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Sistema Trifásico
Prof. Ms. Getúlio Teruo Tateoki Em um gerador trifásico, existem três enrolamentos separados fisicamente de 120° entre si, resultando em três tensões induzidas defasadas de 120°. A figura abaixo mostra simplificadamente um gerador trifásico.
Os três enrolamentos são estáticos e têm o mesmo número de espiras. Esta parte do gerador é denominado estator. Os pontos A, B, e C representam uma das extremidades de cada enrolamento e os pontos x,Y, e Z, respectivamente, a outra extremidade. O campo magnético é girante e produzido por um outro enrolamento energizado a partir de uma fonte CC independente, ou a partir da retificação da própria tensão obtida no gerador (auto-excitação). Sejam v1(t), v2(t) e v3(t) as tensões induzidas respectivamente nos enrolamentos AX,BY e CZ. Matematicamente, tem-se:
v1 (t ) = V p . sen ωt
ou
v 2 (t ) = V p . sen(ωt − 120°) Sistemas Trifásicos
v1 = V p ∠0° = V p ou
v 2 = v p ∠ − 120° = V p . −
1
1 3 − j 2 2
v 3 (t ) = V p . sen(ωt + 120°)
ou
v 3 = V p ∠120° = V p . −
1 3 + j 2 2
O gráfico das três tensões e o respectivo diagrama fasorial estão mostrados abaixo:
Se cada fase do gerador é conectada a circuitos separados, o sistema trifásico é chamado de não interligado, necessitando de seis fios para a conexão de carga trifásica, como mostra a figura abaixo:
Este método não é econômico, não sendo usado na prática. Existem dois métodos comuns de interligar as fases em um sistema trifásico: as ligações estrela (Y) e triângulo ou delta ( ). Sistemas Trifásicos
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Ligação Estrela Na ligação estrela, os pontos X,Y, e Z são interligados entre si, formando um ponto comum chamado de neutro(N), sendo este ponto ligado ao neutro da carga. A figura abaixo representa este tipo de ligação.
A corrente no fio neutro é a soma vetorial das correntes de fase, isto é: iN = iA + iB + iC
Tensões de Fase e de Linha
As tensões medidas entre os terminais do gerador (pontos AB,BC e CA) são chamadas de tensões de linha (vAB,vBC e vCA) ou, genericamente, vL. Na figura anterior, as setas das tensões dão a orientação positiva (arbitrária), podendose equaciona-las do seguinte modo: VAB = vA – vB
vBC = vB – vC
vCA = vC - vA
Estes três expressões significam que, em cada instante, as tensões de linha (vAB,vBC e vCA) são iguais às diferenças entre os valores instantâneos das respectivas tensões de fase (vA,vB,vC). As tensões de fase podem ser escritas como:
v A (t ) = V p . sen ωt
v A = V F ∠0° = V F
ou
v B (t ) = V P . sen(ωt − 120°)
ou
v B = V F ∠ − 120° = V F . −
v C (t ) = V P . sen(ωt + 120°)
ou
v C = V F ∠120° = V F . −
As tensões de linha podem ser escritas como: Sistemas Trifásicos
3
1 3 − j 2 2
1 3 + j 2 2
v AB = v A − v B = V F − V F . − Portanto:
3 1 + j 2 2
v AB = 3.V F ∠30°
v BC = v B − v C = V F . −
Portanto:
1 3 3 3 − j = VF . + j = 3.V F 2 2 2 2
(
)
1 3 1 3 − j − VF . − + j = V F − j 3 = − j 3.V F 2 2 2 2
v BC = 3.V F ∠ − 90°
v CA = v C − v A = V F . −
1 3 3 3 3 1 − j − VF = VF . − + j = − 3.V F . − + j 2 2 2 2 2 2
Portanto: v CA = 3.V F ∠150° Assim, conclui-se que a relação entre os módulos das tensões de linha vL e de fase vF é dada:
V L = 3.V F Observação: •
Cuidado pois as tensões de linha e de fase são normalmente dadas em valores eficazes.
Exemplo: A tensão de linha num sistema trifásico cuja tensão de fase é de 220VRMS vale:
V L = 3.V F = 3.220 ≅ 381Vrms A figura abaixo mostra o diagrama fasorial das tensões de fase e de linha num sistema trifásico em ligação estrela.
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Cargas Balanceada e Desbalanceada fase.
Num sistema trifásico, a carga é balanceada quando Z1,Z2 e Z3 são iguais em módulo e
Neste caso, as defasagens entre tensão e corrente em cada fase são iguais, isto é, , como mostra a figura abaixo: A = B = C =
Sistemas Trifásicos
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Porém, a carga é desbalanceada quando Z1, Z2, e Z3 possuem módulos ou fases diferentes, caso em que as defasagens entre tensão e corrente em cada fase são também diferentes, isto é: φ A ≠ φ B ≠ φ C
Correntes de Fase e de Linha A corrente que percorre cada fase é chamada de corrente de fase, designada genericamente por iF. A corrente que passa na linha que liga o gerador à carga é chamada de corrente de linha, designada genericamente por iL. No caso de Ligação estrela, iL = IF. Se a carga é balanceada, a corrente no fio neutro é zero, isto é iN = 0. Se a carga é desbalanceada, a corrente no fio neutro é diferente de zero, isto é iN 0 ou, caso não haja o fio de retorno (neutro), as tensões nas cargas são diferentes.
Exemplos: Dado o circuito a seguir, pede-se: Sistemas Trifásicos
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a) Tensões de fase e de linha VF = 120V V L = 3.V F = 3.120 = 208V b) Correntes de fase, de linha e no fio neutro 120 = 12 A 10 Como a carga é resistiva, as correntes de linha há estão em fase com suas tensões, porém defasadas de 120° entre si, isto é: IF = IL =
i A = 12∠0° = 12 A
i B = 12∠ − 120° = −6 − j10,39 A
Portanto: i N = i A + i B + iC = 12 + ( −6 − j10,39) + ( −6 + j10,39) = 0 A
2) Dados o circuito a seguir, pede-se a corrente no fio neutro:
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iC = 12∠120° = −6 + j10,39 A
iA =
120∠0° = 12∠0° = 12 A 10
iC =
120∠120° = 6∠120° = −3 + j 5,2 A 20
iB =
120∠ − 120° = 10∠ − 120° = −5 − j8,66 A 12
Portanto: i N = i A + i B + iC = 12 + ( −5 − j8,66) + (−3 + j 5,2) = 4 − j 3,46 = 5,29∠ − 40,9° A
Ligação Triângulo Na ligação triângulo ou delta, as extremidades dos enrolamentos do gerador são interligadas de modo a formar um triângulo, como mostra a figura abaixo:
Tensões e Correntes de Fase e de linha Nesta ligação, vAB, vBC e vCA correspondem às tensões de fase vF e de linha vL, ou seja: V F = vL Já, as correntes de fase nas cargas iF(iAB,iBC,iCA) são diferentes das correntes de linha iL(iA,iB,iC), que podem ser calculadas por: IA = iAB – iCA
iB = iBC – iAB
iC = iCA - iBC
No caso de carga balanceada, as defasagens entre tensão e corrente em cada fase são iguais, isto é, A = B = C = , como mostra a figura abaixo: Sistemas Trifásicos
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Porém, quando a carga é desbalanceada, as defasagens entre tensão e corrente em cada fase são diferentes, isto é, φ A ≠ φ B ≠ φ C As tensões de linha ou de fase podem ser escritas como:
v AB = (t ) = V p . sen ωt
v AB = V L ∠0° = V L
ou
v BC (t ) = V P . sen(ωt − 120°)
ou
v BC = V L ∠ − 120° = V L . −
v CA (t ) = V P . sen(ωt + 120°)
ou
v CA = V L ∠120° = V L . −
1 3 − j 2 2
1 3 + j 2 2
A relação entre os módulos de linha iL, e de fase iF pode ser determinada da mesma maneira feita com tensões de linha e de fase na ligação estrela, obtendo se:
i L = 3.i F Exemplo: Dado o circuito a seguir, pedem-se: Sistemas Trifásicos
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a) Corrente de fase em cada carga v AB 380∠0° = = 19∠0° = 19 A Z1 20 v 380∠ − 120° = BC = = 19∠ − 120° = −9,5 − j16,45 A Z3 20
i AB =
i BC
i CA =
v CA 380∠120° = = 19∠120° = −9,5 + j16,45 A Z3 20
b) Correntes de linha i A = i AB − i CA = 19 − (−9,5 + j16,45) = 28,5 − j16,45 = 32,9∠ − 30° A i B = i BC − i AB = (−9,5 − j16,45) − 19 = −28,5 − j16,45 = 32,9∠ − 150° A iC = i CA − i BC = (−9,5 + j16,45) − (−9,5 − j16,45) = j 32,9 = 32,9∠90° A
Potência em Sistemas Trifásicos Em um sistema monofásico, a potência ativa (real) é dada por: P=VF.IF.cosø [W], onde VF e IF são respectivamente, a tensão e a corrente de fase eficazes e ø o ângulo de defasagem entre eles. Em um sistema trifásico balanceado, as potências ativas em cada fase são iguais, de forma que a potência ativa total é a soma das potências ativas nas fases, isto é: P=3VF.IF.cosø [W]
(VF e IF em valores eficazes)
V Na ligação estrela, tem-se que IF=IL e V F = L
expressão da potência ativa, resulta:
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3
Substituindo estes valores na
P = 3.
VL 3
P = 3.V L .I L . cos φ [W]
.I L . cos φ
Na ligação triângulo, tem-se que VF = VL e I F = I L expressão da potência ativa, resulta: P = 3.
IL 3
3
. Substituindo estes valores na
P = 3.V L .I L . cos φ [W]
.V L . cos φ
Disto, conclui-se que a expressão para a potência ativa total é a mesma para as ligações estrela e triângulo, mas as potências são diferentes. Usando o mesmo raciocínio, podem-se determinar as potências reativa e aparente totais no sistema trifásico para ambas as ligações, considerando-se os sistemas balanceados. A potência reativa total na carga trifásica é: PR=3.VF.IF.senø [VAR]
PR = 3.V L .I L . sen φ [VAR]
ou
A potência aparente total na carga trifásica é: PAP=3.VF.IF [VA]
ou
PAP = 3.V L .I L [VA]
Caso os sistemas trifásicos não sejam balanceados, as potências totais correspondem às somas das potências dissipadas pelas cargas. Exemplos: 1) dado o circuito a seguir, pedem-se:
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a) Tensões de fase e de linha: VF = 220VRMS
V L = 3.V F = 3.220 = 381V RMS b) Correntes de fase, de linha e no fio neutro IL = IF =
V F 220 = = 22 ARMS R 10
Como a carga é balanceada, IN = 0 A. c) Potência ativa dissipada na carga trifásica: P = 3.VF.IF.cosø = 3.220.22.1 = 14,52kW
ou
P = 3.V L .I L . cos φ = 3.381.22.1 = 14,518kW Os resultados devem ser iguais. Esta diferença se deve aos arredondamentos. 2) A potência de um motor trifásico é 8kW quando ligado a uma tensão de linha de 380VRMS. Calcular a corrente de linha se o fator de potência é 0,85.
P = 3.V L .I L . cos φ
8.10 3 = 3.380.I L .0,85
I L = 14,3 ARMS
3) Um aquecedor trifásico é constituído de três resistências de 20 ligadas em estrela. Calcular a corrente de linha e a potência ativa total se a tensão de linha é 220VRMS.
VF =
VL 3
=
220 3
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= 127V RMS assim: I L = I F =
V F 127 = = 6,35 ARMS R 20
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Portanto:
P = 3.V L .I L . cos φ
8.10 3 = 3.220.6,35.1 = 2,42kW
4) Os enrolamentos de um motor têm resistência de 6 e reatância indutiva de 8 . Sabendo-se que o motor é ligado em estrela e que a tensão de linha é 220VRMS, calcular:
a) Correntes de linha e de fase: Tem-se: z=6+j8
assim:
| Z |= 6 2 + 8 2 = 10Ω
A tensão de fase vale:
VF =
VL 3
=
220 3
= 127V RMS
portanto: I F = I L =
V F 127 = = 12,7 ARMS R 10
b) Potências ativa e aparente: cos φ =
R 6 = = 0,6 Z 10
P = 3.V L .I L . cos φ = 3.220.12,7.0,6 = 2,9kW
PAP = 3.V L .I L 3.220.12,7 = 4,84kVA 5) Idem ao exercício anterior, porém considerando o motor ligado em triângulo.
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c) Correntes de linha e de fase: VF = VL = 220VRMS
IF =
V F 220 = = 22 ARMS Z 10
I L = 3.I F = 3.22 = 38,1ARMS
d) Potências ativa e aparente: P = 3.V L .I L . cos φ = 3.220.38,1.0,6 = 8,71kW PAP = 3.V L .I L = 3.220.38,1 = 14,52kVA
Conclusão importante: Na carga triângulo, a corrente de linha é três vezes maior que na carga estrela, quando ligadas na mesma tensão. Como conseqüência, a potência também é três vezes maior. 6) O circuito a seguir, mostra o secundário de um transformador ligado em triângulo, com uma tensão de linha de 127VRMS. A carga é constituída de um motor trifásico de 5kW com FP = 0,85, e de três motores monofásicos de 2kW e FP=0,8, cada um ligado a uma fase. Determinar:
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a) Potências ativa, aparente e reativa da instalação: Motor trifásico: P = 5kW
PAP =
P 5000 = = 5,88kVA cos φ 0,85
cos φ = 0,85
φ = 31,8°
PR = PAP.senø = 5882.sen31,8° = 3,099kVAR Motores monofásicos: P = 2kW (de cada motor)
PAP =
P 2000 = = 2 ,5 kVA cos φ 0,80
Como os motores são iguais, a potência aparente dos três motores monofásicos é: cos φ = 0,8
PAP = 3.2500 = 7,5kVA
φ = 36,9°
A potência reativa dos três motores é: PR = PAP.senø = 5882.sen36,9° = 7500.0,6 = 4,5kVAR A potência ativa total é: PT = 5000 + 3.2000 = 11kW A potência reativa total é: PRT = 3099 + 4500 = 7,599kVAR A potência aparente total é: PApT = PT2 + PRT2 = 112 + 7,599 2 = 13,37 kVA
b) Corrente total de linha: PApT = 3.V L .I L
IL =
13370 3.127
= 60,78 ARMS
c) Fator de potência da instalação: PT = PApT . cos φ T
cos φ T =
PT 11 = = 0,823 PApT 13,37
Bibliografia: Circuitos em Corrente Alternada – Rômulo Oliveira Albuquerque, Editora Érica, 6ª Edição
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