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PMR-2360 - Controle e Automac ¸˜ ao I 2a. Prova - 01 de Dezembro de 2006 Durac ¸˜ ao da prova - 90 minutos [Q. 1] (4.0pt) Um sistema em malha aberta possui a seguinte func ¸˜ ao de transferˆ encia: G(s) =
10 . s(s + 1)
(1)
Um sistema de controle com este sistema ´ e dado pela malha fechada: Gf1 (s) =
G(s) . 1 + G(s)
(2)
Deseja-se projetar um controlador por avanc ¸o de fase Gc (s) tal que as seguintes caracter´ısticas sejam satisfeitas: • Constante de erro de velocidade est´ atico Kv = 20seg −1 , • Margem de fase γ > 50o , • Margem de ganho Kg ≥ 10dB. Neste caso, o sistema final em malha fechada ser´ a dado por: Gf2 (s) =
Gc (s)G(s) . 1 + Gc (s)G(s)
(3)
O controlador por avanc ¸o de fase possui a seguinte estrutura: Gc (s) = Kc α
s + T1 Ts + 1 = Kc 1 . αT s + 1 s + αT
Para facilitar, uma parte da soluc ¸˜ ao j´ a ser´ a fornecida. Inicialmente, definimos G1 (s) = KG(s) = −1 para Kv = 20seg , obtemos K = 2, ou seja, 20 G1 (s) = . s(s + 1)
(4)
10K s(s+1) .
Desta forma, (5)
O Diagrama de Bode do sistema G1 (s) ´ e ilustrado na figura abaixo. Um sistema de controle em malha fechada com G1 (s) pode ser escrito como: Gf0 1 (s) =
G1 (s) . 1 + G1 (s)
(6)
(a) (1.0pt) Calcule a Margem de Fase γ e a Margem de Ganho Kg do sistema Gf0 1 . Resp: Do gr´ afico obtemos, Margem de Fase γ = 12.8o e Margem de Ganho Kg = ∞. e est´ avel ou inst´ avel ? JUSTIFIQUE. Respostas do tipo est´ avel ou inst´ avel n˜ ao ser˜ ao aceitas (b) (1.0pt) O sistema Gf0 1 ´ Resp: Como tanto Margem de Fase γ e Margem de Ganho Kg s˜ ao positivos o sistema ´ e est´ avel. (c) (2.0pt) Projete o controlador Gc (s), indique claramente todos os passos da soluc ¸˜ ao. Resp: Como a Margem de Fase ´ e igual γ = 12.8o a quantidade adicional de fase ´ e igual a 37.2o . Lembrando que em geral introduzimos um fator de compensac ¸˜ ao β. Vamos aqui adotar β = 5.8o , logo φm = 42o . Portanto, adotamos: 1−α sin φm = . (7) 1+α φm = 42o corresponde a sin φm = Logo, α = 0.1983. 1
1−α = 0.6691. 1+α
(8)
Sabemos que a frequˆ encia aonde ocorre o maior avanc ¸o de fase corresponde a ωm = 1 + jωT 1 = √ . 1 + jωαT √ 1 α w=
√1 αT
. O que resulta em: (9)
αT
Note que:
1 √ = 2.2459 = 7.0278dB. α
(10)
Devemos agora achar em G1 (jω) a freq¨ uˆ encia ωm = ωg aonde |G1 (jω)| = −7.02dB. No gr´ afico localizamos a freq¨ uˆ encia ωg = 6.66rad/seg. Note que: 1 ωm = ωg = √ = 6.66rad/seg αT
(11)
Logo, as freq¨ uˆ encias de canto podem ser calculadas como:: p √ 1 = ωm α = 6.66 0.1983 = 2.9658rad/seg, T 1 ωm = √ = 14.9559rad/seg. αT 0.1983
(12) (13)
O controlador pode ser escrito como: s + T1 Ts + 1 Gc (s) = Kc α = Kc 1 . αT s + 1 s + αT Onde: Kc =
(14)
K 2 = = 10.08. α 0.21
(15)
Ent˜ ao: Gc (s) = 2
s + 2.9658 s + 14.9559
(16)
No Diagrama de Bode abaixo est˜ ao representados os sistemas G1 (jω), Gc (jω e Gc (jω) ∗ G(jω)
Bode Diagram 100 G1
80
Gc Gc*G
60
Magnitude (dB)
40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 45
Phase (deg)
0
−45 System: untitled1 Phase Margin (deg): 52.5 Delay Margin (sec): 0.274 At frequency (rad/sec): 3.34 Closed Loop Stable? Yes
−90
−135
−180 −2
10
−1
10
0
1
10
10 Frequency (rad/sec)
2
2
10
3
10
[Q. 2] (6.0pt) Os motores el´ etricos de corrente cont´ınua (CC) s˜ ao largamente utilizados em diversas m´ aquinas de sistemas de manufatura. Um motor el´ etrico controlado por armadura associado a eventuais engrenagens, sensores para realimentac ¸˜ ao e uma in´ ercia global fixa, ´ e um sistema de 3a. ordem considerando a posic ¸˜ ao angular θ como a sa´ıda do sistema. Na pr´ atica, o sistema ´ e modelado como um sistema de 2a. ordem j´ a que a constante de tempo el´ etrica do sistema ´ e bem menor que a constante de tempo mecˆ anica. Vamos supor que um motor CC ´ e utilizado numa m´ aquina para efetuar o posicionamento angular de um certo componente. O Driver do motor fornece tens˜ oes no intervalo [-5,+5] Volts. O modelo completo deste sistema pode ser escrito como: 4 Θ(s) = . U (s) s(s + 10)
G(s) =
(17)
(a) (1.0pt) Escreva a Forma Canˆ onica Control´ avel e a Forma Canˆ onica Observ´ avel do sistema. Resp: G(s) =
b0 s 2 + b1 s + b2 4 = 2 s(s + 10) s + a1 s + a2
(18)
• Forma canˆ onica control´ avel: " ˙= x h y=
0 −a2
1 −a1
b2 − a2 b0
#
" x+
0 1
b 1 − a1 b 0
# u
(19)
x + bo u
(20)
i
Logo: " ˙= x h
0 0 4
y=
# " # 1 0 x+ u −10 1 i 0 x + 0u
(21) (22)
• Forma canˆ onica observ´ avel: " ˙= x h y=
# " # −a2 b2 − a2 b0 x+ u −a1 b1 − a1 b0 i 1 x + b0 u
0 1 0
(23) (24)
Logo: " ˙= x h y=
0 1 0
# # " 0 4 x+ u 0 −10 i 1 x + 0u
(25) (26)
(b) (1.0pt) Determine se o sistema ´ e control´ avel e observ´ avel. Resp: • Controlabilidade A matriz de controlabilidade pode ser escrita como: h M=
B
AB
"
i =
0 1
1 −10
#
Como |M| ≠ 0, o posto M = 2. Logo o sistema ´ e control´ avel. • Observabilidade A matriz de observabilidade pode ser escrita como: " # " # C 0 1 ϕ= = CA 1 −10
(27)
(28)
Como |ϕ| ≠ 0, posto ϕ = 2. Portanto, o sistema ´ e observ´ avel. (c) (2.0pt) Projete um controlador por realimentac ¸˜ ao de estados, u = −Kx, com Tempo de Assentamento ts < 4seg e M´ aximo Sobresinal Mp < 10%. Resp: As restric ¸˜ oes de projeto impostas, implicam no seguinte Lugar Geom´ etrico no plano s: 3
• Tempo de assentamento (2%) ts = 4/ζωn ⇒ σ > 1. • M´ aximo sobresinal Mp < 10% ⇒ ζ > 0.59, β < 53.84o
Vamos escolher o p´ olo duplo s1 = s2 = −2, desta forma: • polinˆ omio caracter´ıstico original: p(s) = s 2 + a1 s + a2 = s 2 + 10s + 0 ˆ • polinˆ omio caracter´ıstico desejado: p(s) = s 2 + α1 s + α2 = s 2 + 4s + 4 O sistema de controle pode ser calculado como: h K = α 2 − a2
i α1 − a1 T −1 ,
(29)
Onde T = MW . Como o sistema j´ a est´ a na forma canˆ onica control´ avel ent˜ ao T = T −1 = I. Portanto, # " h i 1 0 K = 4 − 0 4 − 10 0 1 h i K = 4 −6
(30) (31)
ˆ (d) (1.0pt) Ap´ os o controlador projetado, escreva a nova matriz de estados Φ(t) = exp(−At) ˆ mas lembrando que: Φ(−t) = exp(−At) ˆ = Resp: Neste exerc´ıcio deveria ter especificado Φ(t) = exp(At) Φ−1 (t) o processo de c´ alculo ´ e o mesmo. Aqui ser˜ ao consideradas todas as poss´ıveis respostas . Devemos lembrar que: ˆ = L−1 [(sI − A) ˆ −1 ] Φ(t) = exp(At) " ˆ −1 = (sI − A)
s+4 (s+2)2 −4 (s+2)2
(32)
# 1 (s+2)2 s (s+2)2
(33)
Logo: "
exp(−2t) + 2t exp(−2t) Φ(t) = −4t exp(−2t)
t exp(−2t) exp(−2t) − 2t exp(−2t)
# (34)
(e) (1.0pt) Calcule a nova func ¸˜ ao de transferˆ encia em malha fechada. Dica: desenhe o diagrama de blocos lemˆ ˆ e C. brando que ´ e necess´ ario definir quem s˜ ao as novas matrizes B Resp:
4
Estamos lidando com um sistema SISO, desta forma a equac ¸˜ ao de estados pode ser escrita como: ˆ ˙ = (A − BK)x + Br x
(35)
y = Cx
(36)
ˆ=C e Logo C
" # 0 ˆ B= r 1
(37)
A nova func ¸˜ ao de transferˆ encia pode ser calculada como: Y (s) ˆ ˆ −1 B ˆ = C[sI − A] R(s) Logo:
Y (s) h = 4 R(s)
0
i
"
s+4 (s+2)2 −4 (s+2)2
5
#" # 1 0 (s+2)2 s 1 (s+2)2
(38)
=
4 (s + 2)2
(39)
