Sistemas E Transformação De Coordenadas

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SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Sistema de coordenadas cartesianas. 3. Sistema de coordenadas cilíndricas circulares. 4. Sistema de coordenadas esféricas. 5. Sistema de coordenadas ortogonais generalizado. 6. Superfícies de coordenada constante. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Introdução • Em geral, as quantidades físicas com que trabalhamos no Eletromagnetismo são funções do espaço e do tempo. • A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada. • Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado. • Um ponto, ou um vetor, pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas curvilíneo ortogonal ou não-ortogonal. • Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas são mutuamente perpendiculares. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo, e de trabalho, ao escolher um sistema de coordenadas que mais se adapta a um determinado problema. • Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de fácil solução em outro sistema. • Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos sistemas de coordenadas ortogonais: – Cartesiano. – Cilíndrico. – Esférico. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Sistema de coordenadas cartesianas • Um ponto P pode ser representado por (x, y, z). • Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, y e z são − ∞ < x < ∞ − ∞ − ∞ < < y < ∞ z < ∞ • Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como (A x , Ay , Az ) ou Ax â x + Ay â y + Az â z onde âx, ây e âz são vetores unitários ao longo de x, y e z. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Sistema de coordenadas cilíndricas circulares • Um sistema de coordenadas cilíndricas circulares é conveniente quando tratamos problemas com simetria cilíndrica. • Um ponto P pode ser representado por (ρ, φ, z). ― ρ representa o raio do cilindro que passa pelo ponto P. ― φ é denominado de ângulo azimutal, sendo medido a partir do eixo x, no plano xy. ― z é a mesma coordenada utilizada no sistema de coordenadas cartesianas. Figura 1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Os intervalos de variação das variáveis coordenadas ρ, φ e z são 0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ < 2π − ∞ < z < ∞ • Um vetor A, em coordenadas cilíndricas circulares, pode ser escrito como (A ρ , Aφ , Az ) ou Aρ â ρ + Aφ â φ + A z â z onde âρ, âφ e âz são vetores unitários ao longo de ρ, φ e z. • âρ aponta no sentido de crescimento de ρ, âφ aponta no sentido de crescimento de φ e âz aponta no sentido de crescimento de z. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, âρ ⋅ âρ = âφ ⋅ âφ = âz ⋅ âz = 1 âρ ⋅ âφ = âφ ⋅ âz = âρ ⋅ âz = 0 âρ × âφ = âz âφ × âz = âρ âz × âρ = âφ Figura 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas cartesianas com as do sistema de coordenadas cilíndricas circulares (ρ, φ, z) são dadas por x = ρ cos φ y = ρ sen φ 2 ρ= x +y 2  y φ = arctg  x Figura 3 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As relações entre âx, ây, âz e âρ, âφ, âz são dadas por âx ⋅ âρ = cosφ ây ⋅ âρ = senφ âx ⋅ âφ = −senφ ây ⋅ âφ = cosφ Figura 4 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Podemos escrever o vetor A da seguinte forma → A = Axâx + Ayây + Azâz • Se quisermos expressá-lo em coordenadas cilíndricas circulares podemos fazer as seguintes operações → Aρ = A⋅ âρ = Ax (âx ⋅ âρ ) + Ay (ây ⋅ âρ ) + Az (âz ⋅ âρ ) → Aφ = A⋅ âφ = Ax (âx ⋅ âφ ) + Ay (ây ⋅ âφ ) + Az (âz ⋅ âφ ) → Az = A⋅ âz = Ax (âx ⋅ âz ) + Ay (ây ⋅ âz ) + Az (âz ⋅ âz ) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, obtemos  Aρ  âx ⋅ âρ ây ⋅ âρ âz ⋅ âρ   Ax        Aφ  = âx ⋅ âφ ây ⋅ âφ âz ⋅ âφ   Ay   A  â ⋅ â â ⋅ â â ⋅ â   A   z   x z y z z z  z  [A ]ρφz = [T (φ )][ A ]xyz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Fazendo as devidas substituições, obtemos  Aρ   cosφ senφ 0  Ax         Aφ  = − senφ cosφ 0  Ay   A   0    0 1   Az   z [A ]ρφz = [T (φ )][ A ]xyz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • De cilíndricas circulares para cartesianas, temos  Ax  âρ ⋅ âx âφ ⋅ âx âz ⋅ âx   Aρ        Ay  = âρ ⋅ ây âφ ⋅ ây âz ⋅ ây   Aφ   A  â ⋅ â â ⋅ â â ⋅ â   A   z   ρ z φ z z z  z  [A ]xyz = [T (φ )] −1 [A ]ρφz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Fazendo as devidas substituições, obtemos  Ax  cosφ − senφ 0  Aρ         Ay  = senφ cosφ 0  Aφ     A   0  0 1   Az   z [A ]xyz = [T (φ )] −1 [A ]ρφz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Pelas expressões anteriores, constatamos que [T (φ )] −1 = [T (φ )] T ou seja [A ]ρφz [A ]xyz = [T (φ )][ A ]xyz = [T (φ )] [ A ]ρφz T Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Sistema de coordenadas esféricas • Um sistema de coordenadas esféricas é conveniente quando tratamos problemas com simetria esférica. • Um ponto P pode ser representado por (r, θ, φ). ― r representa a distância, a partir da origem, até o ponto P. ― θ é denominado de co-latitude, sendo medido a partir do eixo z e o vetor posição de r. Figura 5 ― φ é a mesma coordenada utilizada no sistema de coordenadas cilíndricas circulares. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Os intervalos de variação das variáveis coordenadas r, θ e φ são 0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ φ < 2π • Um vetor A, em coordenadas esféricas, pode ser escrito como (A , A r θ , Aφ ) ou A r â r + Aθ â θ + Aφ â φ onde âr, âθ e âφ são vetores unitários ao longo de r, θ e φ. • âr aponta no sentido de crescimento de r, âθ aponta no sentido de crescimento de θ e âφ aponta no sentido de crescimento de φ. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, âr ⋅ âr = âθ ⋅ âθ = âφ ⋅ âφ = 1 âr ⋅ âθ = âθ ⋅ âφ = âr ⋅ âφ = 0 âr × âθ = âφ âθ × âφ = âr âφ × âr = âθ Figura 6 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas cartesianas com as do sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ) são obtidas a partir da seguinte representação gráfica Figura 7 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ r = x2 + y2 + z2  θ = arctg    x 2 + y 2   z   y φ = arctg    x Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As relações entre âx, ây, âz e âr, âθ, âφ são dadas por âx ⋅ âr = sen θ cos φ â y ⋅ âr = sen θ sen φ âz ⋅ âr = cos θ âx ⋅ âθ = cos θ cos φ â y ⋅ âθ = cos θ sen φ âz ⋅ âθ = − sen θ âx ⋅ âφ = − sen φ â y ⋅ âφ = cos φ Figura 8 â z ⋅ âφ = 0 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Podemos escrever o vetor A da seguinte forma → A = Axâx + Ayây + Azâz • Se quisermos expressá-lo em coordenadas esféricas podemos fazer as seguintes operações → Ar = A⋅ âr = Ax (âx ⋅ âr ) + Ay (ây ⋅ âr ) + Az (âz ⋅ âr ) → Aθ = A⋅ âθ = Ax (âx ⋅ âθ ) + Ay (ây ⋅ âθ ) + Az (âz ⋅ âθ ) → Aφ = A⋅ âφ = Ax (âx ⋅ âφ ) + Ay (ây ⋅ âφ ) + Az (âz ⋅ âφ ) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, obtemos  Ar  âx ⋅ âr ây ⋅ âr âz ⋅ âr   Ax        Aθ  = âx ⋅ âθ ây ⋅ âθ âz ⋅ âθ   Ay   Aφ  â ⋅ â â ⋅ â â ⋅ â   A     x φ y φ z φ  z  [A ]rθ φ = [M (θ , φ )][ A ]xyz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Fazendo as devidas substituições, obtemos  Ar  senθ cosφ senθ senφ cosθ   Ax         Aθ  = cosθ cosφ cosθ senφ − senθ   Ay   Aφ   − senφ    cos φ 0 A  z    [A ]rθ φ = [M (θ , φ )][ A ]xyz Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • De esféricas para cartesianas, temos  Ax  âr ⋅ âx âθ ⋅ âx âφ ⋅ âx   Ar        Ay  = âr ⋅ ây âθ ⋅ ây âφ ⋅ ây   Aθ   A  â ⋅ â â ⋅ â â ⋅ â   Aφ   z   r z θ z φ z   [A ]xyz = [M (θ , φ )] −1 [A ]rθ φ Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Fazendo as devidas substituições, obtemos − senφ   Ar     cos φ   Aθ  0   Aφ   Ax  senθ cos φ cosθ cos φ     Ay  = senθ senφ cos θ senφ  A   cosθ − sen θ  z [A ]xyz = [M (θ , φ )] −1 [A ]rθ φ Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Pelas expressões anteriores, constatamos que [M (θ , φ )] −1 = [M (θ , φ )] T ou seja [A ]rθ φ [A ]xyz = [M (θ , φ )][ A ]xyz = [M (θ , φ )] [ A ]rθ φ T Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Na transformação de um ponto, ou de um vetor, eles não se alteram, apenas são expressos de maneira diferente. • Portanto, a magnitude de um vetor, por exemplo, permanece a mesma depois de uma transformação e isso serve como um modo de conferir o resultado da transformação. • A distância d, entre dois pontos com vetores posição r1 e r2, é geralmente dada por d 2 → → 2 = r2 − r1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Em coordenadas cartesianas d 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = x 2 − x1 + y 2 − y1 + z 2 − z1 • Em coordenadas cilíndricas circulares 2 d 2 = ρ 22 + ρ 12 − 2 ρ 2 ρ 1 cos (φ 2 − φ1 ) + ( z 2 − z1 ) • Em coordenadas esféricas d 2 = r22 + r12 − 2 r2 r1 cos θ 2 cos θ1 − 2 r2 r1sen θ 2 sen θ1 cos (φ 2 − φ1 ) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 1. Obtenha a matriz de transformação de um vetor que se encontra representado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares para o sistema de coordenadas esféricas. 2. Converta os pontos P (1, 3, 5), T (0, -4, 3) e S (-3, -4, -10) do sistema de coordenadas cartesianas para os sistemas de coordenadas cilíndricas circulares e esféricas. 3. Transforme o vetor x2 + y 2 → Q= 2 2 x +y +z 2 âx − yz 2 2 x + y +z 2 âz em coordenadas cilíndricas circulares e em esféricas. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 4. Determine Q no ponto T nos três sistemas de coordenadas. 5. Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas: → A = ρ z senφ âρ + 3ρ cos φ âφ + ρ cos φ senφ âz → 2 B = r âr + senθ âφ Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Sistema de coordenadas ortogonais generalizado • Embora as leis que regem o eletromagnetismo não variem com o sistema de coordenadas utilizado, as soluções dos problemas exigem que as relações obtidas por essas leis sejam expressas em um sistema de coordenadas apropriado com a geometria de tais problemas. • Em um espaço tridimensional, um ponto pode ser localizado como a interseção de três superfícies, são elas: u, v e w, todas constantes e não necessariamente precisam ser comprimentos físicos. • Quando essas três superfícies (u, v e w) são mutuamente perpendiculares, tem-se um sistema de coordenadas ortogonal. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Algumas superfícies representadas por ui = constante, podem não ser planas, podendo ser curvilíneas. • âu, âv e âw são os vetores unitários nas três direções coordenadas e são denominados de vetores-base. • Em um sistema de coordenadas curvilíneo, dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas ortogonal âu × âv = âw âv × âw = âu âw × âu = âv âu ⋅ âv = âu ⋅ âw = âv ⋅ âw = 0 âu ⋅ âu = âv ⋅ âv = âw ⋅ âw = 1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira e • Qualquer vetor A pode ser escrito como a soma de suas componentes nas três direções da seguinte forma → A = Au âu + Avâv + Aw âw sendo sua magnitude dada por → A = A 2 u + A 2 v + A 2 w Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Em cálculo vetorial, frequentemente realizamos cálculos de integrais de linha, de superfície e de volume. • Em cada caso, precisamos expressar o comprimento diferencial correspondente a uma variação diferencial em uma das coordenadas. • Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento físico e um fator de conversão é necessário para converter uma variação diferencial dui em uma variação no comprimento dli, ou seja, dl i = hi du i onde hi é conhecido como coeficiente métrico e pode ser uma função de u, v e w. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Um comprimento diferencial, em uma direção arbitrária, pode ser escrito como uma soma vetorial de componentes, ou seja, → d l = âu dlu + âv dlv + âw dlw → d l = âu (hu du ) + âv (hv dv ) + âw (hw dw) • Desse modo, a magnitude de dl é dada por → 2 u 2 v 2 w dl = d l = dl + dl + dl = 2 2 2 (hu du) + (hvdv) + (hw dw) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • O volume diferencial é formado pelas variações diferenciais nas coordenadas u, v e w, nas direções âu, âv e âw, sendo dado por dv = dlu dlv dlw = (hu du)(hv dv)(hw dw) dv = hu hv hw dudvdw • Teremos ocasiões de expressar a corrente, ou fluxo, através de uma área diferencial. Em tais casos, a área da seção perpendicular à corrente, ou ao fluxo, deve ser utilizada. Sendo conveniente utilizar um vetor área diferencial, cuja direção é normal à superfície, ou seja, → d S = â n dS Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Em um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais generalizado, a área diferencial dSu, normal ao vetor âu, é dada por dS u = dl v dl w = (hv dv )(hw dw ) dS u = hv hw dvdw • Dessa forma, temos que as áreas diferenciais, normais a âv e âw são dSv = dlu dlw = (hu du )(hw dw) = hu hw dudw dSw = dlu dlv = (hu du )(hv dv) = hu hv dudv Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Relacionando com os sistemas de coordenadas ortogonais estudados até o presente momento, temos que Generalizado hu hv hw âu âv âw Cartesiano 1 1 1 âx ây âz Cilíndrico 1 ρ 1 âρ âφ âz Esférico 1 r rsenθ âr âθ âφ Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Superfícies de coordenada constante • As superfícies, nos sistemas de coordenadas, são obtidas ao manter uma das variáveis com valor constante, enquanto que as outras variam. Coordenadas cartesianas Figura 9 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Coordenadas cilíndricas circulares Figura 10 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Coordenadas esféricas Figura 11 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercício 6. Considere o campo vetorial φ  H = ρ z cosφ âρ + e sen âφ + ρ 2 âz 2 → −2 No ponto (1, π/3, 0), determine: a) H . âx. b) H x âθ. c) A componente vetorial de H normal à superfície ρ = 1. d) A componente escalar de H tangencial ao plano z = 0. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira