Transcript
Os ilações harm ni as elétri as e me âni as
ir uito RLC o ampo elétri o não é onservativo não vale a regra de Kir hho
q2 Ufonte = 2C
+
Ures +
LI 2 2
derivando em relação ao tempo
q dq dI 2 Pfonte = "I = + RI + LI C dt dt q C
=
"
q dq q L 2 +R + dt dt C
=
"
L
I dt
d
+
RI +
d2
massa-mola
ma = kx + Fat + Fext m
x dx +b + kx = Fext 2 dt dt
d2
mesma equação diferen ial portanto o omportamento do massa-mola e do RLC são análogos: elétri o me âni o
q x
I v
L m 1
R b
C 1=k
" Fext
qualquer sistema tem o mesmo omportamento na vizinhança de um ponto de equilíbrio estável aproximação linear da força (primeiro termo da série de Taylor)
fen menos gerais sistema RC:
L=0
equação homogênea: sem fonte
q dt2
d2 h
se
R dqh qh + + L dt LC
=0
qh1 e qh2 forem soluções q R dqh1 qh1 + + 2 dt L dt LC d2 qh2 R dqh2 qh2 + + 2 dt L dt LC d2 h1
=0
=0
Multipli ando a primeira equação por uma onstante arbitrária a1 e a segunda por a2 e somando
aq
aq
d2 ( 1 h1 + 2 h2 )
t
d 2
R d(a1qh1 + a2qh2) (a1 qh1 + a2qh2) + + =0 L dt LC
a1 qh1 + a2qh2 é solução, om a1 e a2 onstantes arbitrárias solução tentativa: qh (t) = Aert , A e r onstantes d2 qh dqh rt = rAe = r 2 Aert dt d2 t 2
substituindo na equação diferen ial
R 1 2 A r + r+ ert = 0 L LC r
2+
R 1 r+ L LC
8A
=0
há duas soluções
R + 2L
r1 =
s
R 2L
r2 =
s
R 2L
2
R 2L
2
1
LC 1
LC
qh(t) = a1er t + a2er t 1
2
a1 e a 2
são onstantes arbitrárias determinadas pelas ondições ini iais a orrente é dada por
q dt
d h
=
a1 r1er t + a2r2er t 1
2
no instante ini ial
qh(t = 0) = q0 = a1 + a2 dqh = I0 = a1 r1 + a2 r2 dt t=0 3
Resolvendo o sistema
r2 q0 I 0 a1 = r2 r1 I0 r1q0 a2 = r2 r1
sempre há solução úni a sempre podemos satisfazer as ondições ini iais qualquer solução da equação diferen ial pode ser es rita na forma qh (t) = a1 er1 t + a2 er2 t
dois omportamentos diferentes: quando
R 2L
2
1
LC
>0
r1 e r2 são negativos
qualquer solução da equação diferen ial é sempre exponen ialmente amorte ida não há os ilação
quando
R 2L
2
1
LC
<0
r1 e r2 são omplexos onjugados 4
de nindo
s
1
!a =
LC
temos
R 2L
2
R + i!a 2L R i!a 2L
r1 = r2 = então
qh(t) = a1er t + a2er t é omplexo?
Como
r2 r1 = i2!a
1
R 2L
a1 = a2 =
I0
Não: : :
2
i!a q0 I0 i2!a R + i!a q0 2L i2!a
!a q0 i I q = 2!a R !a q0 + i I0 + 2L q0 = 2!a R 0 + 2L 0
a1 e a2 são omplexos onjugados.
Então
qh(t) = a1e− 2L t eiω t + a2e− 2L t e−iω t R = e− 2L t (a1 eiω t + a∗1 e−iω t ) R = 2e− 2L t !0
=
o pi o de ressonân ia a mais baixo e largo quando o amorte imento aumenta
11
Cir uito RC om fonte substituindo !02 = 1=LC nas expressões do regime permanente do RLC obtemos
qp = jAj os(!t + ) "0 "0 1 jAj = q = q L (! 2 !02)2 + R ! 2 R 2 ! 2 + L2 L "0 C jAj = p (RC! )2 + (1 LC! 2 )2 2
2
LCω 2 −1 2 LC
a orrente é dada por
no RC
Ip = ! jAj os(!t + ) ! 2 !02 1 LC! 2 = tan = R ! RC! L
L = 0 logo
qp = jAj os(!t + ) "0C jAj = p 1 + (RC! )2 Ip = ! jAj os(!t + ) tan
=
1
RC!
a solução do regime permanente também é os ilante (diferente do transitório!), om a freqüên ia da fonte a amplitude e a diferença de fase dependem da freqüên ia da fonte apenas através do produto RC! = ! a diferença de fase diminui quando a freqüên ia da fonte aumenta 12
Impedân ia
quando existe diferença de fase entre tensão e orrente o quo iente V=I varia no tempo para o apa itor
qp V=I = CI
=
jAj os(!t + ) = !C jAj sen(!t + )
!t + ) !C
ot(
o on eito de resistên ia deixa de ser útil porque varia no tempo
para levar em onta a diferença de fase de ne-se impedân ia generalização de resistên ia
Vc = ZIc Vc = jVc jeiφ Ic = jIc jeiφ jVcjeiφ = Z jIcjeiφ jVcj jZ j = jIcj z = V I V
I
V
para o resistor
I
Z=R 13
=
jZ jeiφ jIcjeiφ Z
I
para o apa itor
qc jAj i(ωt+φ) = e C C dq Ic = c = i! jAjei(ωt+φ) dt Vc = ZcapIc
Vc =
jAj
ei(ωt+φ) = Zcapi! jAjei(ωt+φ) C 1 i Zcap = = i!C !C
para o indutor
I Vc = L = (i! )2 LjAjei(ωt+φ) dt Vc = ZLIc (i! )2 LjAjei(ωt+φ) = ZL i! jAjei(ωt+φ) ZL = i!L d c
a impedân ia do apa itor e do indutor são imaginários puros reatân ia pedân ia
X
é de nida omo a parte imaginária da im-
Xcap =
1
!C
XL = !L
para dispositivos em série a impedân ia se soma
ZRLC = R + Zcap + ZL = R + i !L 14
1
!C
