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Tradução: Adir Moysés Luiz, Doutor em Ciência pela UFRJ, Prof. Adjunto do
Instituto de Física da UFRJ.
Capítulo 23
23-2: a)
(esquerda)= -(4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos(90 – 36.9o) = -24
N(m2/C
(topo) = -(4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos 90o = 0
(direita)= +(4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos (90o – 36.9o) = +24
N(m2/C
(base)= (4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos 90o = 0
(frente)= +(4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos 36.9o = 32 N(m2/C
(atrás)= -(4 x 103 N/C)(0.1 m)2 cos 36.9o = -32 N(m2 /C
b) O fluxo total através do cubo deve ser igual a zero; qualquer
fluxo que entra no cubo deve também sair dele.
23-4: (75.0 N/C)(0.240 m2) cos 70o 6.16 Nm2/C.
23-6: a) = q1/(0 = (4.00 x 10-9 C)/(0 = 452 Nm2/C.
b) = q2/(0 = (-7.80 x 10-9 C)/(0 = -881 Nm2/C.
c) = (q1 + q2)/(0 = (-3.80 x 10-9 C)/(0 = -429 Nm2/C.
d) = (q1 + q3)/(0 = (6.40 x 10-9 C)/(0 = 723 Nm2/C.
e) = (q1 + q2 + q2)/(0 = (1.40 x 10-9 C)/(0 = 158 Nm2/C.
f) Não porque estamos calculando o fluxo e não o campo elétrico. O
fluxo elétrico total só depende do valor carga interna total e
não do tipo da distribuição de carga.
23-8: a) Não existe nenhuma carga interna logo ( = 0
b)
c)
23-10: a) quando ( > 0 e uniforme, então a carga q dentro de
qualquer superfície fechada é maior do que zero.
( ( > 0 ( > 0, logo o campo elétrico não pode ser
uniforme, i.e.,
visto que uma superfície arbitrariamente escolhida engloba uma
quantidade de
carga diferente de zero, E deve depender da posição.
b) Contudo, dentro de uma pequena cavidade com densidade ( igual a
zero, o campo elétrico PODE ser uniforme. Note que o fluxo total
através de uma superfície fechada no interior desta cavidade será
nulo porque o campo elétrico ou não existe ou é constante. (Ver o
Exercício 23-49).
23-12: a) E(r = 0.450 m + 0.1 m) =
b) 0 dentro do condutor ou então as cargas livres se moveriam
sob a influência de forças, violando nossa hipótese
eletrostática.
23-14: a) ( = EA = q/(0 ( q = (0EA = (0 (1.40 x 105 N/C)(0.0610 m2)
= 7.56x10-8 C.
b) Dobrando-se a área da superfície: q = (0(1.40 x 105 N/C)(0.122
m2) = 1.51 x 10-7 C.
23-16: a) A carga positiva é atraída para superfície interna do
condutor pela
carga na cavidade. Seu módulo é o mesmo da carga da cavidade:
qdentro = +6.00 nC, visto que = 0 dentro de um condutor.
b) Sobre a superfície externa a carga é a combinação da carga
líquida sobre o
condutor e da carga oriunda quando a carga de +6.00 nC se
deslocou para
dentro da superfície:
qtot = qdentro + qfora ( qfora = qtot – qdentro = 5.00 nC –
6.00 nC = -1.00 nC.
12-18: a) Para uma distância de 0.1 mm a partir do centro,
a folha se comporta como se fosse "infinita," logo:
b) Para uma distância de 100 m a partir do centro, a folha se
comporta como se fosse "pontual," logo:
c) Se a folha fosse condutora o resultado seria o mesmo. A carga
se espalharia automaticamente para fora em ambas as faces,
fornecendo metade da densidade de carga sobre qualquer uma delas
nas vizinhanças de uma face. Diferentemente de um condutor, um
isolante distribui a carga em uma fina camada e não nas duas faces
como no condutor. Para pontos muito afastados a folha também se
comportaria como se fosse "pontual."
23-20: a) Dados
comprimento lateral L = 0.300 m,
e (3.00 N/C
( m)(0.300 m)2z = (0.27 N/C m)z = (0.27 N/C m)(0.300 m) =
0.081 N/C m2.
b) Fluxo total:
23-22: a) ( = EA = (125 N/C)(6.0 m2_ = 750 N (m2/C.
b) Visto que o campo elétrico é perpendicular à superfície, ( = 0.
c) Escolha uma superfície gaussiana coincidindo com a superfície
externa do volume. Logo:
750 – EA = q/(0 ( E = no
sentido positivo do eixo x. Visto que q < 0 deve existir algum
fluxo entrando, logo
EA ( - "EA" sobre a segunda face.
d) q < 0 porém o vetor E aponta para fora da face I. Isto resulta
de um campo elétrico externo que não altera o fluxo porém altera
o valor de E.
23-24: a) Para r < a, E = 0, visto que não existe carga interna.
Para a < R < b, E =visto que existe uma carga +q dentro da
superfície de raio r.
Para b < r < c, E = 0, visto que agora a carga –q cancela com
+q.
Para r > c, E = visto que agora a carga interna total é
+q.
b)
c) A carga é –q.
d) A carga é +q.
e)
23-26: a) r < a, E = visto que a carga interna é Q.
a < r < b, E = 0, visto que a carga –Q dentro da superfície da
coroa cancela a carga
+Q no centro da esfera.
r > b, E = visto que a carga interna total é –2Q.
b) A densidade na superfície é dada pela densidade de carga
superficial:
c) Sobre a superfície externa a densidade de carga superficial é:
d) A carga –Q está espalhada sobre a superfície interna e a carga
–2Q está espalhada sobre a superfície externa como mostra o
diagrama abaixo:
e)
23-28: a) (i) r < a, E = 0, visto que a carga interna é zero.
(ii) a < r < b, E = 0, visto que a carga interna é a zero.
(iii) b < r < c, E = visto que a carga interna é
+2q.
(iv) c < r < d, E = 0, visto que a carga interna total é zero.
(v) r > d, E = 0, visto que a carga interna total é zero.
b) (i) Q = 0
(ii) Q = +2q
(iii) Q = -2q
(iv) Q = 0
23-30: a)
b) r < R, E = 0 e r > 2R, E = 0, visto que a carga interna total
é zero.
R < r < 2R,
Substituindo ( do item (a) E =
c) Vemos que ocorre uma descontinuidade quando vamos da esfera
condutora para a esfera isolante produzida por uma fina camada
de cargas sobre superfície da esfera condutora — deveríamos ver
na verdade uma transição contínua ao passarmos da esfera
condutora para a esfera isolante.
23-32: a)
b) (i) r < a
(ii)
(iii)
(iv) c < r < d (
(v)
23-34: a) (i)
(ii) a < r < b, não existe carga interna, logo o campo elétrico
é zero.
(iii)
b) (i) A carga interna por unidade de comprimento é –a.
(ii) A carga externa por unidade de comprimento é +2a.
23-36: a) radialmente para fora.
b)
c) o campo elétrico para AMBAS regiões é E = logo os
resultados são consistentes.
d)
23-38: a) Considerando o núcleo como uma esfera positiva
uniformemente carregada, concluímos que somente em seu centro o
campo elétrico é nulo e a força sobre a carga é igual a zero.
b)
Logo, de acordo com a equação do movimento harmônico simples:
c) Quando f = 4.57 x 1014 Hz =
d) rreal/rThompson ( 1
e) Supondo r > R o elétron continuaria a oscilar porém seu
movimento não poderia ser um movimento harmônico simples, porque
para r > R, F varia com 1/r2, e portanto não é linear.
23-40: a)
Note que quando r ( ( e a = 2/a0, Q(r)
b) O campo elétrico é orientado radialmente para fora e possui
módulo:
23-42: a) Pela simetria, concluímos que o campo elétrico no centro
da placa é igual a zero. Não existe nenhuma direção privilegiada
ao longo do plano y-z, logo o campo elétrico só pode ter direção
ao longo do eixo x. Porém na origem, não podemos privilegiar nem
o sentido positivo nem o sentido negativo, portanto concluímos
que o campo elétrico deve ser igual a zero na origem.
b) Use uma superfície gaussiana com uma face de área A no plano y-
z para x =0, e outra face em um local com um valor de x
arbitrário. Então:
na direção e sentido do vetor
Note que E é igual a zero para x = 0.
Fora da placa, a carga interna é constante e não depende de x:
Na direção e sentido do vetor
23-44: a) Podemos colocar duas cargas +Q em cada lado da carga +q:
b) Para que a carga +q esteja em equilíbrio é necessário que a
soma das forças que atuam sobre ela seja igual a zero. Portanto,
para que ela fique em equilíbrio é necessário que no local onde
a carga se encontra o campo elétrico resultante produzido pelas
outras cargas seja igual a zero. Isto é possível, como mostra a
figura anterior. Contudo, para que o equilíbrio seja estável, o
campo elétrico em uma vizinhança em torno dela deve sempre fazê-
la retornar para sua posição de equilíbrio. Na figura anterior
isto só ocorre ao longo da direção horizontal. Porém, para que o
equilíbrio seja estável, isto deveria ocorrer ao longo de
qualquer direção. Portanto, na figura anterior a carga +q não
está em equilíbrio estável. No próximo item mostraremos que não
pode existir equilíbrio estável em qualquer situação envolvendo
apenas forças eletrostáticas.
c) Suponha que a carga +q seja removida até o infinito. Para
existir equilíbrio estável seria necessário que um campo
elétrico resultante apontasse para dentro da região onde a carga
se encontra, de modo a fazê-la retornar para sua posição de
equilíbrio. Desenhamos uma pequena superfície gaussiana em torno
do ponto onde a carga +q se encontrava. Para que um campo
elétrico resultante aponte para dentro da referida superfície
seria necessário que no local existisse uma carga negativa.
Porém não existe nenhuma carga negativa nesta região. Portanto
não pode existir equilíbrio estável.
d) Para que uma carga negativa esteja em equilíbrio estável, seria
necessário que um campo elétrico resultante apontasse para fora
da região onde a carga se encontra. Repetindo o raciocínio do
item (c) verificamos também que não pode existir equilíbrio
estável para uma carga negativa.
23-46: a)
b)
c)
d)
e)
23-48: a) que é a mesma expressão da aceleração da
gravidade para uma massa puntiforme.
b) No interior de uma casca esférica, a Minterna = 0, logo g = 0.
c) No interior de uma distribuição de massas uniforme em uma
esfera homogênea:
que é uma função linear em r.
23-50: Usando a técnica do Problema 23-49, inicialmente calculamos o
campo elétrico de um cilindro fora do eixo. Então o campo elétrico
no interior de um buraco dentro do cilindro é dado pela diferença
entre o campo elétrico de um cilindro maciço e o campo elétrico de
outro cilindro fora do eixo de simetria.
Note que é uniforme.
23-52: (Ver o Problema 23-51 com Q ( — Q para termos associados com a
esfera da direita)
a)
b)
c)
d)
23-54: a) Carga interna:
e
Portanto,
b)
visto que toda carga é interna.
c) Para a fração de Q entre as duas camadas,
d) usando qualquer uma das relações obtidas anteriormente
para o campo elétrico, e calculando para r = R/2.
e) A força total sobre um elétron nunca seria proporcional a –r
que é a condição
necessária para um movimento harmônico simples. Ocorrerá um
movimento oscilatório porque a força é atrativa, porém o módulo
desta força possui uma dependência de r não linear e o movimento
NÃO pode ser harmônico simples.
