Resumo Algebra Linear

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Resumo de Álgera Linear III unidade I. Produto interno: É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação “pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois vetores, v e w, por . Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas: Para vetores e : a) b) c) ; ; ; d) . Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I. Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é . II. Módulo de um vetor: Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟ dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco. O módulo de um vetor é definido como: produto interno, temos a garantia de que ). (pela propriedade „d‟ do III. Ângulo entre dois vetores: Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em questão. Sabe-se da Geometria Analítica que: Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto: IV. Ortogonalidade de vetores: Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se: 1 Resumo de Álgera Linear III unidade IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si. É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas. Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo. V. Normalização de vetores: Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um. Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é: . um vetor IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados. IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e NORMAL. VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt): Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia: Vetorialmente:  E, pela figura: ; assim como . O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até dimensões. Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal . A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então: Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele, obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do da figura). 2 Resumo de Álgera Linear III unidade Ex.: Seja uma base, ache uma base ortogonal a partir dela: Primeira coisa a se fazer é escolher um vetor qualquer de para ser o primeiro vetor da base ortogonal. Por fim, utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para se obter os demais vetores. Fazendo : : : Portanto, a base é uma base ortogonal (VERIFIQUE a ortogonalidade dois-a-dois vetores (produto interno entre eles igual a zero)). Obs.: Daí se tira o passo-a-passo para se obter uma base ortogonal: 1) Acha-se uma base qualquer (I unidade); 2) Utiliza-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt; 3) CASO você queria uma base ORTONORMAL, basta normalizar os vetores da base ortogonal encontrada. VII. Coordenadas: Foi visto que para se determinar as coordenadas de um vetor é necessário fazer uma combinação linear e resolver um sistema (o que pode ser, convenhamos, bastante trabalhoso). Uma das vantagens de se trabalhar com uma base ortogonal (e mais ainda se for ortonormal) é que as coordenadas podem ser obtidas de uma forma mais direta. Seja o vetor com coordenadas, em relação a uma base qualquer , , a i-ésima coordenada (é preciso entender que, ao se falar de i-ésima, estamos falando de algo que é obtido trocando o „i‟ pela ordenação. Por exemplo, a primeira coordenada é 3 Resumo de Álgera Linear III unidade quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por diante) é obtida através da „fórmula‟: E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor Ex.: Quais as coordenadas ? do vetor em relação ao vetor em relação à ‟. base A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico. Analisando os vetores aos pares: i) ii) iii) . Os vetores são ortogonais entre si. . Os vetores são ortogonais. . Os vetores são ortogonais. Então a base das coordenadas. é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção i) A primeira coordenada: ii) A segunda coordenada: iii) A terceira coordenada: Logo, um vetor qualquer tem coordenadas em relação à base : IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em questão é ortogonal (ou ortonormal). Obs.: Se a base for ortonormal, repare que coordenada se resume a . 4 para qualquer , portanto a Resumo de Álgera Linear III unidade VIII. Complemento ortogonal de um subespaço: Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores ortogonais aos vetores do subespaço . Ou seja: Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de . Resumidamente: Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence tanto a quanto a . Portanto . Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de . Dizemos portanto que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante pois nos garante que e, sendo base de e base de , podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem ortogonais/ortonormais, também será). Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de : 1) Determinar o subespaço e uma base dele; 2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a todos os vetores da base de ; 3) Fazer a condição de . Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e a) O complemento ortogonal de b) Uma base de . c) Uma base de V. , determine: . Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior: a) Passo-a-passo do complemento ortogonal: 1) já está determinado, falta achar uma base: O vetor na forma mais geral é Separando as „letras‟: . Colocando em „evidência‟: Como 5 e . . são LI, formam uma base de . Resumo de Álgera Linear III unidade 2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada anteriormente, portanto, seja um vetor qualquer de , logo: . , logo 3) : . . b) Passo-a-passo para achar uma base: O vetor na forma mais geral é . Separando as „letras‟: . Colocando em „evidência‟: Como e . são LI, formam uma base de c) Como a soma direta de e . e de . resultam em , uma base de é a união das bases de IX. Operador linear auto-adjunto: Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica (como se tivesse um espelho na diagonal principal), isto é: A definição é que, sejam Ex.: Seja , o operador E o produto interno usual, diga se vetores e será um auto-operador se, e somente se: definido por: é auto-adjunto. A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim, normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o já é ortonormal. Agora é achar a matriz da transformação linear: i) 6 ; sem restrições, a base canônica Resumo de Álgera Linear III unidade ii) iii) ; . Lembrando que . Então: que é uma matriz simétrica (números coloridos). Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é simétrica, o operador é auto-adjunto. Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais, bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é garantia que se pode diagonalizar este operador. Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto: 1) Determinar uma base ortonormal; 2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base; 3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta. X. Operador (e matriz) ortogonal: Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja: Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja: Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal: i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação. Ou seja: ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal) formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo: Seja uma base ortonormal. Seja , se , (VERIFIQUE). 7 forem eles tomados formam uma os base vetores ortonormal Resumo de Álgera Linear III unidade Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as condições anteriores). Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal (utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis: i) ii) Se você tem a matriz: a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter uma através desta primeira); b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Se você tem a transformação linear definida: a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja, se . Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal: Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com relação ao produto escalar. i) Coluna 1: ii) Coluna 2: iii) Coluna 3: ; ; . Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si: i) ii) iii) Colunas 1 e 2: ; Colunas 1 e 3: Colunas 2 e 3: ; . Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar, então a matriz é ortogonal. IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL. Ex².: Seja ortogonal. com produto interno usual onde . Diga se T é Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do vetor é preservado: 8 Resumo de Álgera Linear III unidade Como , temos que é um operador ortogonal. XI. Projeção ortogonal: A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de um em outro). Para ter uma noção geométrica, imagine o pela origem . e um subespaço dele, um plano que passa Na figura a seguir um vetor (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul) sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais sentido tentar uma visualização geométrica. A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo: Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um autovetor associado ao autovalor 1”). A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de um vetor de em ) é o vetor nulo: Seja , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor associado ao autovalor 0”); IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor subespaço : a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ; 9 em um Resumo de Álgera Linear III unidade b) Calcula a projeção pela fórmula: , onde: Projeção do vetor sobre o subespaço Base ortogonal (ou ortonormal) de ; . Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais geral no lugar de . Ex.: Seja , ache e depois ache . Aplicando o passo-a-passo: a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas): i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ; ii) “Separando por letras”: (já está separado); iii) Colocando em evidência: Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é único é ortogonal); iv) Normalizando: v) ; é base ortonormal de . b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso, e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada, : . c) Substituindo por : Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido (repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor . XII. Reflexão: Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo. A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta. 10 (de Resumo de Álgera Linear III unidade A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. . Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor .A reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto. . Então os vetores de são autovetores associados ao autovalor . IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço : a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço; b) Aplicar a “fórmula”: ; A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço). para dar a ideia Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal (verde  projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por soma vetorial: Além de: Substituindo a primeira igualdade na segunda: IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a reflexão de um subespaço em um subespaço : a) b) c) d) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ; Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ; Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas; Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das entradas do vetor mais geral); e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear; Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral. Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P). 11 Resumo de Álgera Linear III unidade Ex.: Seja , ache e depois ache . PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO: Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é: Aplicando a fórmula: Para o vetor específico (4,-2): PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO: a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço : Como a condição já está dada, os vetores de é base ortogonal de . são da forma , então b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço : é base ortogonal de c) Fazer a base do subespaço (VERIFIQUE). ser a união das duas bases encontradas: é base ortogonal de . d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das entradas do vetor mais geral): O vetor que queremos é o mais geral de , : Daí tiramos o sistema: Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor ( ), portanto eles devem ser isolados.Isolando e : 12 Resumo de Álgera Linear III unidade e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear: Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide resumo da 2ª unidade): Substituindo os valores de e : Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ), portanto: Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor ), portanto: Então temos no fim que: Para o vetor específico (4,-2): XIII. Cônicas: Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor a matriz é: que satisfazem a equação: correspondente ao ponto, onde Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial: Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de (espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto admite uma base de autovetores ortonormais. 13 Resumo de Álgera Linear III unidade Rotação: As cônicas podem ser “desenhadas” no plano . O que chamamos de termo cruzado é o termo que multiplica ao mesmo tempo e . No caso apresentado, é o termo . O termo cruzado está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte forma: Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a forma canônica da cônica: Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir toda a forma canônica. e e, assim, Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do plano). Esses dois autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a mudança de coordenadas de para : Temos então que: Obs.: Note que não muda com a mudança de base. A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores: Translação: Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2). Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a origem coincida com o centro da cônica. IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é: a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão a nova base ortonormal); b) Determinar e ; c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica. 14 Resumo de Álgera Linear III unidade Ex.: Considere a cônica . a) Escreva a equação da cônica na forma matricial. b) Determine uma base ortonormal de de forma que a equação com novas coordenadas nesta base não tenha termo misto (cruzado). Escreva esta nova equação explicitamente e classifique a cônica. a) Basta determinar as correspondências dos termos, lembrando que:  Temos então que: Portanto, na forma matricial: b) A base ortonormal que elimina o termo cruzado é a base de autovetores normalizados: # Achando os autovalores: Os autovalores são as raízes do polinômio característico (vide resumo da 2ª unidade): # Achando os autovetores para entender os passos): 15 associados a cada autovalor (vide resumo da 2ª unidade Portanto o autovetor na forma mais geral fica . Normalizando para a forma : e um autovetor associado a é Portanto o autovetor na forma mais geral fica . e um autovetor associado a é Resumo de Álgera Linear III unidade Normalizando para a forma : A base ortonormal que elimina o termo cruzado é: # Determinando Lembrar que: e : Fazendo as equivalências: E portanto: # Determinando a nova forma matricial da cônica: Lembrar que: Fazendo as equivalências: # Determinando a nova forma canônica da cônica: Lembrar que: Fazendo as equivalências: E não há necessidade de fazer translação. # Classificando a cônica: Logo, a cônica é uma parábola. A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão. A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo . 16 Resumo de Álgera Linear III unidade XIV. Quádricas: As quádricas são semelhantes às cônicas, mas são superfícies, ou seja, são tridimensionais. Tudo o que se aplica nas cônicas, aplica-se nas quádricas. Elas são da forma: E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor onde a matriz é: correspondente ao ponto, Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial: Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de (espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto admite uma base de autovetores ortonormais. Rotação: As quádricas podem ser “desenhadas” no espaço. No caso apresentado, são os termos „d‟, „e‟, „f‟. Assim como nas cônicas, é preferível eliminar esses termos. Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a quádrica eliminando os termos cruzados da seguinte forma: 17 Resumo de Álgera Linear III unidade Onde , e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a forma canônica da quádrica: Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir , toda a forma canônica. e e, assim, Serão encontrados três autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do plano). Esses autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a mudança de coordenadas de para : Temos então que: Obs.: Note que não muda com a mudança de base. A quádrica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores: Se os três autovalores tiverem o mesmo sinal, ela é uma elipsóide; Se pelo menos um autovalor tiver sinal diferente dos outros, ela é uma hiperbolóide; Se pelo menos um autovalor for nulo, ela é uma parabolóide. 18