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UNIDADE 3 3.6 – EXERCÍCIO – pg. 72 Observação: Seguem inicialmente somente as respostas dos exercícios 1 ao 5 1 – a) lim− f ( x) = −1 x →3
d) lim f ( x) = −1 x → −∞
b) lim+ f ( x) = 3
e) lim f ( x) = 3
c) lim f ( x) ∃/
f) lim f ( x) = 3
2 – a) lim+ f ( x) = 0
c) lim f ( x) = 0
x →3
x →3
x → +∞
x→4
x → −2
b) lim− f ( x) = 0 x → −2
x → −2
d) lim f ( x) = +∞ x → +∞
3 – a) lim+ f ( x) = 0
d) lim f ( x) = +∞
b) lim− f ( x) = 0
e) lim f ( x) = −∞
c) lim f ( x) = 0
f) lim f ( x) = 4
x →0
x →0
x →0
x → +∞
x → −∞
x→2
4 – a) lim+ f ( x) = 0 x→ 2
d) lim f ( x) = −∞ x → −∞
b) lim− f ( x) = 0 x→ 2
e) lim f ( x) = 1 x →1
c) lim f ( x) = +∞ x → +∞
5 – (a) lim+ f ( x) = +∞ x →1
(c) lim f ( x) ∃/ x →1
(b) lim− f ( x) = x →1
1 2
(d) lim f ( x) = x → +∞
1 2
146 (e) lim f ( x) = −∞ x → −∞
6 – Descrever analiticamente e graficamente uma função y = f (x) tal que lim f ( x) não x→ 3
existe e lim f ( x) existe. x→ 6
Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo. Descrição analítica: x<3 2 , f ( x) = 2 3 x + 2 , x ≥ 3
Descrição gráfica: y 8 7 6 5 4 3 2 1
x -2
-1
1
2
3
4
5
6
7
7 – Definir uma função y = g (x) tal que lim g ( x) = 4 , mas g (x) não é definida em x = 2 . x→2
Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo. Descrição analítica: x + 2 , x < 2 g ( x) = − x + 6 , x > 2 Descrição gráfica:
147 y
4
3
2
1
x -2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8 – Definir e fazer o gráfico de uma função y = h( x) tal que lim+ h( x) = 1 e lim− h( x) = 2 . x →0
x →0
Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo. Descrição analítica: x<0 2 , h( x) = − x + 1, x > 0 Descrição gráfica. y 3
2
1
x -2
-1
1
2
3
-1
-2
9 - Mostrar que existe o limite de f ( x) = 4 x − 5 em x = 3 e que é igual a 7. Queremos mostrar que lim (4 x − 5) = 7 x →3
Dado ε > 0 , devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que
148 | 4 x − 5 − 7 | < ε sempre que 0 <| x − 3 | < δ . Temos, | 4 x − 5 − 7 |=| 4 x − 12 |=| 4( x − 3) |= 4 | x − 3 | . Assim, devemos ter 4 | x − 3 |< ε sempre que 0 <| x − 3 | < δ . Portanto, basta fazer δ =
ε 4
.
Observamos que qualquer δ ≤
ε 4
poderia ser tomado.
10 - Mostrar que lim x 2 = 9 . x →3
Dado ε > 0 devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que | x 2 − 9 |< ε sempre que 0 <| x − 3 | < δ . Temos: | x 2 − 9 |=| ( x − 3)( x + 3) |=| x − 3 || x + 3 | Supondo 0 < δ ≤ 1 , da desigualdade 0 <| x − 3 | < δ , vem x −3 <1
−1 < x − 3 < 1 2< x<4 5< x+3<7 Portanto, | x + 3 |< 7 e, então,
| x 2 − 9 |= x − 3 x + 3 < δ .7 , sempre que 0 <| x − 3 | < δ . ε Assim, basta tomar δ = mim ,1 . 7
Nos exercício 11 a 15 é dado lim f ( x) = L. Determinar um número δ para o ε dado tal x→a
que | f ( x) − L | < ε sempre que 0 <| x − a | < δ . 11 - lim (2 x + 4) = 8 , ε = 0,01 x→2
| 2 x + 4 − 8 | < ε sempre que 0 < x − 2 |< δ
2 x + 4 − 8 = 2 x − 4 = 2( x − 2) = 2 x − 2 Então 2 x − 2 < ε sempre que 0 < x − 2 |< δ Basta fazer δ =
ε 2
=
0,01 = 0,005 2
149
12 - lim (−3 x + 7) = 10 , ε = 0,5 x → −1
− 3x + 7 − 10 < ε sempre que 0 < x − (−1) < δ Temos − 3x − 3 = − 3( x + 1) = − 3 x + 1 = 3 x + 1 Então 3 x + 1 < ε sempre que 0 < x + 1 < δ Basta fazer δ =
ε 3
=
x2 − 4 13 - lim = −4 x → −2 x + 2
0,5 = 0,166... 3 , ε = 0,001
Dado ε = 0,1 existe um δ > 0 tal que
x2 − 4 + 4 < ε sempre que 0 < x + 2 < δ x+2 ( x − 2)( x + 2) +4 <ε x+2 x + 2 < ε , x ≠ −2 Basta fazer δ = ε = 0,1
14 - lim x →5
1 −1 = , 2− x 3
ε = 0,25
Dado ε = 0,25 , existe δ > 0 tal que 1 1 + < ε sempre que 0 < x − 5 < δ 2− x 3 Temos, 3 + (2 − x) 3 + 2 − x 5− x x−5 = = = , x≠2 3(2 − x) 3(2 − x) 3(2 − x) 3( x − 2) Supondo 0 < δ ≤ 1 , da desigualdade 0 < x − 5 < δ , segue que
150
x − 5 <1 −1 < x − 5 < 1 4< x<6 2< x−2<4 2< x−2 <4
1 1 1 > > 2 x−2 4 Portanto, 1 1 x−5 1 1 1 1 1 + = = x−5 < × x−5 = x−5 2 − x 3 3( x − 2) 3 x − 2 3 2 6 Então δ = min {6 × 0,25;1} = 1
x2 −1 =2 15 - lim x →1 x − 1
ε = 0,75
Dado ε = 0,75 existe um δ > 0 tal que
x2 −1 − 2 < ε sempre que 0 < x − 1 < δ x −1 ( x − 1)( x + 1) − 2 = x − 1 < ε , para x ≠ 1 . x −1 Basta fazer δ = ε = 0,75
16 – Fazer o gráfico das funções y = f (x) dadas, explorando diversas escalas para visualizar melhor o gráfico numa vizinhança da origem. Observando o gráfico, qual a sua conjectura sobre o lim f ( x) ? Comprove analiticamente se a sua conjectura é verdadeira. x→ 0
1 (a) f ( x) = sen x
151 y
1
x -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
-1
Analisando graficamente, afirmamos que lim f ( x) não existe. x→ 0
(b) f ( x) = x sen
1 x
0.3
0.4
152 y
0.4
0.3
0.2
0.1
x -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
Analisando graficamente, afirmamos que lim f ( x ) é igual a zero. Analiticamente x→ 0
temos:
lim x ⋅ sen x →0
1 =0 x
De fato, a função seno tem os valores entre -1 e 1. Então − 1 ≤ sen
Multiplicando a desigualdade por x > 0, vem:
− x ≤ xsen
1 < x ,∀ x > 0 x
Como lim+ x = 0 x→0
lim − x = 0
x →0 +
Pela regra do sanduíche segue que lim+ xsen x →0
1 = 0. x
1 ≤1 , ∀ x ≠ 0. x
153
Analogamente, obtém-se que lim− xsen x →0
1 = 0. x
. (c) f ( x) = x 2 sen
1 x y
0.05
x -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.05
Analisando graficamente, afirmamos que lim f ( x ) é igual a zero. Analiticamente x→ 0
temos:
lim x 2 ⋅ sen x →0
1 =0 x
A função seno tem os valores entre -1 e 1. Então − 1 ≤ sen
1 ≤ 1, x
∀x≠0
Multiplicando a desigualdade por x 2 > 0, vem:
− x 2 ≤ x 2 sen
1 ≤ x2 , ∀ x ≠ 0 x
Como lim x 2 = 0 e lim− x 2 = 0 , usando a Regra do Sanduíche, concluímos que x →0
x→0
154
lim x 2 ⋅ sen x →0
1 =0 x
. (d) f ( x) = x 3 sen
1 x y
0.01
x -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.01
Analisando graficamente, afirmamos que lim f ( x) é igual a zero. Analiticamente, x→ 0
prova-se que lim x3 ⋅ sen x →0
1 = 0 , da mesma forma utilizada no item (b). x
17 - Mostrar que: (i) Se f é uma função polinomial, então lim f ( x) = f (a ) para todo real a. x→a
Se f é uma função polinomial, pode ser escrita como f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + .... + an x n com a1 , a 2 ,...., a n ∈ R
155 Assim, lim f ( x) = lim(a 0 + a1 x + a 2 x 2 + .... + a n x n ) x→a
x→a
= lim a0 + lim a1 x + lim a2 x 2 + ... + lim an x n x→a x→a x→a x→a 2 = a0 + a1 lim x + a2 lim x + .... + an lim x n x→a x→a x→a 2 n = a0 + a1 ⋅ a + a2 ⋅ a + .... + an a = f (a) (ii) Se g é uma função racional e a ∈ D ( g ), então lim g ( x) = g (a ) x→a
Se g é uma função racional ela é da forma
g ( x) =
P( x) , onde P(x) e Q(x) são polinômios reais e D( g ) = {x / x ∈ R e Q( x) ≠ 0} Q( x)
Assim,
P( x ) P ( a ) P ( x) lim = x→a = x → a Q( x) lim Q ( x) Q (a)
lim g ( x) = lim x→a
x→a
= g (a ) já que a ∈ D (g ) , e, portanto, Q(a ) ≠ 0 .
Calcular os limites nos exercícios 18 a 37 usando as propriedades de Limites.
18 - lim (3 − 7 x − 5 x 2 ) = 3 − 7.0 − 5.0 2 = 3 x →0
19 - lim(3x 2 − 7 x + 2) = 3 ⋅ 3 2 − 7 ⋅ 3 + 2 x →3
= 27 − 21 + 2 =8 20 - lim (− x 5 + 6 x 4 + 2) = −(−1) 5 + 6(−1) 4 + 2 x → −1
= 1+ 6 + 2 =9
1 21 - lim(2 x + 7) = 2. + 7 = 8 1 2 x→ 2
[
]
22 - lim ( x + 4) 3 ⋅ ( x + 2) −1 = (−1 + 4) 3 ⋅ (−1 + 2) −1 x → −1
156 = 27 ⋅ 1 = 27
[
]
23 - lim ( x − 2)10 ⋅ ( x + 4) = (0 − 2)10 ⋅ (0 + 4) x →0
= (−2)10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 210 = 212 = 4096. x+4 2+4 6 = = x→2 3x − 1 3⋅ 2 −1 5
24 - lim
t +3 2+3 5 = = t →2 t + 2 2+2 4
25 - lim
x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = lim = lim( x + 1) = 2 x →1 x − 1 x →1 x →1 ( x − 1)
26 - lim
t 2 + 5t + 6 2 2 + 5 ⋅ 2 + 6 4 + 10 + 6 20 = = = =5 t →2 t+2 2+2 4 4 t 2 − 5t + 6 (t − 2)(t − 3) 28 - lim = lim = lim(t − 3) = −1 t→2 t → 2 t →2 t−2 t−2
27 - lim
1 1+ 8 +4 s+4 2 9 29 - lim = = 2 = 1 2s 1 1 2 s→ 2⋅ 2 2 30 - lim 3 2 x + 3 = 3 2 ⋅ 4 + 3 = 3 11 x→4
2
2
2
31 - lim(3 x + 2) 3 = (3 ⋅ 7 + 2) 3 = 23 3 = 3 23 2 x →7
2 x 2 − x 2( 2 ) 2 − 2 (4 − 2 ) 2 4 2 − 2 2(2 2 − 1) 2 2 − 1 = = = = = 2 3x 3⋅ 2 3⋅ 2 3 3⋅ 2 3⋅ 2 ⋅ 2
32 - lim x→
33 - lim x→2
x x− 2 2 2− 2 2 = = 3x − 4 3⋅ 2 − 4 2
34 - lim[2 senx − cos x + cot gx ] = 2 sen x→
π
2
35 - lim(e x + 4 x) = e 4 + 4 ⋅ 4 = e 4 + 16 x→4
π 2
− cos
π 2
+ cot g
π 2
= 2 ⋅1 − 0 + 0 = 2
157
1 4
1
1
1
1
1 4 2 4 − 2 + 9 4 7 4 4 7 36 - lim (2 x + 3) = 2 ⋅ − + 3 = − + 3 = = = 1 3 3 3 3 x→ − 3 3 senhx senh 2 = . x→2 4 4
37 - lim
