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CAPÍTULO 4 4.7 – EXERCÍCIOS – pg. 127 1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. (a) f ( x) = x 2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ R.
m( x) = lim
∆x → 0
( x + ∆x) 2 − 1 − x 2 + 1 ∆x 2 x + 2 x∆x + (∆x) 2 − x 2 lim ∆x → 0 ∆x ∆x (2 x + ∆x ) lim = 2x ∆x → 0 ∆x
m (1) = 2.1 = 2
y − y1 = m ( x − 1) y − 0 = 2 ( x − 1) y = 2x − 2
m (0) = 2.0 = 0 y + 1 = ( x − 0) y +1 = 0 y = −1
m ( a ) = 2a y − a 2 + 1 = 2a ( x − a ) y − a 2 + 1 = 2ax − 2a 2 y = 2ax − a 2 − 1 As figuras que seguem mostram as retas tangentes para os pontos x = 1 e x = 0 . Como o valor de a é genérico o gráfico só pode ser apresentado com o valor definido.
203 f(x)
f(x)
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x -4
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-5
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(b) f ( x) = x 2 − 3 x + 6; x = −1, x = 2.
( x + ∆x) 2 − 3 ( x + ∆x) + 6 − x 2 + 3 x − 6 ∆x → 0 ∆x 2 2 x + 2 x∆x + (∆x) − 3 x − 3∆x − x 2 + 3 x = lim ∆x → 0 ∆x ∆x (2 x + ∆x − 3) = 2x − 3 = lim ∆x → 0 ∆x Temos: m (−1) = 2(−1) − 3 = −2 − 3 = −5 y − 10 = −5 x − 5 y = −5 x + 5 m ( x ) = lim
m (2) = 2.2 − 3 = 4 − 3 = 1 y − 4 = 1 ( x − 2)
y = x−2+4 y= x+2 Seguem os gráficos. f(x)
f(x)
11
11
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10
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x -4
-3
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1 -1
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204
1 (c) f ( x) = x(3 x − 5); x = , x = a, a ∈ IR. 2 f ( x) = 3 x 2 − 5 x 3 ( x + ∆x) 2 − 5 ( x + ∆x) − 3 x 2 + 5 x ∆x → 0 ∆x 2 3 x + 6 x∆x + 3(∆x) 2 − 5 x − 5∆x − 3 x 2 + 5 x = lim ∆x → 0 ∆x ∆x (6 x + 3∆x − 5) = 6x − 5 = lim ∆x → 0 ∆x
m ( x ) = lim
1 1 m = 6. − 5 = 3 − 5 = −2 2 2 Temos: 7 1 y + = −2 x − 4 2 7 y + = −2 x + 1 4 4 y + 7 = −8 x + 4 8x + 4 y + 3 = 0
m ( a ) = 6a − 5 y − 3a 2 + 5a = (6a − 5)( x − a ) y − 3a 2 + 5a = 6ax − 6a 2 − 5 x + 5a y = (6a − 5) x − 3a 2 . Segue o gráfico, para x = 1/2. 11
f(x)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4
-3
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-1
-1 -2 -3 -4
x 1
2
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4
205 2. Em cada um dos itens do exercício (1), determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. (a) f ( x) = x 2 − 1 x =1 Temos que: m (1) = 2 mnormal = − Assim,
1 2
−1 ( x − 1) 2 2 y = − x + 1 ou x + 2 y − 1 = 0 y−0=
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização. f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
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-1
1
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-1 -2 -3 -4 -5
x=0 m ( 0) = 0 Neste caso a reta tangente é horizontal e a reta normal coincide com o eixo dos y, ou seja, x = 0 . Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
206 f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
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-1
1
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3
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-1 -2 -3 -4 -5
x=a m ( a ) = 2a
mn = −
1 2a
Assim,
−1 ( x − a) 2a 2ay − 2a 3 + 2a = − x + a
( y − a 2 + 1) =
x + 2ay − 2a 3 + a = 0 Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização e usando-se o valor de a = −2 . f(x) 5 4 3 2 1
x -4
-3
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1 -1 -2 -3 -4 -5
b)
f ( x) = x 2 − 3 x + 6;
x = −1 Temos:
x = −1, x = 2.
2
3
4
207 m (−1) = −5 mn = Assim,
1 5
1 ( x + 1) 5 5 y − 50 = x + 1 x − 5 y + 51 = 0 Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização. y − 10 =
f(x) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x -4
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-1
x=2 Temos: m ( 2) = 1 mn = −1 Assim, y − 4 = −1 ( x − 2) y − 4 = −x + 2 x + y − 6 = 0. Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização. f(x) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
208
c)
1 x = , x = a, a ∈ R. 2
f ( x) = x(3 x − 5);
Temos: m (1 / 2) = −2 mn = Assim,
1 2
7 1 1 = x − 4 2 2 4 y + 7 = 2x − 1 y+
2x − 4 y − 8 = 0 x − 2 y − 4 = 0. Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização. f(x) 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
Temos: m ( a ) = 6a − 5 mn = Assim,
1 1 5 = ,a ≠ 6a − 5 5 − 6a 6
1 ( x − a) 5 − 6a (5 − 6a ) y − 3a 2 (5 − 6a ) + 5a (5 − 6a ) = ( x − a ) y − 3a 2 + 5a =
x − (5 − 6a ) y − 18a 3 + 45a 2 − 26a = 0 Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização, usando-se como exemplo valor de a = 1 .
209 f(x) 4 3 2 1
x -4
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1
2
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-1 -2 -3 -4
3. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x 2 , que seja paralela à reta y = 1 − x. Esboçar os gráficos da função, da reta dada e da reta tangente encontrada. 1 − ( x + ∆x ) 2 − 1 + x 2 ∆x → 0 ∆x 2 1 − x − 2 x∆x − (∆x) 2 − 1 + x 2 = lim ∆x → 0 ∆x = −2 x
m ( x) = lim
y = 1 − x ⇒ m = −1 − 2 x = −1 2
1 1 3 1 x = ⇒ y = 1− =1− = 2 4 4 2 Assim, 3 1 y − = −1 x − 4 2 4 y − 3 = −4 x + 2 4 x + 4 y − 5 = 0.
210 f(x)
2
1
x -2
-1
1
2
-1
-2
4. Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x 2 − 2 x + 1 no ponto (−2,9). ( x + ∆x) 2 − 2 ( x + ∆x) + 1 − x 2 + 2 x − 1 ∆x → 0 ∆x 2 2 x + 2 x∆x + (∆x) − 2 x − 2∆x + 1 − x 2 + 2 x − 1 = lim ∆x → 0 ∆x = 2x − 2
m ( x ) = lim
m (−2) = 2 (−2) − 2 = −4 − 2 = −6 mn =
1 6
Equação da reta tangente: y − 9 = −6 ( x + 2) y − 9 = −6 x + 12 6x + y + 3 = 0 Equação da reta normal: 1 y − 9 = ( x + 2) 6 6 y − 54 = x + 2 x − 6 y + 56 = 0
5. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f (t ) = 16t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h] , 0 ≤ b < 8 .
211 f (t ) = 16t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8
f (b + h) − f (b) h 16 (b + h) + (b + h) 2 − 16 b − b 2 = h 2 16 b + 16h + b + 2bh + h 2 − 16 b − b 2 = h 2 16 h + 2bh + h h(16 − 2b + h) = = h h v m = 16 + 2b + h; 0≤b<8 vm =
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3;3,1], [3;3,01] e [3;3,001]. v m = 16 + 2b + h [3;3,1]
v m = 16 + 2.3 + 0,1 = 16 + 6 + 0,1 = 22,1 m seg [3;3,01]
v m = 16 + 2.3 + 0,01 = 16 + 6 + 0,01 = 22,01 m seg [3;3,001] v m = 16 + 2.3 + 0,001 = 16 + 6 + 0,001 = 22,001 m seg
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
v(t ) = lim v m h→0
= lim (16 + 2t + h) h →0
v(t ) = 16 + 2t
212 (d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
v(3) = 16 + 2.3 = 16 + 6 = 22 m seg
(e) Determinar a aceleração no instante t.
v (t + ∆t ) − v(t ) ∆t 16 + 2(t + ∆t ) − 16 − 2t = lim ∆t → 0 ∆t 2∆t = 2m / seg 2 = lim ∆t → 0 ∆t
a (t ) = lim
∆t →0
6. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a b equação de seu movimento retilíneo é y = + ct , onde y é o deslocamento e t o t tempo. (a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 ?
b b + c(t + ∆t ) − − ct −b t = 2 +c. v = lim t + ∆t ∆t → 0 ∆t t
v ( 2) =
−b + c unidade de velocidade. 4
(b) Qual é a equação da aceleração?
−b b +c− 2 −c 2 (t + ∆t ) 2b dv t = lim = 3 unidades de aceleração. a (t ) = ∆ t → 0 dt ∆t t
7. Dadas as funções f ( x) = 5 − 2 x e g ( x) = 3 x 2 − 1, determinar: (a) f ′(1) + g ′(1).
213
5 − 2( x + ∆x) − 5 + 2 x ∆x 5 − 2 x − 2∆x − 5 + 2 x = lim ∆x → 0 ∆x = −2
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
3 ( x + ∆x) 2 − 1 − 3 x 2 + 1 ∆x → 0 ∆x 2 3 x + 6 x∆x + 3 (∆x) 2 − 1 − 3 x 2 + 1 = lim ∆x → 0 ∆x (6 x + 3∆x)∆x = 6x = lim ∆x → 0 ∆x
g ′ ( x) = lim
f ′(1) + g ′(1) = −2 + 6.1 = −2 + 6 = 4 . (b) 2 f ′(0) − g ′(−2). 2 (−2) − 6 (−2) = −4 + 12 = 8 . (c) f (2) − f ′(2). f (2) − f ′(2). = 5 − 2.2 + (−2) = 5 − 4 − 2 = −1 2
(d) [g ′(0)] +
1 g ′(0) + g (0). 2
[g ′(0)]2 + 1 g ′(0) + g (0) = [6.0]2 + 1 .6.0 + 3.02 − 1 = −1. 2
2
5 f ′(5 / 2) (e) f − . 2 g ′(5 / 2)
5 f − 2
8.
2 2 f ′(5 / 2) 5 −2 = 5 − 2. − =0+ = . 5 ′ 15 15 g (5 / 2) 2 6. 2
Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
(a) f ( x) = 1 − 4 x 2 .
214 1 − 4 ( x + ∆x) 2 − 1 − 4 x 2 ∆x → 0 ∆x 2 1 − 4 x − 8 x∆x − 4 (∆x) 2 − 1 + 4 x 2 = lim ∆x → 0 ∆x = lim = (−8 x − 4∆x) = −8 x
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
(b) f ( x) = 2 x 2 − x − 1.
2 ( x + ∆x) 2 − ( x + ∆x) − 1 − 2 x 2 + x + 1 ∆x → 0 ∆x 2 2 x + 4 x∆x + 2 (∆x) 2 − x − ∆x − 2 x 2 + x = lim ∆x → 0 ∆x = 4x − 1
f ′ ( x) = lim
(c) f ( x) =
1 . x+2
1 1 − f ′ ( x) = lim x + ∆x + 2 x + 2 ∆x → 0 ∆x x + 2 − x − ∆x − 2 1 = lim . ∆x →0 ( x + ∆x + 2)( x + 2) ∆x −1 = lim = ∆x →0 ( x − 2) 2 (d) f ( x) =
1− x . x+3
1 − x − ∆x 1 − x − f ′ ( x) = lim x + ∆x + 3 x + 3 ∆x → 0 ∆x ( x + 3) (1 − x − ∆x) − ( x + ∆x + 3) (1 − x) 1 = lim . ∆x → 0 ( x + ∆x + 3) ( x + 3) ∆x x + 3 − x 2 − 3 x − x∆x − 3∆x − x + x 2 − ∆x + x∆x − 3 + 3 x ∆x → 0 ( x + ∆x + 3) ( x + 3) ∆x ∆x (− x − 3 − 1 + x) = lim ∆x → 0 ∆x ( x + ∆x + 3) ( x + 3) −4 = lim = ∆x → 0 ( x + 3) 2 = lim
(e) f ( x) =
1 . 2x − 1
215
1 1 − 2( x + ∆x) − 1 2x − 1 ∆x 2 x − 1 − 2( x + ∆ x ) − 1 1 . 2( x + ∆x) − 1 2 x − 1 ∆x
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
= lim
∆x → 0
= lim
∆x → 0
(
= lim
2 x − 1 − 2( x + ∆x) + 1 1 . 2 x − 1 2( x + ∆x) − 1 ∆x
)
2x − 1
∆x → 0
= lim = ∆x → 0
(
−2 2x − 1 + 2x − 1
)
−1 (2 x − 1) 2 x − 1
(f) f ( x) = 3 x + 3. 3
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
x + ∆x + 3 − 3 x + 3 ∆x
Fazendo: x + ∆x + 3 = t 3 x + 3 = a 3 ⇒ ∆x = t 3 − a 3 Temos: t−a f ′( x) = lim 3 t →a t − a 3 t−a = lim t → a (t − a ) (t 2 + at + a 2 )
=
1 1 = 2 3 3a 3 ( x + 3) 2
1 e g ( x) = 2 x 2 − 3, determinar os itens que seguem x −1 e, usando uma ferramenta gráfica, fazer um esboço do gráfico das funções obtidas, identificando o seu domínio.:
9.
Dadas as funções
f ( x) =
(a) f 0 f ′
1 1 − f ′( x) = lim x + ∆x − 1 x − 1 ∆x → 0 ∆x ( x − 1) − x − ∆x + 1 1 = lim . ∆x →0 ( x + ∆x − 1) ( x − 1) ∆x −1 = ( x − 1) 2
216
−1 = f 0 f ′ = f [ f ′] = f 2 ( x − 1)
=
1 −1 −1 ( x − 1) 2
1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 = = − 1 − ( x − 1) 2 − 1 − x 2 + 2 x − 1 2 x − x 2 − 2 ( x − 1) 2 fof'
2
1
x -2
-1
1
-1
-2
(b) f ′ 0 f 1 f ′[ f ] = f ′ x − 1 −1 −1 = = = 2 2 1 1− x +1 − 1 x −1 x −1 ( x − 1) 2 x −1 =− = − 2 (2 − x) 2−x
2
2
3
217 f'of 2 1
x -2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
(c) g 0 f ′
g 0 f ′ = g [ f ′] −1 =g 2 ( x − 1) 2
−1 −3 = 2 2 ( x − 1) 1 =2 −3 ( x − 1) 4 2 = −3 ( x − 1) 4 gof' 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4
2
3
4
218
(d) g ′ 0 f ′
2 ( x + ∆x) 2 − 3 − 2 x 2 + 3 ∆x → 0 ∆x 2 2 x + 4 x∆x + 2(∆x) 2 − 2 x 2 = lim ∆x → 0 ∆x = lim 4 x
g ′ ( x) = lim
∆x → 0
−1 g ′ 0 f ′ = g ′ [ f ′] = g ′ 2 ( x − 1) −1 −4 = 4. = . 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 g'of' 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
Obs.:É inadequado visualizar o domínio através do gráfico das funções compostas. No item (a) − x 2 + 2 x − 2 não tem raízes reais, induzindo o aluno a achar que o domínio é R x − 1, x ≥ 0 10. Dada a função f ( x) = , verificar se existe f ′(0). Esboçar o gráfico. x, x < 0 Não existe f ′ (0) , porque f não é contínua em x = 0 . Veja o gráfico a seguir.
219 f(x) 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3
11. Dada a função f ( x) =
1 , verificar se existe f ′(3). Esboçar o gráfico. 2x − 6
Não existe f ′ (3) , porque f não é contínua (não é definida) em x = 3 . Veja o gráfico a seguir. f(x) 4 3 2 1
x -1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3
12. Dada a função f ( x) = 2 x 2 − 3x − 2, determinar os intervalos em que: (a) f ′( x) > 0. (b) f ′( x) < 0.
220
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
2( x + ∆x) 2 − 3( x + ∆x) − 2 − 2 x 2 + 3 x + 2 = 4x − 3 ∆x
4x − 3 > 0
4x − 3 < 0
4x > 3
4x < 3
x>
3 4
x<
(a)
3 ,+∞ 4
(b)
3 − ∞, 4
3 4
13. Simular graficamente diferentes tangentes à curva y = x 2 . Supondo que existem duas retas tangentes que passam pelo ponto P(0,−4) , encontrar o ponto de tangência e as equações das retas. A declividade das retas tangentes em x = a são dadas por: y′ = 2 x y′(a ) = 2a = m O gráfico que segue mostra a simulação para a assumindo os valores: -2, -1, 1/2, 0, ½, 1 e 2. f(x) 4 3 2 1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3 -4
Observamos as duas retas que passam pelo ponto P(0,−4) . A equação da reta tangente é obtida fazendo-se:
221 y − y 0 = m ( x − x0 ) y + 4 = 2a ( x − 0 ) y + 4 = 2a x
(
)
A reta passa, também em, a, a 2 : a 2 + 4 = 2a . a ⇒ a 2 = 4, a = ±2 Assim temos: Ponto de tangência: (2, 4) a = 2 ⇒ y = 4x − 4 Ponto de tangência: (− 2, 4 ) a = −2 ⇒ y = −4 x − 4
2x passam pelo ponto P(−4,0) ? Em x +1 quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? 14. Quantas retas tangentes à curva y =
O gráfico a seguir mostra uma simulação na qual podemos observar duas retas tangentes que passam por P(−4,0) . f(x) 7 6 5 4 3 2 1
x -5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4
Para encontrar o ponto de tangência temos: ′ 2 2x y′ = = (x + 1)2 x −1 Supor (x1 , y1 ) o ponto de tangência. A equação da reta tangente é:: y − y 0 = m ( x − x0 )
2
3
222
y−0 =
2
(x1 + 1)2
(x + 4)
Precisamos encontrar x1 . No ponto de tangência: y1 =
2 x1 2 e y1 = (x + 4) . x1 + 1 (x1 + 1)2 1
Então: 2 x1 2 x1 + 8 = x1 + 1 ( x1 + 1)2 x +4 x1 = 1 x1 + 1 x1 ( x1 + 1) = x1 + 4 2
x1 + x1 − x1 = 4
x1 = 2 ' x1 = −2 P1 = 2,
4 3
P2 = (− 2, 4 )
Equações das retas tangentes: y =
2 (x + 4) e y = 2 (x + 4) . 9
