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4.21 – EXERCÍCIOS – pg. 176 Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas ate ordem n indicada. 1. y = 3 x 4 − 2 x , y ′ = 12 x 3 − 2
n=5
y ′′ = 36 x 2 y ′′′ = 72 x y IV = 72 yV = 0 2. y = ax 3 + bx 2 + cx + d , y ′ = 3ax 2 + 2bx + c
n=3
y ′′ = 6ax + 2b y ′′′ = 6a. 3. y = 3 − 2 x 2 + 4 x 5 , n = 10 y ′ = −4 x + 20 x 4
y ′′ = −4 + 80 x 3 y ′′′ = 240 x 2 y IV = 480 x y V = 480 y VI = 0 y (7 ) = y (8 ) = y (10 ) = 0 4. y = 3 − x 2 , n=2 −1 1 y ′ = 3 − x 2 2 . (− 2 x ) 2 −1 −1 y '' = 3 − x 2 2 . (− 1) − ( x ) . 3 − x2 2
(
(
)
)
(
= − 3 − x2
(
−1
)
2
(
− x2 3 − x2
−3
)
2
=
−3
) .(− 2 x ) 2
−3
(3 − x ) 2
3 − x2
279 1 , n=4 x −1 −1 y′ = (x − 1)2 2( x − 1) 2 y ′′ = = 4 (x − 1) (x − 1)3
5. y =
− 2 . 3( x − 1) −6 = 6 (x − 1) (x − 1)4 2
y ′′′ =
6 . 4( x − 1) 24 = 8 (x − 1)5 (x − 1) 3
y IV =
6. y = e 2 x +1 , n = 3 y ′ = e 2 x +1 . 2 y ′′ = 2 e 2 x +1 . 2 = 4 e 2 x +1 y ′′′ = 8 e 2 x +1 1 = e−x , x e y ′ = −e − x
7. y =
n=4
y ′′ = e − x y ′′′ = −e − x y IV = e − x =
1 ex
8. y = ln 2 x , 2 y′ = 2x −1 y ′′ = 2 x
n=2
9. y = sen ax ,
n=7
280
y ′ = a cos ax y ′′ = − a 2 sen ax y ′′′ = − a 3 cos ax y IV = a 4 sen ax y V = a 5 cos ax y VI = − a 6 sen ax y VII = − a 7 cos ax 10. y = −2 cos
x , 2
n=5
x 1 x y ' = −2 (− sen ). = sen 2 2 2 1 x y" = cos 2 2 −1 x y" ' = sen 4 2 −1 x y IV = cos 8 2 1 x yV = sen 16 2
11. y = tg x , n = 3 y ′ = sec 2 x
y ′′ = 2 sec x . sec x . tg x = 2 sec 2 x . tg x y ′′′ = 2 sec 2 x . sec 2 x + tg x . 4 sec x . sec x . tg x = 2 sec 4 x + 4 sec 2 x . tg 2 x
12. y = ax tg x , 1 y′ = 1+ x2 − 2x y ′′ = 2 1+ x2
(
n=2
)
13. Achar a derivada de ordem 100 das funções:
281 a) y = sen x y (100 ) = sen x
b) y = cos x y (100 ) = cos x
(− 1) n! 1 14. Mostrar que a derivada de ordem n da função f ( x ) = é dada por y ( n ) = n+1 . x x n
y= y′ = y ′′ = y ′′′ = y IV =
1 x −1 x2 2x 2 = x 4 x3 − 2 . 3x 2 − 2 . 3 − 3 = 4 = 4 x6 x x 3 + 3! 4 x 4! = 5 8 x x
M y
n
n ( − 1) n! =
x n+1
15. Mostrar que a derivada de ordem n da função f ( x ) = e ax é dada por y ( n ) = a n e ax .
y = e ax y ′ = a e ax y ′′ = a 2 e ax y ′′′ = a 3e ax
M n
y = a n e ax
16. Sejam f ( x ) e g ( x ) funções deriváveis ate 3ª ordem. Mostrar que:
″ a) ( f g ) = gf ′′ + 2 f ' g ′ + fg ′′.
282
( f g )′ = ( f g )″ =
f g ′ + gf ′
f g ′′ + g ′f ′ + g f ′′ + f g′ ′ = g f ′′ + 2 f g′ ′ + f g ′′
b) ( f g ) = g f ′′′ + 3 f ′g′ ′ + 3 f g′ ′′ + f g ''' . '''
( f g )''' = g
f ′′′ + f ′g′ ′ + 2( f g′ ′′ + g ′f ′′) + fg ′′′ + g ′′f ′ = g f ′′′ + f ′g′ ′ + 2 f g′ ′′ + 2 g ′f ′′ + fg ′′′ + g ′′f ′
= g f ′′′ + 3 f ′′g ′ + 3 f ′g ′′ + f g ''' .
17. Mostrar que x = A cos (wt + α ) , onde A , w e α são constantes, satisfaz a equação
d 2x x + ω x = 0 , sendo x = 2 . dt ..
..
2
Temos: x = A cos (wt + α ) .
x = − A sen (wt + α ) . w ..
x = − A w 2 cos (wt + α ) Substituindo na equação: − A w 2 cos (wt + α ) + w 2 A cos(wt + α ) ≡ 0
18. Calcular y ′ =
dy das seguintes funções definidas implicitamente. dx
a) x 3 + y 3 = a 3
3x 2 + 3 y 2 y′ = 0 ∴ y′ =
− 3x 2 − x 2 = 2 3y2 y
b) x 3 + x 2 y + y 2 = 0 3 x 2 + 2 xy + x 2 y′ + 2 yy ′ = 0
(
)
y ′ x 2 + 2 y = −3 x 2 − 2 xy y′ =
− 3 x 2 − 2 xy x2 + 2 y
283
x+ y= a 1 1 + . y′ = 0 2 x 2 y
c)
y′ 1 =− 2 y 2 x y′ = − y′ = −
d) y 3 =
2 y 2 x y x
x− y x+ y
xy 3 + y 4 = x − y y 3 + x 3 y 2 y ′ + 4 y 3 y′ = 1 − y ′
(3xy
2
)
+ 4 y 3 + 1 y′ = 1 − y 3 1 − y3 y′ = 3 xy 2 + 4 y 3 + 1
e) a cos 2 ( x + y ) = b − 2a cos 2 ( x + y ) . sen ( x + y ) . [1 + y '] = 0 y′ =
− 2 a cos ( x + y ) sen ( x + y ) 2 a cos ( x + y ) sen ( x + y )
y ′ = −1 f) tg y = x y y ′ sec 2 y = x y ′ + y
[
]
y ′ sec 2 y − x = y y′ =
y . sec y − x 2
g) e y = x + y
284
e y . y′ = 1 + y′
[
]
y′ =
1 . e −1
y′ e y − 1 = 1 y
19. Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro (2, 0) e raio 2 nos pontos de abscissa 1. Temos a circunferência dada: (x − 2)2 + ( y − 0)2 = 4
x2 − 4x + 4 + y 2 = 4 x2 − 4x + y 2 = 0 Derivando, temos: 2 x − 4 + 2 yy′ = 0 2 yy′ = 4 − 2 x 4 − 2x 2y 2− x y′ = y
y′ =
(
)
No ponto 1, 3 , temos: Declividade da reta tangente: m(1) =
2 −1 1 = 3 3
Equação da reta tangente: y − y1 = m( x − x1 ) y− 3 =
1 (x − 1) 3
3 y − 3 = x −1
x − 3y + 2 = 0 Declividade da reta normal: mn = − 3
285 Equação da reta normal: y − 3 = − 3 (x − 1) 3 x+ y−2 3 =0
(
)
No ponto 1,− 3 , temos: Declividade da reta tangente: 2 −1 −1 m(1) = = − 3 3 Equação da reta tangente: y − y1 = m( x − x1 )
y+ 3 =
−1 (x − 1) 3
3y + 3 = −x +1 x + 3y + 2 = 0 Declividade da reta normal: mn = 3 Equação da reta normal: y + 3 = 3 ( x − 1) 3 x− y−2 3 =0 20. Demonstrar que a reta tangente à elipse
x x0 y y 0 + 2 = 1. a2 b Temos: x2 y2 + =1 a 2 b2 Derivando implicitamente: 2 x 2 yy ′ + 2 =0 a2 b 2 yy ′ − 2 x = 2 b2 a − 2x b2 − b2 x y′ = 2 . = 2y a2 y a
x2 y2 + = 1 no ponto ( x0 , y0 ) tem a equação a2 b2
286
−
x0 b 2 . = m ( x0 ) a 2 y0
y − y1 = m ( x − x1 ) y − y0 = −
x0 b 2 ( x − x0 ) a 2 y0
a 2 y 0 y − a 2 y 0 = − b 2 x0 ( x − x0 ) 2
2
a 2 yy0 − a 2 y0 = − b 2 x0 x + b 2 x0
2
2
a 2 yy0 b 2 x x0 b 2 x0 a 2 y02 + = + a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 a 2 b 2 yy0 x x0 x02 y02 + 2 = 2+ 2 b2 a a b x x0 yy0 + 2 =1 a2 b
21. Em que pontos a reta tangente á curva y 2 = 2x 3 é perpendicular a reta 4x − 3 y +1 = 0 ? Temos: y 2 = 2x 3 2 yy ′ = 6 x 2
y′ =
6 x 2 3x 2 = 2y y
Obtendo a declividade da reta dada para encontrar a declividade da reta perpendicular: 4x − 3 y +1 = 0 − 3 y = −1 − 4 x 3 y = 1 + 4x y= m( x1 ) =
4 3
1 4 + x 3 3
⇒ m p ( x1 ) =
−3 4
287 3 x12 12 x12 3 =− ∴ y1 = = −4 x12 4 −3 y1 y 2 = 2x3 1 1
(− 4 x )
2 2 1
= 2 x13 ∴ 16 x14 = 2 x13
16 x14 − 2 x13 = 0 x13 (16 x1 − 2 ) = 0 x1 = 0 Ou, 16 x1 = 2 x1 = 2
16
=1
8
1 −1 No pontos (0, 0) não existe reta tangente. Temos então somente , . 8 16 A figura que segue mostra graficamente o resultado obtido. y
y 2 = 2x3
1/8
x
-1/16
4x −3y +1= 0
22. Mostre que as curvas cujas equações são 2 x 2 + 3 y 2 = 5 e y 2 = x 3 interceptam-se no ponto (1, 1) e que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares Verificando a intersecção:
288 2 x 2 + 3 y 2 = 5 2 y = x 3
O ponto (1,1) pertence ao gráfico das duas curvas, pois: 2.12 + 3.12 = 5 e 12 = 13 .
Analisando as tangentes: 2x2 + 3y 2 = 5
y 2 = x3
4 x + 6 yy ′ = 0
2 yy ′ = 3 x 2
y′ =
− 4x 2x =− 6y 3y
y′ =
−2 3 Assim as retas −2 y −1 = (x − 1) 3 são perpendiculares. y′ (1, 1) =
3x 2 2y
y ′ (1, 1) = y −1 =
e
3 2
3 (x − 1) 2
A Figura que segue mostra os resultados obtidos graficamente. y 2
1
x -2
-1
1
-1
-2
2
289
dy das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para dx quais valores de t , y′ está definida? 23. Calcular a derivada y′ =
x = t 2 a) y = t 3 , t ∈ (0,+∞) dy y ′(t ) 3t 2 3t = = = para t > 0. dx x′(t ) 2t 2
x = cos 2t b) π y = sen 2t , t ∈ 0, 2 dy y ′(t ) 2 cos 2t π = = = − cot g 2t com t ∈ 0, . dx x′(t ) − 2 sen 2t 2
x = 3 cos t y = 4 sen t , t ∈ [π ,2π ] dy y ′(t ) 4 cos t = = = −4 / 3 cot gt para t ∈ (π ,2π ) . dx x′(t ) − 3sent c)
d)
x = cos 3 t −π 3 y = sen t , t ∈ 2 ,0
dy y ′(t ) 3sen 2t ⋅ cos t −π = = = −tg t com t ∈ ,0 . 2 dx x′(t ) − 3 cos t ⋅ sent 2 e)
x = 2t − 1 3 y = t + 5, − ∞ < t < +∞
dy y ′(t ) 3t 2 = = para − ∞ < t < +∞ . dx x′(t ) 2
f)
x = 8 cos 3 t y = 8sen 3t , t ∈ [0, π ]
290
dy y ′(t ) 24 sen 2 t ⋅ cos t = = = −tg t para t ∈ (0, π / 2) ∪ (π / 2, π ) .. dx x′(t ) − 24 cos 2 t ⋅ sent
24. Determinar a equação da reta tangente à elipse x = 2 cos t y = 3sent , t ∈ [0,2π ] 3 2 . no ponto P 2 , 2 3 2 . temos que No ponto P 2 , 2 x = 2 cos t = 2 3 2 y = 3sent = 2 ou cos t = 2 / 2 2 sent = 2 Assim, temos que t =
π
. 4 Calculando a declividade: dy y ′(t ) 3 cos t = = dx x′(t ) − 2 sent
2 2 = − 3. Considerando t = temos m = 4 2 2 − 2× 2 A equação da reta tangente é dada por: 3 2 3 y− = − (x − 2) 2 2 2 y + 3 x − 6 2 = 0.
π
3×
A figura que segue mostra os resultados obtidos.
291 y 3
2
1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
25. Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide x = cos 3 t y = sen 3t , t ∈ [0,2π ] −1 3 3 . no ponto P , 8 8 Calculando a declividade da reta tangente: dy y ′(t ) 3sen 2t cos t = = = −tgt dx x′(t ) − 3 cos 2 t sent 2π 2π O ponto P corresponde a t = . Portanto, m = −tg = 3. 3 3 A equação da reta tangente no ponto P é dada por: 3 3 1 y− = 3 x + 8 8
2 3 x − 2 y + 3 = 0. A declividade da reta normal é dada por mn = − A equação da reta normal no ponto P é dada por:
3 . 3
292
y−
3 3 3 1 =− x+ 8 3 8
x + 3 y − 1 = 0. A Figura que segue apresenta a solução gráfica do exercício. y
1
x -1
1
-1
26. Encontrar ∆y − dy das funções dadas a) y = 3 x 2 − x + 1 ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = 3( x + ∆x ) − ( x + ∆x ) + 1 − 3 x 2 + x − 1 2
= 3 x 2 + 6 x∆x + 3(∆x ) − x − ∆x − 3 x 2 + x 2
= 6 x∆x + 3(∆x ) − ∆x 2
dy = y ′ . ∆x = (6 x − 1)∆x = 6 x∆x − ∆x ∆y − dy = 6 x∆x + 3(∆x ) − ∆x − 6 x∆x + ∆x 2
= 3(∆x )
2
b) y = 2 x
293
∆y = f ( x + ∆x ) − f (x ) = 2 x + ∆x − 2 x dy = y ′ . ∆x 1 = 2. . ∆x 2 x
(
)
∆y − dy = 2 x + ∆x − 2 x − =
∆x x
2 ( x + ∆x − x ) ∆x − = x + ∆x + x x
∆x 2∆x − x + ∆x + x x
2 1 = ∆x − x x + ∆x + x
c) y =
x +1 2x −1
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) x + ∆x + 1 x +1 − 2( x + ∆x ) − 1 2 x − 1 (2 x − 1)(x + ∆x + 1) − (x + 1)(2 x + 2∆x − 1) = (2 x + 2∆x − 1)(2 x − 1) =
=
2 x∆x − ∆x − 2 x∆x − 2∆x (2 x + 2∆x − 1)(2 x − 1)
=
− 3∆x (2 x + 2∆x − 1)(2 x − 1)
dy = y ′ . ∆x =
(2 x − 1) . 1 − (x + 1) . 2 ∆x (2 x − 1)2
2x −1 − 2x − 2 ∆x (2 x − 1)2 −3 = . ∆x (2 x − 1)2 =
∆y − dy =
− 3∆x 3∆x + (2 x + 2∆x − 1)(2 x − 1) (2 x − 1)2
27. Encontrar ∆y e dy para os valores dados
294
a) y =
1 ; ∆x = 0,001 ; x = 1 2x2
1 1 − 2 2 2x 2( x + ∆x ) 1 1 = − 2 2 2x 2 ( x + 0,001)
∆y =
1 1 − 2 2.12 2 (1 + 0,001) = −0,000998 =
dy =
−1 − 0,001 ∆x = = −0,001 3 x 1
b) y = 5 x 2 − 6 x ; ∆x = 0,02 ; x = 0 ∆y = 5( x + ∆x ) − 6( x + ∆x ) − 5 x 2 + 6 x 2
∆y = 5 x 2 + 10 x∆x + 5(∆x ) − 6 x − 6∆x − 5 x 2 + 6 x 2
∆y = 10 x∆x + 5(∆x ) − 6∆x 2
∆y = 10 . x . 0,02 + 5(0,02 ) − 6 . 0,02 2
= (10 x − 6 ) . 0,02 + 5(0,02 )
2
= −6 . 0,02 + (0,02 ) = −0,12 + 0,002 = −0,018 2
dy = (10 x − 6 ) ∆x = (10 x − 6 ) . 0,02 = −6 . 0,02 = −0,12
c) y =
2x + 1 ; ∆x = 0,1 ; x = −1 . x −1
295 2( x + ∆x ) + 1 2 x + 1 − x + ∆x − 1 x −1 (x − 1)(2 x + 2∆x + 1) − (x + ∆x − 1)(2 x + 1) = (x + ∆x − 1)(x − 1)
∆y =
=
2 x 2 + 2 x ∆x + x − 2 x − 2∆x − 1 − 2 x 2 − x − 2 x ∆x − ∆x + 2 x + 1 (x + ∆x − 1)(x − 1)
=
− 3∆x (x + ∆x − 1)(x − 1)
∆y =
− 3.0,1 = −0,078 (− 1 + 0,1 − 1) (− 1 − 1)
dy =
(x − 1) . 2 − (2 x + 1) . 1 ∆x (x − 1)2
=
dy =
2x − 2 − 2x −1 ∆x (x − 1)2 −3 ∆x (x − 1)2 − 3 . 0,1 − 0,3 = = −0,075. (− 1 − 1)2 4
28. Calcule um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferenciais. a)
50 50 = 49 + 1
y = x , x = 49, ∆x = 1 dy =
1
. ∆x 2 x 1 dy = .1 2 49 1 1 = = 2 . 7 14
y + ∆y = x + ∆x
296 f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆y ≅ dy f ( x + ∆x) ≅ f ( x) + dy 1 50 ≅ 49 + 14 1 50 ≅ 7 + ≅ 7 + 0,071. 14
b)
3
63,5
y = 3 x , x = 64, ∆x = −0,5 dy = = =
1 −23 x ∆x 3 ∆x 33 x 2 − 0,5 33 64 2
=
− 0,5 − 0,5 = = −0,010416 3 . 16 48
f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆y ≅ dy f ( x + ∆x) ≅ f ( x) + dy 3
63,5 ≅ 3 64 + dy = 4 − 0,104 = 3,9895
c) 4 13 y = 4 x , x = 16, ∆x = −3 dy = = =
1 −34 x ∆x 4 ∆x 44 x 3 −3 4
4 16
3
=
−3 = −0,09375 32
f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆y ≅ dy f ( x + ∆x) ≅ f ( x) + dy
297 4
13 ≅ 4 16 + (− 0,09375) ≅ 2 − 0,09375 ≅ 1,906.
29. Calcular a diferencial das seguintes funções
(
)
a) y = ln 3 x 2 − 4 x 6x − 4 dy = 2 . dx 3x − 4 x
x +1 ex x e .1 − ( x + 1)e x . dx dy = e2x e x − xe x − e x . dx = e2x −x = x . dx e
b) y =
(
c) y = sen 5 x 2 + 6
(
) )
2
dy = 10 x cos 5 x + 6 dx
30. A área s de um quadrado de lado x é dada por S = x 2 . Achar o acréscimo e a diferencial desta função e determinar o valor geométrico desta última. S = x2 Calculando o acréscimo: 2 ∆s = ( x + ∆x ) − x 2
∆s = x 2 + 2 x∆x + (∆x ) − x 2 2
∆s = 2 x∆x + (∆x )
2
Calculando a diferencial: ds = 2 x∆x A Figura que segue mostra a interpretação geométrica.
298
x
∆x
x
∆x
(∆x) 2
31. Dar a interpretação geométrica do acréscimo e da diferencial da função s = πx 2 (área do círculo). ds = 2πx . ∆x ∆s = π ( x + ∆x ) − π x 2 2
= π x 2 + 2 x∆xπ + π (∆x ) − π x 2 = 2 x∆xπ + π (∆x ) As figuras que seguem mostram uma interpretação geométrica da diferencial e do acréscimo. 2
2
∆x ∆x
x
2π x
32. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1 / 4cm . Se o lado da caixa é de 2 m , usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. Volume do cubo: V = x3 Diferencial da função no ponto x = 200 cm para uma espessura de ¼ cm ou seja ∆x = 0,25 cm. . dV = 3 x 2 . ∆x = 3 . 200 2 . 0,25 = 3 . 40000 . 0,25 cm 3 = 30000 cm 3 .
299 33. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é ½ cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm 3 no volume da pilha. h = r = 12 cm V =
π r 2h
=
π r3
3 3 2 3π r dV = ∆r = π r 2 . ∆r 3 Aplicando os dados: 2 = π . 12 2 . ∆r 2 = π . 144 . ∆r 2 2 ∆r = = = 0,0044209 π . 144 452, 389
34. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a 3,1 cm.
4 π r3 3 4 dV = π . 3r 2 dr 3 4 dV = π . 32 . 0,1 3 = 3,6 × π V=
≅ 11, 309733 cm 3
35. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200 m , com um erro máximo de 10 m . Usando diferencial, determine o possível erro no calculo da área do terreno. A = x2 dA = 2 x∆x dA = 2 . 1200.(± 10 ) dA = 2400 .(± 10 ) = ± 24000
300 36. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm 1 de lados. Depois de receber as placas verificou que os lados das placas tinham cm a 2 mais. Usando diferencial encontre o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. A = x2 dA = 2 x ∆x Para x = 40 cm e ∆x = 0,5 ⇒ dA = 2 . 40 . 0,5 = 40cm 2 1 lado de 1 placa: 40 cm 2 2 lados de 1 placa: 80 cm 2 50 Placas 80 × 50 = 4000 cm 2 1 placa x 2 = 40 2 = 1600 cm 2 50 placas 50 × 1600 = 80 000 cm 2 Considerando os dois lados temos 160 000 cm 2 . Fazendo o percentual vem: 160 000 cm 2 → 100%
4000 cm 2 → x x=
4000 × 100 40 = = 2,5%. 160 000 16
