x=7. 39 f(x) " Jx2 - 5x + 8 6''1 41 Y = Zx3 - 3xl - 36x + 4 - - 56 Determine 0 ponto P do grafico de y a tangente tern intereepto-x 4. 37 M(x) _ Zx3 - 7X\+ 4x + 3 x 24x + 11 2x + 5) e:.. = O. 6/- .t:;-"*? Exercs. 59-60: Esboce 0 grafico da cqua.,fio e u· termine as tangentes verticais. .r 59 y = yx -4; . 61 Urn baliio meteorol6gieo e solto e sobe ve,llclil mente de modo que sua distaneia 5(/) UO $010 durante os 10 primeiros segundos de vl)o e " IIIiI por s(l) = 6 + 21+ 12, na qual 5(/) e eOlllliuliell' metros e I em segund05. Determine a v '10 'ldll,1! do baliio quando 13 g(x) = (8x2 - 5x)(13x2 + 4) 14 H(z) = (zS - 2z3)(7z2 + z -,8) 6 g(x)=x4- _ x+3 2x+3 y 31 hex) Q (5x - 4)2 .-.'42 Y = 4x3 + 2lx2 h(z)=8z 2 52 30 W(s) = (3S)4 = (3s)-l Exeres. 41-44: Resolva a equa.,iio D.y 3/ = 3x + 4 x+ 1 53 f(x) =-1 40 h(l) " 31 + 2t 5 6/5/3 Y 5 2; +x 1 7 = 51 Exercicios 53-54: Determine a equa.,iio da tangenle ao grafieo de f em P. 1 5 8 k(x) = (2x2 - 4x + 1)(6x - 5) R YX 1 23 f(x) = 1 + x + x2 + x3 29 K(s) ::ti~~ :~:t ~2-:~~ 2x 3 + 50YQ /2 Assim, se distancia da imagem q esta decrescendo a taxa de Ii;; cm por centimetro de varial$iio em p. 1 ge,) Exercicios 47-50: Calcule dy / dx (a) utilizando a regra do quoeiente, (b) a regra do produto e (c) simplificando algebriearnente e aplieando (3.18). 8/ + 15 /2_2/+3 2p (2p)-(2p)D p -4 Cj- ..••.- 18 f(w)- _21 g(J) = 31_ 5 l=.Ll=~ (P - 2)(2) - (2p)(1) (P _ 2)2 1f.{ Cr -1-.2.J 8-z+3z2 "W q = 2.P...p-2 .:JCj 3{; Bx2-6x+ x-1 x Por (3.7)(ii), a taxa de varial$iio de q em relal$iio ape dada pela derivada Dpq. Se f = 2, entiio a equal$iio da lente da 1 1 1 -=-+-, 2 p q Q. 16 h(x) = = 22 cm. SOLu<;Ao. 1/ -:16' . 4x-5 15 f(x) " 3x + 2 45 Y = ~ + 24x3 - 540xl + 7 46 y=6xS-5x'-3Ox3+ 1lx (b) no instanle em que 0 balfio eSl6 II I) III do solo. 1111 62 Uma bola desee urn plano inc\inudu UO 11111\111 ill1 a distiincia (em) qllc cia pereo",o '111( II'tllllldll I fI, "I,. I "III f hlllUlrlll1l AIl(t!ftica Cal'. 3 ----------------------Exercs. 67-70: Se f e g sao fun~6es tais que f(2) = 3, f '(2) = -1, g(2) = -5 e g '(2) = 2, calcule a 1111 I II I. II II It II II lit! I III Ijlll vI'I"ddnde "lllille da bola em 1=2. n velocidade C 30 cm/s? expressao. (d) (fg)'(2) I) '(2) (c) (4g) '(2) (c) (gg)'(2) (c) (41) '(2) (e) (JIg)'(2) (0 (I1J)'(2) rela~ao ao reservatorio. (d) (fJ) '(2) 1=0 e 1=2. Qual e a taxa de fluxo quando volume 11.250 m3? 71 Se f, g c h sao diferenciaveis, produto para provar que pea, a/2) = Como corolario, fa~a 72 ESlenda 0 Exereicio de quatro fun~6es f -g angular de 11 . 1£]82 (a) Se f(x) _x2/3 + 1, aproxime f '(0) usando Exercicio 51 da Se,ao 3.2 com h ~ 0,1. use a rcgra do + f(x)g '(x)h(x) + f '(x)g(x)h(x) f(x)g(x)h'(x) (I, I, f{l, de 1'(1) do que 0 eoeficienle ma,ao )'(2) f+g C 12 por (0,9, f(O, 9) e (I, 1». (c) Determine f '(1) e explique por que 0 eoefidenle angular de 12 constilui melhor aproxi- e D .•U(x)g(x)h(x)] J ;;2 a+ x2; I), e a secante 79 Joga-se uma pedra em uma piscina, ocasionando ondas circulares conecDlricas. Se, ap6s I segundos, 0 raio de uma das ondas 401 em, ache a taxa de varia~ao, em rela~ao a I, da area do cireulo causado pel a onda quando r(2) (_J_ (d) y - f(x), a secante 11' por (I, f(l» 0 e (b) (5/g)'(2) (c) (61)'(2) e tempo a laxa de 111«0 para 0 Ache a taxa de fluxo nos instantes (b) (glf)'(2) (~) ( f ~ g 70 (a) (3f - 2g)'(2) y. (b) (f - g)'(2) (b) (5f + 3g) '(2) 69 (a) (2f - g)'(2) I' •• ". I. \ M I I) "oNe" eq"a~ao de uma curva chisI. I' • NI" HI 111'0 p"rll conslantes positivas a e b. (I ""~I,III II KIWI c1' II. 'omelria analitica para mais ,It Iitlill .) I )nl,·, lid" . 0 coefieiente angular da tanII lit. 111'1"11110 I'. [£]81 (a) Se fix) -x3 - 2t + 2, aproxime !'(I) ulilizando 0 Exercieio 51 ua Se<;iio 3.2 com h - 0,1. e 67 (a) (f + g);(2), 68 (a) (g - 78 0 volume V (em m3) de agua em urn pequeno reservatorio durante 0 de!\jlo da primavera dado por V = 5000 (t + 1) para I em meses e 0" I ,,3. A taxa de varia,ao do volume em = h para provar que 80 A lei de Boyle para os gases conflIlados aflffi1a que se a temperatura permanece coostante, entao pu = C, onde pea pressao, \J 0 volume e c uma constante. Suponha que no instante I (minutos) a pressao seja 20 + 21 em de mereurio para e = volume de 60 cm3 em I determine a taxa na qual 0 volume varia rela,ao a I quando 1,= 5. 0" I " 10. Se 0 (b) Grafe no mesmo sislema 0 de coordenadas: y - fix), a secante por (0, f(O» e (0,1, f(OI» e a secante por (-D,I, f(-D,I» e (0,1, f(O,I». (c) Por que razao os coeficientes angulares das secantes em (b) nao constituem uma aproxima,ao de f 'CO)? 0, em 71 11 derivada de urn produlo e cstabele~a uma formula para Dx [J(x)]4. Exercs. abx )' = ~ + x2' . 73 y pea, b!'2) 73-76: = (8x Use 0 71 para achar dy/rLt .. Exercicio - 1)(x2 + 4x + 7)(x3 - 5) 74 y = (3x4 - lOx2 + 8)(2t2 - ~ ~-x = Sempre derivadas provar envolvendo sen represenla de funt;oes varios a limites e, cos t, a medida trigonometricas, resultados sobre de expressoes tg x etc., limites. trigonome- slIporemos qlle cada de urn ling 1110em radianos all II/n 1lI1mera real. 77 Ao scr inflado em) apos I urn balao esferico, seu raio r (em minetos e dado por r = 3 o "I (b) do volume II (,(,: I )elc'lIIi"c as eqlla~6es das retas por III't:,Mk" da equa~ao. tricas para primeiro que nos referirmos variavel ij( Denotemos para em rela~ao a (el a area da superffcie S do baliio e urn angulo de coordenadasretangulares unitario Una Figura 3.20. De acordo 0, V do baHio por sistema seno (a) do raio r I _",., formulas e necessario 4x(x - 1)(2t - 3) " 10. Ache a laxa de varia,ao I quando I = 8: 1'111111',/1111'" DE FUNc;OES TRIGONOMETRICAS Para obter 10)(6.<+ 7) 75 Y = x(2t3 - 5x - 1)(6.<2 + 7) 76 y 3.4 DERIVADAS e co-seno, sen 8). Parece Islo sugere 0 seguinte e- tcorema. padrao e consideremos as coordenadas que se na posi<;ao com a defini<;ao do ponto 0, entao sen indicado 0- 0e em 0 urn cfrculo das fun<;oes P sao (cos cos 0 - 1. Como Jim e = 0 e Jim 0 ~ 0, segue-se do Teorema 0-0- que Hm sen (2.15) 0-0- e = o. 0-0- (ii) vI - Como sen' e + cos2 e = 1, obtemos cos e = ± sen! 8. Se -1t/2< 8< 1t/2, enliio cose e positivo e cos = sen2 8. Consequentemente, e vI - Jim cos e= 0->1J vI - sen:! e = v Jim lim 0-0 (1 - sen:! 6) 0-0 Na Se<;ao 2.1 utilizamos uma calculadora e urn grafico para estimar 0 limite do proximo teorema. Daremos agora uma demonstra<;ao rigorosa. , .' . Jim' sen II 0-0 DEMONSTRAc;Ao = II 1 .. Mostremos primeiro que lirn sen 6 = O. Se 0 < 0 < 1t /2, (i) 0-0' entao, referindo-nos Se 0 < 6 < 1t/2, ternos a situa<;ao ilustrada na Figura 3.21, onde U e urn circulo unitario. Note que 11Figura 3.20, vemos que O -0-> cosO Jim 1 - cos 6 e. = 6-0 sen 6 sen 6 6 1 + cos 0 =--.--- Jim (sen 6 . ~en 6 l+cosO ) 0_06 - (Jim - se'!..Q) 0 0- 0 (lim ~)1 + cos 6 0_ 0 sen 0 cos 0< -0- < 1 =1.(_0_)=1.0=0 1+ 1 A ultima desigualdade tambem IS verdadeira se pois, iJeste caso, temos 0 < - 0 < 11;/2 e dai cos (-0) < sen (-6) -0 -11; /2 < 0 < 0, < ~1 Usando as idenlidades cos( -0) = cos 0 e sen (-0) = -sen 0, obtemos novamente cos 6< Como lim cos 0 0-0 =1 sen 0 0 enunciado do leorema de- corre do Teorema (2.15). Ulilizaremos tamb€m 0 Derivada das fun90es trigonometricas (3.25) -0- < 1. e Jim 1 = 1, 6-0 Podemos agora eSlabelecer as formulas constantes do teorema seguinle no qual x denota wn nllmero real au a medida em radiallos de wil angulo. seguinle resultado: Aplicando a Definil;ao (3.5) com f(x) = sen x e usando a formula de adil;ao para a funl;ao seno, oblemos D senx x r = 1o~0 r sen(x+h)-senx h (senx r cos/~+cosx = h~O . = Jim senx 10-0 Fazendo 6 = 0 na expressao (1 - cos 0) / 6, obtemos 0/0. Logo, devemos modificar a forma do quociente. Recordando, da trigonometria, que 1 - cos2 e = sen' 6, multiplicamos 0 numerador e 0 denominador da expressao por 1 + cos 0 e simplificamos enlao como segue: = Pelos Teoremas Jim 1.-0 . [ senx l~ ' senh-senx Iz (cosh-1)+cosx h senh --'-I - ... (COS h - 1) cosx (sen -hIz ) ] (3.24) e (3.23) (COS" " 1) =0 . (sen 11m --- h ) h 1,-0 = 1, I-cosO do lIAOQ =! bh = !(I)(AQ) =! 222 --0-- tg 0 I-cosO = l+cosO --0-- 'l~os 0 I Logo, a desigualdade precedente pode escrever-se isen 0 < ~ 0 < ~ tg e. sen2 0 sen 0 0(1 + cosO) =-0-' Utilizando a identidade tg 0 = (sen 0) / (cos 0) e dividindo por 4 sen e chegamos as scguintes desigualdades equivalentes: 1<_0_< sen 0 _1_ cos 0 sen 0 1> -0-> cosO cosO< Conseqiienlemenle, lim 1 - cos 0 = Jim (sen 0 . ~~ 0 0-0 0 l+cosO = -0 Usando as idenlidades cost -0) = cos temos novamente cosO< sen e -0-< Como lim cos 0 = 1 e Jim 1 = 1, 8-0 0 e e sen (-0) = -sen 0, ob- 0 (!~o 1 :e~o~ 0 ) Podemos agora eSlabelecer as formulas constantes do leorema seguinte no qual x denota um Ill/mero real Oil a medida em radianos de III" angulo. Derivada das fun90es tr;gonometricas (3.25) l. enunciado do teorema de- 8-0 tambcm se~ 0 ) < -1 corre do Teorema (2.15). Utilizaremos (J~o =1.(_0_)=1.0=0 1+1 A ultima desigualdade tambem c verdadeira sc -n / 2 < 0 < 0, pois, oeste caso, temos 0 < - 0 < n/2 e dai sen (-0) ) 8-0 sen 0 -0< 1 cos (-0) < sen 0 1 + cos 0 seguinte resultado: Aplicando a Defini<;ao (3.5) <;om f(x) = sen x e usando a fomlUla de adi<;ao para a fun<;ao seno, oblemos r D x sen x = " ~o · = Iun sen(x+h)-senx h (senx r cos h\+ cosx ' h-O = lim senx " (cosh-l)+cosx a = Pelos Teoremas . [ senx 1~0 (cas --,-, h -- 1 ) + cosx (sen -hh ) ] (3.24) e (3.23) lim (cas h - 1 ) = 0 h ',-0 senh h h-O Fazendo = 0 na expressiio (1 - cos 0) / 0, obtemos 0/0. Logo, devemos modificar a forma do quocicnte. Recordando, da lrigonometria, que 1 - cos2 a = sen2 0, multiplicamos 0 numerador e 0 denominador da expressao por 1 + cos 0 e simplificamos entao como segue: ' sen h - senx , (senlr) 11m ---/'-0 Ir = 1, senx 1 senx = CDS2x = cos x cos x =secx Mostramos que a derivada da funltao seno IS a funltao co-seno. De maneira analoga podemos obler a derivada da funltao co-seno: D cosx = Jim CDS (x + 11) - cosx '. .-0 x x cos h - sen x sen 11- cos x .-0 = h lim cosx(cosll-1)-senx h senh 1.-0. I· = h~ [ cosx (COS h - 1 ) -senx --11-- (sen -h- h ) ] . senx Determme y' se y = 1 + cos x = (cos x)(O) - (sen x)(1) = - sen X. Assim, a derivada seno. da funltao co-seno As demonslralt0eS das formulas para Dx col x e Dx csc x ficam como exercicio. Pod em os ulilizar (3.25) para obler indica<;oes sobre a continuidade das funlt0es trigonometricas. Po'r exemplo, como as fun<;oes seno e co-seno sao diferenciaveis para todo niimero real, segue-se do Teorema (3.11) que essas fun<;oes sac conlinuas em lodo ~. Quanlo 11tangenle, IS continua nos intervalos abertos (-1t/2, 1t/2), (1t/2, 31t/2) etc., po is e diferenciavel em cada ponto desses intervalos. 11 . cos = )un tgx IS 0 Ilegativo da funltao Pela regra do quociente e por (3.25), Para achar a derivada da funltao langente, partimos da idenlidade fundamenlal Ig x = sen x / cas x e aplicamos a regra do quociente como segue: y' x (Dx CDS x) cos x + cos2 X CDSX+ cos2 x cos2 X + sen2 x 1 cos2 X = cos2 -senx = - cos2 X + sen2 x 1 (1 + COSX)2 1 =1+cosx 2 X = sec x Para a _ [unltao secante, escrevemos secx = 1/ cos x e aplicamos a regra recfproca (3.21): Dxcosx cos2 X CDS2X (1+cosx? = cos x (CDS x) - sen x (- sen x) =- x? (1 + cosx? cos x (Dx sen x) -sen (_1_) '" cosx (1 + CDsx)(D sen x) - (sen x)D (1 + cos x) x (1 + cos x (1 + cos x)(cos x) - (sen x)(O - sen x) D tgx =D (senx) "'. '" cosx D",secx=D = primeiro Na solu<;ao do Exemplo 1 utilizamos a idenlidade fund,,- me~tal cos x2 + sen2 x = 1. Esla e outras identidades lrigollllll' tricas sac usadas freqlientemente para simplificar probl'llIl1s fill envolvem derivadas de funlt0es trigonometricas. I ~1l/11" "'/1111"(/1111,,11,, AllnI.~I(_Ic_/I_(_:/I~p_. 3 _ g'(x) = (sccx)(Dx tgx) + (tgx)(D = (secx)(see2 = sec3 x = sccx) x x) + (tgx)(secx Os coeficientes angulares nos ponlos indicados cons lam da seguinte tabela. tgx) + see x ti x 0 sec x (sec2 x + tg2 x) A expressao g'(x) pode ser escrita de varias outras maneiras. Por exemplo, como 2 sec x = tg2 X + 1, ou tg2 X = sec2 x - 1, 1 .11:. .11:. 3 2 1 2rt 3 -21 0 2 re -1 (b) A Figura 3.22 exibe a parte do griifico de y = sen x e das tangentes referidas na parte (a). (c) Villa tangente e horizontal se seu coeficiente angular e zero. Como 0 coeficiente angular da tangente no ponto (x, y) e y', devernos resolver a equa<;ao podemos escrever Poderiamos aplicar a regra do produto como no Exemplo 2; entretanto, e mais simples modificar primeiro a forma de y utilizando identidades fundamentais como segue: . = sec y Aplicando e cot e = -- 1 = csc e e = --cos1 e --cos sen e sen e (3.25) vern Ex = ~ csc e = -csc e dB de cot e y' = 0; isto e, cosx =0 Assim, a tangente e horizontal se x = ± re/ 2, x = ± 3re / 2, e, de modo geral, se x = (re /2) + rell, para qualquer II inteiro arbitrario. (a) Determine 0 coeficiente angular das tangentes ao griifico de y = sen x nos pontos de coordenadas-x 0, re/3, re/2,2re/3 e re. Se (b) Esboce os grafico de y = sen x e das tangentes da parte (a). (c) Para quais valores de x a tangente e horizontal? SOLUl;Ao (a) 0 coeficiente angular da tangente ao ponto (x, y) do grafico da equa<;ao y = sen x e dado pela derivada de y' = cos x. Ie difereneiavel, entao a rela 1I0rm01l elll urn ponto p(a, I(a)) do griifico de I e a reta por P perpendicular a tangente, conforme ilustrado na Figura 3.23. Se F(a) '" 0, entao, por (1.9)(iii), 0 coeficiente angular dOl normal e -lIf'(a). Se {(a) = 0, entao a tangente e horizonlal e, nesse casu, a normal e vertical e tern por equa<;ao x = 1I. • Como f (4)(X) = sen x, segue-se que, se continuarmos renciando, 0 padrao se repetira, isto e, Determine a equa<;ao da normal do gn\fieo de y = tg x no ponto P(n / 4,1); Hustre grafieamente. f f(7)(x) / Como y' = sec2 x, 0 coeficientb e assim 0 coeficiente (5)(X) = cos X = -cosx f(6l(X) = f = sen x (8l(X) dife- -senx angular m da tangente em P e angular da normal e -1 Empregando a forma ponto-coefieiente eserever a equa<;ao da normal como / m = -1 /2. angular, pod em os Exeres. 29-30: Determine as equa<;6es da tangente e da reta normal ao gratico de f em (1[/4, f(lt/4). Exeres. 31-34: Vemos a seguir 0 grafteo da fun<;ao f com dominio restrito. Determine os pontos em que a tangente e horizontal. 7 f(8) A Figura 3.24 da 0 grafico de y e da reta normal em P. = tg x para -3n / 2 < x < 3n / 2 = = 13 .9 g(l) 8g(a)_1-cosa sen 8 8 a 10 1'(r) = r2 see r sen 1 11 f(x) = 2x cot x+x2 tgx G Quando estudarmos as series de Taylor no Capitulo 11,-· teremos de calcular derivadas de diversas ordens das fun",6es. No proximo exemplo veremos que, para a fun<;ao seno, eSsas derivadas sao faceis de calcular. 13 "(z) = 1 - eos z . l+eosz 14R(';')=~ 1- sen w 20 g(1) = cse 1 sen 1 so LUl;Ao Aplicando . f(x) =D, senx= f"(x) 21 f(x)=~ (3.25) cosx 1 +r 23 k(u) = ese u seeu = D. cas x = - sen x 22 "(8) ~ 1 + see 8 1 - see 8 24 q(l) _ sen 1 see 1 @g(X) = sent-x) + eos(-x) r'(x) =D (- senx) = -D (senx) .x . x = - cosx '.> 26 s(z) = Ig(-z) + see(-z) 27 H(cjJ) ~ (cot cjJ+ cse cjJ)(lgcjJ- sen cjJ) 28 f() x = 1 + see x tgx + senx (a) as coordeoadas-x 'de todos os pontos do grafico em que a tangente e perpendicular il reta 1 \ ) y=-x+4 V3 (h) a equa,ao da tangente do grafico no ponto em que este corta 0 eixo-y. [9 39 Fa~a 0 graJico f(x) = i 1 sen2 x - cos x sen ( nx)1 no intervalo 10,5] e estime onde f nao renciavel. 1- 1-'---1---1--n x e dife- ':'Nesta seC;ao introduzi~o; notac;ao e terminologia adicionais que serao us'adas em'problemas envolvendo diferenciac;ao. A nova notac;ao permitira encararmos dy/dx como urn quociente em lugar :ap~nasum simbolo para a derivada de y em relac;ao a Utiliza~la-emos tamlJem para estirna.r variac;iies de quantidades. :Ae x. !i ,Seja~.equac;ao y = J(x), onde J e'uma func;ao.S~·a v~ri~~~I xternUIn. valoriIlicial Xo e toma em seguida urn 'valor XI; a diferenc;a x I - Xo e chamada incremento de x. No ca!culo e denotar :urn incremento de x pelo simbolo 6x 2 .tr'adiciomil grafico de f(x) = -16 ~2x no inter-' sen -x valo 10, 4] e estime as coordenadas-x dos ponlos em que a tangente <- horizontal. [9 40 Fa~a 0 (de~~a;j.Asslrri ' --;,)t Exercs. 41-42: Urn pontoP em movirnento sobre uma reta coordenada J tern a posi~ao s dada. Quando e que sua velocidade <- igual a O? Exercs. 43-44: Urn ponto P(x,y) se move da esquerda para a direila ao longo do grafico da equac;ao. Quando e que a taxa de varia,ao de y em relac;ao a x e igual ao mimero dado a? I 43y=x312+2., - I I I I I Ii I' .\ I !! !! 4 2 x 45 (a) Ache as quatro primeiras f(x) = cos x, (h) Ache I >t'l' ~ I .llI: (n) Ache as coordenadas-x de todos II. I"IIIIIIH,III 1'.'(,fico de f em que a tangenle 0), dy significa quanto a tangente em P sobe ou desce quando a variolvel in de pendente varia de x para x +!:ix. Isto contrasta com a quantidade /!,.yque 0 graftco sobe (ou desce). c (iii) (i) Y Y I P(x. y) . ,"j dy : /!,y J. .. :•. J .. dx=/!,x P~~dYJ~y \';=f(X) Y=f(x) -t---4 -- -t+-/!,x-;----.o;x x x x + dx Daremos a ['(x) !:ix urn nome especial em (ii) da pr6xima definic;ao . Iljljl\~)1~ dx = /!,x : .~. i. ,., Reescrevendo a f6nnuhi em (3.26) como e usarido /!,.y"';dy, obtemos a seguinte f6nnula. Formula de aproximagao' linear (3.31) '~'~"''''''' • '; -,,,,<," i,i''i·"·.<.:"",,,:~,.,,'.',i'''iiY iii'_, C," -.:., . 'i"i'iii~{diferedciaver :e:/!"x cUm incremento •.C, ••• i· de ~'i~!~¥~~f~;~j~~~J~~;:~;r:,{-: . -": h' , ,II, ,11111111'1 fI(ftn"I'I"_"_A_'f(_'II_lic_o __ CI~'p_. _3 . _ A formula em (3.31) e ehamada aproxima~ao linear paraJ(x + &) porque, con forme i1ustrado na Figura 3.27, podemos aproximar 0 valor funcional f(x + &) utilizando 0 ponto (x + &, y + dy) da tangente, em lugar de usar 0 ponto (x + &, Y + 6y) do grMico de f. Assim, para pontos pr6ximos de (x, y), podemos aproximar 0 grafteo de f por meio da tangente. (a) 6y (e) 6y - dy (d) dy (b) 0 valor de 6y - dy se x = 1 e & = 0,02 SOLU({AO Seja y = 3x2 - 5 e seja 6x urn incremento (a) (a) de x, 6y Estabele~a formulas gerais para 6y e dy. (3.26) com f(x) = r obtemos Aplicando + 6x) - f(x) = f(x =(x+6xj3-x3 (b) Se x varia de 2 para 2,1, determine ...ay_ ~"r os valores de 6y e = x3 SOLUC;AO'" (a) Se y = f(x) = 3x2 - 5, entao, pela Defini~ao (3.26), 6y = f(x + (b) dy = [3(x + &)2 - 5] - (3x2 = [3(x2 + 2x(&) + (&f) = 3x2 + 6x(6:.:) + 3(&)2 - 5- 3x2 + 5 = 6x(6x) + 3(&)2 dy = f'(x)dx - 5) (c) (d) = 6x dx Assim, y varia de 1,23 quando x varia de 2 a 2,1. Pocleriamos lambcm achar 6y direlamenle como segue: 6y = f(2,1) - f(2) = [3(2,1)2 - 5] - [3(2)2 - 5] = 1,23 usando a formula oblemos = 0,1, = f(x) dx = 3x2 dx = 3x2(&) Pelas partes (a) e (b), 6y - dy - 5] - (3x2 - 5) Qllcremos determinar 6y e dy sex = 2 e & = 0,1. Fazendo a substitui~ao na formula de 6y em (a), obtemos !\II:1lug:llllcntc, x w 2 c ri\- = 6x Pela Defini~ao (3.28)(ii), 6x) - f(x) = [3x2(6x) + 3x(&j2 + (&)3] - 3x2(&) = 3X(&)2 + (&)3 Fazendo:.: = 1 e & = 0,02 na parte (c), obtemos 6y - dy = 3(1)(0,02j2 + (0,02)3 = 0,001 Para aehar dy, utilizamos a Defini~ao (3.28)(ii): (h) + 3.~(&) + 3x(&)2 + (&)3 - xl = 3x2(&) + 3x(&j2 + (&)3 Isto mostni que se dy e usa do para aproxirnar 6y quando x varia de 1 para 1,02, entao 0 erro causado e aproximadamentc 0,001. Se y = f(x), entao por (3.29), dy pode ser usado como aproximaC;ao da variac;ao exata 6y da variavel dependente, correspondenle a uma pequena variac;ao & Da variavel x. Esla observac;ao e util ern aplicac;oes onde se deseja apenas uma estimativa da variac;ao de y. dy = 6x dx, com (a) Use "iferenciais para aproximar a variac;ao de sen 8 quando 8 varia de 60" para 61". (b) Determine uma aproximac;ao linear de sen 61 '.