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3.16 – EXERCÍCIOS – pg. 103 1. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: (a) f ( x ) =
lim
x → ±∞
lim x →4
4 x−4
4 = 0 . Portanto y = 0 é uma assíntota horizontal. x−4 4 = ∞ . Portanto x = 4 é uma assíntota vertical. x−4
(b) f ( x ) =
−3 x+2
−3 = 0 . Portanto y = 0 é uma assíntota horizontal. x → ±∞ x + 2 −3 lim = ∞ . Portanto x = −2 é uma assíntota vertical. x → −2 x + 2 lim
4 x − 3x + 2 4 lim = 2 = 0 ⇒ y = 0 é uma assíntota horizontal. x →∞ x − 3x + 2 4 4 lim = 2 = lim = ∞ , assim, x = 2 é uma assíntota vertical. x→2 x → 2 x − 3x + 2 ( x − 2)( x − 1) 4 4 lim = 2 = lim = ∞ , assim, x = 1 é uma assíntota vertical. x →1 x − 3 x + 2 x →1 ( x − 2)( x − 1)
(c) f ( x ) =
2
−1 (x − 3)(x + 4) −1 lim = = 0 ⇒ y = 0 é uma assíntota horizontal. x →∞ (x − 3)(x + 4) −1 lim = = ∞ , assim, x = 3 é uma assíntota vertical. x →3 ( x − 3) ( x + 4 ) −1 lim = = ∞ , assim, x = −4 é uma assíntota vertical. x → −4 ( x − 3) ( x + 4 )
d) f ( x ) =
e) f ( x ) =
1 x+4
176
1 = 0 ⇒ y = 0 é assíntota horizontal. x+4 1 lim = ∞ ⇒ x = −4 é assíntota vertical. x →−4 x+4
lim x →∞
−2 x−3
f) f ( x ) = lim x →∞
lim x →∞
2 =0 ⇒ x−3 −2 =∞ ⇒ x−3
x →∞
x = 3 é assíntota vertical.
2x2
g) f ( x ) = lim
y = 0 é assíntota horizontal.
x 2 − 16
2 x2
=∞ ⇒
x 2 − 16
Não existe assíntota horizontal.
lim f ( x ) = ∞
x → +4
lim f ( x ) = ∞
x → −4
Assim, x = 4 e x = −4 são assíntotas verticais.
x
h) f ( x ) =
2
x + x − 12
x x 1 x lim = lim = lim =1 2 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 12 x + x − 12 x x 12 1+ − 2 + − x x x2 x2 x2 x x x e lim = lim = −1 x → −∞ x 2 + x − 12 x → +∞ x 2 x 12 − + − x2 x2 x2 Assim, y = 1 e y = −1 são assíntotas horizontais. x =∞ e ( x − 3)( x + 4) x + x − 12 x x lim = lim =∞ 2 x → −4 x + x − 12 x → −4 ( x − 3)( x + 4) Portanto, x = 3 e x = −4 são assíntotas verticais. lim x →3
x
2
= lim x →3
177 i) f ( x ) = e 1
lim e
1
x
x
=1 ⇒
y = 1 é uma assíntota horizontal.
x
=∞ ⇒
x = 0 é uma assíntota vertical.
x → ±∞
lim+ e
1
x →0
j) f ( x ) = e x − 1
(
)
(
)
lim e x − 1 = ∞ e lim e x − 1 = −1 ⇒
x → +∞
x →−∞
y = −1 é assíntota horizontal
∃/ assíntota vertical. k) y = ln x lim ln x = ∞ x→∞
lim (ln x ) = −∞ , assim x = 0 é uma assíntota vertical.
x →0 +
l) f ( x) = tgx
lim tgx = ±∞ com n = 0,±1,±2,... , assim x = π
x → + 2n 2
π 2
+ 2n, para x = 0,±1,±2,±3,... são
assíntotas verticais. 2. Constatar, desenvolvendo exemplos graficamente, que as funções racionais do p ( x) tipo f ( x) = com p (x) e q (x ) polinômios tais que a diferença entre o grau do q ( x) numerador e o grau de denominador é igual 1 possuem assíntotas inclinadas. Seguem alguns gráficos que mostram a afirmação: y
y 7 6 2
5 4 3
1
2 1
x -2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x -2
-1
1 -1 -2
2
3
4
5
6
7
178 y
y
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
7
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
2
3
4
5
6
7
(3) Analisar graficamente a existência de assíntotas para as seguintes funções (a) f ( x) =
x2 . ex y 7 6 5 4 3 2 1
x -2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4
Temos que y=0 é uma assíntota horizontal. (b) f ( x) =
cos 2 x x2
6
7
8
9
179 y 7 6 5 4 3 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
Observa-se que y=0 é uma assíntota horizontal e x=0 é uma assíntota vertical. (c) f ( x) =
tgx − x x3 y 4 3 2 1
x -π/2
π/2 -1 -2 -3 -4
Na região considerada temos duas assíntotas verticais em x = −
π
2 Mas se ampliarmos o gráfico vamos observar outras assíntotas verticais. π (d) f ( x) = sen x
e em x =
π 2
.
180 y
2
1
x -15
-10
-5
5
10
15
-1
-2
É possível observar que y=0 é uma assíntota horizontal. (4) Fazer o gráfico das funções seguintes e determinar os respectivos limites. Para melhor visualização, traçar, também, o gráfico das retas indicadas. A seguir, determinar analiticamente os limites dados e comparar os resultados. (a) f ( x) =
senx x
e
y =1 ;
lim f ( x) x→0
y
1
x -7
lim x→0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
senx =1. x
(b) f ( x) =
sen3 x 3x
e
y =1 ;
lim f ( x) x→0
4
5
6
7
181 y
1
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
sen3 x = 1. x→0 3x
lim
(c) f ( x) =
sen3 x x
e
y=3 ;
lim f ( x) x→0
y
3
2
1
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
sen3 x 3sen3 x sen3x = lim = 3 lim = 3 ×1 = 3 . x→0 x→0 x→0 x 3x 3x
lim
d) f ( x) =
sen4 x x
e
y=4 ;
lim f ( x) x→0
182 y
4
3
2
1
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
sen4 x 4 sen4 x sen4 x = lim = 4 lim = 4 ×1 = 4 . x→0 x→0 x →0 x 4x 4x
lim
e) f ( x) =
sen1 / 3 x x
e
y = 1/ 3 ;
lim f ( x) x→0
y
x -15
-10
-5
5
10
sen1 / 3 x 1 / 3sen1 / 3 x 1 sen1 / 3 x 1 1 = lim = lim = ×1 = . x→0 x →0 x 1 / 3x 3 x →0 1 / 3x 3 3
lim
a) f ( x) =
sen 3 ( x / 2) e x3
y = 1/ 8 ;
lim f ( x) x→0
15
183 y
x -15
-10
-5
5
3
10
3
15
3
sen3 ( x / 2) 1 / 2 sen( x / 2 1 1 sen( x / 2 lim = lim = lim = × 1 = . 3 x→0 x→0 x x x/2 x→0 2 8 Nos exercícios 5 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 5. lim
sen9 x 9 sen9 x = lim = 9 ⋅1 = 9 . x → 0 x 9x
6. lim
sen4 x 4 = 3x 3
x→0
x→0
lim x →0
sen4 x 4 4 = ⋅1 = . 4x 3 3
sen10 x 10 ⋅ sen10 x 7x 1 10 = lim ⋅ = 10 ⋅ 1 ⋅ ⋅ 1 = . x → 0 sen7 x x →0 10 x 7 sen7 x 7 7
7. lim
8. lim x→0
sen ax ,b≠0 sen bx
Se a = 0 , temos lim x→0
0 =0. senbx
Se a ≠ 0 , temos sen ax a sen ax bx 1 a lim = lim ⋅ = a ⋅1⋅ ⋅1 = . x → 0 sen bx x →0 a ⋅ x b sen bx b b tg ax sen ax a a = lim ⋅ = 1. = a , a ≠ 0 . x → 0 x ax cos ax 1 tg ax Para a = 0, lim =0 x →0 x 9. lim x→0
x +1 4 10. lim x → −1 ( x + 1) 3 tg 3
184 Fazemos u = x + 1 . x → −1 ⇒ u → 0 . Substituindo no limite, vem x +1 u u tg 3 tg 3 sen3 1 4 = lim 4 = lim 4 . 1 = 1 .1.1 = 1 . lim 3 3 3 3 x → −1 ( x + 1) u →0 u u →0 4 64 u cos3 u 64 4 4
x x 2 sen 2 1 − cos x 2 4 11. lim = lim = 0 ⋅1 = 0 . x →0 x →0 x⋅x x 4 1 − cos x = lim x →0 x →0 x2
12. lim
2 sen 2 x
x 2
2
2 sen 2
x = 1 − cos x 2
2
x 2 sen 1 1 1 2 = 2 ⋅ ⋅1 = 2 ⋅ = = 2 lim 4 2 x→0 2 ⋅ x 2 2
1 x −3 − (3 − x)π 1 = lim = lim =− x → 3 x → 3 sen π x sen π x π sen π (3 − x) π sen π x = sen (3π − πx) = sen π (3 − x)
13. lim( x − 3). cos ec π x = lim( x − 3) ⋅ x →3
x →3
6 x 2sen2 x − 6 x − sen2 x 6 − 2 ⋅1 2 2x 14. lim = lim x = = x → 0 2 x + 3sen4 x x →0 2 x (3sen4 x)4 2 + 3 ⋅ 1 ⋅ 4 7 + x 4x
3x 3x 1 − 2 sen 2 x − 1 − 2 sen 2 − 2 sen 2 x + 2 sen 2 cos 2 x − cox3x 2 2 = 15. lim = lim = lim 2 2 2 x →0 x → 0 x → 0 x x x 2 3x 3x 2 2 2 sen 2 3 ⋅ sen − 2sen 2 x senx 3 2 2 2 = lim + = −2 lim = −2 ⋅ 1 + 2 ⋅ ⋅ 1 + 2 lim x →0 x2 x2 x →0 2 ⋅ 3 x x →0 x 2 2 =
5 . 2
x 1 − 21 − 2 sen 2 + (1 − 2 sen 2 x) 1 − 2 cos x + cos 2 x 2 16. lim = lim = 2 x →0 x → 0 x x2
185 2
1 − 2 + 4 sen 2 = lim x →0
2n + 3 17. lim n →∞ 2n + 1
n +1
x x 2 2 + 1 − 2 sen 2 x sen senx 1 2 2 2 = 4 lim − 2 lim = 4 ⋅ .1 − 2 ⋅ (1) = −1. 2 0 0 x → x → x x x 2 2 ⋅ 2
2n 3 + 2n + 3 2n + 3 2n 2n = lim ⋅ = lim n → ∞ 2n + 1 2n + 1 n →∞ 2n + 1 2n 2n
n
n
3 1+ 3 2n 3 = lim n →∞ 1 1+ 2n
2n 3 ⋅ 2
3 1 1 + 2n 3 = lim n→∞
1 18. lim 1 + π tgx x→ 2
1 1 + 2n
tgx
= e . Usa-se a substituição u = tgx .
1
19. lim (1 + cos x ) cos x = e . Usa-se a substituição u = sec x . x→
3π 2
x
10 x 1 10 20. lim1 + = lim1 + x →∞ x →∞ x x 10 10 x − 2 − 1 = ln 10 . x→2 x−2
21. lim
x+3 5
−1 1 2 = ln 4 = ln 2. x → −3 x+3 5 5 5⋅ 5
22. lim
4
⋅10
= e10 .
2n 2
=
e e
3 2 1 2
= e.
n
=
186
5x −1 2 5 − 25 5x − 2 − 1 23. lim = lim 5 = lim = 25 ln 5 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 25 25 x
x −1
x −1
3 4 −1 3 4 −1 5( x − 1) 1 1 ln 3 24. lim = lim ⋅ = ⋅ ln 3 ⋅ ⋅ 1 = x →1 sen5( x − 1) x →1 x − 1 5sen5( x − 1) 4 5 20 4⋅ 4 e − ax −1 − bx e − ax + bx − 1 e −e e(b − a ) x − 1 = lim 25. lim = lim b = lim e − bx = b − a. x→0 x →0 x →0 x x x x → 0 x(b − a ) e − bx b−a ax − ax 2 ax 2 ax tghax e −e 1 e −1 1 2ae − 1 1 26. lim = lim ax ⋅ = lim 2 ax ⋅ = lim ⋅ 2 ax = − ax x →0 x → 0 x → 0 x → 0 x x 2ax e +e e +1 x e +1 2/ a ln e = = a. 2/ − ax
− bx
(
)
e ax − e bx e ( a −b ) x − 1 e bx = lim = lim x → 0 senax − senbx x → 0 ( sen ax − sen bx ) x →0
27. lim
(e
( a −b ) x
)
− 1 e bx = ( a − b) x (a + b) x 2 sen ⋅ cos 2 2
a−b 2 x ⋅ 1 e( a − b ) x − 1 1 1 2 2 a −b = lim ⋅ ⋅ ⋅ ebx = ⋅ (a − b) ⋅ =1 x →0 2 x (a − b) ( a + b) x x 2 a −b sen cos(a + b) (a − b) 2 2
28.
Calcular lim f ( x) das funções dadas. Em seguida conferir graficamente os x → +∞
resultados encontrados.
1 (a) f ( x) = 1 + x 1 lim 1 + x → +∞ x
x +5
x +5
x
5
1 1 = lim 1 + × lim 1 + = e × 1 = e . x → +∞ x → +∞ x x
187 18 y 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -20
2 b) f ( x) = 1 + x
-15
-10
-5
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x 5
10
15
20
x
x
x
1 2 2/ 2 lim 1 + = lim 1 + = lim 1 + x → +∞ x x → +∞ x / 2 x → +∞ x/2
( x / 2 )× 2
2
( x / 2) 1 2 = lim 1 + =e . x → +∞ x / 2
18 y 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -20
x c) f ( x) = 1+ x
-15
x
-10
-5
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x 5
10
15
20
188 x
1 1 1 x = lim = . = xlim x x → +∞ 1 + x → +∞ 1 + x e 1 lim 1 + x x → +∞ x x
y
1
x -2
-1
1
