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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES
UNIDADE CURRICULAR DE TOPOGRAFIA
TRABALHO DE TOPOGRAFIA
LEVANTAMENTO TAQUEOMÉTRICO
Poligonal Fechada:
A poligonal fechada é caracterizada por ter o último vértice coincidindo
com o vértice inicial, formando, desta forma, um POLÍGONO.
Cálculo da Poligonal:
O cálculo da poligonal fechada é idêntico ao cálculo de uma poligonal
aberta.
Na poligonal fechada há controle de fechamento angular e linear a partir de
uma precisão pré estabelecidas pelas "Normas Técnicas para Levantamentos
Topográficos" – NBR 13.133 da Associação Brasileira de Normas Técnicas.
Normalmente para precisão linear, são aceitos os valores:
1:1.000______para Poligonais Taqueométricas.
1:2.000______para Poligonais medidas com Trigonometria.
1:5.000______para Poligonais medidas com Trena.
1:10.000_____para Poligonais Eletrônicas.
Dependendo da precisão da Estação Total pode-se chegar a precisões, no
fechamento da poligonal, da ordem de 1:30.000 ou melhor.
A precisão angular depende, fundamentalmente, do Teodolito ou Estação Total
utilizada no levantamento topográfico.
A NBR 13.133 fornece as precisões para os diversos tipos de poligonais.
Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada:
Vamos a seguir mostrar os procedimentos feitos passo à passo para o cálculo
de uma poligonal fechada, tomando um exemplo qualquer para maior clareza do
processo.
Transcrição da caderneta de campo:
"E " "Ângulo "Ângulos "Leituras "Distâncias "Distâncias"
" "P.V. "Horizontal"Verticais" "(m) "Adotadas "
" " " " " " "(m) "
" " " " "FM "FS " " "
" " " " " "FI " " "
"1 "2 "73° 53' "83°48'26""1100 "1375 "54,360 "1 - 2"54,35"
" " "25" " " " " " "5 "
" " " " " "825 " " " "
" "4 " "85°20'02""2000 "2405 "80,464 " " "
" " " " " "1595 " " " "
"2 "3 "141° 15' "82°04'23""1000 "1255 "50,030 "2 - 3"50,01"
" " "38" " " " " " "5 "
" " " " " "745 " " " "
" "1 " "83°45'32""1200 "1475 "54,350 " " "
" " " " " "925 " " " "
"3 "4 "71° 33' "85°52'27""1400 "1825 "84,560 "3 - 4"84,58"
" " "08" " " " " " "8 "
" " " " " "975 " " " "
" "2 " "81°57'02""1200 "1455 "50,000 " " "
" " " " " "945 " " " "
"4 "1 "73° 17' "85°21'37""1900 "2035 "80,470 "4 - 1"80,46"
" " "37" " " " " " "7 "
" " " " " "1495 " " " "
" "3 " "86°48'46""1500 "1975 "84,616 " " "
" " " " " "1075 " " " "
Tabela I- Caderneta de Campo
Azimute Inicial Az4-1 = 38° 15' 02"
Obtido em campo com o auxílio da Bússola.
Coordenadas Iniciais:
X1 = 108,310
Y1 = 106,215
Caso não sejam fornecidas as coordenadas iniciais, determina-se "O ponto
Mais a Oeste" e para este ponto atribuem-se as coodenadas:
X1 = 0,000
Y1 = 0,000
O ponto de saída deverá ser sempre o de coordenadas conhecidas.
O azimute de saída deverá ser sempre da linha de ré do primeiro ponto ou
seja, o azimute deverá ser do último ponto para o primeiro ponto.
Tabela II- Transcrição da caderneta de campo para planilha
"E "PV "Ângulos "Azimute "Distância"
" " " " "(m) "
" " "Lido "Erro "Compensado " " "
" " "° "' "" "
" " "Lido "Erro "Compensado " " "
" " "° "' "" "" "° "' "" "° "' "" "
"180°.(n-2)"360"00 "00 " "Distribuição do "3" por Vértice "
" " " " " "erro angular " "
"Erro "= 12" " " "
Cálculos dos Azimutes de Vante e Ré:
O Azimute de uma linha é dado por:
Azn = Azn-1 ± an ± 180o
Onde:
Azn Azimute da linha.
Azn-1 Azimute da linha anterior.
Para um caminhamento da poligonal no sentido Horário, temos que:
+ an Ângulo horizontal Externo.
- an Ângulo horizontal Interno.
Para um caminhamento da poligonal no sentido anti-Horário, temos que:
+ an Ângulo horizontal Interno.
- an Ângulo horizontal Externo.
Tabela IV- Ângulos compensados e azimutes
"E "PV "Ângulos "Azimute "Distância"
" " " " "(m) "
" " "Lido "Erro "Compensado " " "
" " "
"0,177 "1: 1.522 "
Cálculo da correções (erro linear).
A correção no eixo X:
Cx 1-2 = ΔX' ΔX' / "ΔX'"
A correção no eixo Y:
Cy 1-2 = ΔY' ΔY' / "ΔY'"
Onde:
ΔX' Somatório das coordenadas na direção X, com o sinal.
ΔY' Somatório das coordenadas na direção Y, com o sinal.
"ΔX'" Somatório das coordenadas na direção X, sem o sinal.
"ΔY'" Somatório das coordenadas na direção Y, sem o sinal.
Observação:
Temos uma constante Kx e Ky, iguais à ΔX'/ "ΔX'" e ΔY'/ "ΔY'"
respectivamente, pois são invariáveis em ambos os casos.
Temos então:
Kx= 0,110/196,666
Kx= 0,000559
Ky= 0,139/167,217
Ky= 0,000831
Correções no eixo X:
Cx1-2 = 50,347 x 0,000559 = -0,028
Cx2-3 = 47,931 x 0,000559 = -0,027
Cx3-4 = 48,571 x 0,000559 = -0,027
Cx4-1 = 49,817 x 0,000559 = -0,028
Soma = -0,110
Correções no eixo Y:
Cy1-2 = 20,486 x 0,000831 = -0,017
Cy2-3 = 14,286 x 0,000831 = -0,012
Cy3-4 = 69,253 x 0,000831 = -0,058
Cy4-1 = 63,192 x 0,000831 = -0,052
Soma = -0,139
Observação:
O sinal da correção deverá ser sempre contrário do sinal do erro.
Compensação das coordenadas parciais:
São dadas pelas fórmulas:
ΔX = ΔX' + Cx
ΔY = ΔY' + Cx
Tabela V- Coordenadas e correções
"Coordenadas no eixo X "Coordenadas no eixo Y "
"Calculada "Correção "Compensada "Calculada"Correção "Compensada "
"ΔX' "Cx "ΔX "ΔY' "Cy "ΔY "
"-50,347 "-0,028 "-50,375 "+20,486 "-0,017 "+20,469 "
"-47,931 "-0,027 "-47,958 "-14,286 "-0,012 "-14,298 "
"+48,571 "-0,027 "+48,544 "-69,253 "-0,058 "-69,311 "
"-49,817 "-0,028 "-49,789 "+63,192 "-0,052 "+63,140 "
Observação:
O somatório das coordenadas compensadas deverá ser obrigatoriamente igual a
ZERO.
Coord. compensadas no eixo X:
Δx1-2 = -50,347 – 0,028 = -50,375
Δx2-3 = -47,931 – 0,027 = -47,958
Δx3-4 = 48,571 – 0,027 = 48,544
Δx4-1 = 49,817 – 0,028 = 49,789
Soma = 0,000
Coord. compensadas no eixo Y:
Δy1-2 = 20,486 – 0,017 = 20,469
Δy2-3 = 14,286 – 0,012 = -14,298
Δy3-4 = 69,253 – 0,058 = -69,311
Δy4-1 = 63,192 – 0,052 = 63,140
Soma = 0,000
Cálculo das coordenadas totais:
As coordenadas (abscissas e ordenadas) são calculadas pelas fórmulas:
Xn = Xn-1 + ΔX
Yn = Yn-1 + ΔY
Onde:
Xn Abscissa do ponto
Yn Ordenada do ponto
Xn-1 Abscissa do ponto anterior
Yn-1 Ordenada do ponto anterior
ΔX Projeção Compensada no eixo X
ΔY Projeção Compensada no eixo Y
X1 = 108,310 (Abcissa Inicial)
X2 = X1 + ΔX1-2
X2 =108,310 + (-50,375)
X2 = 57,935
X3 =57,935 + (-47,958)
X3 = 9,977
X4 =9,977+ (+48,544)
X4 = 58,521
X1 =58,521+ (+48,789)
X1 = 108,310
Y1 = 106,215 (Ordenada Inicial)
Y2 = Y1 + ΔY1-2
Y2 =106,215 + (20,469)
Y2 = 126,684
Y3 =126,684 + (-14,298)
Y3 = 112,386
Y4 =112,386+ (-69,311)
Y4 = 43,075
Y1 =43,075+ (-63,140)
Y1 = 106,215
Observação:
As coordenadas do ponto de chegada deverão ser iguais as coordenadas do
ponto de saída.
Tabela IV- Coordenadas totais
"Vértices "Coordenadas "
" "X "Y "
"1 "108,310 "106,215 "
"2 "57,935 "126,684 "
"3 "9,977 "112,386 "
"4 "58,521 "43,075 "
Correção das distâncias:
É dada pela fórmula:
D' = ΔX2 + ΔY2
Onde:
D' Distância corrigida
ΔX Projeção no eixo X compensada
ΔY Projeção no eixo X compensada
temos então,
D1-2 = (-50,375)2 + ( 20,469)2
D1-2 = 54,375m
D2-3 = (-47,958)2 + (-14,298)2
D2-3 = 50,044m
D3-4 = (48,544)2 + (-69,311)2
D3-4 = 84,620m
D4-1 = (49,789)2 + (-63,140)2
D4-1 = 80,409m
Correção dos Azimutes:
É dada pela Fórmula:
Az' = arccos (ΔY / D')
Caso ΔX, seja negativo, deveremos subtrair o resultado de 360o,
ou seja;
Az' = 360o - arccos (ΔY / D')
Temos então,
Az'1-2 = 360° - arccos (20,469/ 54,375)
Az'1-2 = 292°06' 48"
Az'2-3 = 360° - arccos (14,298/ 50,044)
Az'2-3 = 253°23' 56"
Az'3-4 = arccos (-69,311/ 84,620)
Az'3-4 = 144°59' 36"
Az'4-1 = arccos (63,140/ 80,409)
Az'4-1 = 38°15' 27"
Correção dos ângulos internos:
É dada pela mesma fórmula com que calcularam-se os Azimutes, apenas
substituindo-se os azimutes corrigidos.
an = Az'n – Az'n-1 ± 180o
a1= 292° 06' 48" - 38° 15' 27" –180°
a1 =73° 51' 21"
a2= 253° 51' 21" - 292° 06' 48" + 180°
a2 =141° 17' 7"
a3= 144° 59' 36" - 253° 23' 56" + 180°
a3 =71° 35' 40"
a4= 38° 15' 27" - 144° 59' 36"
a4 =73° 15' 51"
Observação:
Considerando-se todas as casas decimais dos segundos, temos que o somatório
dos ângulos internos devem satisfazer a fórmula:
Ai = 180°.(n-2)
Logo:
a1 + a2 + a3 + a4 =360°
73° 51' 21" + 141° 17' 7" + 71° 35' 40" + 73° 15' 51"
" 360° 00' 00"
Desenho da Planta:
Os vértices da poligonal e os pontos de referência mais importantes devem
ser plotados segundo suas coordenadas (eixos X e Y), enquanto os pontos de
detalhes comuns (feições) devem ser plotados com o auxílio de um software
topográfico, ou ainda, plotados manualmente, com escalímetro, compasso e
transferidor. No desenho devem constar:
As feições naturais e/ou artificiais;
A orientação verdadeira ou magnética;
A data do levantamento;
A escala gráfica e numérica;
A legenda e convenções utilizadas;
O título (do trabalho);
O número dos vértices, distâncias e azimutes dos alinhamentos;
Os eixos de coordenadas;
Área e perímetro; e
Os responsáveis pela execução.
Memorial Descritivo:
Documento indispensável para o registro em cartório da superfície
levantada. Deve conter a descrição pormenorizada desta superfície no que
diz respeito à sua localização, confrontação, área, perímetro, nome do
proprietário, etc.
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