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Turma A
Como B é uma base do R 3 então {T(0,0,1), T(0,1,1), T(-2,1,0)} gera a Im(T), mas T(0,0,1) = (-1,1,-1), T(0,1,1) = (0,0,0), T(-2,1,0) = (2,-1,0) e {(-1,1,-1), (2,-1,0)} é L.I. logo (b) {(-1,1,-1), (2,-1,0)} é uma base da Im(T) e dim Im(T) = 2. (a) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim ker(T) = 3 – 2 = 1, logo {(0,1,1)} é uma base do ker(T) e daí dim ker(T)=1. (c)
Como
(−1,1, −1),(0,1,1) = −1.0 + 1.1 − 1.1 = 0 = (2, −1,1),(0,1,1) ,
então
Im(T) ⊂ (ker(T))⊥ , por outro lado R 3 = ker(T ) ⊕ (ker(T )) ⊥ , assim dim(ker(T ))⊥ = 2 , portanto (ker(T )) ⊥ = Im(T ) . (d) Notemos que B não é uma base ortonormal do R 3 , assim determinemos [T ]can . Temos 1 1 1 e assim (1,0,0) = − (0,0,1) + (0,1,1) − ( −2,1,0) (0,1,0) = −(0,0,1) + (0,1,1) , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 T (1,0,0) = − T (0,0,1) + T (0,1,1) − T (−2,1,0) = − (−1,1, −1) − (2, −1,1) = (− ,0,0) 2 2 2 2 2 2 T (0,1, 0) = −T (0, 0,1) + T (0,1,1) = −(−1,1, −1) e T (0, 0,1) = (1, −1,1) ⎛ 1 ⎞ ⎜ − 2 1 −1⎟ ⎜ ⎟ logo [T ]can = ⎜ 0 −1 1 ⎟ que não é uma matriz simétrica, assim T não é um operador ⎜ 0 1 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ simétrico.
⎛0 ⎜ ⎜0 A matriz associada ao sistema acima é A = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝
0 0 1 0⎞ ⎟ 1 0 0 0⎟ 0 0 0 1⎟ . ⎟ 0 1 0 0⎟ 0 0 0 0 ⎟⎠
Seja T o operador linear do R 5 tal que [T ]can = A . Como p A (λ ) = (1 − λ )(λ 4 − 1) então p A (λ ) = −(λ − 1) 2 (λ + 1)(λ + i )(λ − i ) . Determinemos V (1),V ( −1),V (i ) e V ( −i ) .
V (1)
⎛ −1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝
0 0 0 0 0
0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧− x + t = 0 0 0 0 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ 0⎟ ⎪ ⎪− z + w = 0 ⇒ x= z=t =w −1 0 1 ⎟ ⎜ z ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ ⎨ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪z − t = 0 1 −1 0 ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎩x − w = 0 0 0 −1⎟⎜ ⎠⎝ w ⎠ ⎝ 0 ⎠ 0
1
Assim (x,y,z,t,w)=y(0,1,0,0,0)+w(1,0,1,1,1) , logo V (1) = [(0,1,0,0,0),(1,0,1,1,1)] V (−1)
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝1
0 0 1 0⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞ ⎧x + t = 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 0 0 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪⎪2 y = 0 ⎪ 0 1 0 1 ⎟ ⎜ z ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ ⎨ z + w = 0 ⇒ x = − w, y = 0, z = − w,t = w ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 0 ⎟⎜ t ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪z + t = 0 ⎪ ⎟⎜ w ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ x + w = 0 0 0 0 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
Assim (x,y,z,t,w)=w(-1,0,-1,1,1) , logo V (−1) = [(-1,0,-1,1,1)] V (i )
0 1 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎧−ix + t = 0 ⎛ −i 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 0 1 − i 0 0 0 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪⎪(1 − i ) y = 0 ⎜0 0 −i 0 1 ⎟ ⎜ z ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ ⎨−iz + w = 0 ⇒ x = −it , y = 0, z = it , w = −t ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 −i 0 ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ z − it = 0 ⎜0 ⎪ ⎜ ⎟⎜ w ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ x − iw = 0 0 0 0 −i ⎠⎝ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Assim (x,y,z,t,w)=t(-i,0,i,-1,1) , logo V (i ) = [(-i,0,i,-1,1)] . Seja B = {(0,1,0,0,0),(1,0,1,1,1),( −1,0, −1,1,1),(0,0,0, −1,1),(1,0, −1,0,0)} , então ⎛1 ⎜ ⎜0 [T ]B = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 −1 0 0 0 0
0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 −1 ⎟ 1 0 ⎟⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ Seja Y = ⎜ y3 ⎟ , então a solução do sistema Y ' = [T ]B Y é dada por: ⎜ ⎟ ⎜ y4 ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ 5⎠ ⎧ y1 (t ) = c1et ⎪ t ⎪ y2 (t ) = c2e ⎪ −t ⎨ y3 (t ) = c3e ⎪ y (t ) = c cos(t ) − c sen(t ) 4 5 ⎪ 4 ⎪ y5 (t ) = c4 sen(t ) + c5 cos(t ), ⎩ onde c1 , c2 , c3 , c4 , c5 ∈ R . ⎛0 ⎜ ⎜1 Sabemos que X = MY , onde M = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
1 −1 0 1 ⎞ ⎟ 0 0 0 0⎟ 1 −1 0 −1⎟ . Portanto ⎟ 1 1 −1 0 ⎟ 1 1 1 0 ⎟⎠
⎧ x1 (t ) = c2et − c3e −t + c4 sen(t ) + c5 cos(t ) ⎪ t ⎪ x2 (t ) = c1e ⎪ t −t ⎨ x3 (t ) = c2e − c3e − c4 sen(t ) − c5 cos(t ) ⎪ t −t ⎪ x4 (t ) = c2e + c3e − c4 cos(t ) + c5 sen(t ) ⎪ x (t ) = c et + c e− t + c cos(t ) − c sen(t ) 2 3 4 5 ⎩ 5 Como x1 (0) = x2 (0) = x3 (0) = x4 (0) = x5 (0) = 1 , então ⎧1 = c2 − c3 + c5 ⎪ ⎪⎪1 = c1 ⎨1 = c2 − c3 − c5 ⇒ c1 = 1, c4 = 0 = c5 , c2 = 1, c3 = 0 ⎪1 = c + c − c 2 3 4 ⎪ ⎩⎪1 = c2 + c3 + c4 , Assim x1 (t ) = x2 (t ) = x3 (t ) = x4 (t ) = x5 (t ) = et .
(a) Se x ∈ ker(T ) , então T ( x ) = 0 , logo T 2 ( x) = T (0) = 0 , assim x ∈ ker(T 2 ) . Portanto ker(T ) ⊂ ker(T 2 ) . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que dimV = dim ker(T ) + dim Im(T ) = dim ker(T 2 ) + dim Im(T 2 ) Como dim Im(T ) = dim Im(T 2 ) , então dim ker(T ) = dim ker(T 2 ) e de ker(T ) ⊂ ker(T 2 ) temos que ker(T ) = ker(T 2 ). (b) Dado x ∈ ker(T ) ∩ Im(T ), então x = T ( y ) para algum y ∈ V e T ( x ) = 0 , logo 0 = T ( x) = T 2 ( y ) , assim y ∈ ker(T 2 ) = ker(T ) logo x = T ( y ) = 0 . Portanto ker(T ) ∩ Im(T ) = 0. (c) Como ker(T ) ∩ Im(T ) = 0 então dim(ker(T ) ⊕ Im(T )) = dim ker(T ) + dim Im(T ) . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que dim ker(T ) + dim Im(T ) = dim V , assim e como dim(ker(T ) ⊕ Im(T )) = dim V ker(T ) ⊕ Im(T ) ⊂ V então ker(T ) ⊕ Im(T ) = V .
