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Resumo: FEP 2196 Humberto S. Shiromoto Sum´ ario 1 Mecˆ anica 1.1 Rota¸c˜oes e momento angular . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Cinem´atica do corpo r´ıgido . . . . . . . . 1.1.2 Representa¸c˜ao vetorial das rota¸c˜oes . . . . 1.1.3 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dinˆamica de corpos r´ıgidos . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Momento de in´ercia . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Rela¸c˜ao entre torque e momento de in´ercia 1.2.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Conserva¸c˜ao do momento angular . . . . . 1.2.5 C´alculo de momentos de in´ercia . . . . . . 1.2.6 Momento angular e velocidade angular . . 1.3 Girosc´opio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 For¸cas inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 As transforma¸c˜oes de Galileu . . . . . . . 1.4.2 Referencial acelerado . . . . . . . . . . . . 1.4.3 A for¸ca centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 For¸cas de in´ercia num referencial girante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 5 5 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 12 14 14 2 Movimento ondulat´ orio 2.1 Oscilador harmˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Oscila¸c˜oes harmˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Superposi¸c˜ao de movimentos harmˆonicos simples 2.2 Oscila¸c˜oes amortecidas e for¸cadas . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Amortecimento subcr´ıtico ( γ2 < ω0 ) . . . . . . . . 2.2.2 Amortecimento supercr´ıtico ( γ2 > ω0 ) . . . . . . . 2.2.3 Amortecimento cr´ıtico ( γ2 = ω0 ) . . . . . . . . . . 2.2.4 Oscila¸c˜oes for¸cadas. Ressonˆancia . . . . . . . . . 2.2.5 Oscila¸c˜oes for¸cadas amortecidas . . . . . . . . . . 2.3 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 16 18 18 19 19 20 20 21 22 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ SUMARIO 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2 Ondas unidimensionais . . . . Equa¸c˜ao das cordas vibrantes Intensidade de uma onda . . . Interferˆencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Relatividade 3.1 Defini¸c˜ao de Einstein da simultaneidade . . . . . . 3.2 As transforma¸c˜oes de Lorentz . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Transforma¸c˜ao dos comprimentos . . . . . . 3.2.2 As transforma¸c˜oes de Lorentz - caso geral . 3.3 Efeitos cinem´aticos das Transforma¸c˜oes de Lorentz 3.3.1 A contra¸c˜ao de Lorentz . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Dilata¸c˜ao dos intervalos de tempo . . . . . . 3.4 A lei relativ´ıstica de composi¸c˜ao de velocidades . . 3.4.1 Velocidade relativa . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Momento relativ´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Energia relativ´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Energia cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Rela¸c˜ao em momento e energia total . . . . 3.6.4 Coment´ario sobre a rela¸c˜ao massa-energia . 3.6.5 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 25 25 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 27 27 28 29 29 30 30 31 32 32 32 32 32 32 33 Sobre o resumo Este resumo foi produzido enquanto fiz o curso de FEP 2196 (F´ısica II para engenharia). A maior parte dos textos foi extra´ıdo do livro de H. Moys´es Nussenzveig. Assim, todos os cr´editos s˜ao devidos a este autor. ´ recomendado ler a mat´eria nos livros Curso de F´ısica B´asica volumes E 1, 2 e 4 do autor acima mencionado. 3 Cap´ıtulo 1 Mecˆ anica 1.1 1.1.1 Rota¸c˜ oes e momento angular Cinem´ atica do corpo r´ıgido Defini¸c˜ ao 1.1.1 (Corpo r´ıgido). Um corpo ´e r´ıgido quando a distˆ ancia entre duas part´ıculas quaisquer do corpo ´e invari´ avel. Defini¸c˜ ao 1.1.2 (Graus de liberdade). Chamam-se graus de liberdade de um sistema os parˆametros que ´e preciso fixar para especificar a posi¸c˜ ao do sistema. 1.1.2 Representa¸ c˜ ao vetorial das rota¸ c˜ oes Consideremos um corpo r´ıgido em rota¸c˜ao em torno de um eixo e uma sec¸c˜ao transversal (perpendicular ao eixo de rota¸c˜ao) do corpo, que tomamos como plano xy de um sistema de coordenadas com origem O no eixo de rota¸c˜ao Oz (Fig. 11.7 - p´ag. 226). Defini¸c˜ ao 1.1.3 (Vetor deslocamento). Seja P um ponto da sec¸c˜ ao transversal, a` distˆancia r da origem, que sofre um deslocamento infinitesimal (tomado como a dire¸c˜ao da tangente ao c´ırculo da figura) P P 0 = δs com um ˆ angulo de rota¸c˜ao infinitesimal δθ e seja OP = r o vetor posi¸c˜ ao de P . Definimos o vetor deslocamento δs como sendo o produto vetorial indicado pelo sinal × δs = δθ × r seu sentido e sua dire¸c˜ao ser˜ao dados pela regra da m˜ ao direita. 4 ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 5 Defini¸c˜ ao 1.1.4 (Vetor velocidade angular). O vetor velocidade instantˆ anea de um ponto P do corpo r´ıgido em rota¸c˜ ao, que tem um deslocamente infinitesimal δs durante um intervalo de tempo infinitesimal δt, ´e dado por     δθ δs = lim ×r =w×r (1.1) v = lim δt→0 δt→0 δt δt onde  w = lim δt→0 δθ δt  = dθ dt se chama vetor velocidade angular. A dire¸c˜ao e o sentido de w ser˜ ao dados pela regra da m˜ ao direita. 1.1.3 Torque Consideremos uma haste r´ıgida girando em torno de uma extremidade fixa O sob a¸c˜ao de uma for¸ca F aplicada no ponto P , `a distˆancia r do ponto O (fig. 11.13 - p´ag. 229). A for¸ca F faz um ˆangulo ϕ com a dire¸c˜ao de OP = r. Numa rota¸c˜ao infinitesimal ∆θ, o ponto P sofre um deslocamento P P 0 que se confunde com a tangente ao c´ırculo de centro O e raio r no ponto P , sendo portanto perpendicular `a dire¸c˜ao de r. A proje¸c˜ao F na dire¸c˜ao do deslocamento ´e F = sin ϕ e a magnitude do deslocamento do ponto de aplica¸c˜ao ´e |P P 0 | ≈ r∆θ. Conclu´ımos que • Somente a componente perpendicular da for¸ca ´e eficaz na produ¸c˜ao da rota¸c˜ao; • A for¸ca ´e tanto mais eficaz na produ¸c˜ao de rota¸c˜ao quanto maior for o bra¸co de alavanca. Defini¸c˜ ao 1.1.5 (Torque). Chama-se torque τ da for¸ca F em rela¸c˜ao ao ponto O a rela¸c˜ao τ = r × F. (1.2) As dimens˜oes de τ s˜ao as mesmas de trabalho (for¸ca × deslocamento) e a unidade SI de torque ´e N×m. 1.1.4 Momento angular , Defini¸c˜ ao 1.1.6 (Momento angular). Da 2a lei de Newton temos que F = dp dt na dinˆamica de rota¸c˜oes F deve ser o torque τ = r × F , onde r = OP , disso temos que: dp d dr r×F =r× = (r × p) − ×p dt dt dt ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA mas dr dt 6 = v e portanto d d (r × p) − (v × mv) = (r × p). | {z } dt dt =0 segue que dl (1.3) dt onde l = r × p ´e o que se chama momento angular da part´ıcula em rela¸c˜ ao ao ponto O. O sentido e dire¸c˜ao do vetor seguem a regra da m˜ ao direita. τ= A equa¸c˜ao 1.3 pode ser considerada como a lei fundamental da dinˆ amica de rota¸c˜oes para uma part´ıcula: a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento angular de uma part´ıcula em rela¸c˜ao a um ponto O ´e igual ao torque em rela¸ca˜o ao ponto O que atua sobre essa part´ıcula. Lei da conserva¸c˜ ao do momento angular de uma part´ıcula τ = 0 ⇒ l = constante ou seja, se a resultante dos torques em rela¸c˜ao a um dado ponto se anula, o momento angular do sistema em rela¸c˜ao a esse ponto se conserva. Isto vale sempre na ausˆencia de for¸cas externas; neste caso, como o torque ´e nulo em rela¸c˜ao a qualquer ponto do espa¸co, o momento angular em rela¸c˜ao a qualquer ponto se anula. Esta ´e uma lei de conserva¸c˜ao vetorial, ou seja, por um lado a conserva¸c˜ao de L implica na conserva¸c˜ao de seu m´odulo, dire¸c˜ao e sentido; por outro lado, a lei se aplica separadamente a cada componente. Momento angular de um sistema de part´ıculas Consideremos um sistema formado por N part´ıculas, e seja mi a massa da part´ıcula i (i = 1, 2, . . . , N ), de vetor de posi¸c˜ao ri (t) e velocidade vi (t) em rela¸ca˜o a uma dada origem O (Fig. 11.25 - p´ag. 235) no instante t. O momento angular total do sistema em rela¸c˜ao a O ´e N N X X L= ri × p i = m i ri × v i i=1 i=1 Se ri0 e vi0 s˜ao o vetor posi¸c˜ao e a velocidade da part´ıcula i em rela¸c˜ao ao CM, obtemos L = L0 + R × P ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA N X onde L0 = N X ri0 × p0i ; R = i=1 7 N X m i ri i=1 N X ; P =V N X mi ; V = i=1 mi i=1 mi vi i=1 N X . mi i=1 Lei fundamental da dinˆ amica das rota¸ c˜ oes A equa¸c˜ao 1.3 d´a ! N N N N X X dL d X dri dvi X = m i ri × vi = mi × vi + m i ri × = m i r i × ai dt dt i=1 dt dt i=1 i=1 i=1 Da an´alise do torque, temos que: N N X N X dL X (ext) = ri × Fi + ri × Fij dt i=1 j=1 i=1 i6=j onde Fij ´e a for¸ca da part´ıcula i que age na part´ıcula j. A dupla somat´oria n˜ao se altera se trocarmos os nomes dos ´ındices i e j de modo que podemos escrever N N N XX 1XX 1XX ri × Fi = [ri × Fij + rj × Fji ] = (ri − rj ) × Fij 2 2 i,j=1 i,j=1 i,j=1 i6=j i6=j i6=j As for¸cas internas s˜ao tais que a sua linha de a¸c˜ao est´a dirigida segundo a linha que une as duas part´ıculas, ou seja Fij k (ri −rj ), logo (ri −rj )×Fij = 0 e portanto chegamos a conclus˜ao que a resultante dos torques internos do sistema ´e nula. Ent˜ao obtemos N N X (ext) dL X (ext) = τi = τ (ext) = ri × Fi dt i=1 i=1 que ´e a lei fundamental da dinˆ amica das rota¸c˜ oes para um sistema de part´ıculas: a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento angular total do sistema em rela¸c˜ao a um ponto O (num referencial inercial) ´e igual ` a resultante de todos os torques externos, em rela¸c˜ ao a O, que atuam sobre o sistema. Adotando-se o referencial do CM temos, analogamente, que dL0 = τ0 dt logo, a equa¸c˜ao ´e a mesmo estando o CM acelerado ou n˜ao. ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 1.2 1.2.1 8 Dinˆ amica de corpos r´ıgidos Momento de in´ ercia Consideremos um pequeno disco de massa m que desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando em torno do centro O da mesa, da qual est´a ligado por um fio que passa por um orif´ıcio no ponto O e ´e puxado vesticalmente para baixo com uma for¸ca F . A for¸ca transmitida pelo fio ao disco ´e uma for¸ca central, dirigida sempre para O, de modo que o momento angular deve conservar-se. A for¸ca necess´aria para manter o disco em rota¸c˜ao ´e a for¸ca centr´ıpeta de magnitude F = mv 2 /r, onde r ´e o raio do c´ırculo descrito. Se aumentarmos lentamente a for¸ca exercida sobre o fio, o raio do c´ırculo diminuir´a para r + ∆r (∆r < 0), conforme figura 11.24 (p´ag. 233). Seja v + ∆v o novo valor da velocidade. A varia¸c˜ao ∆T de energia deve ser igual ao trabalho ∆W realizado: 2 ∆T = 12 m(v + ∆v)2 − 12 mv 2 ≈ mv∆v = ∆W = − mvr ∆r ⇒ mr∆v + mv∆r = 0 ⇒ ∆(mvr) = ∆l = 0 de modo que o momento angular se conserva. ´ tamb´em interessante exprimir o momento angular em termos da veloE cidade angular ω da part´ıcula, como v = ωr, temos l = mvr = mr2 ω = Iω onde I = mr2 (1.4) se chama momento de in´ercia da part´ıcula em rela¸c˜ao a O, o momento de in´ercia desempenha um papel an´alogo ao da massa. Podemos imaginar um corpo composto de i part´ıculas de massa ∆mi com distribui¸c˜ao cont´ınua situadas a distˆancias ρi de um eixo de rota¸c˜ao. A componente LZ do momento angular total ! do corpo r´ıgido em rela¸c˜ao a O X X ser´a ent˜ao LZ = lZ,i = ρ2i ∆mi ω. Passando ao limite do cont´ınuo i i resulta: LZ = Iω onde Z I= ρ2 dm (1.5) ´e o momento de in´ercia do corpo r´ıgido em rela¸c˜ao ao eixo de rota¸c˜ao. Para calcular I, temos de multiplicar cada elemento de massa dm do corpo por ρ2 , e integrar sobre todo o corpo. ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 1.2.2 9 Rela¸ c˜ ao entre torque e momento de in´ ercia Vamos tomar o eixo fixo OO0 como eixo dos z, com o origem num ponto O do mesmo (Fig. 12.1 - p´ag 248) e considerar um ponto P num plano O0 x0 y 0 (sec¸ca˜o transversal). Ou ´nico grau de liberdade ´e descrito pelo ˆangulo ϕ do ponto P em torno de Oz, a velocidade v de rota¸c˜ao ´e perpendicular ao raio vetor O0 P = ρ no plano O0 x0 y 0 . O momento angular em rela¸c˜ao ao ponto O da figura ´e: l = m(z +ρ)×v = mz × v + mρ × z. Temos que z × v ⊥ z e que ρ × v k z. Neste problema s´o nos interessa a componente do momento angular ao longo do eixo de rota¸c˜ao (lZ ). Podemos, agora, aplicar a lei fundamental da dinˆamica das rota¸c˜oes dLdtZ = (ext) d (Iω) = τZ . Como I e ω n˜ao dependem da escolha do ponto O, o mesmo dt (ext) vale para τZ , ent˜ao temos que (ext) τZ = Iα (1.6) onde α = ω˙ = ϕ¨ ´e a acelera¸c˜ao angular. A equa¸c˜ao 1.6 ´e an´aloga `a 2.a lei de Newton F = ma no movimento unidimensional. 1.2.3 Energia Energia cin´ etica Um elemento de massa dm do corpo `a distˆancia ρ do eixo de rota¸c˜ao tem uma energia cin´etica de rota¸c˜ao 12 v 2 dm = 12 ρ2 dmω 2 de modo que a energia cin´etica de rota¸c˜ao total do corpo ´e: Z 1 1 2 T = ω ρ2 dm = Iω 2 (1.7) 2 2 Torema da energia cin´ etica O trabalho realizado pelas for¸cas aplicadas a um X sistema de part´ıculas X Xnuma rota¸c˜ao infinitesimal ∆θ ´e ∆W = Fi ∆ri = Fi (∆θ × ri ) = (ri × i i i Fi )∆θ = τ ∆θ onde τ ´e o torque resultante sobre o sistema e ∆θ = ∆ϕˆ z de modo que o trabalho numa rota¸c˜ao finita de ϕ0 a ϕ1 ´e Z ϕ1 Wϕ0 →ϕ1 = τZ dϕ (1.8) ϕ0 ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 10 e temos que 1 1 Wϕ0 →ϕ1 = Iω12 − Iω02 = T1 − T0 2 2 1.2.4 (1.9) Conserva¸ c˜ ao do momento angular Para o caso particular de um sistema em rota¸c˜ao em torno de um eixo fixo aplica-se a lei de conserva¸c˜ao do momento angular: (ext) τZ = 0 ⇒ LZ = Iω = constante (1.10) , ou seja, se a resultate dos torques externos na dire¸c˜ ao do eixo se anula, o produto da velocidade angular pelo momento de in´ercia em rela¸c˜ ao ao eixo se conserva. Para um corpo r´ıgido, as distˆancias ρ ao eixo permanecem constantes, de modo que I = constante e a 1.10 equivale a ω = constante, ou seja, conserva¸c˜ao da velocidade angular. Por´em para um sistema n˜ao-r´ıgido, cujo momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo pode variar durante a rota¸c˜ao, passando, de I0 para I1 . Nesse caso, a velocidade angular tamb´em varia de ω0 para ω1 de tal forma que I0 ω0 = I1 ω1 (1.11) para a posi¸c˜ao angular um sistema isolado pode alterar sua velocidade de rota¸c˜ao em torno de um eixo atrav´es puramente de for¸cas internas, alterando o momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo. 1.2.5 C´ alculo de momentos de in´ ercia Corpo Eixo de rota¸c˜ao Momento de in´ercia Anel circular delgado Em torno do centro I = M R2 Disco circular Em torno do centro I = 12 M R2 1 Barra delgada Em torno do centro I = 12 M L2 Barra delgada Em torno de uma extremidade I = 13 M L2 Esfera Em torno de um diˆametro I = 25 M R2 Cilindro Em torno de uma geratriz I = 32 M R2 Tabela 1.1: Momento de in´ercia para diferentes corpos. Teorema 1.1 (dos eixos paralelos - Steiner). O momento de in´ercia de um corpo qualquer em rela¸c˜ao a um eixo ´e a soma do momento de in´ercia em rela¸ca˜o a um eixo paralelo, passando pelo CM, com o produto da massa M ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 11 pelo quadrado da distˆancia l entre os dois eixos I = ICM + M l2 1.2.6 (1.12) Momento angular e velocidade angular As dire¸c˜oes dos vetores momento angular e velocidade angular n˜ao precisam ser as mesmas e neste caso temos dl =τ =ω×l dt (1.13) Consideremos um corpo r´ıgido que tem um eixo de simetria, em rota¸c˜ao em torno do mesmo, neste caso s˜ao v´alidas as equa¸c˜oes: 1.13 e L0 = ICM ω. Defini¸c˜ ao 1.2.1 (Precess˜ao). O movimento do vetor L descrevendo um cone ao redor do vetor de rota¸c˜ao ω ´e chamado de precess˜ ao e ele ´e descrito pela 1.13. 1.3 Girosc´ opio Defini¸c˜ ao 1.3.1 (Velocidade angular de precess˜ao). Um torque τ ⊥ L n˜ ao altera a magnitude do momento angular, altera, somente a sua dire¸c˜ ao. Isto significa que L gira, no intervalo infinit´esimo de tempo ∆t, de um ˆ angulo ∆ϕ, ent˜ao ∆L = L∆ϕ = τ ∆t e temos a velocidade angular de precess˜ao τ M gl dϕ =Ω= = dt L Iω (1.14) Quando o eixo gira do ˆangulo ∆ϕ, por´em, o torque τ gira do mesmo ˆangulo, mantendo-se constante em magnitude. O torque τ ser´a dado por τ= dL =Ω×L dt (1.15) No movimento de precess˜ao, o CM do girosc´opio descreve um MCU de velocidade angular Ω em torno da vertical que passa pela base de apoio. A for¸ca centr´ıpeta correspondente como no exemplo do haltere ´e exercida pelo suporte, como for¸ca de rea¸c˜ao provocada pelo desequil´ıbrio dinˆamico do sistema. Por outro lado, a for¸ca de rea¸c˜ao centr´ıpeta est´a aplicada no ponto de apoio O, de modo que n˜ao contribui ao torque em rela¸c˜ao a este ponto. ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 1.4 1.4.1 12 For¸cas inerciais As transforma¸ c˜ oes de Galileu O problema geral a ser tratado ´e o da passagem de um referencial inercial, que designaremos por S, a outro referencial S 0 , em movimento em rela¸c˜ao a S Seja V a velocidade do referencial S 0 que se desloca em MRU em rela¸c˜ao do referencial S e temos que: t0 = t  0  x 0 y0 r =r−Vt⇒  0  z0  vx v0 v0 = v − V t ⇒  y0 vz 0 a =a = = = = = = x−Vt y−Vt z−Vt vx − V t vy − V t vz − V t (1.16) onde vi ´e a velocidade da part´ıcula no referencial S. Ver fig. 13.2 - p´ag. 288. 1.4.2 Referencial acelerado Consideremos agora o que acontece quando passamos de um referencial inercial S para um referencial S 0 em MRUA em rela¸c˜ao `a S. Sejam r0 o vetor posi¸c˜ao de uma part´ıcula P em rela¸c˜ao `a S 0 , r o vetor posi¸c˜ao da part´ıcula P em rela¸c˜ao `a S e rO0 o vetor posi¸c˜ao em rela¸c˜ao `a origem de S e S 0 . Se A ´e a acelera¸c˜ao de S 0 relativa `a S e V0 a velocidade inicial de S 0 relativa `a S (supondo rO0 = 0 para t = 0). Temos, ent˜ao, que:  0  r = r − rO 0 1 rO0 = V0 t + 12 At2 ⇒ r0 = r − V0 t − At2 (1.17)  0 2 t =t Derivando em rela¸c˜ao a t, obtemos: v 0 = v − Vo − At a0 = a − A (1.18) (1.19) de modo que a acelera¸c˜ao de uma part´ıcula em rela¸c˜ao a S 0 difere de sua acelera¸c˜ao em rela¸c˜ao a S pelo termo constante −A, onde A ´e a acelera¸c˜ao de S 0 em rela¸c˜ao `a S. ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 13 Como as distˆancias m´ utuas entre as part´ıculas continuam inalteradas,ou seja, se duas part´ıculas P1 e P2 tˆem uma distˆancia x em S, em S 0 , elas ter˜ao a mesma distˆancia; nos dois referenciais o mesmo vale, portanto, para as for¸cas de intera¸c˜ao entre part´ıculas: F 0 = F = ma como a 6= a0 : ma0 = ma − mA ⇒ ma0 + mA = ma ⇒ ma0 + mA = F 0 = F (1.20) A 2a lei de Newton n˜ao ´e v´alida num referencial n˜ao-inercial S 0 , em MRUA em rela¸c˜ao a um referencial S. Aparece um novo termo mA, proporcional `a massa inercial da part´ıcula e com dimens˜oes de uma for¸ca, mas que n˜ao corresponde a nenhuma for¸ca f´ısica, resultante da intera¸c˜ao entre part´ıculas. Se convencionou escrever da forma: ma0 = F 0 − mA ⇒ ma0 = F + Fin ⇒ Fin = −mA (1.21) onde Fin = −mA ´e chamado de for¸ca de in´ercia. 2 exemplos Imaginemos um foguete que ”sobe”no espa¸co interestelar com acelera¸c˜ao A = g, suponhamos que se tenha uma massa m suspensa no teto por um dinamˆometro. Vista de um referencial S, a massa m, solid´aria com a c´apsula, tem uma acelera¸c˜ao a = g. A u ´nica for¸ca verdadeira que age sobre ela ´e a tens˜ao T da mola. Logo, pela 2a lei, T = mg, em S. Vista de S 0 , a massa m est´a em equil´ıbrio (a0 = 0) sob a¸c˜ao de T e da for¸ca de in´ercia: 0 = T + Fin = T − mg, em S 0 . Consideremos um pˆendulo suspenso no teto de um vag˜ao de trem. Enquanto o trem acelerar uniformemente com acelera¸c˜ao A, o fio passa a formar um aˆngulo θ com a vertical. Em S, temos T + mg = mA. Em S 0 , o pˆendulo est´a em equil´ıbrio sob a¸c˜ao da for¸ca-peso mg, da tens˜ao do fio T e da for¸ca de in´ercia −mA: T + mg − mA = 0, ou seja, ´e como se consider´assemos o trem parado e analis´assemos as “for¸cas relativas”. ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 1.4.3 14 A for¸ ca centr´ıfuga Seja S 0 um referencial em rota¸c˜ao uniforme em rela¸c˜ao `a S com velocidade de rota¸c˜ao ω. Imaginemos S 0 uma plataforma girante. Consideremos um corpo de massa m preso ao centro da plataforma por um fio de comprimento r. Em S: a u ´nica for¸ca horizontal atuante ´e a tra¸c˜ao T do fio que, de acordo com a segunda lei de newton, ´e a centr´ıpeta T = −mω 2 rˆ r, onde rˆ ´e o vetor unit´ario radial nesta dire¸c˜ao; Em S 0 : a massa est´a em equil´ıbrio, portanto, nela atua uma for¸ca de in´ercia Fin tal que T + Fin = 0 e comparando com a equa¸c˜ao anterior: Fin = −ma = mω 2 rˆ r que ´e dirigida radialmente para fora. 1.4.4 For¸ cas de in´ ercia num referencial girante Consideremos o que acontece num referencial S 0 em rota¸c˜ao uniforme com velocidade angular ω com respeito a um referencial S, onde ω aponta para uma dire¸c˜ao arbitr´aria. Tomemos um sistema de coordenadas com vetores unit´arios i, j, k nas dire¸c˜oes dos eixos x, y, z em S e outro sistema i0 , j 0 , k 0 de mesma origem O em S 0 . Devido `a rota¸c˜ao, as dire¸c˜oes desses vetores em S variam com o tempo, i0 , j 0 , k 0 giram com velocida angular ω, as velocidades das extremidades desses vetores s˜ao: di0 = ω × i0 , dt dj 0 dk 0 = ω × j 0, = ω × k0. dt dt Sejam x(t), y(t), z(t) as coordenadas cartesianas de uma part´ıcula em movimento no referencial associado a S e x0 (t), y 0 (t), z 0 (t) as suas coordenadas em S 0 , logo para o vetor r(t) da part´ıcula temos: r(t) = xi + yj + zk = x0 i0 + y 0 j 0 + z 0 k 0 = r0 (t). Derivando em rela¸c˜ao ao tempo, vem:     dr dr = + ω × r, dt S dt S 0 ou seja v = v0 + ω × r para qualquer vetor r. (1.22) ˆ CAP´ITULO 1. MECANICA 15 Para calcular a acelera¸c˜ao a derivamos em rela¸c˜ao ao tempo ambos os membros da equa¸c˜ao anterior:            dv d dr dv dr dv = +ω×r = +ω× = + ω × v. dt S dt dt S 0 dt S 0 dt dt S 0 Para calcular o 1o termo, derivamos em rela¸c˜ao ao tempo, em S 0 , os dois membros da 1.22:    0   dv dv dr = +ω× = a0 + ω × v 0 . dt S 0 dt S 0 dt S 0 Finalmente, como r = r0 : a = a0 + 2ω × v 0 + ω(ω × r0 ). (1.23) Como a 2a lei de Newton F = ma, em S, transforma-se em ma0 = F + Fin em S 0 , obtemos: Fin = −2mω × v 0 − mω × (ω × r0 ) (1.24) como express˜ao geral das for¸cas de in´ercia num referencial S 0 , em rota¸c˜ao uniforme com velocidade angular ω com respeito a um referencial inercial. Onde o u ´ltimo termo ´e a express˜ao geral da for¸ca centr´ıfuga: Fcentr. = −mω × (ω × r0 ) (1.25) e o primeiro termo d´a a express˜ao geral da for¸ca de Coriolis: FCoriolis = −2mω × v 0 . (1.26) A for¸ca de Coriolis A for¸ca de Coriolis tem as seguintes caracter´ısticas: ´ independente da posi¸c˜ao da part´ıcula; 1. E ´ perpendicular `a dire¸c˜ao da velocidade e tende a desviar o movimento 2. E para a direita em rela¸c˜ao ao sentido de ω. Cap´ıtulo 2 Movimento ondulat´ orio 2.1 Oscilador harmˆ onico Para pequenos desvios da posi¸c˜ao de equil´ıbrio est´avel, o gr´afico de F (x) ´e aproximadamente linear. Para −A ≤ x ≤ A temos: F (x) = −kx (2.1) e assim, temos que a energia potencial U (x) pode ser aproximada por 1 U (x) = kx2 2 A equa¸ca˜o de movimento correspondente ´e: m¨ x = −kx, ou seja, x¨ + ω 2 x = 0 onde r ω= e x¨ = k m (2.2) (2.3) (2.4) d2 x . dt2 2.1.1 Oscila¸ c˜ oes harmˆ onicas Forma geral das oscila¸c˜oes livres do oscilador harmˆonico: x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) onde a e B s˜ao constantes ou equivalentemente x(t) = A cos(ωt + ϕ) (2.5) onde as constantes passam a ser A e ϕ. Relacionando as constantes temos: a = A cos(ϕ) e b = −A sin(ϕ). 16 ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 17 Interpreta¸c˜ ao f´ısica • A = |x(t)|m´ax ≡ amplitude da oscila¸c˜ao; • ωt + ϕ ≡ fase do movimento; • ϕ ≡ fase inicial (valor da fase para t = 0). Quando |x| = A ´e m´aximo a velocidade ´e nula: pontos de invers˜ao; quando a part´ıcula passa por x = 0 a velocidade ´e m´axima. Conceitos Quadratura: a oscila¸c˜ao com ϕ = π/2 est´a em quadratura com ϕ = 0 quando |x| ´e m´aximo numa, ´e nulo na outra; Oposi¸c˜ ao de fase: A oscila¸c˜ao com ϕ = π est´a em oposi¸c˜ao de fase em rela¸c˜ao a ϕ = 0 quando os valores de x em instantes correspondentes s˜ao iguais e contr´arios. Ajuste das condi¸c˜ oes iniciais A 2.5 d´a x(t) ˙ = v(t) = −ωA sin(ωt + ϕ) (2.6) As condi¸c˜oes iniciais (para t = 0) para a equa¸c˜oes 2.5 e 2.6 s˜ao, respectivamente: x0 = A cos ϕ v0 = −ωA sin ϕ (2.7) E assim determinamos A: r A= x20 v02 + w ω Nota¸c˜ ao complexa x(t) = Re[Aei(ωt+ϕ) ] = A cos(ωt + ϕ) (2.8) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 2.1.2 18 Superposi¸ c˜ ao de movimentos harmˆ onicos simples Mesma dire¸c˜ ao de frequ encia ¨ˆ Consideremos o movimento resultante de dois MHS de mesma dire¸c˜ao x e de mesma freq¨ uˆencia angular ω:x(t) = x1 (t) + x2 (t) ⇒ x1 (t) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) e x2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ2 ). O movimento resultante ´e Re[A1 ei(ωt+ϕ1 ) + A2 ei(ωt+ϕ2 ) ] (2.9) Mesma dire¸c˜ ao de frequ encias diferentes: batimentos ¨ˆ Neste caso temos x1 (t) = A1 cos(ω1 t+ϕ1 ) e x2 (t) = A2 cos(ω2 t+ϕ2 ). Para que exista um per´ıodo T ap´os o qual x1 e x2 voltem ao valor inicial ´e necess´ario que T1 n1 ω1 = = = T, n1 , n2 ∈ Z. (2.10) ω2 T2 n2 O per´ıodo T corresponde `a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao anterior com os menores valores inteiros poss´ıveis para n1 e n2 . Um caso especial ´e aquele em que ω1 e ω2 s˜ao muito pr´oximas. Supondo ω1 > ω2 , introduzimos freq¨ uˆencia angular m´edia ω ¯ = (ω1 + ω2 )/2 = 2π f¯ e a diferen¸ca entre freq¨ uˆencias ∆ω = ω1 − ω2 = 2π∆f . Logo,   ∆ω t cos(¯ ω t) (2.11) x(t) = 2A cos 2 Supondo ω1 e ω2 muito pr´oximas, temos que ∆ω << ω ¯ e assim temos a equa¸c˜ao da “amplitude”.   ∆ω a(t) = 2A cos t (2.12) 2 2.2 Oscila¸c˜ oes amortecidas e for¸ cadas Para um oscilador unidimensional a resistˆencia d´a origem a um termo adicional: m¨ x = −kx − ρx, ˙ ρ>0 onde −ρx˙ representa a resistˆencia dissipativa, que atua em sentido oposto `a velocidade (ρ > 0). Didivindo por m, temos x¨ + γ x˙ + ω02 x = 0 (2.13) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 19 onde w02 = k/m e γ = ρ/m > 0. E assim temos a express˜ao hor´aria da oscila¸c˜ao: γ x(t) = Ae− 2 t cos(ωt + ϕ) (2.14) onde r ω02 − ω= γ2 4 (2.15) e A e ϕ s˜ao constantes arbitr´arias. E tamb´em podemos escrever a equa¸c˜ao hor´aria anterior na forma γ x(t) = e− 2 [a cos(ωt) + b sin(ωt)]. E consideramos: ϕ = 0 (ω < ω0 ) ϕ = −π (ω > ω0 ) π ϕ= − (ω = ω0 ). 2 (2.16) (2.17) (2.18) Amortecimento subcr´ıtico ( γ2 < ω0 ) 2.2.1 A solu¸c˜ao ´e dada pela 2.14. O gr´afico est´a representado na fig. 4.1 - p´ag. 73, para ϕ = 0. Embora as oscila¸c˜oes n˜ao sejam mais peri´odicas, chamaremos de “per´ıodo” o intervalo T = 2π/ω. Energia A energia mecˆanica do oscilador no instante t ´e dada por 1 1 E(t) = mx˙ 2 (t) + kx2 (t) 2 2 2.2.2 Amortecimento supercr´ıtico ( γ2 > ω0 ) 1 x(t) = e− 2 t (aeβt + be−βt ) (2.19) onde r β= γ2 − ω02 , 4 a = x0 = x(0), b= 1 γ  v0 + x0 . ω 2 (2.20) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 2.2.3 Amortecimento cr´ıtico ( γ2 = ω0 ) γ x(t) = e− 2 t (a + bt) 2.2.4 20 (2.21) Oscila¸ c˜ oes for¸ cadas. Ressonˆ ancia Seja F (t) = F0 cos(ωt) a for¸ca externa, de freq¨ uˆencia angular ω. A equa¸c˜ao do movimento ´e m¨ x + kx = F (t) = F0 cos(ωt) dividindo por m ambos os lados: x¨ + ω02 x = F0 cos(ωt). m (2.22) Tomando a parte real de z(t) = F0 eiωt − ω2) m(ω02 temos x(t) = A cos(ωt + ϕ) (2.23) onde A= F0 − ω2| (2.24) m|ω02 Interpreta¸c˜ ao f´ısica Limite de baixas frequ encias, ω << ω0 : neste caso a acelera¸c˜ao associ¨ˆ ada `a 2.5, x¨ = −ω 2 x, ´e muito menor `aquela associada `a for¸ca restauradora, que corresponde ao termo ω02 x na 2.22 de modo que temos aproximadamente x≈ F0 cos(ωt); mω02 ω << ω0 , (2.25) ou seja, o deslocamento ´e no mesmo sentido da for¸ca externa, que equilibra a for¸ca restauradora na 2.22 (−kx + F (t) ≈ 0). Limite de altas frequ encias, ω >> ω0 : neste caso, ´e a acelera¸c˜ao −ω02 x ¨ˆ associada `a for¸ca restauradora que ´e desprez´ıvel de modo que temos aproximadamente ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 21 F0 cos(ωt); ω >> ω0 , (2.26) mω 2 ou seja, o deslocamente est´a em oposi¸c˜ao de fase com a for¸ca externa. Isto se explica por ser a acelera¸c˜ao fornecida quase totalmente pela for¸ca externa (kx ´e desprez´ıvel em confronto com o termo de in´ercia m¨ x na 2.22) e a acelera¸c˜ao est´a em oposi¸c˜ao de fase com o deslocamento no MHS. x≈− Comparando as equa¸c˜oes anteriores, vemos que |x| ´e muito menor para ω >> ω0 que para ω << ω0 , e x → 0 para ω → ∞. Ressonˆ ancia, ω → ω0 : `a medida que a freq¨ uˆencia ω da for¸ca externa se aproxima da freq¨ uˆencia ω0 das oscila¸c˜oes livres, a amplitude A da resposta vai crescendo, e A → ∞ para ω → ω0 . Efeito das condi¸c˜ oes iniciais No limite da ressonˆancia exata temos F0 t sin(ω0 t); ω = ω0 (2.27) 2mω0 o efeito da ressonˆancia ´e produzir um crescimento linear com o tempo da amplitude de oscila¸c˜ao. x(t) = 2.2.5 Oscila¸ c˜ oes for¸ cadas amortecidas Introduzindo uma for¸ca dissipativa proporcional `a velocidade a equa¸c˜ao 2.22 fica m¨ x + ρx˙ + kx = F (t) = F0 cos(ωt) dividindo por m temos: F0 cos(ωt) m ρ γ = m k ω02 = . m x¨ + γ x˙ + ω02 x = A solu¸c˜ao estacion´aria ´e: (2.28) (2.29) (2.30) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO x(t) = A(ω) cos[ωt + ϕ(ω)] F02 A2 (ω) = m2 [(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 ]   γω . ϕ(ω) = − arctan ω02 − ω 2 22 (2.31) (2.32) (2.33) Efeitos de ressonˆ ancia Vamos tomar o caso de amortecimento fraco (γ << ω0 ). Devemos esperar que, na vizinhan¸ca de ω = ω0 , a aplitude seja m´axima e a fase varie rapidamente. Tomamos ω suficientemente pr´oximo para que tenhamos |ω − ω0 | << ω0 e assim temos que  A (ω) ≈ F0 2mω0  1  · γ2 2 (ω − ω0 ) + 4   γ ϕ(ω) ≈ − arctan 2(ω0 − ω) 2 (2.34) (2.35) A figura 4.8 da p´ag. 83 mostra o andamento de A2 e ϕ dados pelas equa¸c˜oes acima. A forma de A2 ´e t´ıpica de um pico de ressonˆancia associado a uma ressonˆancia estreita. O valor m´aximo A2m´ax ´e atingido para ω = ω0 e A2 cai `a metade do valor m´aximo nos pontos ω = ω0 ± γ/2. A distˆancia ∆ω = γ entre eles chama-se semilargura do pico de ressonˆancia, e A2 cai rapidamente fora da semilargura do pico. A defasagem ϕ(ω) entre o deslocamento e a for¸ca externa tamb´em varia rapidamente dentro da semilargura, desde ϕ / 0 para ω abaixo de ω0 at´e ϕ ≈ −π/2 para ω acima de ω0 , passando por ϕ = −π/2 na ressonˆancia, ω = ω0 . A amplitude m´axima Am´ax ´e dada por Am´ax = 2.3 F0 mω0 γ (2.36) Ondas Uma onda ´e qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de um meio, com velocidade definida. Fala-se de onda quando a transmiss˜ao ocorre sem que haja transporte direto de mat´eria de um desses pontos a outro. ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 23 Onda longitudinal: a perturba¸c˜ao transmitida pela onda (compress˜ao ou rarefa¸c˜ao) tem lugar ao longo da dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda; Onda transversal: a perturba¸c˜ao ´e perpendicular `a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda. 2.3.1 Ondas unidimensionais Ondas progressivas O perfil da onda na corda num dado instante t ´e a forma da corda nesse instante, que ´e dada pela fun¸c˜ao y(x, t). A perturba¸c˜ao ´e uma onda progressiva que se desloca como um todo para a direita, sem mudar de forma, com velocidade v. Se acompanharmos a onde num referencial O0 x0 y 0 , que se desloca com a velocidade v da onde ao longo de Ox, o perfil da onda n˜ao muda com o tempo nesse novo referencial, ou seja, y 0 (x0 , t0 ) = y 0 (x0 , 0) = f (x0 ) ´e uma fun¸ca˜o somente de x0 . A rela¸c˜ao entre os dois referenciais ´e dada por: x0 = x − vt y0 = y (2.37) (2.38) y(x, t) = f (x − vt). (2.39) de modo que Ela significa que y, fun¸c˜ao das duas vari´aveis x e t, s´o depende dessas vari´aveis atrav´es de x0 = x − vt, podendo ser uma fun¸c˜ao qualquer de x0 . A 2.39 implica que y(x, t) = y(x + ∆x, t + ∆t) para ∆x = v∆t, ou seja, o perfil da onda no instante t + ∆t ´e o perfil no instante t, deslocado de uma distˆancia ∆x = v∆t para a direita. Ondas harmˆ onicas A perturba¸c˜ao, num dado ponto x, corresponde a uma oscila¸c˜ao harmˆonica simples. O perfil da onda ´e uma fun¸c˜ao senoidal: f (x0 ) = A cos(kx0 + δ). No referencial Oxy temos: y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ). Como o perfil da onda ´e senoidal temos que (2.40) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 24 ω (2.41) k onde ν ´e a freq¨ uˆencia. De maneira an´aloga `a freq¨ uˆencia podemos definir o n´ umero de onda: v = λν = k= 2π λ (2.42) medido em rad/m. O argumento do cosseno na 2.40 ϕ(x, t) = kx − ωt + δ (2.43) chama-se fase da onda, e δ ´e a constante de fase. Medindo a fase em rad e λ em m. Conven¸c˜ ao sobre ω ω > 0: a propaga¸c˜ao da onda ocorre no sentido negativo do eixo x; ω < 0: a propaga¸c˜ao da onda ocorre no sentido positivo do eixo x. Equa¸c˜ ao de ondas unidimensionais Para associar uma equa¸c˜ao de movimento com a propaga¸c˜ao da onda, vamos calcular a acelera¸c˜ao num dado ponto x. A velocidade e a acelera¸c˜ao se obtˆem fixando x e derivando em rela¸c˜ao ao tempo, o que corresponde a tomar derivadas parciais. No caso da corda, por exemplo, a velocidade com que o ponto x se desloca vesticalmente na dire¸c˜ao y no instante t ´e velocidade = ∂ y(x, t) ∂t e a acelera¸c˜ao ´e ∂2 y(x, t) ∂t2 Pela equa¸c˜ao 2.39 y depende de t atrav´es da vari´avel x0 = x − vt, de modo que as derivadas se calculam pela regra da cadeia e assim veremos que y(x, t) satisfaz a equa¸c˜ao acelera¸c˜ao = 1 ∂2y ∂2y · − 2 =0 (2.44) v 2 ∂t2 ∂x que se chama equa¸c˜ao de ondas unidimensional e ´e uma das equa¸c˜oes fundamentais da f´ısica. ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 2.3.2 25 Equa¸ c˜ ao das cordas vibrantes Equa¸c˜ ao do movimento Vamos considerar vira¸c˜oes transversais de uma corda distendida. Tomaremos a posi¸c˜ao de equil´ıbrio horizontal como dire¸c˜ao Ox a por¸c˜ao `a esquerda exerce sobre a por¸c˜ao direita uma for¸ca −T dirigida para a esquerda, e equilibrada pela for¸ca T com que a por¸c˜ao da direita atua sobre a da esquerda. Isto define a tens˜ao T de equil´ıbrio, constante ao longo da corda, suposta uniforme. Seja µ a densidade linear de massa da corda: um elemento de comprimento infinit´esimo ∆x da corda possui, ent˜ao, a massa ∆m = µ∆x de modo que obtemos: ∂2y (x, t)∆x. (2.45) ∂x2 De maneira an´aloga, obtemos a for¸ca que age sobre um ponto x da corda: For¸ca vertical sobre ∆x = T ∂y (x, t) ∂x onde o sinal varia se T for para cima ou para baixo. Pela 2a lei de Newton a equa¸c˜ao de movimento da corda ´e F = ±T µ ∂2y ∂2y = T ∂t2 ∂x2 o que equivale `a equa¸c˜ao de ondas unidimensional, com s T v= µ 2.3.3 (2.46) (2.47) Intensidade de uma onda Vamos calcular a energia transmitida pela onda, por unidade de tempo, atrav´es de um ponto x qualquer da corda. Num instante t a por¸c˜ao da corda `a esquerda de x atua sobre um elemento da corda no ponto x com uma for¸ca tranversal de forma que Fy = −T ∂y (x, t). ∂x A potˆencia instantˆanea, que corresponde `a energia transmitida atrav´es de x por unidade de tempo, ´e P (x, t) = −T ∂y ∂y ∂x ∂t (2.48) ´ CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULATORIO 26 e para uma onda harmˆonica temos: P (x, t) = ωkT A2 sin2 (kx − ωt + δ). (2.49) Em geral n˜ao interessa o valor instantˆaneo e sim a m´edia sobre um per´ıodo que chamaremos de intensidade de onda I: 1 1 I = P = µvω 2 A2 = ωkT A2 2 2 2.3.4 (2.50) Interferˆ encia de ondas Consideremos ondas de mesma freq¨ uˆencia. Ondas no mesmo sentido Sejam  y1 (x, t) = A1 cos(kx − ωt + δ1 ) y2 (x, t) = A2 cos(kx − ωt + δ2 ) ondas que se propagam para a direita. Temos que y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ) q A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ12 δ12 = δ2 − δ1 δ12 . δ = 2 (2.51) (2.52) (2.53) (2.54) Ondas em sentidos opostos Sejam  y1 (x, t) = A1 cos(kx − ωt + δ1 ) y2 (x, t) = A2 cos(kx + ωt + δ2 ) ondas que se propagam em sentidos opostos. Temos que y(x, t) = 2A cos(kx) cos(ωt). (2.55) Cap´ıtulo 3 Relatividade Princ´ıpio da relatividade restrita: As leis f´ısicas s˜ao as mesmas em todos os referenciais inerciais; Princ´ıpio de constˆ ancia da velocidade da luz: A velocidade da luz no v´acuo, c, ´e a mesma em todas as dire¸c˜oes e em todos os referenciais inerciais, e ´e independente do movimento da fonte. 3.1 Defini¸c˜ ao de Einstein da simultaneidade Se um evento 1 ocorre em P1 no instante t1 , sendo marcado pela emiss˜ao de um sinal luminoso que parte de P1 nesse instante, e o mesmo vale para P2 em t2 (evento 2), dizemos que estes dois eventos s˜ao simultˆaneos (t1 = t2 ) quando o ponto de encontro dos dois sinais luminosos ´e o ponto m´edio do segmento P1 P2 . 3.2 As transforma¸ c˜ oes de Lorentz Consideremos um referencial S e um referencial S 0 que se move, no eixo x, com velocidade V em rela¸c˜ao a` S. 3.2.1 Transforma¸ c˜ ao dos comprimentos Os comprimentos transversais n˜ao se alteram: y0 = y z0 = z 27 (3.1) (3.2) CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 28 o mesmo n˜ao se aplica a comprimentos paralelos `a dire¸c˜ao do movimento, porque neste caso, como vimos, posi¸c˜oes dos extremos de um segmento que s˜ao simultˆaneas em rela¸c˜ao `a S n˜ao s˜ao simultˆaneas em rela¸c˜ao `a S 0 . Introduzindo as nota¸c˜oes β = V c γ = p (3.3) 1 1 − β2 (3.4) temos, ent˜ao, para x e t: x0 = γ(x − V t)   V 0 t = γ t − 2x . c (3.5) (3.6) Para que γ seja real, temos que β < 1. Transforma¸c˜ oes de Lorentz especial inversa Neste caso V → −V : x = γ(x0 + V t0 )   V 0 0 t = γ t + 2x c 0 y = y z = z0. (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) Transforma¸c˜ oes de Galileu como caso limite Se β << 1, temos 1 1 3 γ = (1 − β 2 )− 2 ≈ 1 + β 2 + β 4 2 8 3.2.2 (3.11) As transforma¸ c˜ oes de Lorentz - caso geral Seja V a velocidade de S 0 em rela¸c˜ao `a S com dire¸c˜ao arbitr´aria. Para achar a express˜ao de um caso geral, basta decompor o vetor posi¸c˜ao de um ponto P numa componente k V , que se transforma como x nas tranforma¸c˜oes especiais, e num componente ⊥ V , que se transforma como as coordenadas (y, z) nas transforma¸c˜oes especiais. CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 29 A componente paralela se obt´em projetando na dire¸c˜ao de V . Seja Vˆ o versor na dire¸c˜ao de V : V , Vˆ = ||V || logo: xk = (x · Vˆ ) x⊥ = x − xk . E assim para as tranforma¸c˜oes de lorentz: x0k = γ(xk − V t) x0⊥ = x⊥   V ·x 0 t = γ t− 2 c 3.3 3.3.1 (3.12) (3.13) (3.14) Efeitos cinem´ aticos das Transforma¸ c˜ oes de Lorentz A contra¸ c˜ ao de Lorentz Defini¸c˜ ao 3.3.1 (Valor pr´oprio). Chama-se valor pr´oprio de uma grandeza f´ısica o valor dessa grandeza medido num referencial onde o objeto ao qual est´ a associada encontra-se em repouso. Consideremos ent˜ao uma barra em repouso ao longo do eixo O0 x0 em S 0 , com as extremidades nos pontos x01 e x02 . O comprimento pr´oprio da barra ´e ent˜ao l0 = x02 − x01 . Se x1 (t) e x2 (t) s˜ao os pontos de S que coindidem com as extremidades da barra no mesmo instante t em S, ou seja, simultaneamente em rela¸c˜ao `a S, o comprimento l em S ´e definido como l = x2 (t) − x1 (t) CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 30 como x1 (t) e x2 (t) s˜ao dadas pelas T.L., temos: l0 = x02 − x01 = γ(x1 − V t) − γ(x2 − V t) = γ(x2 − x1 ) l = p , logo 1 − β2 l0 . l = γ (3.15) A contra¸c˜ao ´e um efeito rec´ıproco: uma barra em repouso em S tamb´em aparece contra´ıda quando seu comprimento ´e medido em S 0 , pois, de acordo com o princ´ıpio da relatividade (V → −V ). 3.3.2 Dilata¸ c˜ ao dos intervalos de tempo Consideremos um rel´ogio em repouso em S 0 , na origem O0 das coordenadas. O tempos marcada por esse rel´ogio ´e, portanto, o tempo pr´oprio, e vamos represent´a-lo por τ . A coordenada tempo t em S obt´em-se pelas T.L. inversa fazendo x0 = 0: t = γτ de forma que a rela¸c˜ao entre os intervalos de tempo ∆τ em S 0 (tempo pr´oprio do rel´ogio em repouso) e os intervalos de tempo correspondentes em S, onde o rel´ogio est´a em movimento ´e: ∆t = ∆τ γ. (3.16) O efeito ´e rec´ıproco: um rel´ogio em repouso em S marca intervalos de tempo maiores em S 0 . O efeito ´e contr´ario. O efeito ´e contr´ario ao dos comprimentos, por´em: o movimento contrai os comprimentos e dilata os tempos. Logo, conclu´ımos que o movimento faz com que γ seja sempre maior que 1. 3.4 A lei relativ´ıstica de composi¸ c˜ ao de velocidades Consideremos uma part´ıcula em movimento arbitr´ario em rela¸c˜ao a S 0 , com x0 = x0 (t0 ), y 0 = y 0 (t0 ), z 0 = z 0 (t0 ). CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 31 derivando com rela¸c˜ao `a t0 obtemos as velocidades instantˆaneas em S 0 . Em S a part´ıcula tem componentes x = x(t), y = y(t), z = z(t) relacionadas com S pelas T.L. (tomamos x k V ) e derivando com rela¸c˜ao `a t obtemos a velocidade instantˆanea em S. E assim obtemos: vx − V  vx V 1− 2 c p 1 − β 2 vy  =  vx V 1− 2 c p 1 − β 2 vz . =  vx V 1− 2 c vx0 =  (3.17) vy0 (3.18) vz0 (3.19) E atrav´es das T.L. inversa (V → −V ), temos: (3.20) vy (3.21) vz 3.4.1 vx0 + V  vx0 V 1+ 2 c p 1 − β 2 vy0  =  vx0 V 1+ 2 c p 1 − β 2 vz0 . =  vx0 V 1+ 2 c vx =  (3.22) Velocidade relativa Seja P uma part´ıcula que se move em rela¸c˜ao a S com velocidade v e O0 outra part´ıcula que se move, em S, com velocidade V . Como definir a velocidade relativa? Defini¸c˜ ao 3.4.1 (Velocidade relativa). A defini¸c˜ ao da velocidade relativa de P em rela¸c˜ao `a O0 ´e: a velocidade v 0 de P em rela¸c˜ ao a um referencial S 0 onde O0 est´a em repouso. CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 3.5 32 Momento relativ´ıstico Neste caso, admitimos m como uma grandeza variante, de tal forma que temos: p = m(v) · v (3.23) onde m0 = m0 γ (3.24) v2 1− 2 c m0 ´e chamado valor pr´oprio de m(v), obtido quando a part´ıcula est´a em repouso. m(v) = r 3.6 3.6.1 Energia relativ´ıstica Energia total E = mc2 = m0 γc2 . 3.6.2 (3.25) Energia cin´ etica T = m0 c2 (γ − 1), (3.26) E = m 0 c2 + T (3.27) ER = m0 c2 (3.28) E conclu´ımos que onde ´e chamada energia de repouso. 3.6.3 Rela¸ c˜ ao em momento e energia total E2 p − 2 = −m20 c2 c 2 3.6.4 (3.29) Coment´ ario sobre a rela¸ c˜ ao massa-energia A massa total dos fragmentos de uma part´ıcula ´e menor que a massa da part´ıcula, por um fator ∆m. A energia correspondente ∆mc2 associada com essa diferen¸ca de massa ´e igual `a energia cin´etica total dos fragmentos. CAP´ITULO 3. RELATIVIDADE 3.6.5 33 Unidades Convers˜ oes Massa atˆ omica - kilograma: 1u = 1, 661.10−27 kg; Massa atˆ omica - El´ etron-volt: 1u = 931, 5 M eV /c2 ; El´ etron-volt - Joule: 1eV = 1, 602.10−19 J Massa A massa poder´a ser dada por eV c2 Momento linear O momento poder´a ser dado por eV c