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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Faculdade de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
TURBULÊNCIA DOS FLUIDOS
Capítulo 4: Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica
Renan Francisco Soares
Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto
Uberlândia/MG 2014
Turbulência dos Fluidos Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4 2. FORMALISMO ESTATÍSTICO................................................................................ 6 2.1 MÉDIA DE CONJUNTO............................................................................................... 6 2.2 MÉDIA TEMPORAL .................................................................................................... 6 2.3 ERGODICIDADE .......................................................................................................... 6 2.4 MOMENTOS ESTATÍSTICOS DE ORDEM N ........................................................... 7 2.5 MOMENTOS ESTATÍSTICOS CRUZADOS .............................................................. 7 2.6 CLASSIFICAÇÃO DA TURBULÊNCIA ..................................................................... 8 3. TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES DO ESPAÇO FÍSICO PARA O ESPAÇO DE FOURIER ......................................................................... 10 3.1 A TRANSFORMADA DE FOURIER ......................................................................... 10 3.2 OPERADORES DE INTERESSE PARA TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES ............................................................................................................ 12 3.2.1 Transformada da derivada de uma função .................................................................... 13 3.2.2 Transformada do gradiente de f .................................................................................... 13 3.2.3 Transformada do divergente de um vetor ..................................................................... 13 3.2.4 Transformada do laplaciano de um vetor ..................................................................... 13 3.2.5 A transformada do produto de dois escalares ............................................................... 13 3.3 FORMULAÇÃO PARA ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS ............................ 15 3.3.1 Transformada da equação da conservação da massa .................................................... 16 3.3.2 Transformada das equações de quantidade de movimento .......................................... 17 3.4 TENSOR ESPECTRAL ............................................................................................... 20 4. AS ESCALAS DA ENERGIA CINÉTICA TURBULENTA ................................. 22 4.1 A CASCATA DE ENERGIA E AS HIPÓTESES DE KOLMOGOROV ................... 22 4.2 ESCALAS DA TURBULÊNCIA ................................................................................ 27 4.2.1 –Escala dissipativa de kolmogorov .............................................................................. 27 4.2.2 Grandes escalas............................................................................................................. 29 4.2.3 Dissipação viscosa ........................................................................................................ 29 4.2.4 Relação entre as escalas da turbulencia ........................................................................ 29 4.2.5 Escalas moleculares versus escalas de kolmkogorov. .................................................. 30 4.3 ESPECTRO DE ENERGIA ......................................................................................... 31 4.3.1 Evolução temporal do espectro de energia ................................................................... 33 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 35
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Multiplicidade de escalas e característica de homogeneidade. ................................. 4 Figura 2 – Representação das velocidades, suas respectivas flutuações e a flutuação cruzada. 8 Figura 3 – Plano de ortogonalidade no espaço de Fourier. ...................................................... 16 Figura 4 – Representação de projeções das transformadas no espaço de Fourier. ................... 19 Figura 5 – Zona inercial do espectro de energia. ...................................................................... 32 Figura 6 – Evolução temporal do espectro de energia.............................................................. 34
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1.
INTRODUÇÃO
Neste primeiro momento, define-se homogeneidade como a invariância estatística das propriedades dos escoamentos quando se promove uma translação do sistema de eixos. Quanto a isotropia, entende-se como a invariância estatística das propriedades de um escoamento em relação a uma rotação no sistema de eixos. Sendo assim, na turbulência homogenia e isotrópica temos uma invariância estatística das propriedades do escoamento em relação à rotação do sistema de eixos (uma vez que isotropia implica em homogeneidade). Assim, o estudo de escoamentos homogêneos e isotrópicos, mesmo sendo tal categoria de escoamento muito específica, é de fundamental importância para a dinâmica dos fluidos, em especial para tentarmos obter uma maior compreensão do fenômeno da turbulência (tanto a transição a turbulência, quanto para a turbulência completamente desenvolvida). Isto ocorre, porque embora os efeitos cisalhantes, que são essenciais para formação de instabilidades, sejam anisotrópicos e não homogêneos estes efeitos são mais evidentes nas grandes estruturas (nas estruturas coerentes), desta forma, quando caminhamos no sentido das pequenas estruturas (pequenas escalas) podemos considerar a existência de anisotropia e homogeneidade, sendo esta uma razão para se estudar esta classe de escoamentos.
Figura 1 – Multiplicidade de escalas e característica de homogeneidade.
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Sendo assim, as constatações teóricas podem ser comprovadas experimentalmente. As teorias advindas para este tipo de escoamento conduzem a várias predições, não só no que se refere aos espectros de potência, mas também às constantes de difusão as quais governam as taxas de transporte de quantidade de movimento, calor e escalares ativos e passivos, no interior de escoamentos turbulentos. É dentro deste contexto que foi desenvolvida a teoria de Kolgomorov.
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2.
FORMALISMO ESTATÍSTICO
Definem-se, por questão de formalismo estatístico, as seguintes operações e hipóteses:
2.1
MÉDIA DE CONJUNTO
1 f x , t N
N
f x ,t , wi
(1)
i 1
onde N é o número de amostras.
2.2
MÉDIA TEMPORAL
1 M f x , wi f x , t j , wi t j T j 1
(2)
onde, novamente, N é o número de amostras.
2.3
ERGODICIDADE
O processo ergódico pode ser definido como a propriedade de um sistema em que a média temporal de realização de um processo irá convergir para a média espacial de todas as possíveis realizações desse mesmo processo. Assim, num mundo ergódico, a distribuição de probabilidade das variáveis relevantes calculadas com base na experiência passada tende a convergir para a função de probabilidade que governa os eventos no presente e também no
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futuro. Ainda podemos afirmar que as teorias ergódicas estão associadas ao desenvolvimento dos processos estocásticos. Nos processos estocásticos, as séries temporais podem ser usadas para formar estatísticas que descrevem o conhecimento empírico quantitativo sobre o passado e relações do mundo real no presente. f x f x
2.4
(3)
MOMENTOS ESTATÍSTICOS DE ORDEM N
Define-se um momento estatístico de ordem n como sendo:
1 x, t Nlim f a x , t , wi f a x , t , wi ... f a x , t , wi N N
f
a1
f
a2
... f
an
1
2
n
(4)
i 1
Como exemplo tem-se a variância da flutuação de velocidade, ou a energia cinética turbulenta, que são momentos estatísticos de segunda ordem, como visto na sequência.
2.5
MOMENTOS ESTATÍSTICOS CRUZADOS
Embasado na hipótese de ergoticidade, obtêm-se os tensores de Reynolds relacionados ao momento de segunda ordem, quando a variável avaliada é a flutuação da velocidade.
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Figura 2 – Representação das velocidades, suas respectivas flutuações e a flutuação cruzada.
2.6
CLASSIFICAÇÃO DA TURBULÊNCIA
A turbulência pode ser classificada, com relação a homogeneidade e isotropia como sendo: 1.
Turbulência não homogênea e não isotrópica;
2.
Turbulência homogênea e não isotrópica;
3.
Turbulência homogênea e isotrópica.
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Para o terceiro caso, pode-se expressá-lo por:
f
a1
f
a2
... f
an
x, t f
a1
f
a2
... f
an
x r ,t
(5)
onde r representa uma rotação ou translação do vetor x .
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3.
TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES DO ESPAÇO FÍSICO PARA O ESPAÇO DE FOURIER
3.1
A TRANSFORMADA DE FOURIER
Na esfera matemática, a transformada de Fourier contínua uma das formas especificas da análise de Fourier. Como tal, ela transforma uma função em outra, a qual é denotada de representação da função original no domínio da frequência (onde a frequência original é geralmente uma função no domínio do tempo). Neste caso especifico os dois domínios são contínuos e ilimitados. O termo transformada de Fourier pode ser utilizado para nos referirmos a uma função representada no domínio da frequência, ou ao processo que transforma uma função na outra. Existem várias convenções comuns para a definição da transformada de Fourier de uma função f: R→C. Sendo uma definição:
oo
F (v )
f (t )e
i 2vt
dt
(6)
oo
para todo número “v” real. Quando a variável “t” representa o tempo, a variável transformada “v” representa uma frequência ordinária. Se f é contínua, então ela pode ser reconstruída de F através da transformada inversa.
oo
f (t )
F (v )e
i 2vt
dv
(7)
oo
para todo “t” real. ^
Outras notações comumente utilizadas para F(v) são: f (v), F{ f (t )}, F{ f }(v) .
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A interpretação de F(v) pode ser feita considerando-se o sistema de coordenadas polares: F (v) A(v)e i (v ) , onde:
A(v) F (v) é a amplitude e (v) arg( F (v)) é a fase.
A transformada inversa pode ser escrita como:
oo
f (t )
A(v)e
i 2vt ( v )
dv
(8)
oo
A qual é uma recombinação de todas as possíveis componentes de frequências de f(t). Cada componente complexa possui a forma e 2ivt , onde sua amplitude é dada por A(v) e seu ângulo de fase inicial (em t = 0) dado por ϕ(v). A transformada de Fourier também é normalmente escrita em função da frequência angular: w = 2πv, onde w é dado em radianos. Desta forma substituindo v=w/(2π) nas Equações (6) e (7), teremos:
oo
f (t )e
F ( w)
iwt
dt
(9)
oo
1 f (t ) 2
oo
F (w)e
iwt
dw
(10)
oo
onde é uma transformada de Laplace bilateral, para S = iw.
Escrevendo na forma mais geral possível, para dois valores reais constantes a e b, a transformada de Fourier em uma dimensão e a sua inversa é podem ser dadas por:
F ( w)
oo
b
f (t )e 2 1 a
ibwt
dt
(11)
oo
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f (t )
oo
b
F ( w)e 2
ibwt
1 a
dw
(12)
oo
Na forma multidimensional a transforma de Fourier pode ser dada como:
1 F ( w) F{ f }( w) 2 def
n
f ( x )e
i ( wx )
dx
(13)
Rn
onde x e w são vetores de dimensão n, e wx é o seu produto interno.
Considerando agora uma função f ( x , t ) periódica qualquer, podemos escrever a transformada de Fourier para mesma como sendo:
1 f (k , t) 2 ^
3
i k . x e f ( x, t )dx
(14)
V
onde k 2 l / l , é o número de onda (ou frequência espacial) e l é o vetor comprimento de onda (ou período espectral). O vetor número de onda possui três componentes correspondentes
às três direções coordenadas: k k1 , k 2 , k3 . Logo, a transforma da inversa neste caso será dada por:
^
f ( x , t ) e i k . x f ( k , t ) d k
(15)
V
3.2
OPERADORES DE INTERESSE PARA TRANSFORMAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
Para que possamos transformações as equações de Navier-Stokes para o espaço de Fourier, será necessário definirmos, antes, alguns operados de interesse neste espaço.
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3.2.1 Transformada da derivada de uma função
Considera-se uma função g definida tal que:
f x , t ik. x ˆ g x , t e f k , t dk e ik . x ik fˆ k , t dk ik f x , t x x Vˆ Vˆ
(16)
Logo, permite-se escrever:
3 3 f 1 1 ik .x f ik .x gˆ k ,t TF e d x ik e f x ,t dx ik ˆf k ,t . x 2 x 2 V V
(17)
3.2.2 Transformada do gradiente de f
f f f TF f TF , , i k x , k y , k z ˆf k , t ikˆf k , t x y z
(18)
3.2.3 Transformada do divergente de um vetor
ˆ TF .V ik .V
(19)
3.2.4 Transformada do laplaciano de um vetor
ˆ TF 2V k 2 V
(20)
3.2.5 A transformada do produto de dois escalares
Como neste tópico será necessária a definição de um produto de convolução, inicialmente será apresentado o teorema da convolução.
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3.2.5.1 Teorema da convolução
A transformada de Fourier translada entre convolução e multiplicação de funções. Se f(f) e h(t) são funções integráveis com transformadas de Fourier F(w) e H(w), respectivamente, e se a convolução de f e h existe e é absolutamente integrável, então a transformada de Fourier da convolução será dada pelo produto das transformadas de Fourier F(w)H(w). Na convenção normalizada unitária, isto significa que:
oo
g (t ) { f * h}(t )
f ( )h(t )d
(21)
oo
onde o símbolo * denota o operador da convolução. Logo: G ( w) 2F ( w) H ( w)
(22)
As Equações (20) e (21) são validas tanto para variáveis uni como multidimensionais no espaço. Caso f(t) possa ser decomposta no produto de duas outras funções p(t) e q(t), de tal forma que o produto das duas p(t)q(t), seja integrável, então a transformada de Fourier deste produto será dado pelo produto de convolução das respectivas transformadas de Fourier P(w) e Q(w).
F ( w)
1 2
P(w) * Q(w)
1 2
oo
P( )Q(w )d
(23)
oo
3.2.5.2 Transformada do produto de dois escalares
fˆ p, t gˆ k p, t dp
TF f x, t g x, t fˆ * gˆ k , t
p
(24)
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onde ˆf * gˆ é chamado de produto de convolução. A integral de convolução fˆ p, t gˆ k p, t dp p
representa as interações entre os três números de onda relativos (k, p e q) às transformadas das duas funções separadamente e à transformada do produto destas.
3.3
FORMULAÇÃO PARA ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS
As Equações de Navier-Stokes e a equação da conservação da massa – para um fluido newtoniano, incompressível e com propriedades físicas constantes – podem ser escritas como:
Conservação da massa:
u v w 0 x y z
(25)
Conservação da quantidade de momentum: 2u 2u 2u u p u u u g x 2 2 2 u v w x x y z y z t x
(26)
2v 2v 2v v p v v v 2 2 2 u v w y x y z y z t x
(27)
2w 2w 2w w p w w w 2 2 2 u v w z x y z y z t x
(28)
g y
g z
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Considerando que as propriedades físicas sejam unitárias (apenas para facilitar a manipulação das equações) e utilizando a notação de Einstein, podemos reescrever as Equações (21), (22), (23) e (24) como sendo: u i 2 ui p ui u j xi x j x j t x j u i x 0 i
(29)
3.3.1 Transformada da equação da conservação da massa
Aplicando o item 2, Equação (17), da seção 3.2 à Equação (29) (conservação da massa), obtém-se o seguinte resultado:
u TF ik uˆ TF .u ik uˆ 0 x
(30)
Como na equação a cima o produto escalar k uˆ 0 , sabemos que os vetores número de onda e velocidade transformado são ortogonais. Desta maneira podemos definir um plano π no espaço de Fourier (que pode ser visualizado de forma esquemática na Figura 2) de tal forma que o mesmo seja perpendicular ao vetor número de onda k e contenha o vetor velocidade transformado.
Figura 3 – Plano de ortogonalidade no espaço de Fourier.
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3.3.2 Transformada das equações de quantidade de movimento
Devido à complexidade da Equação (29) (Conservação da quantidade de movimento linear), trataremos cada termo desta equação de forma separada, com o objetivo de facilitar a analise a ser realizada.
3.3.2.1 Termo da taxa de variação da quantidade de movimento
^ u u TF t t
(31)
Contudo, sendo de conhecimento que da equação da conservação da massa (Equação (30)) que: ^ k .u 0
(32)
^ ^ ^ u u k .u k . 0 ao plano t t t
(33)
Permite-se deduzir que:
3.3.2.2 Termo da difusão da quantidade de movimento
^ TF 2 u k 2 u
(34)
Lembra-se que este termo transformado também pertence ao plano .
3.3.2.3 Gradiente da pressão
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TF p ik ˆp
(35)
Nota-se, então, que a transformada da pressão é colinear com o vetor número de onda; portanto, sendo perpendicular ao plano .
3.3.2.4 Termo não linear
Com os resultados acima, tem-se que: u TF 2 u t
TF .u u p 0
(36)
O primeiro termo desta soma pertence ao plano . Como a soma é nula, o segundo termo deve também pertencer. Para se transformar o termo não linear em conjunto com o gradiente da pressão será definido um tensor projeção como segue:
ki k j ij k ij 2 k
(37)
Onde:
1 0
ij
se se
i j i j
(38)
é o delta de Kronecker. O tensor projeta um vetor a qualquer no plano . Retornando à transformada do termo não linear, tem-se que: u u j ik j uˆ ( p)uˆ j ( k p)dp TF x j
(39)
onde p k q . Logo:
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^ ^ ul u j P iPlm k j u m ( p) u j (k p)d p TF xl x j p
(40)
onde o índice “l” é um número inteiro que varia de 1 até 3. Esquematizando esta soma sobre o plano , temos a Figura 3. Nesta figura evidencia-se que a soma dos vetores transformados do gradiente da pressão e do termo não linear é igual à projeção da transformada do termo não linear sobre o plano . Assim, a transformada de Navier-Stokes é:
uˆ p uˆ q dp
uˆ k 2 uˆ ik m jm k t
p q k
j
(41)
Figura 4 – Representação de projeções das transformadas no espaço de Fourier.
Ao contrário do que pode parecer em um primeiro momento, não só é possível interpretarmos fisicamente as equações de Navier-Stokes no espaço de Fourier, como esta interpretação nos fornece informações impossíveis de serem obtidas fora deste espaço. Desta forma será apresentado a baixo um pequeno resumo sobre estas interpretações, novamente a equação foi dividida nos mesmos termos, também com o objetivo de facilitar a análise.
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Primeiro termo da Equação (37) -
uˆ - representa a taxa de variação da quantidade t
de movimento, associado a um número de onda. O segundo termo - k 2uˆ - representa o fluxo líquido difusivo de quantidade de movimento ou dissipação viscosa. Os dois tipos de fenômenos são representados pelo mesmo termo, sendo que se manifestam em função do número de onda. O terceiro termo - ikmjm k uˆ p uˆ j q dp - é o termo não linear da quantidade
p q k
de movimento, que compreende a integral de convolução. Este processo é o resultado das interações físicas entre as estruturas turbilhonares que compõem o escoamento. Aqui elas são modeladas pelas interações não lineares triádicas que compõem a integral de convolução. Resolver a integral de convolução numericamente é extremamente caro, uma vez que nesta integral são avaliadas todas as combinações de p e q, desta forma se torna necessário a utilização de uma abordagem diferente, utilizando, por exemplo os métodos pseudoespectrais. Resolve-se o produto das velocidades no espaço físico, transforma-se o produto para o espaço de Fourier. Obtém-se o campo de velocidade transformado. Efetua-se a transformada inversa e determina-se o campo de velocidade no espaço físico. A maior limitação desta metodologia é o fato de se aplicar apenas a escoamentos periódicos. Como alternativa tem-se utilizado esquemas mistos do tipo diferenças finitas para as direções não periódicas e TF para as direções periódicas dos escoamentos. Outra alternativa é a utilização de outros tipos de transformadas, como aquelas de Legendre e de Lagrange, etc., que não exigem periodicidade.
3.4
TENSOR ESPECTRAL
Define-se o tensor espectral como sendo a transformada de Fourier do momento de segunda ordem obtido da correlação entre as flutuações de velocidade relativas a duas direções coordenadas.
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3 1 ik .r ˆ U ij k , t e U ij r , t dr 2
(42)
V
onde, U ij r , t u i r , t u j r x , t é um momento de Segunda ordem. Observa-se que foi feita a hipótese de homogeneidade e isotropia. Fazendo-se i=j obtém-se o traço do tensor: 3 1 ik .r ˆ U ij k , t e U ii r , t dr 2
(43)
V
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4.
AS ESCALAS DA ENERGIA CINÉTICA TURBULENTA
Examinando escoamentos cisalhantes livres, podemos observas que os movimentos turbulentos variam em tamanho com estruturas da ordem do parâmetro característico do escoamento até estruturas com escalas muito menores. Sendo que estas última se tornam cada vez menores a medida que o número de Reynolds aumenta. A ideia da cascata de energia (introduzida por Richardson (1922)) é que a energia cinética entra na turbulência (através do mecanismo de produção) nas maiores escalas do movimento. Esta energia é então transferida (por processos invíscidos) para estruturas cada vez menores (com escalas cada vez menores) até que nas menores escalas, energia é dissipada por efeitos viscosos. Kolmogorov (1941) acrescentou e quantificou este cenário. Em particular ele identificou as menores escalas da turbulência, que hoje recebem seu nome.
4.1
A CASCATA DE ENERGIA E AS HIPÓTESES DE KOLMOGOROV
Considerando um escoamento completamente turbulento a altos números de Reynolds com velocidade característica U e comprimento característico L. Sendo que devemos enfatizar que o número de Reynolds UL é grande. O primeiro conceito na visão de Richardson da cascata de energia é que a turbulência pode ser considerada como sendo composta de estruturas de diferentes tamanhos. Sendo que estruturas de tamanho l possuem velocidade característica u(l) e escala de tempo t (l ) l u (l ) .
As estruturas com tamanho maior são caracterizadas pela escala de comprimento lo a qual é compatível (ou da mesma ordem de grandeza) que a escala do escoamento L, e a sua velocidade característica é u0 u(l0 ) que é compatível com U. o número de Reynolds destas estruturas é relativamente grande, de tal forma que os efeitos da viscosidade podem ser considerados desprezíveis. De acordo com Richardson estas estruturas são instáveis e se “quebram”, transferindo sua energia para estruturas menores. De forma semelhante, estas estruturas
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menores também se “quebram” e novamente transferem energia para estruturas menores ainda. Esta cascata de energia, na qual a energia é transferida de forma sucessível para estruturas cada vez menores continua até que o número de Reynolds Re(l ) u (l )l seja suficiente mente pequeno para que os efeitos da viscosidade molecular se tornem efetivos, dissipando a energia cinética e estabilizando as estruturas. Uma razão para a importância deste cenário é que a dissipação é colocada no final da seqüência deste processo. A taxa de dissipação ε é então determinada, pelo primeiro processo na seqüência, que a transferência de energia das maiores estruturas. Estas estruturas possuem energia da ordem de u 02 e escala de tempo t 0 l0 u0 . Desta forma a taxa de transferência de energia pode ser suposta da ordem de u 02 t 0 u 03 l0 . Consequentemente, consistente com as observações experimentais em escoamentos cisalhantes livres. Isto nos indica que a escala de ε é da forma u 03 l0 , independente de ν (para os altos números de Reynolds considerados). Ainda restaram várias questões fundamentais, como qual o tamanho das menores escalas da estruturas que são responsáveis pela dissipação da energia? A medida que f decresce, a velocidade e o tempo característicos aumentam, diminuem ou permanecem inalterados? (simplesmente assumir que o número de Reynolds decresce não é suficiente para determinar estas questões). Estas e outras questões foram respondidas pela teoria de Kolmogorov (1941) a qual demonstrada na forma de três hipóteses. A primeira hipótese concerne a isotropia dos movimentos de pequenas escalas. De forma geral, as grandes estruturas são anisotrópicas e afetadas pelas condições de contorno do escoamento. Kolmogorov argumentou que caráter direcional das grandes escalas se perde no processo caótico de redução de escalas, pelo qual a energia é transferida sucessivamente para estruturas menores e menores. Desta maneira:
Hipótese de Kolmogorov para isotropia local: a números de Reynolds suficientemente altos, as pequenas escalas do movimento turbulento (l<>l>>η. Como as escalas nesta faixa são muito maiores do que as escalas dissipativas, podese supor que seu número de Reynolds é grande, e consequentemente que seu movimento é pouco afetado pela viscosidade. Logo, temos:
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Segunda hipótese de similaridade de Kolmogorov: em todo escoamento turbulento a um número de Reynolds suficientemente grande as estatísticas dos movimentos de escala l na faixa l0>>l>>η possuem uma forma universal única determinada por u0 e independente de ν.
É conveniente introduzirmos um comprimento de escala lDI (onde lDI = 60η), de tal forma que a faixa na hipótese a cima pode ser escrita lEI > l > lDI. Este comprimento característico dividi a faixa de equilíbrio universal (l l > lDI ) e a subfaixa dissipativa (l < lDI). Como o próprio nome implica, de acordo com a segunda hipótese de similaridade, movimentos na zona inercial são determinados por efeitos inerciais – os efeitos viscosos são desprezíveis. De tal forma que apenas movimentos na zona dissipativa experimentam efeitos viscosos significativos.
4.2
ESCALAS DA TURBULÊNCIA
Estas escalas são relacionadas com tempo, comprimento, velocidades, energia, e vorticidade. 4.2.1 –Escala dissipativa de kolmogorov
Para a definição desta escala é necessário adotar um turbilhão que obtenha:
Tamanho característico r
Velocidade característica vr
Viscosidade do fluido ν.
A partir de então pode-se definir Reynolds local da seguinte forma:
(53)
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Supondo que 𝑣𝑟 = (𝜀𝑟)1/3 implica que o número de Reynolds pode ser escrito da seguinte forma: (54)
Tomando que no tamanho característico do turbilhão os efeitos viscosos sejam tão pequenos que:Rer =1. Assim Kolmogorov definiu a escala de comprimento como sendo:
(55)
Logo os turbilhões de tamanhos menores que ld são dissipados por efeitos viscosos e não podem se desenvolver. Esta análise permite entender porque o espectro de energia cinética cai tão rapidamente quando se aproxima do número de onda dissipativo de Kolmogorov 2𝜋⁄𝑙 . 𝑑
Assim realizando uma análise adimensional tem-se:
Escala de Kolmogorov para o tempo:
(56)
Escala de Kolmogorov para o velocidade:
(57)
Escala de Kolmogorov para energia cinética:
(58)
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Escala de Kolmogorov para vorticidade:
(59)
4.2.2 Grandes escalas
As grandes escalas são determinadas pelo comprimento das geometrias que geram o escoamento. Ratificando, as escalas típicas são:
L – escala de comprimento;
U – escala de velocidade;
Assim, temos a escala de tempo, vorticidade e energia, da seguinte forma:
(60)
4.2.3 Dissipação viscosa
Para os escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos pode-se fazer a hipótese do equilíbrio para os quais a dissipação viscosa é a taxa de injeção de energia cinética nas grandes escalas (61)
4.2.4 Relação entre as escalas da turbulencia
A relação entre as escalas de Kolmogorov e as grandes escalas é dada por:
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(62)
Esta equação também determina o grau de liberdade do escoamento. Analogamente pode-se escrever a relação para as demais variáveis:
(63)
Observando as equações acima nota-se que as escalas dissipativas, são menores que a escala das estruturas coerente, com exceção da vorticidade. Assim nota-se que os turbilhoes das estrutura coerentes apresentam mais energia porem menores vorticidades, o oposto ocorre com os turbilhoes nas pequenas escalas onde a dissipação ocorre com mais intensidade.
4.2.5 Escalas moleculares versus escalas de kolmkogorov.
Para relacionar as escalas de Kolmogorov, com as escalas moleculares é necessário considerar:
ξ – deslocamento médio molecular
c – velocidade do som.
Para os gases a escala molecular de velocidade associa-se à velocidade do som c, através do número de Mach:
M U
c
(64)
Da teoria cinética dos gases pode–se mostrar que a viscosidade cinemática pode ser expressa em função das grandezas características (ξ,c) pela relação:
c
(65)
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Mas sabe-se que
14
3 ld 3 U L
(66)
Dividindo uma pela outra:
ld
M 1 Re L 4
(67)
Esta equação nos mostra que à medida que o número de Mach aumenta a diferença entre as escalas dissipativas de comprimento de Kolmogorov e o comprimento do livre caminho médio molecular diminui. Desta forma, as equações de Navier-Stokes (formuladas utilizandose a hipótese do continuo) têm sua validade questionável para números de Mach superiores a 15.
4.3
ESPECTRO DE ENERGIA
Ainda nos resta determinar como a energia cinética turbulenta é distribuída dentro das estruturas de diferentes tamanhos. Isto é mais fácil ao considerarmos turbulência homogenia e considerando a função espectral de energia E(k), definida a seguir:
1 E (k , t ) (k , t ) (k / k )dk 2
Onde: (k , t ) representa a covariância u i u j
(68)
dos modos de velocidade com o
número de onda k; Sabendo-se que movimentos de escala de comprimento l correspondem a comprimentos de onda k 2 l , e que a energia em uma faixa de número de onda (Ka,Kb) é:
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kb
k ka ,kb E (k )dk
(69)
ka
E a contribuição para a taxa de dissipação ε de movimentos na faixa (Ka,Kb) é
k
kb
a , kb
2vk 2 E (k )dk
(70)
ka
Segue da primeira hipótese de similaridade de Kolmogorov que, na faixa de equilíbrio universal ( k k EI 2 l EI ) o espectro é uma função universal de ε e ν. Da segunda hipótese segue que, na faixa inercial ( k EI k k DI 2 l DI ), o espectro é:
E (k ) C
2
3
k
5
3
(71)
onde C é uma constante universal.
Figura 5 – Zona inercial do espectro de energia.
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Para entendermos alguns elementos básicos do espectro de Kolmogorov a menos 5/3. Vamos considerar um espectro geral na forma de uma potência (Power Law):
E(k ) Ak p
(72)
Onde A e p são constantes. A energia contida em números de onda maiores do que k é:
oo
k i k E (k ' )dk ' k
A ( p 1) k p 1
(73)
Para p > 1, enquanto a integral diverge para p ≤ 1. De forma similar, a dissipação nos números de onda menores do que k é:
k
0,k 2vk ' 2 E (k ' )dk ' 0
2vA 3 p k 3 p
(74)
Para p < 3, enquanto a integral diverge para p ≥ 3. Logo, p = 5/3 corresponde ao espectro de Kolmogorov, está por volta do meio da faixa (1,3) para qual as integrais K(k,∞) e ε(0,k) convergem. A quantidade de energia nos números de ondas altos diminui ( k k k 2 3 ) à medida que k aumenta. Enquanto a dissipação nos baixos números de onda decresce (
0,k k 4 3 ) à medida que k tende a zero. Desta forma o espectro a -5/3 de Kolmogorov se aplica somente a zona inercial.
4.3.1 Evolução temporal do espectro de energia
Na figura a seguir, nos itens (a), (b) e (c), procurou-se evidenciar a evolução temporal do espectro de energia em três tempos distintos t1, t2 e t3, respectivamente, onde t3 > t2 > t1. Já no item (d) da mesma figura, realizou-se uma comparação entre os itens (a), (b) e (c). Lembrando que Ki representa o número de onda de injeção de energia e que na realidade temos Log(E(K,t)) x Log(k).
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Inicialmente existe uma distribuição de energia concentrada em uma faixa estreita correspondente ao número de onda de injeção de energia, à medida que o tempo passa essa energia se distribui até se atingir um espectro de energia correspondente a um estado de turbulência completamente desenvolvido. Fisicamente isto é explicado pelo fato que ao passar do tempo estruturas cada vez menores estão sendo “captadas”, aumento de K, uma vez que menores estruturas correspondem a menores comprimentos de onde e consequentemente maiores números de onda, ou seja, a energia está sendo distribuída das maiores estruturas turbilhonares para as menores, que o para o caso mostrado na figura abaixo, item (d), teriam tamanho correspondente ao da escala dissipativa de Kolgomorov para o escoamento em questão (este mecanismo de transporte de
energia das maiores estruturas para as menores
correspondente a cascata direta de energia).
Figura 6 – Evolução temporal do espectro de energia.
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REFERÊNCIAS
SILVEIRA NETO, A. Apostila: Turbulência nos Fluidos Aplicada. MFlab, UFU. SILVEIRA NETO, A. Notas de aula. MFlab, UFU. FREIRE S. A. P., MENUT M. P. P., SU J. Turbulência. ABCM - Associação Brasileira de Ciências Mecânicas, 2002. DRAZIN P. G. Introduction to Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press, 2002. SALVO, R. V. 4° Resumo Turbulência. MFlab, UFU. MÖLLER V. S., SILVESTRINI J. H. Turbulência. ABCM - Associação Brasileira de Ciências Mecânicas, 2004. SHILICHTING. H. Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, GENNARO, E. M. Análise da Instabilidade Hidrodinâmica de Uma Esteira Assimétrica. São Carlos, USP, 2008. SAMELLI, L. da C. Análise de Estabilidade Linear da Camada de Mistura Binária. INPE, 2006.
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