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Tradução: Adir Moysés Luiz, Doutor em Ciência pela UFRJ, Prof. Adjunto do
Instituto de Física da UFRJ.
Capítulo 25
25-2: a) C =
b) V =
c) E =
25-4: a)
b)
25-6: a) Para duas superfícies esféricas concêntricas, a capacitância é:
V = 220 V, e Q = CV = (116 x 10-12 F)(220 V) = 2.55 x 10-8 C.
25-8: a)
O módulo da carga acumulada em capacitores em série is o mesmo,
enquanto que para capacitores em paralelo a carga é distribuída.
Logo,
Q3 = Q1 + Q2 = VCeq = (24.0 V)(3.42 x 10-6 F) = 8.21 x 10-
5 C.
Como C1 e C2 estão no mesmo potencial,
Q3 =
b) V2 = V1 = Q1/C1 = (3.08 x 10-5 C)/(3.00 x 10-6 F) = 10.3 V. e V3
= 24.0 V = 10.3 V = 13.7 V.
c) A diferença de potencial entre a e d é dada por: Vad = V1 = V2
= 10.3 V.
25-10: a)
b) V1 =Q/C1= 9.75 x 10-5 C/3.00 x 10-6 F = 32.5 V.
V2 = Q/C2 = 9.75 x 10-5 C/5.0 x 10-6 F = 19.5 V.
25-12: Ceq = Logo a capacitância equivalente em série é a mesma
capacitância de um capacitor de área A e distância (d1 + d2).
25-14: a) e b) A capacitância equivalente da combinação é igual a
6.0 (F, logo a carga total do sistema é: Q = CeqVab= (6.0 (F)
(36 V) = 2.16 x 10-4 C. Esta é também a carga no capacitor de
9.0 (F porque ela está conectada em série com o point b. Logo:
Então V3 = V11 = V12 + V6 = V – V9 = 36 V = 12 V.
( Q3 = C3V3= (3.0 (F)(12 V) = 3.6 x 10-5 C.
( Q11 = C11V11 = (11 (F)(12 V) = 1.32 x 10-4 C.
( Q6 = Q12 = Q – Q3 – Q11
= 2.16 x 10-4 C = 3.6 x 10-5 C – 1.32 x 10-4 C = 4.8 x 10-5 C.
Logo as voltagens finais podem ser calculadas:
c) Como os capacitores de 3 (F, 11 (F e 6 (F são conectados em
paralelo e estão em série com o capacitor de 9 (F, suas cargas
se somam com a carga do capacitor de 9 (F. Analogamente, as
cargas dos capacitores de 3 (F, 11 (F e 12 (F se somam com a
carga do capacitor de 9 (F.
25-16: a) V = Q/C = (2.55 (C)/(920 x 10-12 F) = 2772 V.
b) Como a carga é mantida constante enquanto a distância dobra,
concluímos que a capacitância cai para a metade do valor inicial
e a voltagem dobra para 5544 V.
c) Esta é a energia inicial armazenada no capacitor. Como a
capacitância cai para a metade do valor inicial e a voltagem
dobra, a energia armazenada dobra. Logo o trabalho realizado
para duplicar a distância entre as placas é igual à diferença de
armazenada no capacitor, ou seja, 3.53 x 10-3 J.
25-18: a) C = Q/V = (0.0180 (C)/(200 V) = 9.00 x 10-11 F.
b)
c) Emax = Vmax/d( Vmax = Emaxd = (3.00 x 106 V/m)(0.0015 m) = 4500
V.
d)
25-20: a) Q = CV0.
b) Eles devem possuir a mesma diferença de potencial, e a das duas
cargas da combinação deve ser igual à carga original. Logo:
e também Q1 + Q2 = Q = CV0
C1 = C e C2 =
( Q =
c) U =
d) A energia U original era U =
e) Foi dissipada como energia térmica nos fios e sob forma de
energia das ondas eletromagnéticas.
25-22: a) Quando a distância entre as placas diminui até a metade da
distância original enquanto a carga é mantida constante, a
capacitância aumenta enquanto a energia armazenada, que era
igual a 8.38 J, diminui porque U = Q2/2C. Logo a nova energia é
igual a 4.19 J.
b) Quando a voltagem é mantida constante enquanto a distância entre
as placas diminui até a metade da distância original, então o
dobro da capacitância faz dobrar a energia armazenada. A nova
energia é igual a 16.76 J, onde usamos a relação U = CV2/2,
quando V é mantida constante.
25-24: a) Para um capacitor esférico:
b) U =
25-26: a)
b) Quando a carga é igual a –8.00 nC, o campo elétrico apenas muda
de sentido, porém a densidade de energia permanece a mesma
porque u depende do quadrado de E.
25-28: a) E0 = KE = (3.60)(1.20 x 106 V/m) = 4.32 x 106 V/m ( ( =
(0E0 =
3.82 x 10-5 C/m2.
b) (3.82 x 10-5 C/m2)(1-1/3.60) = 2.76 x 10-5 C/m2.
c)
25-30: Quando colocamos um dielétrico entre as placas, a dedução da
Equação (25-19) continua válida, apenas devemos trocar (0 por (
. Para a dedução da Equação (25-11) usamos o mesmo procedimento.
25-32: a) (Q = Q – Q0 = (K – 1)Q0 = (K – 1)C0V0 = (2.1)(2.5 x 10-7
F)(12 V) =
6.3 x 10-6 C.
b) Qi = Q(9.3 x 10-6 C)(1-1/3.1) = 6.3 x 10-6 C.
c) O uso do milar entre as placas do capacitor não afeta o campo
elétrico porque a carga induzida cancela a carga adicional
acrescentada nas placas.
25-34: a)
b)
c) A carga ligada total é qb = q
25-36: a)
b) Q = CV = (4.8 x 10-11 F)(12 V) = 0.58 x 10-9 C.
c) E = V/d = (12 V)/(4.7 x 10-3 m) = 2553 V/m.
d) U = (4.8 x 10-11 F)(12 V)2 = 3.46 x 10-9 J.
e) Quando a bateria está desconectada a carga permanece constante,
e as placas se afastam até 0.0094 módulo Então os cálculos acima
podem ser repetidos e obtemos:
a) C = 2.41 x 10-11 F b) Q = 0.58 x 10-9 C
c) E = 2553 V/m d) U =
25-38: a) O sistema se comporta como dois capacitores em série, logo
Ceq =
C1 = C2 =
b) Use o princípio da superposição lembrando que para uma
única placa (e não porque neste caso a carga Q está somente
sobre uma face).
Entre 1 e 3:
Entre 3 e 2:
Entre 2 e 4:
Unova =
(U = Unova – U =
Este é o trabalho realizado para reagrupar as placas.
25-40:
Porém C =
Logo a tecla deve se deslocar até uma distância igual a:
7.00 x 10-4 m – 4.76 x 10-4 m = 0.224 mm.
25-42: Inicialmente: Q1 = C1V1 = (9.0 (F)(28 V) = 2.52 X 10-4 C;
Q2 = C2V2 =
(4.0 (F) x (28 V) = 1.12 x 10-4 C, e Ceq = C1 + C2 = 13.0 (F.
Logo a energia original armazenada é dada por
5.10 x 10-3 J.
Ao desconectar e inverter os capacitores, a carga total passa a
ser Q = Q2 – Q1 = 1.4 x 10-4 C, e a capacitância equivalente
continua a mesma Ceq = 13.0 (F. Logo a nova energia armazenada
é:
25-44: a)
Ceq = Logo a capacitância equivalente é a mesma
capacitância de cada capacitor individual e a voltagem se divide
entre cada par de capacitores, portanto V = 480 V.
b) Quando entre as placas de um capacitor existe um condutor
moderadamente bom, ele pode ser considerado como um "curto-
circuito" e portanto é removido do circuito, e o outro capacitor
seria submetido a uma tensão maior do que 600 V e também seria
removido do circuito.
25-46: a) Quando a chave está aberta:
Qtotal = CeqV = (4.00 (F)(210 V) = 8.4 x 10-4 C. Por
simetria,
cada capacitor possui uma carga igual a 4.20 x 10-4 C. As
voltagens são então calculadas por V = Q/C. Logo: Vad =
Q/C3 = 140 V, e
Vac = Q/C6 = 70 V ( Vcd = Vad – Vac = 70 V.
b) Quando a chave está fechada, os pontos c e d devem possuir o
mesmo potencial, logo a capacitância equivalente é:
( Qtotal = CeqV = (4.50 (F)(210 V) = 9.45 x 10-4 C, e
cada capacitor possui a mesma diferença de potencial
de 105 V (novamente, por simetria)
c) (Q = 9.45 x 10-4 C – 8.4 x 10-4 C = 1.05 x 10-4 C.
25-48: a)
logo
V2 = Q/C2 = (1.58 x 10-3 C)/(4.0 (F) = 395 V ( V3 = 660 V – 395
V= 265 V.
b) Quando desconectamos os capacitores de uma fonte de voltagem e
conectamos novamente os capacitores entre si, a diferença de
potencial permanece a mesma e a suma das suas cargas deve ser
igual à carga original.
25-50: a) Este caso é análogo ao caso de dois capacitores C1 em
série, cada qual com uma distância dada por:
b)
c) Quando
25-52: a)
b)
c)
d) Esta energia é igual a que é a energia necessária para
fazer a carga total se distribuir ao longo da esfera.
e) Pela Equação (25-9): pela parte (c) ( C = 4((0R, tal como
no Problema (25-51).
25-54: a)
b)
c) Usando a Equação (25-9):
da parte (b).
25-56: Este caso é análogo ao caso de dois capacitores C1 em paralelo,
cada qual com uma área igual a Logo
25-58: a)
b) C) ( 1 – 1/2.50) = 7.98 x 10-7 C.
c)
d) (1.33 x 10-6 C)(3000 V) = 2.00 x 10-3 J.
e)
f) Neste caso, realizamos um trabalho quando empurramos o material
isolante para dentro do capacitor porque o potencial constante
necessita de uma de maior quantidade de cargas sobre as placas.
Quando a carga é mantida constante, o campo elétrico puxa o
dielétrico e o campo elétrico (ou as cargas) é que realizam o
trabalho.
25-60: a) A força entre as duas placas paralelas é:
b) Quando V = 0, a distância é z0. Logo
c) Para A = 0.300 m2, z0 = 1.2 x 10-3 m, k = 25 N/m, e V = 120 V,
2z3 – (2.4 x 10-3 m)z2 + 3.82 x 10-10 m3 = 0 ( z = 0.537 mm,
1.014 mm.
d) No equilíbrio estável, a força que atua sobre o corpo em
qualquer direção fazendo o corpo sofrer um pequeno deslocamento,
deve sempre fazer o corpo retornar para sua posição de
equilíbrio. Calculando as forças para pequenos deslocamentos a
partir das posições de equilíbrio acima, verificamos que para a
distância de 1.014 mm o equilíbrio pode ser estável, porém para
a distância de 0.537 mm o equilíbrio não pode ser estável.
25-62: a) Para um capacitor esférico: Aqui temos efetivamente
dois capacitores em paralelo, CL e CU.
b) Usando uma superfície hemisférica gaussiana para cada
respectiva metade da esfera obtemos:
Porém QL = VCL e QU = VCU, QL + QU = Q.
Logo:
c) A densidade de carga livre no hemisfério superior e no inferior
é dada por:
d)
e) A carga ligada sobre a superfície plana da interface ar-
dielétrico é igual a zero, caso não fosse as cargas livres da
superfície esférica não estariam em equilíbrio.
25-64: a) Os capacitores estão em paralelo, logo:
b) Para a gasolina, com K = 1.95:
c) Para o metanol, com K = 33.
e) Este tipo de sensor para determinar o nível do tanque de
combustível funcionaria melhor com o metanol porque ele possui
um maior intervalo de valores para Kefet.
