Transcript
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira (Profa Ms. Eridan da Costa Santos Maia)
[email protected] Compilado dia 12/11/2017
Quest˜ oes resolvidas da apostila de matem´atica financeira elaborada pela professora Eridan Maia. A apostila conta com v´ arios exerc´ıcios desafiadores e pode ser adquirida na livraria de edi¸c˜ oes UESB em frente a biblioteca. Caso vocˆe tenha interesse neste solucion´ario, e n˜ao tenha como adquirir a apostila original da prof. Eridan, pode baixar uma vers˜ ao modificada da mesma gratuitamente pelo link: www.number.890m.com Caso algum erro de resolu¸c˜ ao seja detectado escreva para
[email protected] para que o mesmo seja corrigido.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
1
Sum´ ario 1 REGRA DA SOCIEDADE
3
2 JUROS SIMPLES
12
3 DESCONTO SIMPLES
19
4 JUROS COMPOSTOS
32
ˆ ˜ COMPOSTA 5 EQUIVALENCIA NA CAPITALIZAC ¸ AO
43
6 TAXA INTERNA DE RETORNO
48
ˆ ´ 7 RENDAS CERTAS OU SEQUENCIAS DE CAPITAIS OU SERIES DE CAPITAIS 52 ˜ 8 SISTEMAS DE AMORTIZAC ¸ AO
66
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
1
Resolvido por Diego Oliveira
REGRA DA SOCIEDADE
1. Trˆes pessoas se associam com o capital de R$ 4500,00. Calcular a entrada de cada s´ocio sabendo que ao 1◦ coube R$ 320,00 ao 2◦ R$ 380,00 e ao 3◦ R$ 200,00 do lucro. Solu¸ c˜ ao O lucro total foi de R$ 320 + 380 + 200 = 900 e o capital investido foi de R$ 4500,00. 320 380 200 900 = + = c1 t1 c2 t2 c3 t 3 c1 t1 + c2 t2 + c3 t3 Supondo que o per´ıodo do investimento foi o mesmo para cada investidor, isto ´e (t1 = t2 = t3 = t), ent˜ ao: 320 380 200 900 = + = c1 t c2 t c3 t t(c1 + c2 + c3 ) Como c1 + c2 + c3 ´e o capital total investido ent˜ao: 380 200 900 320 = + = c1 t c2 t c3 t 4500t 320 9 320 9 = ⇒ = (1) c1 t 45t c1 45 9 380 9 380 = ⇒ (2) = c2 t 45t c2 45 200 9 200 9 = ⇒ (3) = c3 t 45t c3 45 De (1) tiramos que c1 = R$ 1600,00. De (2) encontra-se c2 = R$ 1900,00. E finalmente de (3) determina-se que c3 = R$ 1000,00. 2. Uma sociedade entre trˆes amigos durante um per´ıodo comum de tempo produziu um lucro de R$ 2000,00. O primeiro dos s´ ocios entrou com um capital que era o dobro do capital segundo s´ ocio, este por sua vez contribuiu com uma quantidade triplicada em rela¸c˜ao ao terceiro. Qual o lucro de cada s´ ocio? Solu¸ c˜ ao O lucro total foi de R$ 2000,00. Supondo que o capital do 3◦ s´ocio fosse “w” ent˜ao: o capital do primeiro s´ ocio ser´a 6w; o capital do segundo s´ ocio ser´a 3w.
3
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Logo x 2000 = 6w · t 10w · t que implica em: y 2000 = 3w · t 10w · t z 2000 = w·t 10w · t z 2000 = w·t 10w · t que implica em x = R$ 1200,00; y = R$ 600,00 e z = R$ 200,00. 3. O s´ ocio jo˜ ao recebeu R$ 3690,00 a menos que o s´ocio Paulo. Sabendo-se que jo˜ao Permaneceu 3 meses na sociedade e Paulo ficou 5 meses. Qual o lucro de cada um? Supondo que o capital investido por ambos sejam o mesmo. Solu¸ c˜ ao Se o lucro de Paulo ´e “x” ent˜ ao Jo˜ ao recebeu x − 3690 de lucro. E pela regra da sociedade x y x + (x − 3690) = − 5cp + 3cj 5cp 3cj ⇒
2x − 3690 x y = − 5cp + 3cj 5cp 3cj
Supondo que cp = cj (capital de Pedro igual ao de Jo˜ao) ent˜ao: 2x − 3690 x y = − 5cp + 3cp 5cp 3cp da rela¸c˜ ao acima tira-se as identidades (1) e (2). 5(2x − 3690) = x (1) 8 5(2x − 3690) = y (2) 8 De (1) conclui-se que x = R$ 9225,00 e de (2) que y = R$ 5535,00.
4
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
4. Trˆes s´ ocios lucraram R$ 3500,00. Calcular o lucro de cada s´ocio sabendo que o lucro do primeiro est´ a para o lucro do segundo assim como 2/3 e que o lucro do segundo est´a para o lucro do terceiro assim como 4/5. Solu¸ c˜ ao Seja x o lucro do 1◦ s´ ocio e y o lucro do 2◦ s´ocio e z o lucro do 3◦ s´ocio ent˜ao:
x + y + z = 3500
(1)
como o lucro do primeiro est´ a para o lucro do segundo assim como 2/3 ent˜ao:
x=
2 y 3
(2)
e o lucro do segundo est´ a para o lucro do terceiro assim como 4/5
y=
5 4 z⇒z= y 5 4
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) chega-se `a: 2 5 y + y + y = 3500 3 4
(4)
A solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (4) ocorre para y = 1200. Logo o primeiro s´ocio recebeu: 2 (1200) = R$ 800,00 3 o segundo R$ 1200,00 e o terceiro: 5 (1200) = R$ 1500,00. 4 5. O lucro de uma empresa foi de R$ 23000,00. Sabendo-se que o 1◦ s´ocio contribuiu com R$ 21000,00 e o 2◦ s´ ocio com R$ 11000,00 e que do lucro total coube ao 3◦ s´ocio a importˆancia de R$ 15000,00. Pergunta-se: qual foi o lucro de cada s´ocio e qual a contribui¸c˜ao do 3◦ s´ocio. Solu¸ c˜ ao Pela f´ ormula: x y 15000 23000 + + = 21000t1 11000t2 c3 t3 21000t1 + 11000t2 + c3 t3 Assumindo que o tempo da aplica¸c˜ao foi o mesmo para todos (t1 = t2 = t3 = t) ent˜ao:
5
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
x y 15000 23000 + + = 21000t 11000t c3 t t(21000 + 11000 + c3 ) ⇒
x y 1500 23000 + + = 21000 11000 c3 32000 + c3
da igualdade a seguir: 15000 23000 = 32000 + c3 c3 Conclui-se que c3 = R$ 60000,00 (Capital do 3◦ membro investido). Assim: x y 23000 + = 21000 11000 32000 + c3 ⇒
x y 23000 = = 21000 11000 92000
Que resulta em x = R$ 5250,00 e y = R$ 2750,00. 6. Uma firma teve um lucro de R$ 3870,00. O 1◦ s´ocio empregou 1000,00 durante um mˆes e seis dias; o 2◦ s´ ocio empregou R$ 1200,00 durante um mˆes e dez dias e o 3◦ s´ocio empregou R$ 1500,00 durante um mˆes. Qual o lucro de cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao x y z 3870 + + = 1000 · 36 1200 · 40 1500 · 30 1000 · 36 + 1200 · 40 + 1500 · 30 x y z 3.870 + + = 36.000 48.000 45.000 129.000 Que implica em x = R$ 1.080,00; y = R$ 1.440,00 e z = R$ 1.350,00. 7. Uma pequena empresa tˆem um capital de R$ 3700,00. O primeiro s´ocio ficou um mˆes e seis ocio ficou um mˆes e dez dias; o 3◦ s´ocio ficou um mˆes. O lucro foi assim distribu´ıdo: dias; o 2◦ s´ R$ 1080,00 para o 1◦ s´ ocio, para 2◦ s´ocio R$ 1440,00 e R$ 1350,00 para o 3◦ s´ocio. Qual o investimento de cada s´ ocio nesta sociedade. Solu¸ c˜ ao 1080 1440 1350 3870 = = = 36 · c1 40 · c2 30 · c3 36 · c1 + 40 · c2 + 30 · c3 Simplificando: 6
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
30 36 45 1935 = = = c1 c2 c3 18 · c1 + 20 · c2 + 15 · c3 Do lado esquerdo da equa¸c˜ ao conclu´ı-se que: c2 =
36 c1 30
c3 =
45 36 45 45 c2 ⇒ c3 = · c1 ⇒ c3 = c1 36 36 30 30
sabe-se tamb´em que: c1 + c2 + c3 = 3700 o que implica em c1 +
36 c1 30
+
45 c1 30
= 3700
⇒ c1 = 1000. Analogamente se chega a: c2 = R$ 1200,00 e c3 = R$ 1500,00. 8. Dividir o lucro de R$ 1215,00 entre os s´ocios A e B sabendo que o capital de A ´e 3/5 do capital de B e que eles tiveram na empresa durante 3 meses ´e 10 dias e 2 meses s´ocio e 15 dias, respectivamente. Qual o lucro de cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao Chamando de “w” o capital do segundo B, ent˜ao: y x 1215 = = 3 3 w · 75 w · 100 w · 100 + w · 75 5 5 onde o 100 e o 75 do denominador representam 3 meses e dez dias e 2 meses e 13 dias respectivamente em dias. Da equa¸c˜ ao acima obtemos: 5x 1215 = ⇒ x = 675 300w 135w e tamb´em y 1215 = ⇒ y = 540 w · 75 135w
7
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Assim, o lucro do s´ ocio A foi de R$ 675,00 e do s´ocio B de R$ 540,00. 9. Uma firma organizada por trˆes s´ocios em 1◦ de maio deu um lucro de R$ 6880,00 apurado em 31 de dezembro. O capital s´ ocial R$ 30.000,00 foi dividida em partes iguais. O 2◦ s´ocio tendo entrado com R$ 6.000,00 s´ o integralizou ou completou seu capital em 15 de julho. O 3◦ entrou com metade, completando a sua parte 1◦ de agosto. Quanto recebeu cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao Com base em um calend´ ario observamos o seguinte: entre 1◦ de Maio e 31 de Dezembro existem 244 dias; entre 1◦ de Maio e 15 de Julho existem 75 dias; entre 15 de Julho e 31 de Dezembro existem 169 dias; entre 1◦ de Maio e 1◦ de Agosto existem 92 dias; e entre 1◦ de Agosto at´e 31 de Dezembro existem 152 dias. O problema nada fala sobre o primeiro s´ocio, assim vamos assumir que ele tenha contribu´ıdo com sua parte (dez mil) no in´ıcio da sociedade. Sendo assim, x y z = = 104 · 244 6000 · 75 + 4000 · 169 5000 · 92 + 5000 · 152 =
104
6880 · 244 + (6000 · 75 + 4000 · 169) + (5000 · 92 + 5000 · 152)
o que implica em: y z 6880 x = = = 3 2440 × 103 1126 × 103 1220 × 103 10 (2440 + 1126 + 1220) ⇒
x y z 6880 = = = 2440 1126 1220 2440 + 1126 + 1220
⇒
x y z 6880 = = = 2440 1126 1220 4786
Dessa u ´ltima equa¸c˜ ao conclu´ımos que: x ≈ 3507, 56 , y ≈ 1618, 65 e z ≈ 1753, 78. Ou seja, o lucro do primeiro s´ ocio foi de R$ 3507,56, do segundo R$ 1618,65 e do terceiro R$ 1753,78. 10. Dois s´ ocios fundaram uma sociedade com o capital de 8000,00. No momento de liquidar
8
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
o primeiro s´ ocio recebeu o capital mais o lucro no total de R$ 2300,00. Sabendo-se que o lucro total foi de R$ 12000,00. Qual o capital de cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao Seja x o lucro do primeiro s´ ocio e y o lucro do segundo, e considerando que o tempo da aplica¸c˜ ao ´e o mesmo para ambos, ent˜ ao: 12000 x y = = (1) 8000 c1 c2 como por hip´ oteses 2300 = c1 + x, ent˜ao: x = 23000 − c1
(2)
substituindo (2) em (1) 1200 23000 − c1 = 8000 c1 o que resulta em c1 = R$ 920,00. Como o capital total ´e a soma de c1 e c2 ent˜ao: 8.000, 00 = 920, 00 + c2 ⇒ c2 = 7.080, 00 Assim, o capital do primeiro s´ ocio ´e de R$ 920,00 e do segundo R$ 7.080,00. 11. Na funda¸c˜ ao de certa sociedade A e B entraram com R$ 5200,00 e R$ 7300,00 respectivamente. Quando a empresa completou seu segundo mˆes de existˆencia o s´ocio A retirou R$ 1200,00; dois meses depois desta data o s´ ocio B depositou R$ 1500,00. Ao fim do primeiro semestre de atividades verificou-se o lucro de R$ 15006,00. Qual o lucro de cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao Dos R$ 5200,00 investido pelo s´ ocio A apenas R$ 4000,00 permaneceu na aplica¸c˜ao por durante 6 meses. O restante R$ 1200,00 (5200, 00 − 4000, 00) foi aplicado apenas durante os dois primeiros meses. Assim: lucro de A 4000 · 6 + 1200 · 2 Do total aplicado pelo s´ ocio B apenas R$ 7300,00 ficou durante os seis meses. Os 1500 aplicados depois s´ o teve rendimento nos dois u ´ltimos meses. Assim: lucro de B 7300 · 6 + 1500 · 2
9
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
ent˜ ao pela regra da sociedade lucro de A lucro de B 15006 = = 4000 · 6 + 1200 · 2 7300 · 6 + 1500 · 2 73200 lucro de A lucro de B 15006 = = 26400 46800 73200 onde se conclui que o lucro de A foi de R$ 9.594,00 e o lucro de B de R$ 5.412,00. 12. Duas pessoas A e B fundaram uma empresa com R$ 3240,00 e R$ 4080,00 respectivamente. Quando a empresa completou seu terceiro mˆes de existˆencia o s´ocio B retirou R$ 1230,00. Dois meses depois desta data o s´ ocio A depositou R$ 1120,0 e B depositou R$ 3050,00. Ao fim do s´etimo mˆes de funda¸c˜ ao da empresa verificou-se o lucro de R$ 9838,80. Quanto coube a cada s´ ocio? Solu¸ c˜ ao An´ alogo ao exerc´ıcio anterior.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
10
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
11
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
2
Resolvido por Diego Oliveira
JUROS SIMPLES
1. Um objeto ´e vendido por R$ 120,00 a vista ou ent˜ao por uma entrada de R$ 60,00 mais uma parcela de R$ 62,40 ap´ os um mˆes. Qual a taxa de juro cobrada? Solu¸ c˜ ao O valor dos juros daqueles que preferir˜ao o pagamento em duas vezes ´e de 2,40. (60, 00 + 62, 40) − 120, 00 = 2, 40 O juro s´ o pode ser cobrado sobre a 1a parcela, pois ao pagar a segunda parcela a d´ıvida j´a estar´ a quitada e n˜ ao faz sentido cobrar sobre algo j´a pago. Sendo assim: J = Cin ⇒ 2, 4 = 60 · i · 1 ⇒i=
2, 4 = 0.04 ou 4% a.m. 60
2. Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,00 a uma taxa de 5,5% a.m. no per´ıodo de 2 de janeiro a 6 de mar¸co deste ano. Solu¸ c˜ ao A taxa de juro est´ a ao mˆes assim necessitamos trazer n para o mesmo per´ıodo. Para isso usamos regra de trˆ es simples. 60 dias 64 1 mˆes = ⇒x= x 64 dias 30 portanto, J = 610
5.5 100
·
64 ≈ 71, 57 30
3. Calcule os juros e os juros exatos (ver p´agina 12) produzidos por um capital de R$ 500,00 aplicado ´ a taxa de 60% a.a. durante 25 dias. Solu¸ c˜ ao Calculando os juros. J = 500 ·
60 25 · ≈ 20.83 100 360
Os juros exatos s˜ ao calculados da mesma forma que os juros simples, exceto por considerar o ano com 365 dias ao inv´es de 360.
J = 500 ·
60 25 · ≈ 20.55 100 365 12
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
4. A empresa de Rafael vende pacotes de caf´e de 1 quilo. Numa tentativa de aumentar suas vendas, passa a comercializar o caf´e em embalagens contendo 20% a mais de caf´e, mantendo o mesmo pre¸co dos pacotes de 1 quilo. Em que percentagem foi reduzido o pre¸co do quilo de caf´e? Solu¸ c˜ ao: Primeiro determinamos quantas gramas corresponde a 20% de 1kg. 1kg x
100% ⇒ x = 0, 2kg ou 200g 20%
Supondo agora que o pacote custe R$ 100,00 ent˜ao o pacote com 1,2kg (1kg + 200g) deveria custar R$ 120,00. Como pela promo¸c˜ao o pacote de 1,2kg se manteve no valor de R$ 100,00 ent˜ ao ´e como se Rafael tivesse feito um desconto de R$ 20,00 em cada pacote. Para finalizar determinamos esse desconto (de 20 reais) em termos de percentagem. 120 20
100% ⇒ y = 16.67% y
Assim, o pre¸co do caf´e foi reduzido em 16,67%. 5. Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro ´a taxa de 20% a.a. e o segundo a taxa de 40% a.a. Calcule os capitais, sabendo que a soma deles ´e R$ 500,00 e que eles produziram, num ano, juros totais de R$ 130,00. Solu¸ c˜ ao O total de juro (Jt ) ´e a soma dos juros (J1 ) gerados pelo primeiro capital (C1 ) com os juros (J2 ) gerados pelo segundo capital (C2 ). Jt = J1 + J2 Jt = (C1 · i1 · n1 ) + (C2 · i2 · n2 ) Como o tempo da aplica¸c˜ ao foi o mesmo para ambos os capitais podemos fazer n1 = n2 = n. Jt = (C1 · i1 · n) + (C2 · i2 · n) Jt = n(C1 · n1 + C2 · i2 ) substituindo os valores 130 = n(C1 · 20% + C2 · 40%) ⇒ 130 = 0, 2C1 + 0, 4C2 (1) Pelo enunciado sabe-se que C1 + C2 = 500, ent˜ao 13
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
C1 = 500 − C2 (2) Jogando (2) em (1) chega-se a C2 = 150. Finalmente por meio deste u ´ltimo resultado se conclui que C1 = 350. 6. Dois capitais diferentes aplicados a mesma taxa durante 3 meses renderam R$ 84,00 e R$ 115,20 de juros. Sabendo que um capital supera o outro em R$ 130,00, calcule esses capitais e a taxa envolvida. Solu¸ c˜ ao Se o primeiro capital C1 for igual a x, ent˜ao o segundo C2 ser´a x + 130. Seja Jt a soma dos juros de ambos os capitais ent˜ao: Jt = J1 + J2 Jt = (C1 · i1 · n1 ) + (C2 · i2 · n2 ) como por hip´ otese i1 = i2 ent˜ ao podemos substituir as duas taxas na equa¸c˜ao acima simplesmente por i. Jt = (C1 · i · n1 ) + (C2 · i · n2 ) Substituindo agora os valores 84 + 115, 2 = (x · i · 3) + ((x + 130)i · 3)
199, 2 = (3ix) + (3xi + 390i) (1) Pelo enunciado o valor J1 ´e de 84 reais, assim: 84 = 3ix ⇒ i =
28 (2) x
substituindo (2) em (1) 28 28 28 199, 2 = 3 x + 3x + 390 (3) x x x 10.920 199, 2 = 84 + 84 + x ⇒ x = 350 (2) 14
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
ou seja, o primeiro capital ´e de R% 350,00. E o segundo (C1 + 130) ´e de R$ 480,00. Finalmente substituindo (2) em (3) chegamos a i = 8. Assim, a taxa de juros i ´e de 8% a.m. 7. Maria obteve R$ 4410,00 de empr´estimo ´a taxa de 21% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importˆancia a 18% a.a. assumiu o compromisso com essa pessoa e na, mesma data liquidou a divida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empr´estimo saldou o d´ebito e verificou que pagou ao todo R$ 826,88 de juros. Calcule o prazo do primeiro empr´estimo. Solu¸ c˜ ao N˜ ao se sabe quantos meses se passou at´e Maria obter a segunda proposta ent˜ao, vamos chamar esse total de x. Juro da primeira divida. J1 = 4410 ·
21 ·x 100
Juros da segunda divida J2 = 4410 ·
18 · (1 − x) 100
Jt = J1 + J2
826, 88 = 4410x ·
18 21 + 4410(1 − x) · 100 100
Que implica em x ≈ 0, 25 ano ou 3 meses. 8. Foi aplicado R$ 500,00 por 20 dias a taxa de 4.5% a.m. Sabendo que se paga um imposto de servi¸co de 20% do rendimento, calcular o valor de resgate e a taxa l´ıquida. Solu¸ c˜ ao O valor de resgate (VR ), ´e o capital mais os Juros menos o imposto. VR = (Capital + Juros) − Imposto Levando-se em conta que 20 dias equivale a (2/3) de um mˆes ent˜ao o c´alculo dos juros ´e o seguinte: J = 500 ·
4, 5 2 · = 15 100 3
e o imposto Imposto =
20 · 15 = 3 100
portanto, 15
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
VR = (500 + 15) − 3 = 512 Agora que sabemos qual o valor de resgate podemos usar a f´ormula de juros para determinar a taxa l´ıquida. J = Cin (512 − 500) = 500 · i · 20 12 = 500 · i · 20 ⇒ i = 0.0012a.d. ou 3.6% a.m. 9. Numa opera¸c˜ ao financeira considerando o imposto igual ao do exerc´ıcio anterior, qual a taxa l´ıquida para 1 mˆes sabendo que a taxa bruta ´e de 7% a.m.? Solu¸ c˜ ao Sabe-se que J − imposto = Cin o que implica em: i=
J − imposto Cn
como a taxa ´e igual a 20% ou 0,20 do juro ent˜ao
i=
J − 0, 2J Cn
Como J = C · 17% ent˜ ao: i=
C · 17% − 0, 2(C · 17%) 17 · 0.8 = = 0.136 a.m. C·1 100 ⇒ i = 0, 136% a.m.
10. Um vendedor ambulante oferece no port˜ao, para uma dona de casa, um produto pelo pre¸co de 180,00 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser pagar 5% a mais sobre o pre¸co do produto poder´ a pagar em duas vezes (1+1). Determine a taxa mensal que o vendedor est´a cobrando. Solu¸ c˜ ao A vista a Dona de casa pagar´ a R$ 180,00 a prazo 189 (180 + 5%), logo os juros ser˜ao de 9 reais. 16
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Como o plano de pagamento ´e de (1+1) ou seja ela d´a a entrada ent˜ao os juros ir˜ao correr apenas sobre a 1◦ parcela. J = Cin 9=
189 · i· (1 mˆes) 2
⇒ i ≈ 10.53% a.m.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
17
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
18
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
3
Resolvido por Diego Oliveira
DESCONTO SIMPLES F´ ormulas que ser˜ ao usadas aqui. D = N dn (Desconto simples). Va = N (1 − dn) (Valor Nominal). J = Cin (Juros simples). M = J + C ou M = C(1 + in) (Montante).
1. Um comerciante deseja realizar uma liquida¸c˜ao de 50%. De que porcentagem um produto de R$ 150,00 deve ser aumentado para que depois do desconto anunciado o comerciante receba os mesmos R$ 150,00? E se o desconto for: 20%; 15%? Solu¸ c˜ ao Seja x o valor acrescentado aos 150 reais, para que ap´os o desconto de 50% tenha se o mesmo valor, ent˜ ao o valor nominal (N) deve ser igual a 150 + x. Va = N (1 − dn) ⇒ Va = (150 + x)(1 − dn) Como nesse caso a taxa de juros n˜ ao tˆem dimens˜ao de tempo ent˜ao podemos tomar n = 1. Va = (150 + x)(1 − d) Como ap´ os o desconto o valor do t´ıtulo permanece o mesmo, ent˜ao Va = 150. 150 = (150 + x)(1 − d) 150 = (150 + x)(1 − d) = (150 + x)(1 − 0, 5) ⇒ 150 = (150 + x) · 0, 5 ⇒ x = 150 Assim, para um desconto de 50% o aumento deve ser de R$ 150, ou seja 100% do valor atual. Analogamente se calcula para 20%. 150 = (150 + x)(1 − 0, 2) ⇒ x = R$ 37,5 ou 25% do valor atual. E para 15%: 150 = (150 + x)(1 − 0, 15) ⇒ x = R$ 26,50
19
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Que representa cerca de 17,65% do valor atual. 2. Qual a melhor op¸c˜ ao? a) Leve 4 e pague 3 b) Leve 3 e pague 2 Solu¸ c˜ ao A estrat´egia para resolver o problema consiste em supor a compra de uma mesma quantidade do produto sob as duas promo¸c˜ oes e ent˜ao verificar em qual delas se paga menos. Determinando o M.M.C. (m´ınimo m´ ultiplo comum) de 4 e 3 chega-se a 12. Se cada unidade do produto vale x ent˜ao se comprarmos 12 unidades sob a primeira promo¸c˜ao pagar´ıamos 9x.
12x = 4 · 3x ⇒ 3 · 3x = 9x. J´ a sob a segunda promo¸c˜ ao ter´ıamos de pagar 8x.
12x = 3 · 4x ⇒ 2 · 4x = 8x. Assim, a 2◦ promo¸c˜ ao ´e a melhor. 3. Dois t´ıtulos, o 1◦ de R$ 3762,00 e o 2◦ de R$ 2538,00 foram descontados a 6% a.m. sofrendo um desconto total de R$ 717,48. O vencimento do 1◦ t´ıtulo ocorre 20 dias ap´os o do 2◦ . Determine esses prazos. Solu¸ c˜ ao Seja Dt a soma de todos os descontos ent˜ao: Dt = D1 + D2 717, 48 = 3762 ·
6 6 · (x + 20) + 2538 · ·x 100 · 30 100 · 30
Que ap´ os certa manipula¸c˜ ao alg´ebrica chegamos x = 45 dias e x + 20 = 65 dias. 4. Qual a melhor op¸c˜ ao para Maria. a) Descontar no Banco uma duplicata no valor de R$ 5000,00 com 1,5 meses a vencer numa taxa de 5 % a.m. b) Tomar empr´estimo igual ao valor l´ıquido da duplicata acima para ser pago em 45 dias a taxa de 5,3 % a.m.
20
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Solu¸ c˜ ao a) O valor do desconto da duplicata seria
D = 5000 ·
5 · 1, 5 = 375 100
ou seja, Maria perderia R$ 375 reais, ficando apenas com R$ 4.625,00. b) Tomando o empr´estimo Maria deveria pagar ao banco R$ 4625 + juros. onde juros = 4625 ·
5, 3 · 1, 5 = R$ 367, 688 100
Assim, o melhor ´e pedir empr´estimo ao banco, pois Maria pagar´a apenas R$ 4.992,68 que ´e um valor inferior ao da sua duplicata. 5. Uma duplicata de R$ 5000,00 ´e descontada 100 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto ´e de 6% a.m., a taxa de de servi¸co cobrada pelo banco ´e de 2% e considerando ainda um imposto de 0,0042 % a.d., qual o valor l´ıquido e taxa efetiva mensal. Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos o desconto. D = 5000 ·
100 6 · = R$ 1.000,00 30 100
A taxa de servi¸co ´e cobrada sobre o valor da duplicata. Taxa =
2 · 5000 = R$ 100,00. 100
O IOF tamb´em IOF =
0, 0042 · 5000 · 100 = R$ 21,00. 100
Ent˜ ao, o valor que realmente ser´ a entregue ´e o valor do t´ıtulo subtra´ıdo do desconto, da taxa de servi¸co e do IOF. 5000 − (1000 + 100 + 21) = R$ 3879 Tomando esse valor como valor atual da duplicata ent˜ao:
Va = N (1 − dn) 3879 = 5000(1 − d · 100) 21
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
d = 0, 22%a.d. ou 6, 73%a.m. 6. O portador de um t´ıtulo de R$ 6000,00 resolveu desconta-lo 4 meses antes do vencimento na taxa de 13% a.m. e aplicar o valor apurado a 18% a.m. pelo mesmo per´ıodo. Fez bom neg´ ocio? Solu¸ c˜ ao O desconto efetuado foi de 3.120,00 reais. 13 = R$ 3120 100
D = 6000 · 4 ·
Logo o portador adquiriu nessa opera¸c˜ao o valor de R$ 2.880,00 que ir´a gerar os juros de 2.073,60 reais.
J = 2880 · 4 ·
18 = 2073, 6 100
Ou seja, ele ter´ a ao todo M = 2.880,00 + 2.073,60 = R$ 4953,60, portanto n˜ao fez bom neg´ ocio pois, se tivesse esperado o prazo para descontar o t´ıtulo teria 6.000,00 reais ao inv´es de R$ 4.953,60. 7. (VERAS) Um banco descontou uma nota promiss´oria de R$ 5000,00 para Marielle, 90 dias antes de seu vencimento, e depositou o valor correspondente em sua conta corrente. O extrato da conta recebido por Marielle acusou um deposito de R$ 3180,00 e o costume do banco ´e cobrar, por esse servi¸co, uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do t´ıtulo. Qual a taxa de desconto cobrada pelo banco? Solu¸ c˜ ao Do enunciado sabe-se que: 3180 = 5000 − ( Desconto + Taxa ) (1) onde: Taxa =
0, 4 · (5000) = 20 (2) 100
De (1) e (2) sabemos que o desconto ser´a de R$ 1.800,00. Usando a f´ ormula do desconto simples 1800 = 5000 · d ·
90 30
descobrimos a taxa de desconto d = 0, 12 a.m. (ou 12% a.m.). 8. Ana aplicou R$ 1200,00 em letras de cˆambio para resgatar R$ 1452,00 ap´os 90 dias. Quando faltavam 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a com taxa de 8% a.m. e depositou o 22
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
valor apurado a prazo fixo com rendimento de 10% a.m. por 2 meses. Qual a taxa de juros considerando todas as opera¸c˜ oes. Solu¸ c˜ ao Primeiro determinamos o valor atual do t´ıtulo que foi resgatado antes do prazo.
0, 8 Va = 1452 1 − · 0, 5 100 ⇒ Va = 1393, 92 De posse desse dinheiro Ana o investiu `a 10% durante 2 meses ganhando um total de: M =N +J ⇒ M = (1393, 92) + (1393, 92 · 0, 1 · 2) M = 1672, 70 com essa a¸c˜ ao Ana lucrou um total de: 1672, 70 − 1200 = R$ 472,70 Aplicando a f´ ormula de juros sobre esse lucro chegamos a taxa de juros. 472,7 = 1200 · i · 4, 5 ⇒ i = 0, 0875 a.m. ou 8,75% a.m. 9. Uma loja est´ a fazendo promo¸c˜ oes na venda de chocolates: compre “x” balas e ganhe x% de desconto. A promo¸c˜ ao ´e v´ alida para compras de no m´aximo 60 chocolates. Matilda e Ricardo compraram 30 e 45 chocolates respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais chocolates e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matem´atica?. Solu¸ c˜ ao Supondo que o pre¸co de cada chocolate ´e p, ent˜ao comprando 30 chocolates pagaremos: 30p − 30p ·
30 (valor sem desconto − desconto). 100
⇒ 30p − 9p = 21p (1) Comprando 45 balas pagamos: 45p − 45p ·
45 . 100
⇒ 45p − 20, 25p = 24, 75p (2) De um modo geral o indiv´ıduo que comprar x balas pagar´a: 23
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
xp − xp ·
Resolvido por Diego Oliveira
x p 2 = px − x (3) 100 100
Fazendo (1) igual a (3) 21p = px −
p 2 x ⇒ x = 30 ou x = 70 100
e fazendo (2) igual a (3) 24, 75p = px −
p 2 x ⇒ x = 45 ou x = 55 100
Como o limite de compra de chocolates com desconto ´e 60 ent˜ao Ricardo poderia ter comprado 55 chocolates, ao inv´es de 45, e pago o mesmo valor. 10. Qual o prazo que um t´ıtulo de R$ 3000,00 venc´ıvel em 1 mˆes possa ser trocado por outro de R$ 3200,00 sabendo que o desconto ´e de 3,5% a.m. e que o imposto cobrado ´e de 0,02% a.d. Solu¸ c˜ ao O valor atual do t´ıtulo de 3000,00 reais ´e de 2877,00 reais.
Va = N (1 − dn) − imposto 0, 02 3, 5 ·1 − · 30 · 3000 ⇒ Va = 3000 1 − 100 100 ⇒ Va = 2877 Assim, o problema agora se resume a saber quando o t´ıtulo de 3.200,00 reais ter´a o valor nominal anterior. Assim: 0
Va = N (1 − dn) − desconto 3, 5 0, 02 2877 = 3200 1 − n − · 30n · 3200 100 100 2877 = 3200 − 112n − 19, 2n 131, 2n = 323 n=
323 ≈ 2, 5 131, 2
Ou seja, ´e necess´ ario que o t´ıtulo de 3.200,00 reais seja descontado 2,5 meses antes do prazo.
24
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
11. Tenho alguns t´ıtulos que gostaria de descontar antes do vencimento. O banco A faz desconto com a taxa de 34,45% a.a. O Banco B usa taxa de juros de 36% a.a.
a) Onde ´e mais vantajoso descontar um t´ıtulo que vence daqui a 2 meses? b) Qual o prazo de vencimento que torna indiferente a escolha do banco? Solu¸ c˜ ao de A No banco A o desconto ´e de 5,7416% do valor nominal. D=N·
34, 45 2 · = 0,057416N 100 12
Para calcular o desconto no banco B primeiro devemos calcular a taxa de desconto equivalente.
d=
36% i = = 26, 47% 1+i 1 + 36%
De posse da taxa de desconto (d = 26, 47%) podemos calcular o desconto no segundo banco. Que ´e de 4,4116% do valor nominal. D=N·
26, 47 2 · = 0, 044116N 100 12
Como o desconto no banco A ´e maior que no banco B ent˜ao o banco B ´e mais vantajoso. Solu¸ c˜ ao de B ??? 12. Um aparelho de R$ 300,00 pode ser adquirido a vista ou em trˆes vezes, com entrada, de R$ 100,00. Considerando que os bancos estejam oferecendo uma taxa de juros de 8% a.m. sob qualquer capital aplicado, ent˜ ao: qual o menor desconto que o comprador deve pedir de desconto caso deseje adquirir o aparelho a vista? Solu¸ c˜ ao Se o comprador pode adquirir o aparelho a vista sup˜oem-se que ele tenha em m˜aos o valor de R$ 300,00. Suponha tamb´em que ao inv´es de comprar o aparelho a vista o comprador opte pelo segundo plano. Nesse caso, o comprador paga a primeira parcela sombrando-lhe 200,00 reais. Investindo esse valor em um banco o comprador ter´a ao fim do primeiro mˆes um montante de R$ 216,00. M = N (1 + in)
25
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
8 M = 200 1 + ·1 100 M = R$ 216, 00 Ao fim desse mˆes o comprador tamb´em deve efetuar o pagamento da segunda parcela do aparelho (mais R$ 100,00), assim lhe restar´a agora apenas R$ 116,00. Investindo esse valor no banco por mais um mˆes ter´a um montante de R$ 125,28. M = N (1 + in) 8 M = 116 1 + ·1 100 M = R$ 125, 28 Agora, ao fim do segundo mˆes, o comprador deve efetuar o pagamento da u ´ltima parcela. Ficando, ao final de toda essa opera¸c˜ao, com um lucro de R$ 25,28. Assim, s´o vale a pena comprar o aparelho a vista se o vendedor lhe der um desconto de mesmo valor, ou seja, se o aparelho passar a custar 274,72 reais. R$ 300,00 − R$ 25,28 = R$ 274,72 13. Uma d´ıvida de Jos´e est´ a sendo paga em seis presta¸c˜oes mensais e faltam trˆes pagamentos de R$ 2250,00 para que seja totalmente saldada. Na data em que fez o 3◦ pagamento, Jos´e propˆos ao credor pagar o restante da d´ıvida em apenas dois pagamentos iguais, se ela fosse recalculada naquela data, com a taxa de 12% a.m. de juros e se os pagamentos fossem feitos em 30 e 60 dias, respectivamente. Se o credor aceitar, de quanto ser˜ao os pagamentos? Solu¸ c˜ ao O diagrama de fluxo a seguir representa a situa¸c˜ao descrita. Note que escolhemos como data zero a data em que foi mencionada a nova proposta. Data zero 2.250 2.250 2.250
1
1
2
2
3
3
4
5
x
x
4
5
26
6
7
6
7
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Podemos pensar que as presta¸c˜ oes a serem pagas s˜ao t´ıtulos e o que Jos´e est´a a propor ´e a troca de trˆes t´ıtulos no valor de 2.250,00 reais a serem pagos daqui 1, 2 e 3 meses por dois t´ıtulos no valor de x a serem pagos daqui 1 e 2 meses. Para que a troca seja poss´ıvel a soma do valor atual desses dois novos t´ıtulos (no valor de x) deve ser igual a soma do valor atual dos trˆes t´ıtulos anteriores (no valor de 2.250,00 reais). Matematicamente: x x 2.250, 00 2.250, 00 2.250, 00 + = + + 1 + 0, 12 · 2 1 + 0, 12 · 1 1 + 0, 12 · 1 1 + 0, 12 · 2 1 + 0, 12 · 3 ⇒
1, 12x + 1, 24x ≈ 5.477, 86 1, 3888 ⇒ x ≈ 3.223, 58
ou seja, o valor das duas presta¸c˜ oes propostas deve ser de 3.223,58 reais. 14. Um objeto custa x. Depois de 1 mˆes, ele sofre um aumento de 20% e, logo depois, um desconto de 20%. Em rela¸c˜ ao ao pre¸co inicial o que lhe aconteceu? Solu¸ c˜ ao Seja x o valor do objeto ent˜ ao: No 1◦ mˆ es. x + 20%x No 2◦ mˆ es. (x + 20%x) − 20%(x + 20%x) ⇒ x − (20%)2 · x 2 20 ⇒x− x 100 2 2 ⇒x− x 10 4 ⇒x− x 100 ⇒ x − 4%x Ou seja, houve um decr´escimo de 4% do pre¸co.
27
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
15. Siare fez um deposito a prazo fixo de dois meses, decorrido o prazo o montante que era de R$ 2220,00 foi reaplicado por mais um mˆes a uma taxa de juros 20% superior a primeira. Sendo o montante final de R$ 2550,00. Calcule o principal e as taxas mensais. Solu¸ c˜ ao Usando a f´ ormula M = N (1 + in) Na 1◦ aplica¸c˜ ao teremos 2220 = N (1 + 2i) (1) Na 2◦ aplica¸c˜ ao se tˆem 20 i ·1 2550 = 2220 1 + i + 100 2550 = 220 (1 + 1, 2i) ⇒ i ≈ 0, 1239 ou 12,39%. Usando esse valor em (1) chega-se ao valor de N
2220 = N (1 + 2(0, 1239)) N ≈ 1779, 13 Assim, o principal ´e R$ 1779,13. Finalmente calculando i +
20 i chega-se a 2◦ taxa de aplica¸c˜ao que ´e de 14,87%. 100
16. Em um dado momento, dois objetos A e B tinham o mesmo pre¸co. O pre¸co de A sofreu um aumento de 25% e, em seguida, outro aumento de 80% sobre o novo pre¸co. O pre¸co de B sofreu um aumento de x% e, em seguida, outro aumento de x% sobre o novo pre¸co. Os pre¸cos finais dos dois objetos resultaram iguais. Qual o valor de x? Solu¸ c˜ ao Suponha que A e B custem inicialmente 100,00 reais. Assim, quando A receber um aumento de 25% passar´ a a custar 125,00 reais. A = 100 + 25% · 100 A = 100 +
25 · 100 100
A = 125, 00 28
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Ap´ os o aumento de 25% A sofre mais um aumento de 80% passando a custar 225,00 reais. A = 125 +
80 · 125 = 225, 00 100
J´ a tratando-se de B sabe-se que primeiro recebeu um aumento de x%. B = 100 + x% · 100 x B = 100 + · 100 = 100 + x 100 e depois um novo aumento de %, j´ a sob o valor aumentado, isto ´e: B = (100 + x) + x% · (100 + x) ⇒ B = 100 + x +
x (100 + x) 100
⇒ B = 100 + 2x +
1 2 x 100
Como ao final dos acr´escimos o pre¸co de A e B ainda s˜ao iguais ent˜ao:
225 = 100 + 2x + Cuja solu¸c˜ ao ocorre para x = 50. Como x% =
x% =
1 2 x 100
x ent˜ao: 100
50 = 0,5 ou 50%. 100
17. (VERAS) A financeira A faz empr´estimo a 10% a.m. de juros e cobra no ato uma taxa de servi¸co de 4,5 % sobre o valor financiado. A financeira B faz empr´estimos a 12% a.m., mas s´ o cobra tamb´em no ato 1,5%:
a) Estabele¸ca f´ ormulas que deem taxas efetivas de juros mensais de cada financeira, para o prazo de n meses. b) Para empr´estimos, com que prazos as taxas efetivas de ambas seriam equivalentes? Solu¸ c˜ ao de A O valor cobrado pela financeira A ´e o juros do capital emprestado mais 4,5% do mesmo, ou seja:
29
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
J =C
Resolvido por Diego Oliveira
10 4, 5 n+ C 100 100
J = 0, 1Cn + 0, 045C (1) J´ a o valor cobrado pela financeira B ´e o juros do capital emprestado mais 1,5% do mesmo, ou seja: J =C·
1, 5 12 n+ C 100 100
J = 0, 12Cn + 0, 015C (2) Como J = Cin ent˜ ao de (1) temos:
Cin = 0, 1Cn + 0, 045C ⇒ i = 0, 1 +
0, 045 n
que ´e uma f´ ormula para a taxa efetiva de juros da financiadora A. Analogamente se chega a uma f´ ormula para a financiadora B. Solu¸ c˜ ao de B Igualando (1) ` a (2) 0, 1Cn + 0, 045C = 0, 12Cn + 0, 015C (0, 1 − 0, 12)Cn = (0, 015 − 0, 045)C 0, 02Cn = 0, 03C ⇒ n = 1, 5 Assim a resposta ´e 1,5 mˆes ou 1 mˆes e 30 dias. Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
30
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
31
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
4
Resolvido por Diego Oliveira
JUROS COMPOSTOS Nesse cap´ıtulo usamos: S = P(1 + i)n (Juro Composto) D = N dn (Desconto Simples)
1. Um investidor aplicou R$ 1200,00 em t´ıtulos que lhe proporcionar˜ao um resgate de R$ 1330,46 ap´ os 90 dias de aplica¸c˜ ao. Qual a taxa mensal de aplica¸c˜ao? Solu¸ c˜ ao: S = P(1 + i)n ⇒ 1330, 46 = 1200(1 + i)3 ⇒i=
1330, 46 1200
1/3 −1
⇒ i ≈ 0.035 ou 3,5% 2. Maria fez uma aplica¸c˜ ao de R$ 750,00 por 18 meses `a taxa de 36% a.a. Determine o montante recebido usando a conven¸c˜ ao linear. Solu¸ c˜ ao: A taxa de juros est´ a ao ano e o per´ıodo da aplica¸c˜ao ao mˆes. Ao contr´ario do sistema de capitaliza¸c˜ ao simples quando trabalhamos com juros compostos n˜ao podemos mudar a taxa usando regra de trˆes simples. O que podemos fazer com regra de trˆes ´e mudar a unidade do per´ıodo. 1 ano 12 meses = ⇒ n = 1, 5 n 18 meses Ou seja, um ano e seis meses. Onde 1 ´e a parte inteira e 0.5 ´e a parte fracion´aria. Usando ent˜ ao a conven¸ c˜ ao linear: p n S = P(1 + i) 1 + i q n 36 36 S = 750 1 + 1+ · 0.5 100 100 S = 1203, 60 Tamb´em poder´ıamos chegar ao mesmo resultado calculando a parte inteira a juros compostos.
32
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
S = P(1 + i)n 1 36 S = 750 1 + 100 S = 1020, 00
E a parte fracion´ aria a juros simples usando como montante o valor calculado anteriormente.
S = P (1 + in) 36 · 0, 5 S = 1020 1 + 100 S = 1203, 60
Usando a conven¸ c˜ ao exponencial. S = P(1 + i)n 1,5 36 S = 750 1 + 100 S = 1189, 51
3. Determine o valor aplicado na opera¸c˜ao, cujo regate foi de R$ 1700,00 ap´os 70 dias a uma taxa de 2,2% a.m., utilizando as duas conven¸c˜oes. (R. 1615,83 e 1615,75) Solu¸ c˜ ao: Setenta dias equivale a 2 meses (parte inteira) e 10 dias (parte fracion´aria). Usando a conven¸ c˜ ao linear: p S = P (1 + i) 1 + i q n
2 2, 2 2, 2 10 1700 = P 1 + 1+ · 100 100 30 ⇒ P = 1615, 75 Usando a conven¸ c˜ ao exponencial. Primeiro usamos regra de trˆes para ajustar a vari´avel “n” a taxa fornecida.
33
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
30 dias = 1 mˆes 70 dias = n Que implica em n =
30 3 , ou simplesmente . Assim: 70 7 S = P(1 + i)n 3 2, 2 7 1700 = P 1 + 100 P = 1615.83
4. Responda:
a) Qual a taxa anual equivalente a 12% ao bimestre? b) Qual a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia? c) Qual a taxa semestral equivalente a 108% ao ano? d) Qual a taxa em 63 dias equivalente a 10% ao mˆes? e) Qual a taxa em 13 meses equivalente a 10% ao bimestre? d) Qual a taxa em 63 dias equivalente a 500% ao ano.
Solu¸ c˜ ao:
12/2 12 a) i = 1 + − 1 = 0, 9738 ou 97,38%. 100 30/1 0, 2 b) i = 1 + − 1 = 0, 0618 ou 6,18%. 100 0,5/1 108 c) i = 1 + − 1 = 0, 4422 ou 44,22%. 100 63/30 10 − 1 = 0, 22158 ou 22,16%. d) i = 1 + 100 13/2 10 e) i = 1 + − 1 = 0, 858 ou 85,8%. 100 63/360 500 f) i = 1 + − 1 = 0, 3683 ou 36,83%. 100
34
Resolvido por Diego Oliveira
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
5. Enquanto tempo teremos montantes iguais com o capital de R$ 1198,00 aplicado a 4,6% em 20 dias e o capital de R$ 1252,00 aplicado a 6% a.m. Solu¸ c˜ ao: Primeiro determina-se a taxa equivalente a 4,6% no mˆes. i = (1 + 4.6)
30/20
−1
i = 6.979 % a.m. Sabendo que em tempos iguais essa taxa resulta no mesmo montante que a taxa de 6% a.m. aplicada sobre o capital de R$ 1252 ent˜ao: 1198(1 + i1 )n = 1252(1 + i2 )n n n 6.979 6 ⇒ 1198 1 + = 1252 1 + 100 100 n
n
⇒ 1198 (1, 06979) = 1252 (1, 06)
onde usando as propriedades de logaritmo chegamos a n ≈ 4.79 Assim a resposta ´e 4.79 mˆes ou aproximadamente 144 dias. 6. Qual a melhor op¸c˜ ao: a) Descontar no banco uma promiss´oria de valor R$ 1000,00 com 90 dias a vencer numa taxa de 10% a.m. b) Tomar empr´estimo no valor l´ıquido da promiss´oria, para ser pago em 3 meses com juros de 12% a.m. Solu¸ c˜ ao: Se seguirmos a op¸c˜ ao “a” o desconto ser´a:
D = 1000 · 90 ·
10 = 300 100 · 30
logo recebemos 700,00 reais. J´ a se seguirmos a op¸c˜ ao “b” pagaremos juros de 283,00 reais. S = C + Juros ⇒J =S −C
12 ⇒ J = 700 1 + 100
3
35
− 700 ≈ 283, 00.
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Como 283 < 300, ent˜ ao a op¸c˜ ao mais lucrativa ´e a letra “b”. 7. Uma financiadora emite uma LC prefixada no valor de R$ 8000,00 por 60 dias. Sendo 96% a.a. a taxa e 20% a al´ıquota do I.R., qual a taxa l´ıquida para: a) IR cobrado no final? b) IR cobrado no in´ıcio? Solu¸ c˜ ao de A: A taxa de i = 96% a.a. tˆem como taxa equivalente (ao bimestre) o valor de 11, 869%. Assim, o montante que A LC ir´ a render ser´ a 8.949,512 reais.
11, 869 S = 800 1 + 100
1 = 8949, 512
O que quer dizer que foram gerados 949,512 de juros ( 8949, 512 − 8000). Como o imposto ´e de 20% sobre o juros ent˜ao custar´a 189,90 reais.
949, 512 ·
20 = 189, 9024 100
Assim o valor que realmente ser´ a recebido (montante subtra´ıdo do imposto) ser´a apenas 8.759,6096 reais. 8949,512 − 189,9024 = 8759,6096 Usando a f´ ormula
S = P(1 + i)n e substituindo os valores
8759, 6096 = 8000(1 + i)60 e levando em conta que 60 dias ´e o mesmo que 2 meses
8759, 6096 = 8000(1 + i)2
r ⇒i=
8759, 6096 −1 8000
36
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
⇒ i ≈ 0, 0464 ou 4, 64% a.m. Solu¸ c˜ ao de B: i=
8949, 512 − 1 ≈ 0, 0927 a.b. 8189, 90
Que equivale ao mˆes ` a: i = (1 + 0, 0927)1/2 − 1 = 4, 53% a.m.
8. Roberto tem um capital R$ 3000,00 dispon´ıvel para aplic´a-lo a prazo fixo por 3 meses a uma taxa de 72% a.a. Sabendo que existe um imposto de 20% sobre o rendimento, qual a taxa efetiva mensal nos casos; a) imposto pago no final da aplica¸c˜ao? b) imposto pago no ato da aplica¸c˜ ao al´em do capital aplicado? c) imposto pago no ato da aplica¸c˜ ao retirado do capital inicial. Solu¸ c˜ ao de A: Aplicando o capital Roberto teria um montante de 3.435,606 reais. 1 14, 52 S = 300 1 + = 3435, 606 (onde 14,52% a.t. = 72% a.a.) 100 Portanto, o imposto cobrado ser´ a no valor de 87,1212 reais. imposto = (3435, 606 − 3000) ·
20 100
imposto = 87, 1212 E o ganho real de Roberto (montante menos o imposto) ser´a de 3.348,4848 reais. Assim, a taxa final para a aplica¸c˜ ao (taxa efetiva) poder´a ser calculada pelo seguinte modo 3348, 4848 = 3000(1 + i)1 ⇒ i = 11, 616% a.t. ou aproximadamente 3, 73% a.m.
Solu¸ c˜ ao de B: Seguindo o racioc´ınio anterior
i=
3435, 606 − 1 = 0, 113 3000 + 87, 1212 37
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Que equivale a taxa mensal de 3,63% a.m. Solu¸ c˜ ao de C: Nesse caso consideramos que os 3.000,00 e composto do capital de Roberto (P) somado ao imposto. 3000 = capital P + imposto Como o imposto ´e de 20% sobre o rendimento (isto ´e, sobre os juros) ent˜ao:
3000 = P +
20 ·J 100
Usando a taxa de 14, 52% a.t. ent˜ ao em trˆes meses J = 14, 52%P.
3000 = P +
20 14, 52 · ·P 100 100
⇒ P ≈ 2915,34 e J ≈ 423,31. Sendo o montante (S) a soma do capital com os juros, ent˜ao: S =P +J ≈ 2915,34 + 423,31 ≈ 3338,65 Sendo assim, S = P(1 + i)n
⇒ 3338, 65 = 2915, 34(1 + i)1 ⇒i=
3338, 65 − 1 ≈ 0, 145 a.t. ou ≈ 4,62% a.m. 2915, 34
9. A financiadora A faz empr´estimos a 10% a.m. e cobra no ato uma taxa de servi¸co de 4,5%. A financiadora B faz o mesmo com juros de 12% a.m. e servi¸co de 1,5%. a) Qual a melhor num empr´estimo de 1 mˆes? b) Qual a melhor num empr´estimo de 6 meses? c) Qual o prazo que torna indiferente a escolha do Banco? 38
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Solu¸ c˜ ao de A: Como S = P(1 + i)n ent˜ ao os juros (J ) ser´a: J = P(1 + i)n − P ou J = P ((1 + i)n − 1). Agora veremos quanto ser´ a cobrado em cada financiadora.
• Financiadora A Juros(A) + Taxa de A = P
! 1 10 4, 5 1+ −1 + P 100 100
= 0, 145P • Financiadora B Juros(B) + Taxa de B = P
12 1+ 100
!
1 −1
+
1, 5 P 100
= 0, 135P Como 0,135C < 0,145C ent˜ ao ´e mais rent´avel optar pela financiadora B. Solu¸ c˜ ao de B: Para 6 meses teremos: JA + Taxa de A = P(1, 1)6 − P + 0, 045P ≈ 0, 8165P JB + Taxa de B = P(1 + 0, 12)6 − 1 +
1, 5 P 100
= (0, 12)6 P + 0, 015P = 0, 988P Nesse caso a melhor op¸c˜ ao ´e a financiadora A. 9C ?? 10. Um capital de R$ 5000,00 ´e aplicado durante 2 anos `a taxa de 2,25% a.t. (ao trimestre). Qual o montante e qual a taxa efetiva anual? Solu¸ c˜ ao: Calculando o montante A taxa i = 9% a.a. capitalizado trimestralmente equivale a taxa de 2,25% a.t. (ver taxas proporcionas). E o per´ıodo de 2 anos equivale a 8 trimestre. Aplicando a f´ormula chaga-se ao montante de 5.974,15 reais. 39
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
8 2, 25 S = 5000 1 + ≈ 5974, 15 100 Usando esse resultado para o per´ıodo de 2 anos encontramos a taxa anual. 5974, 15 = 5000(1 + i)2 ⇒ i = 9, 308% a.a. 11. Calcular a taxa anual equivalente a 1,7% para 51 dias, capitalizados bimestralmente? Solu¸ c˜ ao: Se 60 dias equivale a um bimestre, ent˜ao 51 dias equivale a 0,85 de um bimestre. Portanto, 1,7% em 51 dias ´e o mesmo que 2% a.b. (1,7/0,85 = 2). Logo a taxa equivalente ser´a: i=
1+
2 100
6 − 1 = 12, 612%
12. O banco A oferece empr´estimos pessoais por um ano a taxa de 12% a.a.; o banco B pelo mesmo empr´estimo e prazo cobra 9,6% a.a. por´em com capitaliza¸c˜ao mensal dos juros. Qual o melhor banco? E qual deveria ser a taxa nominal anual do banco B, para que fosse indiferente a escolha do banco? Solu¸ c˜ ao: Calculo da taxa do banco B Sabe-se que 9,6% a.a. capitalizado mensalmente ´e igual a 0,8% a.m. Convertendo essa taxa para o ano teria-se: i=
1+
0, 8 100
1 2 − 1 = 0.10 a.a.
O banco B, portanto, oferece uma taxa mais baixa. Para saber qual a taxa anual com que o banco B deveria trabalhar, para que fosse indiferente a escolha do banco calcula-se
i% 1+ 12
12 − 1 = 12%
⇒ i ≈ 11, 3865%
40
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
13. Em 3 meses consecutivos as a¸c˜oes de uma empresa desvalorizaram-se a 1% a.m. Qual a rentabilidade no per´ıodo? Solu¸ c˜ ao: i = (1 − 1%)3 − 1 = −0, 0297 ou −2, 97% 14. Em junho e julho um fundo de a¸c˜oes rendeu 3% e −1%, respectivamente. Qual a rentabilidade de agosto para que o acumulado seja 6%? Solu¸ c˜ ao: 6% = (1 + 3%)(1 − 1%)(1 − x%) − 1 ⇒ x = 0, 0395
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
41
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
42
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
5
Resolvido por Diego Oliveira
ˆ ˜ EQUIVALENCIA NA CAPITALIZAC ¸ AO COMPOSTA Nesse cap´ıtulo usamos: S = P(1 + i)n (Juro Composto)
1. Um objeto custa a vista R$ 300,00 ou ent˜ao em 3 presta¸c˜oes mensais e iguais (0+3) com juros de 7% a. m. Calcule o valor dessas presta¸c˜oes. Solu¸ c˜ ao: Perceba que a opera¸c˜ ao tˆem dura¸c˜ao de 3 meses. Vamos tomar como a data zero o dia do pagamento da ultima parcela (p3 ). Como a segunda parcela (p2 ) ´e paga um mˆes antes da u ´ltima e a primeira (p1 ) dois meses antes ent˜ ao: 300(1 + i)3 = p1 (1 + i)2 + p2 (1 + i)1 + p3 (1 + i)0 como p1 = p2 e tamb´em p3 , pois as parcelas s˜ao de igual valor, ent˜ao: 300(1 + i)3 = p(1 + i)2 + p(1 + i) + p ⇒ 300(1 + 0, 07)3 + p(1 + 0, 07)2 + p(1 + 0, 07) + p ⇒ 300(1, 07)3 + p(1, 07)2 + 1, 07 · p ⇒ p ≈ 114, 32
2. Jos´e deve pagar 2 t´ıtulos, o 1◦ de R$ 250,00 exig´ıvel em 1 mˆes; o 2◦ de R$ 260,00 exig´ıvel em 2 meses. Ele pretende substituir esses 2 t´ıtulos por um u ´nico de R$ 509,92. Calcule o prazo do novo t´ıtulo, sabendo que a taxa de mercado ´e de 6% a.m. Solu¸ c˜ ao: Neste caso, a soma do valor atual dos t´ıtulos venc´ıveis em 1 e 2 meses deve ser igual ao valor atual do t´ıtulo venc´ıvel no mˆes x. Veja: N1 (1 + i)n1 + N2 (1 + i)n2 = N3 (1 + i)n3 ⇒ 250(1 + 0, 06)1 + 260(1 + 0, 06)2 = 509, 92(1 + 0, 06)n3 ⇒ 1, 09 = 1, 06n3 ⇒ log(1, 09) ≈ n3 · log(1, 06) ⇒ n3 ≈ 1, 5
43
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Ou seja, o novo t´ıtulo deve ser venc´ıvel em 1,5 mˆes. Ou um mˆes e 15 dias.
3. Um v´ıdeo de R$ 600,00 ´e oferecido a Jo˜ao em 4 planos. Qual a melhor op¸c˜ao de compra uma vez que a taxa de juros de mercado ´e de 6,5% a. m.? a) Direto com 1 mˆes. b) A vista com 6% de desconto. c) (1+2) sem acr´escimo. d) 25% de entrada e o restante com 1 mˆes. Solu¸ c˜ ao: Se Jo˜ ao pode optar por qualquer uma das formas de pagamento ent˜ao na pior das hip´oteses jo˜ ao possui em seu bolso o valor do v´ıdeo, ou seja, 600 reais. Se Jo˜ ao optar pelo primeiro plano, alternativa A, ent˜ao ele pode investir esse valor por um mˆes ganhando um montante de 639,00 reais. S = 600(1 + 0, 065)1 S = 639, 00 Mas, como no fim do mˆes ele deve pagar os 600 reais do v´ıdeo Jo˜ao pode lucrar 39,00 reais. Se optar pelo plano B Jo˜ ao pagar´ a 564,00 reais 600 − 0, 06 · 600 = 564 ficando anda com 36 reais. Se optar pelo plano C ter´ a de pagar 200 reais e poder´a aplicar o restante por um mˆes ganhando um montante de 426 reais. S = 400(1 + 0, 065)1 S = 426, 00 Como no final desse mˆes ter´ a de pagar outra parcela de 200,00 reais Jo˜ao ficar´a com 226,00 reais que poder´ a investir novamente ganhando um montante de 240,69 reais. S = 226(1 + 0, 065)1 S = 240, 69 Como lhe resta ainda uma parcela de 200,00 reais ent˜ao Jo˜ao poder´a lucrar 40,69 reais. Se optar pelo plano D ter´ a de pagar 25% da entrada que ´e o equivalente a 150,00 reais. Podendo investir o restante por um mˆes ganhando um montante de 479,25 reais.
44
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
S = 450(1 + 0, 065)1 S = 479, 25 Como ele ainda deve pagar 450,00 para quitar o v´ıdeo lucrar´a 29,25 reais. Sendo assim ´e melhor Jo˜ ao optar pelo plano C
4. O pre¸co de um produto ´e de R$ 450,00, contudo pode ser comprado de trˆes vezes (1+2) sem acr´escimo, diz o vendedor. Se a loja trabalha com juros de 6% a. m., qual a porcentagem do pre¸co ` a vista, pode a loja dar de desconto? Solu¸ c˜ ao: Seja N o valor das parcelas ap´ os o desconto, e escolhendo a data do ultimo pagamento como data zero, ent˜ ao: N (1 + 0, 06)2 + N (1 + 0, 06) + N = 450 ⇒ N (3, 1836) = 450 ⇒ N ≈ 141, 35 Assim, o valor total a ser pago ser´ a de 424,05 reais. 141, 35 · 3 = 424, 05 Assim, o desconto final seria de 25,95 reais (424, 05 − 450). Que ´e aproximadamente 5,77% do valor total.
5. Uma mat´eria-prima ´e vendida por R$ 900,00 em 3 parcelas mensais de R$ 300,00 (0+3). Se o pagamento ´e feito ` a vista, h´ a um desconto de 10%. Qual a taxa de juros do financiamento? Solu¸ c˜ ao: Nesse caso o valor que a loja receberia pelo pagamento a vista aplicado em 3 meses deve ser o mesmo que obteria se aplicasse as parcelas, a medida que fossem sendo recebidas, tamb´em por no m´ aximo 3 meses. Assim, escolhendo a data do ultimo pagamento como data zero, ent˜ao: 810(1 + i)3 = 300(1 + i)2 + 300(1 + i)1 + 300 fazendo 1 + i = y ent˜ ao:
45
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
810y 3 = 300y 2 + 300y + 300 ⇒ 810y 3 − 300y 2 − 300y − 300 = 0 A equa¸c˜ ao acima s´ o possui uma raiz real, que ´e aproximadamente igual a 1,0546. Como y = 1 + i ent˜ ao: 1 + i = 1, 0546 ⇒ i = 0, 0546 Assim, a taxa ´e de 0,0546 ou 5,46% a.m.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
46
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
47
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
6
Resolvido por Diego Oliveira
TAXA INTERNA DE RETORNO
1. Uma financeira, concede empr´estimo de R$ 10000,00 para ser pago em trˆes presta¸c˜oes venc´ıveis em 1, 2, 3 meses com valores de R$ 3500,00; R$ 4000,00; R$ 4275,10, respectivamente. Qual a taxa de juros desse empr´estimo? Solu¸ c˜ ao Escolhendo o hoje como data zero, ent˜ao: 4000 4275 3500 + + = 10000 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 Como chute inicial escolhemos i = 0, 06. 3500 + 4000 + 4275 −1 10000 i= ≈ 0, 06 3 Ent˜ ao para i = 0, 06 4000 4275 3500 + + = 10.451, 26 1 2 (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06)3 para i = 0, 07 3500 4000 4275 + + = 10.244, 45 (1 + 0, 07)1 (1 + 0, 07)2 (1 + 0, 07)3 para i = 0, 08 4000 4275 3500 + + = 10.063, 73 1 2 (1 + 0, 08) (1 + 0, 08) (1 + 0, 08)3 para i = 0, 09 3500 4000 4275 + + = 9.878, 81 (1 + 0, 09)1 (1 + 0, 09)2 (1 + 0, 09)3 Com base nesses dois u ´ltimos resultados realizamos a regra de trˆes. Taxa 8 8+x 9
Valor atual 9-8 10.063,73 ⇒ (8+x)-8 10.000,00 9,878,81
9-8 (8+x)-8 1 x
(10.063,73 - 9,878,81) (10.063,73-10.000,00)
(10.063,73 - 9,878,81) 1 ⇒ (10.063,73-10.000,00) x
184,922 63,732
63, 732 184,922 ⇒x= = 0, 345 63,732 184, 922
Logo a taxa (8 + x) ´e de 8,345%, ou 8,35% numa aproxima¸c˜ao mais grosseira.
48
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
2. Maria aplica R$ 5774,00; recebe R$ 1800,00 com um mˆes, R$ 2500,00 ap´os dois meses e R$ 2874,30 com trˆes meses. Determine a taxa interna de retorno. Solu¸ c˜ ao O problema se modela do seguinte modo. 2500 2874, 30 1800 + + = 5774 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 Para i = 0, 1 teremos: 1800 2500 2874, 30 + + = 5861, 97 (1, 1)1 (1, 1)2 (1, 1)3 Para i = 0, 11 teremos: 1800 2500 2874, 30 + + = 5752, 34 1 2 (1, 11) (1, 11) (1, 11)3 Fazendo a regra de trˆes Taxa 10 10+x 11 1 x
Valor atual 1 5861,97 ⇒ x 5774 5752,34
109,63 87,97
87, 97 109,63 = 0, 802 ⇒x= 87,97 109, 63
Logo a taxa (10 + x) ´e de 10,802%, ou 10,8% numa aproxima¸c˜ao mais grosseira. 3. Um equipamento ´e vendido ` a vista por R$ 1300,00 ou ent˜ao com uma entrada de R$ 300,00 e mais trˆes mensais de R$ 400,00. Qual a taxa de juros mensal? Solu¸ c˜ ao O problema se modela do seguinte modo. 300 +
400 400 400 + + = 13000 1 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)3
Para i = 0, 09 teremos: 300 +
400 400 400 + + = 1312, 52 (1, 09)1 (1, 09)2 (1, 09)3
Para i = 0, 1 teremos: 300 +
400 400 400 + + = 1294, 74 1 2 (1, 1) (1, 1) (1, 1)3
Fazendo a regra de trˆes
49
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Taxa 9 9+x 10 1 x
Valor atual 1 1312,52 ⇒ x 1300 1294,74
Resolvido por Diego Oliveira
16,78 12,52
12, 52 16,78 = 0, 746 ⇒x= 12,52 16, 78
Logo a taxa (9 + x) ´e de 9,746%, ou 9,7% numa aproxima¸c˜ao mais grosseira. 4. Jos´e aplica R$ 1000,00, recebe R$ 450,00 ap´os um mˆes, R$ 400,00 ap´os dois meses e R$ 271,55 com trˆes meses. Determine a taxa interna de retorno. Solu¸ c˜ ao O problema se modela do seguinte modo. 400 271, 55 450 + + = 1000 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 Para i = 0, 06 teremos: 450 400 271, 55 + + = 1008, 51 1 2 (1, 06) (1, 06) (1, 06)3 Para i = 0, 07 teremos: 450 400 271, 55 + + = 991, 6 (1, 07)1 (1, 07)2 (1, 07)3 Fazendo a regra de trˆes Taxa 6 6+x 7 1 x
Valor atual 1 1008,51 ⇒ x 1000 991,596
16,91 8,51
8, 51 16,91 = 0, 503 ⇒x= 8,51 16, 91
Logo a taxa (6 + x) ´e de 6,503%. Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
50
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
51
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
7
Resolvido por Diego Oliveira
ˆ RENDAS CERTAS OU SEQUENCIAS DE CAPITAIS ´ OU SERIES DE CAPITAIS Nesse cap´ıtulo usamos: (1 + i)n − 1 FV = PMT i (1 + i)n − 1 PV = PMT i (1 + i)n − 1 FV = PMT (1 + i) i (1 + i)n − 1 PV = PMT (1 + i)n−1 × i (1 + i)n − 1 FV = PMT (1 + i)n i (1 + i)n − 1 (1 + i)n × i (1 + i)c
PMT PV =
onde FV = Montante. PMT = Valor de cada presta¸c˜ ao. n = numero de presta¸c˜ oes. i = a taxa de juros. PV = Valor atual. c = per´ıodo de carˆencia. 1. Depositei durante quatro meses a quantia de R$ 400,00 a uma taxa de 5% a.m. Quanto receberei de montante? Solu¸ c˜ ao (1 + i)n − 1 FV = PMT i (1 + 0, 05)4 − 1 ⇒ FV = 400 0, 05 ⇒ FV = 1810,2525 reais. O mesmo resultado pode ser encontrado considerando os juros mˆes a mˆes.
52
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
No primeiro mˆes renderia um montante (S) de: S = P(1 + i)n ⇒ S = 400(1 + 0, 05)1 = 420 No segundo mˆes o montante obtido ser´a sobre o montante anterior somado a segunda parcela, isto ´e: S = (420 + 400)(1 + 0, 05)1 ⇒ S = 861, 00 No terceiro mˆes: S = (861 + 400)(1 + 0, 05)1 ⇒ S = 1324, 05 No quarto mˆes seria paga a ultima parcela e seria sacado o valor total, ou seja, n˜ao haveria juros sobre essa u ´ltima parcela, sendo assim: S = 1324, 05 + 400 ⇒ S = 1724, 05 reais. 2. Calcule o n´ umero de presta¸c˜ oes bimestrais de R$ 1500,00 cada uma, capaz de liquidar um financiamento de R$ 4988,26 ` a taxa de 20% ao bimestre. Solu¸ c˜ ao (1 + i)n − 1 PV = PMT (1 + i)n × i (1 + 0, 2)n − 1 ⇒ 4988,26 = 1500 (1 + 0, 2)n × 0, 2 Que ap´ os certo algebrismo, e ajuda de uma calculadora cientifica, chega-se a n ≈ 6. 3. O gerente de uma loja deseja estabelecer fatores (esse fator ´e chamado fator da presta¸c˜ao ou fator do valor financiado) que ser˜ ao aplicados ao pre¸co `a vista para o c´alculo da presta¸c˜ao mensal. A taxa de juros da loja ´e de 7% a.m. Quais os fatores por unidade de capital nos prazos de meses: a) 3 b) 4. Solu¸ c˜ ao de A Toda compra parcelada ocorre como uma esp´ecie de financiamento, sendo assim: (1 + i)n − 1 PV = PMT (1 + i)n × i onde PV ´e o valor da compra avista.
53
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Como estamos procurando um fator que aplicado ao valor de avista nos entregue o valor da presta¸c˜ ao ent˜ ao precisamos determinar o quociente PMT/PV, pois: PV ×
PMT = PMT PV
Vamos ao c´ alculo desse quociente. (1 + i)n − 1 PV = PMT (1 + i)n × i ⇒
PV (1 + i)n − 1 = PMT (1 + i)n × i
⇒
PMT (1 + i)n × i = PV (1 + i)n − 1
⇒
PMT (1 + 0, 07)3 × 0, 07 = ≈ 0, 38105 PV (1 + 0, 07)3 − 1
Solu¸ c˜ ao de B ⇒
PMT (1 + 0, 07)4 × 0, 07 = ≈ 0, 29523 PV (1 + 0, 07)4 − 1
⇒
PMT ≈ 0, 29523 PV
4. Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodom´estico uma entrada que representa 15% do valor ` a vista, mais 8 presta¸c˜ oes mensais. Se a loja cobra juros de 5% am, qual ´e o valor das presta¸c˜ oes se o valor ` a vista do eletrodom´estico ´e de R$ 330,00? Se a primeira presta¸c˜ao fosse paga no ato com a entrada, qual seria o valor das presta¸c˜oes? Solu¸ c˜ ao de A Nesse caso podemos subtrair a entrada de 49,50 (15% de 330) do valor de avista (PV) e tratar o problema como um problema de renda postecipada. (1 + i)n − 1 PV – entrada = PMT (1 + i)n × i (1 + 0, 05)8 − 1 ⇒ 330 − 49, 50 = P M T (1 + 0, 05)8 × 0, 05 ⇒ P M T = 43, 40 reais. Solu¸ c˜ ao de B Nesse caso ter´ıamos: PV - entrada = PMT + PMT
(1 + i)n−1 − 1 (1 + i)i
54
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
⇒ 330 − 49, 50 = PMT + PMT
(1 + 0, 05)8−1 − 1 (1 + 0, 05) × 0, 05
Resolvido por Diego Oliveira
⇒ PMT = 41,33 5. Qual o valor de um empr´estimo que pode ser liquidado da seguinte forma: no 2◦ e 3◦ mˆes paga-se R$ 1000,00 no 5◦ , 6◦ e 7◦ mˆes paga-se R$ 2000,00, sabendo que a taxa de juros ´e de 8% a.m.? Solu¸ c˜ ao Observe o fluxo de caixa do problema. 0
1
2
3
1000
1000
4
5
6
7
2000
2000
2000
Note que podemos dividir o fluxo de caixa em dois fluxos de rendas diferidas. 0
1
2
3
1000
1000
4
5
6
7
2000
2000
2000
Carˆencia e tamb´em 0
1
2
3
Carˆencia Vamos calcular o valor presente de cada fluxo. O resultado ser´a a soma desses valores. (1 + i)n1 − 1 (1 + i)n2 − 1 (1 + i)n1 × i (1 + i)n2 × i VPTOTAL = PMT1 + PMT 2 (1 + i)c1 (1 + i)c2 (1 + 0, 08)2 − 1 (1 + 0, 08)3 − 1 (1 + 0, 08)2 × 0, 08 (1 + 0, 08)3 × 0, 08 ⇒ VPTOTAL = 1000 + 2000 1 (1 + 0, 08) (1 + 0, 08)4 ⇒ VPTOTAL ≈ 1651, 17 + 3788, 486 ⇒ VPTOTAL ≈ 5439, 66
55
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
6. Um objeto ´e financiado em 4 presta¸c˜oes mensais de R$ 325,00 e 2 presta¸c˜oes bimestrais de R$ 775,00 e R$ 875,00 no mesmo per´ıodo. Calcular o valor financiado, sabendo que a taxa de juros ´e de 6% a.m. Solu¸ c˜ ao Primeiro determinamos o valor do financiamento caso fossem pagas somente as presta¸c˜oes de 325 reais. (1 + i)n − 1 PV1 = PMT (1 + i)n × i (1 + 0, 06)4 − 1 PV1 = 325 (1 + 0, 06)4 × 0, 06 PV1 ≈ 1126, 16 Agora vamos nos preocupar com as parcelas bimestrais. Para entender melhor observe o fluxo de caixa a seguir. 0
1
2
3
4
325
325
325 + 775
325 + 875
Que simplificadamente para as parcelas bimestrais seria: 0
1
2
3
4
775
775 + 100
Ou seja, podemos considerar a s´erie de pagamentos bimestrais como duas series, uma com duas parcelas de 775 reais e outra com uma u ´nica parcela de 100 reais. (1 + i)n − 1 PV2 = PMT (1 + i)n × i (1 + 0, 1236)2 − 1 ⇒ PV2 = 775 (6% a.m. = 12,36% a.b.) (1 + 0, 1236)2 × 0, 1236 ⇒ PV2 = 1303, 62 e para a parcela de 100 reais: ⇒ PV3 =
100 ≈ 79, 21 (1 + 0, 06)4 56
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Finalmente fazemos a soma de todos os valores (PV1 + PV2 + PV3 ) chegamos ao resultado que ´e: 2508,99 reais. 7. Ana aplicou R$ 1500,00 e ap´ os 6 meses recebeu R$ 2010,14. Que dep´ositos mensais nesse per´ıodo produziriam o mesmo valor se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma taxa da 1a hip´ otese? Solu¸ c˜ ao Primeiro vamos descobrir a taxa de juros a aplica¸c˜ao de Ana. S = P(1 + i)n ⇒ 2010, 14 = 1500(1 + i)6 ⇒ i ≈ 5%a.m. De posse da taxa podemos calcular o montante. (1 + i)n − 1 FV = PMT i (1 + 0, 05)6 − 1 ⇒ 2010,14 = PMT 0, 05 ⇒ PMT ≈ 295, 53 8. Marcelo deseja liquidar um empr´estimo em 10 presta¸c˜oes mensais alternadas de R$ 1000,00 e R$ 2000,00, sabendo que a taxa de juros ´e de 8% a.m. Qual o valor do empr´estimo? Solu¸ c˜ ao Novamente o problema em quest˜ ao, cujo fluxo de caixa est´a a seguir 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (S´erie principal)
1000 2000 1000 2000 1000 2000 1000 2000 1000 2000 pode ser decomposto em duas s´eries de pagamentos. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (1◦ S´erie)
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 e tamb´em
57
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
0
1
2
3
4
5
6
Resolvido por Diego Oliveira
7
8
9
10 (2◦ S´erie)
1000
1000
1000
1000
1000
PV = 10 pagamentos mensais de 1000 + 5 bimestrais de 1000 De modo que a s´erie principal ser´ a a soma da 1◦ com a 2◦ . P V = 1000
(1 + 0, 08)10 − 1 (1 + 0, 1664)5 − 1 + 100 (8% a.m. = 16,64% a.b.) (1 + 0, 08)10 × 0, 08 (1 + 0, 1664)5 × 01664
⇒ P V = 6710, 08 + 3226, 01 ⇒ P V = 99360, 9 9. Certo executivo pretende viajar durante um ano, resolve fazer 6 dep´ositos mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais de R$ 2000,00 durante o per´ıodo de sua viagem. A 1a retirada ocorrer´a 1 mˆes ap´os o u ´ltimo dep´osito. Se a financeira paga 6% a.m., qual o valor de cada dep´osito? Solu¸ c˜ ao Nesse caso, o montante acumulado pelos seus dep´ositos deve ser igual ao valor do financiamento referente as 12 retiradas mensais. Matematicamente: PMT
(1 + i)n − 1 i
0
= PMT
0
(1 + i)n − 1 i(1 + i)n0
!
onde: PMT’ (valor de cada presta¸c˜ ao) = 2000; i (taxa de juros) = 0,06; n=6 n’ = 12 sendo assim: PMT
(1 + 0, 06)6 − 1 0, 06
= 2000
(1 + 0, 06)12 − 1 0, 06(1 + 0, 06)12
⇒ P M T ≈ 2403, 87
58
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
10. Um condom´ınio prevˆe despesas extras de 120000,00 e 160000,00 no final de agosto e setembro, respectivamente. Quanto dever´a arrecadar e aplicar, num fundo que rende 20% a.m., no final de maio, junho e julho (valores iguais) para fazer frente `as despesas previstas? Solu¸ c˜ ao (1 + 0, 2)3 − 1 120000 160000 PMT = + 0, 2 1 + 0, 2 (1 + 0, 2)2 ⇒ P M T ≈ 57997, 56 11. Uma determinada loja, desejando aumentar suas vendas, anuncia a venda de videogames, de acordo com o seguinte plano: 3 presta¸c˜oes de 200,00, no 3◦ , 4◦ e 5◦ mˆes ap´os a compra: 3 presta¸c˜ oes de 500,00, no 8◦ , 9◦ e 10◦ meses ap´os a compra. Sendo de 3% a.m. a taxa de juros cobrada pela loja, calcule o seu valor ` a vista. Solu¸ c˜ ao Esse problema ´e relativo ao t´ opico: Sequˆencia Uniforme de Pagamentos Diferidos. (1 + 0, 03)3 − 1 500 (1 + 0, 03)3 − 1 200 = + P = (1 + 0, 03)2 0, 03(1 + 0, 03)3 (1 + 0, 03)7 0, 03(1 + 0, 03)3 ⇒ P ≈ 1155.86 12. Um terreno ´e vendido ` a vista por 30000,00. A prazo o pagamento poder´a ser feito em 12 presta¸c˜ oes, sendo as seis u ´ltimas o dobro das seis primeiras. Calcule as presta¸c˜oes para uma taxa de 3,5% a.m. Solu¸ c˜ ao (1 + i)n − 1 (1 + i)n · i (1 + i)c
TOTAL = PMT
(1 + i)n − 1 + (1 + i)n · i
2P M T
onde: • TOTAL = 3000; • i = 3, 5%; • n = 6; • c = 6. Sendo assim:
(1 + 0, 035)6 − 1 2P M T (1 + 0, 035)6 − 1 (1 + 0, 035)6 · 0, 035 3000 = PMT + (1 + 0, 035)6 · 0, 035 (1 + 0, 035)6 59
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
⇒ P M T ≈ 2.143, 15 e tamb´em 2P M T ≈ 4.286, 30. 13. L´ azaro compra uma m´ aquina hoje e prop˜oe pag´a-la em 12 presta¸c˜oes mensais de 850,00, vencendo a primeira no dia 26 de setembro de 2003. Sabendo que o juro cobrado ´e de 22,5% a.t. quanto custa a m´ aquina? Solu¸ c˜ ao A solu¸c˜ ao do problema ´e dada por: (1 + i)n − 1 PMT (1 + i)n · i PV = (1 + i)c
onde: • PMT = 850; • i = 7%; • n = 12; • c = 3. Sendo assim
(1 + 0, 07)12 − 1 850 (1 + 0, 07)12 · 0, 07 PV = (1 + 0, 07)3
⇒ P V ≈ 5.511, 06
14. Quanto se deve depositar no come¸co de cada mˆes numa institui¸c˜ao que paga 6,09% ao bimestre para constituir um capital de 16000,00, no final de um ano? Solu¸ c˜ ao Neste caso usamos: (1 + i)n − 1 FV = PMT (1 + i) i
onde: • FV = 16.000; • i = 6.09% a.b. ou 3% a.m.; • n = 12. 60
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Assim: (1 + 0, 03)12 − 1 (1 + 0, 03) 0, 03 ⇒ P M T ≈ 1.094, 56
16.000 = P M T
15. Um equipamento ´e oferecido a uma empresa, sob duas condi¸c˜oes de pagamento: I) 10 presta¸c˜ oes alternadas de 1000,00 e 1500,00, come¸cando com 1000,00. II) 10 presta¸c˜oes mensais de 1250,00 sem entrada. Qual a melhor alternativa para a empresa, se ela opera a uma taxa de juros de 3% a. m.? Solu¸ c˜ ao Analisando a primeira condi¸ c˜ ao. A forma de pagamento pode ser decomposta do seguinte modo: P = 10 mensais de 1000 + 5 bimestrais de 500. (1 + 0, 0609)5 − 1 (1 + 0, 03)10 − 1 + 500 ⇒ P = 1000 (1 + 0, 03)10 · 0, 03 (1 + 0, 069)5 · 0, 069
⇒ P ≈ 10631, 23
Analisando a segunda condi¸ c˜ ao. (1 + 0, 03)10 − 1 P = 1250 (1 + 0, 03)10 · 0, 03
⇒ P ≈ 10662, 75 Como 10662, 75 > 10631, 00 ent˜ ao a primeira condi¸ c˜ ao ´e mais vantajosa. 16. Jos´e deseja adquirir um som, cujo pre¸co `a vista ´e 500,00. Todavia, a compra pode ser financiada de trˆes formas: I) 100,00 de entrada e 12 presta¸c˜ oes mensais de 45,35 II) 10 presta¸c˜ oes mensais de 64,49. III) 2 presta¸c˜ oes de 298,84 a serem pagas no 3◦ e 4◦ mˆes. Admitindo que a taxa de juros ´e de 5% a.m., qual o melhor plano para Jos´e? Solu¸ c˜ ao Analisando a 1a forma de pagamento.
61
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
P = 100 + 45, 35
(1 + 0, 05)12 − 1 (1 + 0, 05)12 · 0, 05
Resolvido por Diego Oliveira
⇒ P ≈ 501, 95 Analisando a 2a forma de pagamento. (1 + 0, 05)10 − 1 P ≈ 64, 49 (1 + 0, 05)10 · 0, 05
⇒ P ≈ 497, 93. Analisando a 3a forma de pagamento. (1 + 0, 05)2 − 1 298, 84 (1 + 0, 05)2 · 0, 05 P ≈ (1 + 05)2
⇒ P ≈ 504, 00. Logo, a melhor op¸c˜ ao ´e a segunda. 17. Uma d´ıvida de 1000,00 dever´ a ser paga com oito presta¸c˜oes mensais de 139,00 sendo a primeira paga no ato da compra. Qual a taxa de juros? Solu¸ c˜ ao 1000 − 139 = 139
(1 + i)7 − 1 i(1 + i)7
Onde ap´ os algum algebrismo chega-se `a: i ≈ 3, 158% a.m. 18. Jos´e deve pagar um t´ıtulo de 50000,00 daqui a um ano. Quanto deveria investir mensalmente, a partir de hoje, se os dep´ ositos forem iguais e remunerados a 8% a. m., para que, um mˆes ap´ os o u ´ltimo dep´ osito, o saldo fosse suficiente para pagar o t´ıtulo? Solu¸ c˜ ao FV = PMT
(1 + i)n − 1 i
(1 + i)
onde: FV (Montante) = 50.000,00 PMT (Valor de cada presta¸c˜ ao) = ?
62
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
n = 12 i = 0,08 Assim: 50.000, 00 = P M T
(1 + 0, 08)12 − 1 0, 08
(1 + 0, 08)
⇒ P M T ≈ 2439, 62 19. Uma m´ aquina est´ a sendo vendida por R$ 2509,00 a vista ou em 4 presta¸c˜oes mensais de R$ 715,80. Qual a taxa cobrada? Solu¸ c˜ ao 2509 = 715, 80 ⇒
(1 + i)4 − 1 (1 + i)4 · i
(1 + i)4 − 1 (1 + i)4 · i
≈ 3, 51
⇒ a(4 | i) ≈ 3, 51. Usando uma tabela de fator de acumula¸c˜ao chega-se `a i ≈ 5, 5%. 20. Investindo todo mˆes R$ 120,00, o montante imediatamente ap´os o d´ecimo dep´osito ´e de R$ 1500,00. Qual a taxa mensal de juros que rendeu o investimento? Solu¸ c˜ ao (1 + i)10 − 1 1500 = 120 i 10 (1 + i) − 1 ⇒ = 12, 5 i ⇒ s(10 | i) = 12, 5 Usando interpola¸c˜ ao linear taxa % 4 4+x 5
s(10 | i) 12,01 12,5 12,58
x 1 ≈ 0, 5718 0, 494
63
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
⇒ x ≈ 0, 8637 De modo que a taxa ser´ a de 4, 864 ≈ 4, 9%.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
64
Resolvido por Diego Oliveira
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
65
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
8
Resolvido por Diego Oliveira
˜ SISTEMAS DE AMORTIZAC ¸ AO
1. Construir a planilha do exerc´ıcio anterior, considerando que no per´ıodo de carˆencia os juros n˜ ao ser˜ ao pagos, ou seja, os juros s˜ao capitalizados e incorporados ao principal. Solu¸ c˜ ao ??? 2. Com os dados do 1◦ exerc´ıcio, sem fazer planilha, determine: a) saldo devedor no 3◦ mˆes; b) juro no 4◦ mˆes; c) Amortiza¸c˜ ao no 2◦ mˆes; d) soma das amortiza¸c˜ oes at´e o 3◦ mˆes; e) A2 + A3 + A4 ; f) soma dos juros; g) J2 + J3 + j4 ; Solu¸ c˜ ao ??? 3. Jos´e comprou uma m´ aquina financiando R$ 6000,00 para pagar em 12 vezes mensais a juros de 5% a.m. Sem fazer planilha, determine:
a) saldo devedor no 8◦ mˆes; b) juro no 10◦ mˆes; c) amortiza¸c˜ ao no 7◦ mˆes; d) soma das amortiza¸c˜ oes do 7◦ at´e o 12◦ mˆes; e) soma dos juros do 7◦ at´e o 12◦ mˆes. Solu¸ c˜ ao de A: Primeiro determinamos o valor que cada presta¸c˜ao ter´a com a f´ormula a seguir. Presta¸c˜ ao = financiamento
(1 + i)n i (1 + i)n − 1
Onde n ´e a quantidade de presta¸co˜es que o financiamento ter´a.
66
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Presta¸c˜ ao = 6000
0, 05(1 + 0, 05)12 (1 + 0, 05)12 − 1
Resolvido por Diego Oliveira
Presta¸c˜ ao ≈ 676, 88 J´ a para determinar o saldo devedor usamos: (1 + i)n−d − 1 Sd = Presta¸c˜ ao i(1 + i)n−d
(1 + 0, 05)12−8 − 1 ⇒ S8 = Presta¸c˜ ao i(1 + 0, 05)12−8
(1 + 0, 05)12−8 − 1 i(1 + 0, 05)12−8
⇒ S8 = Presta¸c˜ ao ⇒ S8 = 676,88
0, 0898 0, 796
⇒ S8 ≈ 2400, 18 Solu¸ c˜ ao de B: O juro pode ser determinada com a f´ormula a seguir.
Jd = Presta¸c˜ao ×
(1 + i)n−(d−1) − 1 ×i i(1 + i)n−(d−1)
onde n ´e a quantidade de parcelas que o financiamento ter´a e d o mˆes o qual o juros corresponde. Assim: ⇒ J10 = 676, 88 ×
(1 + 0, 05)12−(10−1) − 1 × 0, 05 0, 05(1 + 0, 05)12−(10−1)
⇒ J10 = 676, 88 ×
(1, 05)12−9 − 1 × 0, 05 0, 05(1, 05)12−9
⇒ J10 = 676, 88 ×
(1, 05)3 − 1 × 0, 05 0, 05(1, 05)3
⇒ J10 ≈ 92, 17 Solu¸ c˜ ao de C: Usando a f´ ormula: (1 + i)n−(d−1) − 1 Ad = Presta¸c˜ ao − Presta¸c˜ao × ×i i(1 + i)n−(d−1) 67
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Assim, para a s´etima amortiza¸c˜ ao: (1 + 0, 05)12−(7−1) − 1 A7 = 676, 88 − 676, 88 × × 0, 05 0, 05(1 + 0, 05)12−(7−1)
(1, 05)12−6 − 1 A7 = 676, 88 − 676, 88 × × 0, 05 0, 05(1, 05)12−6 (1, 05)6 − 1 A7 = 676, 88 − 676, 88 × × 0, 05 0, 05(1, 05)6
A7 ≈ 505, 01 Solu¸ c˜ ao de D: Para resolver este problema necessitamos determinar antes o valor da sexta amortiza¸c˜ao, o valor da d´ecima segunda amortiza¸c˜ ao e o valor da primeira amortiza¸c˜ao. Para isso usamos a f´ ormula do item C desta mesma quest˜ ao. Nesse caso: (1, 05)7 − 1 A6 = 676, 88 − 676, 88 × × 0, 05 0, 05(1, 05)7
≈ 481, 05
(1, 05)1 − 1 A12 = 676, 88 − 676, 88 × × 0, 05 ≈ 644, 65 0, 05(1, 05)1 J´ a a primeira amortiza¸c˜ ao calculamos por subtrair da primeira parcela (de 676,88) o valor do juro do financiamento. A1 = 676, 88 − (6000 × 0, 05) ⇒ A1 ≈ 376, 88 Finalmente usando a f´ ormula: X
An =
An (1 + i) − A1 i
Determinamos o somat´ orio at´e a sexta amortiza¸c˜ao. X
A6 =
A6 (1 + i) − A1 481, 05(1 + 0, 05) − 376, 88 = = 2564, 45 i 0, 05
E at´e a d´ecima segunda.
68
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
X
A12 =
Resolvido por Diego Oliveira
A12 (1 + i) − A1 = 6000, 05 i
Finalmente, fazemos a diferen¸ca entre as duas e obtemos a resposta. X X X A7 at´e 12 = A12 − A6 ⇒
X
A7 at´e 12 = 6000, 05 − 2564, 45 = 3435, 6
Solu¸ c˜ ao de E: A soma dos juros at´e a d´ecima segunda presta¸c˜ao ser´a: X
J12 = 12 · 676, 88 − 6000, 05 = 2122, 51
J´ a a soma dos juros at´e a sexta presta¸c˜ao ser´a: X
J6 = 6 · 676, 88 − 2564, 45 = 1496, 83
Assim, X X X J7 at´e 12 = J12 − J6 ⇒
X
J7 at´e 12 = 2122, 51 − 1496, 83
⇒
X
J7 at´e 12 = 625, 68
4. Uma casa ´e vendida por R$ 30000,00 sendo 20% de entrada e restante financiado em 15 presta¸c˜ oes mensais ` a taxa de 6% a.m. Determine:
a) Somat´ orio da 7◦ at´e a 12◦ amortiza¸c˜ao; b) total de juros a serem pagos at´e a liquida¸c˜ao de d´ebito. Solu¸ c˜ ao: Como ´e pago 20% do valor do financiamento o valor o qual vamos considerar para a amortiza¸c˜ ao ´e de apenas 24000,00 reais. Assim, a planilha desse problema ´e a seguinte:
69
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Mˆes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Total
Saldo devedor 24000 22968,9 21875,9 20717,4 19489,3 18187,5 16807,7 15345,0 13794,6 12151,2 10409,2 8562,6 6605,2 4530,4 2331,2 -0,1 217776,0
Amortiza¸c˜ao 0 1031,1 1093,0 1158,6 1228,1 1301,8 1379,9 1462,6 1550,4 1643,4 1742,0 1846,6 1957,4 2074,8 2199,3 2331,2 24000,1
Resolvido por Diego Oliveira
Juro 0 1440 1378,1 1312,6 1243,0 1169,4 1091,3 1008,5 920,7 827,7 729,1 624,5 513,8 396,3 271,8 139,9 13066,6
Presta¸c˜ao 0 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 2471,11 37066,7
Com base nela, encontramos 10202,45 para a resposta do item A e 13.066,57 para o item B.
Aulas particulares para:
Ensino Fundamental e M´edio. C´ alculo i e ii.
Apenas para a cidade de Vit´ oria da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email:
[email protected]
70
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Quer saber quando sair´ a a pr´ oxima atualiza¸c˜ao desse documento? Nesse caso vocˆe pode:
verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a p´ agina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType). E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
www.number.890m.com
Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
71
Notas de Aula da Disciplina Matem´ atica Financeira
Resolvido por Diego Oliveira
Continua¸ c˜ ao?
Ol´ a! Me chamo Diego Oliveira e sou o professor respons´avel por esse solucion´ario e v´arios outros que vocˆe encontra por a´ı no Google. A partir daqui ter´ıamos as solu¸c˜oes dos demais sistemas de amortiza¸c˜ ao, entretanto a u ´nica coisa que vocˆe ver´a aqui s˜ao os meus sinceros votos de boa sorte. Quando um projeto come¸ca apresentar poucas visualiza¸c˜oes e downloads julgo que das duas uma: ou os leitores n˜ ao est˜ ao gostando do trabalho que estou fazendo ou o livro caiu em desuso (ou ambos). E como n˜ ao faz sentido continuar um trabalho que n˜ao est´a agradando ou interessando chegou o momento de parar. Sendo assim, se vocˆe me acompanhou at´e aqui agrade¸co muito pelo interesse, mas de agora em diante as atualiza¸c˜ oes que forem postadas deste arquivo (se forem) ser˜ao apenas de corre¸c˜ao.
Muito Obrigado! 72
