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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Faculdade de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
VOLUMES FINITOS EM TRANSFERÊNCIA DE CALOR E ESCOAMENTO DE FLUIDOS
Método de Volumes Finitos em Escoamentos: Escoamento de Poiseuille
Renan Francisco Soares
Prof. Dr. Francisco José de Souza
Uberlândia/MG 2013
Volumes Finitos em Transferência de Calor e Escoamento de Fluidos Prof. Dr. Francisco José de Souza
SUMÁRIO
1. PROBLEMA DE ESCOAMENTO: DESENVOLVIMENTO ENTRE PLACAS . 6 1.1 MODELO FÍSICO ......................................................................................................... 6 1.2 MODELO MATEMÁTICO ........................................................................................... 8 1.2.1 Passo 1 – Estimativa das velocidades u e v. ................................................................... 8 1.2.2 Passo 2 – Estimativa do corretor de pressão p*. ............................................................ 9 1.2.3 Passo 3 – Correção das velocidades u e v, e pressão p. .................................................. 9 1.2.4 Passo 4 – Verificação da conservação de massa. ........................................................... 9 2. CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA O PROBLEMA DE ESCOAMENTO ... 10 2.1 PROPRIEDADES FÍSICAS E CONVENÇÃO DA ORIENTAÇÃO DOS EIXOS ... 10 2.2 PREPARAÇÃO PARA O PROCESSO TEMPORAL ................................................ 11 2.3 PROCESSO TEMPORAL: CONDIÇOES DE CONTORNO ..................................... 13 2.4 PROCESSO TEMPORAL: ESTIMANDO O CAMPO DE VELOCIDADE ............. 14 2.5 PROCESSO TEMPORAL: CÁLCULO DO CORRETOR DE PRESSÃO ................ 15 2.6 PROCESSO TEMPORAL: CORREÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE E PRESSÃO................................................................................................................................. 17 2.7 PROCESSO TEMPORAL: CORREÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE E PRESSÃO................................................................................................................................. 18 2.8 PROCESSO TEMPORAL: VISUALIZAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS ..... 19 3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA ...................................................................................... 21 3.1 COEFICIENTE DE SUB/SOBRERELAXAÇÃO ÔMEGA ....................................... 21 3.2 CASO E RESULTADO ............................................................................................... 21 4. CONCLUSÃO............................................................................................................. 36 APÊNDICE – CÓDIGO COMPLETO ................................................................................ 37
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Desenvolvimento do perfil de velocidade, atingindo regime estacionário parabólico. .................................................................................................................................................... 6 Figura 2 – Representação do volume de controle e suas fronteiras. ........................................... 7 Figura 3 – Instante inicial (t=0): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita)....................................................................................................................................... 22 Figura 4 – Primeiro passo de tempo (t = 1e-5): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). .............................................................................................................. 23 Figura 5 – Primeiro passo de tempo (t = 1e-5): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................................... 23 Figura 6 – Décimo passo de tempo (t = 1e-4): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). .............................................................................................................. 24 Figura 7 – Décimo passo de tempo (t = 1e-4): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ........................................................................... 24 Figura 8 – Quinquagésimo passo de tempo (t = 5e-4): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 25 Figura 9 – Quinquagésimo passo de tempo (t = 5e-4): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 25 Figura 10 – Centésimo passo de tempo (t = 1e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ........................................................................................................... 26 Figura 11 – Centésimo passo de tempo (t = 1e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................................... 26 Figura 12 – Ducentésimo passo de tempo (t = 2e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ........................................................................................................... 27 Figura 13 – Ducentésimo passo de tempo (t = 2e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 27 Figura 14 – Trecentésimo passo de tempo (t = 3e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 28
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Figura 15 – Trecentésimo passo de tempo (t = 3e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 28 Figura 16 – Quadringentésimo passo de tempo (t = 4e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 29 Figura 17 – Quadringentésimo passo de tempo (t = 4e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................ 29 Figura 18 – Quingentésimo passo de tempo (t = 5e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 30 Figura 19 – Quingentésimo passo de tempo (t = 5e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 30 Figura 20 – Sexcentésimo passo de tempo (t = 6e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 31 Figura 21 – Sexcentésimo passo de tempo (t = 6e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 31 Figura 22 – Septingentésimo passo de tempo (t = 7e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 32 Figura 23 – Septingentésimo passo de tempo (t = 7e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................ 32 Figura 24 – Octingentésimo passo de tempo (t = 8e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 33 Figura 25 – Octingentésimo passo de tempo (t = 8e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ............................................................. 33 Figura 26 – Noningentésimo passo de tempo (t = 9e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). ......................................................................................... 34 Figura 27 – Noningentésimo passo de tempo (t = 9e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................ 34 Figura 26 – Milésimo passo de tempo (t = 1e-2): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita). .............................................................................................................. 35 Figura 27 – Milésimo passo de tempo (t = 1e-2): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo). ................................................................... 35
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1.
PROBLEMA DE ESCOAMENTO: DESENVOLVIMENTO ENTRE PLACAS
O escopo deste trabalho é um escoamento, bidimensional, entre duas placas paralelas. Tal comportamento deste escoamento é conhecido como escoamento de Poiseuille. Nesta classe de escoamento, supõe-se que este entra no domínio com perfil de velocidade uniforme (u = constante). Na sequência, a ação da viscosidade aplica-se sobre o escoamento, formando a camada-limite. O completo desenvolvimento da camada-limite, após determinado tempo e distância percorrida no domínio, resulta em perfil de velocidade parabólico. Assim, este perfil resultante manter-se-á ao longo do domínio, sendo a nova disposição de equilíbrio desde a entrada do segmento estudado. A figura 1 esboça o desenvolvimento deste escoamento.
Figura 1 – Desenvolvimento do perfil de velocidade, atingindo regime estacionário parabólico.
1.1
MODELO FÍSICO
Considera-se o escoamento de número de Reynold (Re) igual a 1. Nesta faixa de adimensional Re, a hipótese de desprezar os efeitos advectivos é plausível. O domínio em questão é retangular, onde H representa a dimensão da entrada e saída (ou seja, o espaçamento entre as placas) e a dimensão L é o comprimento do duto.
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Figura 2 – Representação do volume de controle e suas fronteiras.
As condições de contorno para a velocidade u (no eixo x), velocidade v (no eixo) e pressão p estão na tabela 1, enquanto as propriedades necessárias do fluido estão na tabela 2. Tabela 1 – Condições de contorno para u, v e p.
INLET Velocidade U
u
1
m/s
Velocidade V
v
0
m/s
Pressão
dp/dx
0
OUTLET Velocidade U
du/dx
0
Velocidade V
dv/dy
0
Pressão
p
10
Velocidade U
u
0
m/s
Velocidade V
v
0
m/s
Pressão
dp/dx
0
N/m²
WALL
Tabela 2 - Propriedades físicas do fluido.
Densidade
ρ
1
kg/m³
Viscosidade cinemática
υ
1
m²/s
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1.2
MODELO MATEMÁTICO
A solução numérica fundamenta-se no Método dos Passos Fracionados. Tal método possui os seguintes passos:
1.
Estima-se o campo de velocidade (u* e v*) para o próximo passo de tempo (t + dt), utilizando os dados conhecidos de u, v e p no instante t.
2.
Avalia-se o corretor de pressão (p*), a partir da Equação de Poisson, para o próximo passo de tempo (t + dt).
3.
Corrige-se a pressão (p) com o corretor de pressão (p*), além das velocidades u e v por u*, v* e p*; todos no instante t + dt.
4.
Certifica-se a conservação da massa para o domínio em questão.
5.
Caso a continuidade não seja satisfeita, retorna-se ao passo 1 com o mesmo instante t. Caso contrário, retorna-se ao passo 1 incrementando o instante de tempo; assim, calculando-se o próximo passo de tempo.
1.2.1 Passo 1 – Estimativa das velocidades u e v.
A partir das considerações do método supramencionado, como a supressão dos termos advectivos, tem-se as velocidades u* e v* por:
𝑢
∗ (𝑡+1)
𝑣
∗ (𝑡+1)
(𝑡)
(𝑡)
𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 + 𝜐 ( 2+ ) ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
(𝑡)
𝜕 2𝑣 𝜕 2𝑣 + 𝜐 ( 2+ ) ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
=𝑢
(𝑡)
1 𝜕𝑝 + 𝑑𝑡 [− ( ) 𝜌 𝜕𝑥
=𝑣
(𝑡)
1 𝜕𝑝 + 𝑑𝑡 [− ( ) 𝜌 𝜕𝑦
(𝑡)
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1.2.2 Passo 2 – Estimativa do corretor de pressão p*.
O corretor de pressão deve ser extraído da equação abaixo, a qual apresenta na sua forma diferencial: (𝑡+1)
𝜕 2 𝑝∗ ( 2) 𝜕𝑥
(𝑡+1)
𝜕 2 𝑝∗ + ( 2) 𝜕𝑦
𝜌 𝜕𝑢∗ = [( ) 𝑑𝑡 𝜕𝑥
(𝑡+1)
(𝑡+1)
𝜕𝑣 ∗ + ( ) 𝜕𝑦
]
1.2.3 Passo 3 – Correção das velocidades u e v, e pressão p.
Neste passo, retifica-se as estimativas de velocidades e de pressão, através de: (𝑡+1)
𝑢
(𝑡+1)
𝑣
(𝑡+1)
=𝑢
∗ (𝑡+1)
𝑑𝑡 𝜕𝑝∗ − ( ) 𝜌 𝜕𝑥
=𝑣
∗ (𝑡+1)
𝑑𝑡 𝜕𝑝∗ − ( ) 𝜌 𝜕𝑦
(𝑡+1)
𝑝(𝑡+1) = 𝑝(𝑡) + 𝑝∗ (𝑡+1)
1.2.4 Passo 4 – Verificação da conservação de massa.
Por fim, aplica-se a clássica equação de conservação de massa a fim de certificar a coerência dos resultados para as velocidades u e v. (𝑡+1)
𝜕𝑢 ( ) 𝜕𝑥
(𝑡+1)
𝜕𝑣 + ( ) 𝜕𝑦
= 0
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2.
CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA O PROBLEMA DE ESCOAMENTO
2.1
PROPRIEDADES FÍSICAS E CONVENÇÃO DA ORIENTAÇÃO DOS EIXOS
O código inicia-se definindo as propriedades geométricas do domínio e velocidade do campo de escoamento. A convenção do sistema de coordenadas para as matrizes está presente na forma de comentário. --------------------------------------------------------------------------clear all; close all; clc; disp('--------------------------------------------------------------'); disp('MFlab - Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica - UFU') disp(' Volumes Finitos para Escoamentos - Jan 2014') disp(' Renan Francisco Soares - Mestrando') disp('--------------------------------------------------------------'); disp(' Mecânica dos Fluidos 2D - Método dos Volumes Finitos'); disp(' Escoamento de Poiseuille'); disp('--------------------------------------------------------------'); %-------------------------------------------% % Coordenadas cartesianas para o problema: % % % % (i,j)=(x,y) i corresponde à x (1:n) % % j corresponde à y (1:m) % % % % ... ... ... ... % % y (1,3) (2,3) (3,3) ... % % | (1,2) (2,2) (3,2) ... % % z --- x (1,1) (2,1) (3,1) ... % %-------------------------------------------% tic; % Início do contador de tempo dens = 1; visc = 1; p_outlet = 10; U = 1; V = 0; H = 1; L = 5*H; m = 31; n = m*L/H; t = 0; dt = 1e-5; -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.2
PREPARAÇÃO PARA O PROCESSO TEMPORAL
De posse das informações necessárias no tópico anterior, primeiramente calcula-se a dimensão das faces dos volumes uniformes do domínio numérico. Quanto as condições do escoamento, escolhe-se as velocidades u e v na entrada do domínio (inlet), assim como o campo de velocidade e pressão para o instante inicial. Ainda, as fronteiras do domínio numérico recebem tratamento para abrigar as condições de contorno de interesse. Na sequência, é alocado memória do computador com o intuito de abrigar as matrizes operacionais, como a matriz dos termos de geração B e da família de coeficientes chamada de coeficientes A. Pelo fato dos coeficientes A não se alterarem ao longo do tempo, estes são calculados nesta parte do código. Por outro lado, os termos de geração B alteram-se, sendo estes calculados dentro do processo cíclico. Sendo a última ação antes do processo temporal, gera-se uma imagem com os campos iniciais de pressão e velocidade u, com o adicional do perfil de velocidade u de entrada (inlet). --------------------------------------------------------------------------% Elementos da Malha Numérica dx = L/n; dy = H/m; m = m + 2; n = n + 2;
% % % %
Comprimento dx dos volumes de controle Comprimento dy dos volumes de controle Acréscimo de elementos "Fantasmas" nas Acréscimo de elementos "Fantasmas" nas
% Condições iniciais de u(1:n,1:m) = U; u_inlet(1,1:m) = U; v_inlet(1,1:m) = V; p(1:n,1:m) = p_outlet; v(1:n,1:m) = V; pDt(1:n,1:m) = 0; uDt(1:n,1:m) = 0; vDt(1:n,1:m) = 0; % wall condition u(:,1) = -u(:,2); v(:,1) = -v(:,2); p(:,1) = p(:,2); u(:,m) = -u(:,m-1); v(:,m) = -v(:,m-1);
em x [m] em y [m] extremidades em x extremidades em y
p, u, v e pDt, uDt e vDt.
% % % % %
Interface nula Interface nula Derivada nula Interface nula Interface nula
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p(:,m) = p(:,m-1); % inlet condition p(1,:) = p(2,:); u(1,:) = u_inlet; v(1,:) = v_inlet; % outlet condition p(n,:) = p_outlet; u(n,:) = u(n-1,:); v(n,:) = v(n-1,:);
% Derivada nula % Derivada nula % Valor imposto % Valor imposto % Valor imposto % Derivada nula % Derivada nula
% Alocação de Memória AN(1:n,1:m) = 0; AS(1:n,1:m) = 0; AE(1:n,1:m) = 0; AW(1:n,1:m) = 0; AP(1:n,1:m) = 0; B(1:n,1:m) = 0;
% Coeficientes A for i=1:n for j=1:m AN(i,j) = AS(i,j) = AE(i,j) = AW(i,j) = AP(i,j) = end end
1/(dy*dy); 1/(dy*dy); 1/(dx*dx); 1/(dx*dx); -( AN(i,j) + AS(i,j) + AE(i,j) + AW(i,j) );
% Plotting do Estado Inicial figure(3) subplot(1,3,1) imagesc(p); title('Pressão') xlabel('Volumes - Eixo x') ylabel('Volumes - Eixo y') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,2) imagesc(u); title('Velocidade U') xlabel('Volumes - Eixo x') ylabel('Volumes - Eixo y') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,3) plot( u_inlet , (1:m) ,'gx-') title('Perfil de entrada U') xlabel('Velocidade [m/s]') ylabel('Volumes - Eixo y') -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.3
PROCESSO TEMPORAL: CONDIÇOES DE CONTORNO
Entrando no processo temporal, o processo ocorrerá ciclicamente até atingir 2 segundos, através de incrementos de 0,00001s. Assim, a primeira ação em cada ciclo é impor as condições de contorno sobre o campo de velocidade do domínio. --------------------------------------------------------------------------while (t < 2) % res_mass=inf % while res_mass > 1e-4 % Step 0) start ====== Boundary Conditions ========================== % wall condition u(:,1) = -u(:,2); % Interface nula v(:,1) = -v(:,2); % Interface nula u(:,m) = -u(:,m-1); % Interface nula v(:,m) = -v(:,m-1); % Interface nula % inlet condition u(1,:) = u_inlet; % Valor imposto v(1,:) = 0; % Valor imposto % outlet condition u(n,:) = u(n-1,:); % Derivada nula v(n,:) = v(n-1,:); % Derivada nula % Step 0) end ======== Boundary Conditions ========================== disp('End of Step 0 - Boundary Conditions'); -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.4
PROCESSO TEMPORAL: ESTIMANDO O CAMPO DE VELOCIDADE
Como primeiro passo do Método do Passo Fracionado, realiza-se a estimativa do campo de velocidade, nas variáveis u* e v*. Uma vez calculado, ratifica-se as condições de contorno também para este campo, mesmo que ainda seja somente uma estimativa da das velocidades u e v. --------------------------------------------------------------------------% Step 1) start ====== Velocity Estimation ========================== for i=2:n-1 for j=2:m-1 pressureX = ( p(i+1,j) - p(i-1,j) ) / (2*dx*dens); pressureY = ( p(i,j+1) - p(i,j-1) ) / (2*dy*dens); diffusiveUX diffusiveUY diffusiveVX diffusiveVY
= = = =
visc*( visc*( visc*( visc*(
u(i+1,j) u(i,j+1) v(i+1,j) v(i,j+1)
+ + + +
u(i-1,j) u(i,j-1) v(i-1,j) v(i,j-1)
uDt(i,j) = u(i,j) + dt*( - pressureX diffusiveUY) ); vDt(i,j) = v(i,j) + dt*( - pressureY diffusiveVY) );
-
2*u(i,j) 2*u(i,j) 2*v(i,j) 2*v(i,j)
) ) ) )
/ / / /
(dx*dx); (dy*dy); (dx*dx); (dy*dy);
+ (diffusiveUX + + (diffusiveVX +
end end % Boundary Conditions: uDt and vDt. % inlet condition uDt(1,:) = u_inlet; % Valor imposto vDt(1,:) = v_inlet; % Valor imposto % outlet condition uDt(n,:) = uDt(n-1,:); % Derivada nula vDt(n,:) = vDt(n-1,:); % Derivada nula % wall condition uDt(:,1) = -uDt(:,2); % Interface nula vDt(:,1) = -vDt(:,2); % Interface nula uDt(:,m) = -uDt(:,m-1); % Interface nula vDt(:,m) = -vDt(:,m-1); % Interface nula % Step 1) end ======== Velocity Estimation ========================== disp('End of Step 1 - Velocity Estimation'); -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.5
PROCESSO TEMPORAL: CÁLCULO DO CORRETOR DE PRESSÃO
Determinar o corretor de pressão requer o uso da solução de seu sistema de equações através de processo numérico iterativo. Um termo importante a ser utilizado é o termo de geração B, alterado em cada instante de tempo. Portanto, calcula-se a matriz B e cria-se parâmetros para o controle da solução iterativa. Uma vez iniciado, o processo iterativo aplica condições de contorno para pressão e busca encontrar o valor do corretor de pressão de cada volume de controle. Tal processo iterativo repete-se até que o resíduo (erro) normalizado atinja um determinado valor admissível (no caso, menor do que 10-6), ou que contabilize o total máximo de iterações (105). --------------------------------------------------------------------------% Step 2) start ====== Pressure Estimation ========================== %
Termo fonte B, para t+dt. for i=2:n-1 for j=2:m-1 B(i,j) = dens*(uDt(i+1,j)-uDt(i-1,j))/(dt*2*dx) + dens*(vDt(i,j+1)-vDt(i,j-1))/(dt*2*dy); end end % Modelo de Solução Iterativo res = inf; iter = 1; iter_max = 100000; res_AP = sum(sum(AP,1),2); omega=1; res_criterio=1e-6;
% % % %
Valor inicial de resíduo Contador de iterações Número máximo de iterações Soma dos coeficientes da matriz AP.
% Processo Iterativo while (iter < iter_max) && (res >= res_criterio) % wall condition pDt(:,1) = pDt(:,2); pDt(:,m) = pDt(:,m-1); % inlet condition pDt(1,:) = pDt(2,:); % outlet condition pDt(n,:) = 0;
% Derivada nula % Derivada nula % Derivada nula % Valor imposto
sum_erro = 0; % start a) ---------- Núcleo do Processo de Solução -------------
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% Centrado - 2nd Order for i=2:n-1 for j=2:m-1 left_side = B(i,j) - ( AN(i,j)*pDt(i,j+1) + AS(i,j)*pDt(i,j-1) + AE(i,j)*pDt(i+1,j) + AW(i,j)*pDt(i-1,j) ); sum_erro = sum_erro + abs( left_side - AP(i,j)*pDt(i,j) ); pDt(i,j) = omega*left_side/AP(i,j) + (1-omega)*pDt(i,j); end end % end a) -------------------------------------------------------% Resíduo: res = abs(sum_erro / res_AP) iter = iter + 1;
end % Step 2) end ======== Pressure Estimation ========================== disp('End of Step 2 - Pressure Estimation'); fprintf('CORRETOR DE PRESSÃO: O resíduo do corretor de pressão é de: %f \n', res); -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.6
PROCESSO TEMPORAL: CORREÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE E PRESSÃO
Sendo o terceiro passo do método aplicado neste trabalho, retifica-se o campo de velocidade e a pressão. Aproveitando o momento, aplica-se as condições de contorno de pressão sobre o campo recém encontrado. --------------------------------------------------------------------------% Step 3) start ====== Correction =================================== for i=2:n-1 for j=2:m-1 u(i,j) = uDt(i,j) - dt/dens*( pDt(i+1,j) - pDt(i-1,j) ) / (2*dx); v(i,j) = vDt(i,j) - dt/dens*( pDt(i,j+1) - pDt(i,j-1) ) / (2*dy); p(i,j) = p(i,j) + pDt(i,j); end end % inlet condition p(1,:) = p(2,:); % outlet condition p(n,:) = p_outlet; % wall condition p(:,1) = p(:,2); p(:,m) = p(:,m-1);
% Derivada nula % Valor imposto % Derivada nula % Derivada nula
% Step 3) end ======== Correction =================================== disp('End of Step 3 - Correction'); -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.7
PROCESSO TEMPORAL: CORREÇÃO DO CAMPO DE VELOCIDADE E PRESSÃO
Finalizando o método, o campo de velocidade é verificado sobre o aspecto da conservação de massa para o domínio. Tal verificação é feito por resíduo baseado na soma do erro da conservação de massa em todos os volumes de controle. Ao fim, incrementa-se o instante de tempo com a variação previamente determinada. --------------------------------------------------------------------------% Step 4) start ====== Checking Mass Conservation =================== velocityX=0; velocityY=0; sum_erro_mass=0; for i=2:n-1 for j=2:m-1 velocityX = ( u(i+1,j) - u(i-1,j) ) / (2*dy); velocityY = ( v(i,j+1) - v(i,j-1) ) / (2*dx); sum_erro_mass = sum_erro_mass + abs(velocityX + velocityY); end end % Step 4) end ======== Checking Mass Conservation =================== disp('End of Step 4 - Checking Mass Conservation'); res_mass = sum_erro_mass / ( sum(sum(u,1),2) ); fprintf('MASSA: O resíduo da conservação de massa é de: %f \n', res_mass); % end t = t + dt -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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2.8
PROCESSO TEMPORAL: VISUALIZAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS
As últimas ações da rotina de cada passo de tempo é gerar gráficos. No primeiro, apresenta-se o campo de pressão (p) e de velocidades (u e v), na chamada Figure 1. No segundo, estão expostos o perfil de velocidade u, na posição de duas sondas virtuais: uma na entrada e outra distando 80% do comprimento L do domínio. --------------------------------------------------------------------------% Step 5) start ====== Plottings ==================================== % Gráficos instantâneos % Distribuição de pressão e velocidade U figure(1) subplot(1,3,1) imagesc(p) title('Pressão') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,2) imagesc(u) title('Velocidade U') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,3) imagesc(v) title('Velocidade V') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') % Perfis de velocidade figure(2) subplot(2,1,1) plot( (1:m), u( 1,: ), 'b-') title('Perfil U em x = 0') xlabel('Elementos em H [m]') ylabel('Velocidade [m/s]') subplot(2,1,2) plot( (1:m), u( round(0.8*n),: ), 'r-') title('Perfil U em x = 0.80L') xlabel('Elementos em H [m]') ylabel('Velocidade [m/s]') % Geraçao de imagem em arquivo set(gcf,'PaperPositionMode','auto') FilePath = 'E:\Dropbox\UFU - Mestrado\1-2013 Volumes Finitos\Trabalho 3 - 2D Poiseuille Flow\Results\';
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FileName = 'p_u_v for t '; FileType = '.jpg'; File =[FilePath FileName num2str(t) FileType]; saveas(figure(1),File) % Saving Figure 1 FilePath = 'E:\Dropbox\UFU - Mestrado\1-2013 Volumes Finitos\Trabalho 3 - 2D Poiseuille Flow\Results\'; FileName = 'u profile for t'; FileType = '.jpg'; File =[FilePath FileName num2str(t) FileType]; saveas(figure(2),File) % Saving Figure 2 % Step 5) end ======== Plottings ==================================== end -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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3.
SIMULAÇÃO NUMÉRICA
3.1
COEFICIENTE DE SUB/SOBRERELAXAÇÃO ÔMEGA
Este coeficiente pode ser usado tanto para o propósito de minimizar a velocidade de avanço das informações dentro do domínio em estudo (0 < Ω < 1), ou para maximizar tal avanço (Ω > 1). A vantagem de minimizar a velocidade é prover ao processo iterativo maior estabilidade; entretanto, considerável custo computacional é faz-se necessário. Assim, para fins de performance de solução, convém adotar valores que maximizam a velocidade de propagação das informações; contudo, instabilidades aumentam ao passo que incrementa-se o valor da constante. Embasando-se no estudo pseudoempírico deste coeficiente, as soluções providas com Ω > 2 adotam caráter divergente de solução. Portanto, conclui-se que o valor Ω = 2,0 é o valor máximo aceitável pelo sistema para manter seu caráter convergente, e assim, possibilitando obter resultados.
3.2
CASO E RESULTADO
O caso simulado utiliza das propriedades físicas e geométricas descritas no tópico Modelo Físico. Devido ao processo requerer um longo tempo de solução, outros casos não são testados. A malha numérica utilizada possui o total de 4805 volumes de controle, dispostas em 31 camadas de volumes entre placas, 155 camadas ao longo do comprimento do domínio; sem múltiplas camadas no terceiro eixo de coordenadas (comportamento bidimensional). A próxima figura apresenta o estado inicial da solução para o campo de pressão p, de velocidade u e velocidade v, todos no instante t = 0.
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Figura 3 – Instante inicial (t=0): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Destaque-se o fato das laterais verticais (extremidades) do campo de velocidade apresentarem valor de velocidade oposta as suas camadas adjacentes (região do núcleo). Isto provém da modelagem adotada para condição de contorno – condições de parede, modelada por volumes “fantasmas” – nas interfaces das camadas citadas busca-se velocidades iguais a 0. Sendo que os resultados esperados não são de âmbito quantitativo, porém qualitativo, o desenvolvimento do escoamento pode ser observado nas figuras subsequentes. Estas expõem, para diferentes instantes no tempo, os campos de pressão e velocidades em todo o domínio, além do perfil de velocidade u em duas sondas virtuais.
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Figura 4 – Primeiro passo de tempo (t = 1e-5): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 5 – Primeiro passo de tempo (t = 1e-5): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 6 – Décimo passo de tempo (t = 1e-4): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 7 – Décimo passo de tempo (t = 1e-4): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 8 – Quinquagésimo passo de tempo (t = 5e-4): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 9 – Quinquagésimo passo de tempo (t = 5e-4): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 10 – Centésimo passo de tempo (t = 1e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 11 – Centésimo passo de tempo (t = 1e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 12 – Ducentésimo passo de tempo (t = 2e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 13 – Ducentésimo passo de tempo (t = 2e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 14 – Trecentésimo passo de tempo (t = 3e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 15 – Trecentésimo passo de tempo (t = 3e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 16 – Quadringentésimo passo de tempo (t = 4e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 17 – Quadringentésimo passo de tempo (t = 4e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 18 – Quingentésimo passo de tempo (t = 5e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 19 – Quingentésimo passo de tempo (t = 5e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 20 – Sexcentésimo passo de tempo (t = 6e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 21 – Sexcentésimo passo de tempo (t = 6e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 22 – Septingentésimo passo de tempo (t = 7e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 23 – Septingentésimo passo de tempo (t = 7e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 24 – Octingentésimo passo de tempo (t = 8e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 25 – Octingentésimo passo de tempo (t = 8e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 26 – Noningentésimo passo de tempo (t = 9e-3): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 27 – Noningentésimo passo de tempo (t = 9e-3): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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Figura 28 – Milésimo passo de tempo (t = 1e-2): campos de pressão (à esquerda), velocidade u (centro) e v (à direita).
Figura 29 – Milésimo passo de tempo (t = 1e-2): Perfil de velocidade u na entrada (acima) e a 80% de distância da entrada do domínio (abaixo).
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4.
CONCLUSÃO
A meta de obter o desenvolvimento do escoamento, com o intuito de apresentar o perfil de escoamento de Poiseuille, é alcançado. Ainda, a hipótese da abstenção dos termos advectivos mostrou-se, de fato, válida para o caso (Re = 1). Tentativas com passo de tempo na magnitude de 10-3 foram realizadas sem sucesso, apresentando caráter divergente após pequeno montante de iterações. Portanto, o correto desenvolvimento do escoamento pelo código necessitou passo de tempo na magnitude de 10-5, além de resíduo máximo de 10-6 para o cálculo do corretor de pressão. Por estas condições, o processo iterativo para assegurar a conservação de massa pode ser desativada no código; pois, uma vez que o corretor de pressão é calculado com erro mínimo, a conservação de massa é atendida para cada passo temporal.
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APÊNDICE – CÓDIGO COMPLETO
Segue, na íntegra, o código desenvolvido para a classe do problema proposto.
clear all; close all; clc; disp('--------------------------------------------------------------'); disp('MFlab - Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica - UFU') disp(' Volumes Finitos para Escoamentos - Jan 2014') disp(' Renan Francisco Soares - Mestrando') disp('--------------------------------------------------------------'); disp(' Mecânica dos Fluidos 2D - Método dos Volumes Finitos'); disp(' Escoamento de Poiseuille'); disp('-------------------------------------------------------------');disp(' '); %-------------------------------------------% % Coordenadas cartesianas para o problema: % % % % (i,j)=(x,y) i corresponde à x (1:n) % % j corresponde à y (1:m) % % % % ... ... ... ... % % y (1,3) (2,3) (3,3) ... % % | (1,2) (2,2) (3,2) ... % % z --- x (1,1) (2,1) (3,1) ... % %-------------------------------------------% tic; % Início do contador de tempo dens = 1; visc = 1; p_outlet = 10; U = 1; V = 0; H = 1; L = 5*H; m = 31; n = m*L/H; t = 0; tmax = 2; dt = 1e-5; % Elementos da Malha Numérica dx = L/n; dy = H/m; m = m + 2; n = n + 2;
% % % %
Comprimento dx dos volumes de controle Comprimento dy dos volumes de controle Acréscimo de elementos "Fantasmas" nas Acréscimo de elementos "Fantasmas" nas
em x [m] em y [m] extremidades em x extremidades em y
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% Condições iniciais de p, u, v e pDt, uDt e vDt. % % % % % % % % % % %
%PERFIL UNIFORME vel(1:n,1:m) = 0; %PERFIL TRIANGULAR for d=1:(m/2) vel(1:n, d ) = U*(d-1)/(m/2); vel(1:n, m-d+1 ) = U*(d-1)/(m/2); end % PERFIL PARABOLICO for d=1:m vel(1:n,d) = 2*U*( 1 - ( ((d-1)-(m-1)/2)/( (m-1)/2) )^2 ); end u(1:n,1:m) = U; %vel; u_inlet(1,1:m) = U; %vel(1,:) v_inlet(1,1:m) = V; p(1:n,1:m) = p_outlet; v(1:n,1:m) = V; pDt(1:n,1:m) = 0; uDt(1:n,1:m) = 0; vDt(1:n,1:m) = 0; % wall condition u(:,1) = -u(:,2); v(:,1) = -v(:,2); p(:,1) = p(:,2); u(:,m) = -u(:,m-1); v(:,m) = -v(:,m-1); p(:,m) = p(:,m-1); % inlet condition p(1,:) = p(2,:); u(1,:) = u_inlet; v(1,:) = v_inlet; % outlet condition p(n,:) = p_outlet; u(n,:) = u(n-1,:); v(n,:) = v(n-1,:);
% % % % % %
Interface nula Interface nula Derivada nula Interface nula Interface nula Derivada nula
% Derivada nula % Valor imposto % Valor imposto % Valor imposto % Derivada nula % Derivada nula
% Alocação de Memória AN(1:n,1:m) = 0; AS(1:n,1:m) = 0; AE(1:n,1:m) = 0; AW(1:n,1:m) = 0; AP(1:n,1:m) = 0; vDtn(1:n,1:m) = 0; vDts(1:n,1:m) = 0; uDte(1:n,1:m) = 0; uDtw(1:n,1:m) = 0; B(1:n,1:m) = 0; % Coeficientes A for i=1:n for j=1:m
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AN(i,j) AS(i,j) AE(i,j) AW(i,j) AP(i,j)
= = = = =
1/(dy*dy); 1/(dy*dy); 1/(dx*dx); 1/(dx*dx); -( AN(i,j) + AS(i,j) + AE(i,j) + AW(i,j) );
end end % Plotting do Estado Inicial figure(3) subplot(1,3,1) imagesc(p); title('Pressão') xlabel('Volumes - Eixo x') ylabel('Volumes - Eixo y') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,2) imagesc(u); title('Velocidade U') xlabel('Volumes - Eixo x') ylabel('Volumes - Eixo y') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,3) plot( u_inlet , (1:m) ,'gx-') title('Perfil de entrada U') xlabel('Velocidade [m/s]') ylabel('Volumes - Eixo y') while (t < tmax) % res_mass=inf % while res_mass > 1e-2
% Looping para conservação de massa % Looping para conservação de massa
% Step 0) start ====== Boundary Conditions ========================== % wall condition u(:,1) = -u(:,2); % Interface nula v(:,1) = -v(:,2); % Interface nula u(:,m) = -u(:,m-1); % Interface nula v(:,m) = -v(:,m-1); % Interface nula % inlet condition u(1,:) = u_inlet; % Valor imposto v(1,:) = 0; % Valor imposto % outlet condition u(n,:) = u(n-1,:); % Derivada nula v(n,:) = v(n-1,:); % Derivada nula % Step 0) end ======== Boundary Conditions ========================== disp('End of Step 0 - Boundary Conditions'); % Step 1) start ====== Velocity Estimation ========================== for i=2:n-1 for j=2:m-1 pressureX = ( p(i+1,j) - p(i-1,j) ) / (2*dx*dens); pressureY = ( p(i,j+1) - p(i,j-1) ) / (2*dy*dens);
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diffusiveUX diffusiveUY diffusiveVX diffusiveVY
= = = =
visc*( visc*( visc*( visc*(
u(i+1,j) u(i,j+1) v(i+1,j) v(i,j+1)
+ + + +
u(i-1,j) u(i,j-1) v(i-1,j) v(i,j-1)
uDt(i,j) = u(i,j) + dt*( - pressureX diffusiveUY) ); vDt(i,j) = v(i,j) + dt*( - pressureY diffusiveVY) );
-
2*u(i,j) 2*u(i,j) 2*v(i,j) 2*v(i,j)
) ) ) )
/ / / /
(dx*dx); (dy*dy); (dx*dx); (dy*dy);
+ (diffusiveUX + + (diffusiveVX +
end end % Boundary Conditions: uDt and vDt. % inlet condition uDt(1,:) = u_inlet; % Valor imposto vDt(1,:) = v_inlet; % Valor imposto % outlet condition uDt(n,:) = uDt(n-1,:); % Derivada nula vDt(n,:) = vDt(n-1,:); % Derivada nula % wall condition uDt(:,1) = -uDt(:,2); % Interface nula vDt(:,1) = -vDt(:,2); % Interface nula uDt(:,m) = -uDt(:,m-1); % Interface nula vDt(:,m) = -vDt(:,m-1); % Interface nula % Step 1) end ======== Velocity Estimation ========================== disp('End of Step 1 - Velocity Estimation'); % Step 2) start ====== Pressure Estimation ========================== %
Termo fonte B, para t+dt. for i=2:n-1 for j=2:m-1 B(i,j) = dens*(uDt(i+1,j)-uDt(i-1,j))/(dt*2*dx) + dens*(vDt(i,j+1)-vDt(i,j-1))/(dt*2*dy); end end % Modelo de Solução Iterativo res = inf; iter = 1; iter_max = 100000; res_AP = sum(sum(AP,1),2); omega=1; res_criterio=1e-6;
% % % %
Valor inicial de resíduo Contador de iterações Número máximo de iterações Soma dos coeficientes da matriz AP.
% Processo Iterativo while (iter < iter_max) && (res >= res_criterio) % wall condition pDt(:,1) = pDt(:,2); pDt(:,m) = pDt(:,m-1);
% Derivada nula % Derivada nula
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% inlet condition pDt(1,:) = pDt(2,:); % outlet condition pDt(n,:) = 0;
% Derivada nula % Valor imposto
sum_erro = 0; % start a) ---------- Núcleo do Processo de Solução ------------% Centrado - 2nd Order for i=2:n-1 for j=2:m-1 left_side = B(i,j) - ( AN(i,j)*pDt(i,j+1) + AS(i,j)*pDt(i,j-1) + AE(i,j)*pDt(i+1,j) + AW(i,j)*pDt(i-1,j) ); sum_erro = sum_erro + abs( left_side - AP(i,j)*pDt(i,j) ); pDt(i,j) = omega*left_side/AP(i,j) + (1-omega)*pDt(i,j); end end % end a) -------------------------------------------------------% Resíduo: res = abs(sum_erro / res_AP) iter = iter + 1;
end % Step 2) end ======== Pressure Estimation ========================== disp('End of Step 2 - Pressure Estimation'); fprintf('CORRETOR DE PRESSÃO: O resíduo do corretor de pressão é de: %f \n', res); % Step 3) start ====== Correction =================================== for i=2:n-1 for j=2:m-1 u(i,j) = uDt(i,j) - dt/dens*( pDt(i+1,j) - pDt(i-1,j) ) / (2*dx); v(i,j) = vDt(i,j) - dt/dens*( pDt(i,j+1) - pDt(i,j-1) ) / (2*dy); p(i,j) = p(i,j) + pDt(i,j); end end % inlet condition p(1,:) = p(2,:); % outlet condition p(n,:) = p_outlet; % wall condition p(:,1) = p(:,2); p(:,m) = p(:,m-1);
% Derivada nula % Valor imposto % Derivada nula % Derivada nula
% Step 3) end ======== Correction =================================== disp('End of Step 3 - Correction'); % Step 4) start ====== Checking Mass Conservation ===================
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velocityX=0; velocityY=0; sum_erro_mass=0; for i=2:n-1 for j=2:m-1 velocityX = ( u(i+1,j) - u(i-1,j) ) / (2*dy); velocityY = ( v(i,j+1) - v(i,j-1) ) / (2*dx); sum_erro_mass = sum_erro_mass + abs(velocityX + velocityY); end end % Step 4) end ======== Checking Mass Conservation =================== disp('End of Step 4 - Checking Mass Conservation'); res_mass = sum_erro_mass / ( sum(sum(u,1),2) ); fprintf('MASSA: O resíduo da conservação de massa é de: %f \n', res_mass); % end
% Looping para conservação de massa
t = t + dt % Step 5) start ====== Plottings ==================================== % Gráficos instantâneos % Distribuição de pressão e velocidade U figure(1) subplot(1,3,1) imagesc(p) title('Pressão') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,2) imagesc(u) title('Velocidade U') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') subplot(1,3,3) imagesc(v) title('Velocidade V') xlabel('Volumes - Eixo y') ylabel('Volumes - Eixo x') colorbar('SouthOutside') % Perfis de velocidade figure(2) subplot(2,1,1) plot( (1:m), u( 1,: ), 'b-') title('Perfil U em x = 0') xlabel('Elementos em H [m]') ylabel('Velocidade [m/s]') subplot(2,1,2) plot( (1:m), u( round(0.8*n),: ), 'r-') title('Perfil U em x = 0.80L') xlabel('Elementos em H [m]') ylabel('Velocidade [m/s]')
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% Geraçao de imagem em arquivo set(gcf,'PaperPositionMode','auto') FilePath = 'E:\Dropbox\UFU - Mestrado\1-2013 Volumes Finitos\Trabalho 3 - 2D Poiseuille Flow\Results\'; FileName = 'p_u_v for t '; FileType = '.jpg'; File =[FilePath FileName num2str(t) FileType]; saveas(figure(1),File) % Saving Figure 1 FilePath = 'E:\Dropbox\UFU - Mestrado\1-2013 Volumes Finitos\Trabalho 3 - 2D Poiseuille Flow\Results\'; FileName = 'u profile for t'; FileType = '.jpg'; File =[FilePath FileName num2str(t) FileType]; saveas(figure(2),File) % Saving Figure 2 % Step 5) end ======== Plottings ==================================== end
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