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FACUDADE DE TECNOLOGIA
APOSTILA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI
Elaborado: Alvaro Henrique Pereira – DME Data: 17/05/2007 Revisão: 0 Contato: tel: 24-33540194 - e-mail:
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2 1 - TENSÕES COMBINADAS Quando um componente estrutural ou um elemento de máquina é dimensionado, o mais comum é que se tenhaM tensões combinadas atuando nesse elemento. Num eixo, por exemplo, (vide a figura 1.1) o acionamento devido a corrente (forças F1 e F2) gera um torque T no eixo assim como uma força resultante R.
Figura 1.1 Nesse caso específico, teremos várias tensões combinadas (tensão devido à flexão; tensão de cisalhamento devido à torção; tensão de cisalhamento devido ao cortante). E o somatório dessas tensões combinadas, nos dará as tensões equivalentes atuantes no elemento. Outro ponto que devemos considerar numa análise de tensões é se a mesma é variável ou não. Sendo a carga variável, quais valores máximos e mínimos, qual a freqüência dessa carga, esse é outro ponto que deve ser analisado. A carga variável pode provocar a fadiga em uma determinada peça. Outro fator é a concentração de tensões. Esse fenômeno ocorre devido a entalhes, rasgos ou qualquer descontinuidade nas seções das peças. É importante frisar que para cargas variáveis esse efeito é mais danoso ainda. Muitas vezes uma trinca que pode acarretar a ruptura de uma peça, pode começar simplesmente por um risco na superfície de uma peça. Preste bastante atenção! principalmente sob cargas variáveis, quando tiver que fazer alguma modificação, tipo um rasgo ou furo numa peça. Dependendo da magnitude das cargas e da sua freqüência, a conseqüente fratura de uma peça devido à fadiga é muito rápida e desastrosa para o equipamento. Esse tópico referente a cargas variáveis será visto em outro capítulo. 1.1 – VASOS DE PRESSÃO Como introdução a tensões combinadas, iniciaremos nossos estudos analisando vasos de pressão com paredes finas. A seguir cópia do livro: “Resistência dos Materiais” Autor: R. C. Hibbeler (5ª edição). Dessa página até a página 6, as numerações de figuras, tabelas e fórmulas estão conforme original citado, não seguindo portanto as numerações dessa apostila.
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8 1.2 - TENSÕES COMBINADAS -
É bom citar que existem várias teorias utilizadas para analisar tensões combinadas. Não iremos nos ater a nenhum método específico.
1.2.1- Tensão normal numa direção - Veja bem, para análise de tensões combinadas é utilizado um modelo de cubo infinitesimal (tridimensional), onde são lançadas as tensões atuantes nesse ponto do elemento que está sendo analisado.
Figura 1.2 Utilizando-se círculo de Mohr;
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Figura 1.3 Nesse caso, tem-se:
1 2
τ máx = σ máx = σ Considerando que a tensão máxima de tração (normal) atuante no corpo σ máx , seja limitada pela tensão de escoamento. Nesse caso estamos utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, que segue a seguinte expressão: 1 1 σe ← tensão de escoamento/fator de segurança τ máx = σ máx = 2 2 F .S .
Aplicação 1: Seja uma placa conforme figura abaixo com uma espessura de 12,5 mm sujeita a uma força de tração F= 8.000Kgf (estática).
Figura 1.4 - O material é aço carbono E= 21.000Kgf/mm² que apresenta uma tensão de escoamento de 32Kgf/mm². Determine qual F.S. utilizado. - Utilize o método da máxima tensão de cisalhamento para determina o fator de segurança utilizado. F.S. = 1,5
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- Para completar essa análise de uma tensão normal numa direção, podemos também utilizar a teoria da maior tensão normal.
Figura 1.5 - Por esse método, tem-se:
σ ADM =
σe
F .S .
- Que na verdade dá o mesmo resultado calculado anteriormente, pois se você observar o círculo de Mohr a tensão de cisalhamento máxima é a metade da tensão de tração máxima. - Dessa forma σ máx = σ ADM . Isto se aplica no ponto 1 da figura 27 (círculo de Mohr). 1.2.2 - Tensão normal em duas direções -
Vamos analisar as tensões em planos
Figura 1.6
11 Onde: σ 1 e σ 2 são as tensões principais
Figura 1.7 - Veja que a seção que sofre maior esforço de cisalhamento é a seção “BDHF” que se apresenta hachurada na figura 1.7. - Lógico se nós partirmos o cubo em dois e pegarmos a parte referente à “BCDHGF”, a mesma estará em equilíbrio, com as tensões indicadas na figura 32.
Figura 4.8 - Observe que σ 1 e σ 2 atuam em áreas → u..u = u 2 - τ máx e σ atuam em área → u 2 2 - Então! Vamos fazer as equações de equilíbrio:
∑F
= 0 ∴ (σ 1 − σ cos 45 2 − τ máx cos 45 2 )u 2 = 0
(1.1)
∑F
= 0 ∴ (−σ 2 + σ cos 45 2 − τ máx cos 45 2 )u 2 = 0
(1.2)
x
y
Somando (1.1) e (1.2), tem-se: σ 1 − σ 2 − 2τ máx = 0
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1 2
τ máx = (σ 1 − σ 2 )
(1.3)
- Caso σ 1 ou σ 2 sejam de compressão, os sinais devem ser modificados, como exemplo, seja a tensão σ 2 de compressão, dessa forma teremos: 1 τ máx = (σ 1 + σ 2 ) 2 - Vamos ver isso utilizando o círculo de Mohr (considerando σ 1 e σ 2 como tensões de tração). Seja σ 1 > σ 2
Figura 1.9 - E é claro que: (σ 1 − σ 2 ) ← raio do circulo 2 - Para uma seção qualquer que não seja os planos principais (no plano principal τ = 0 )
τ máx =
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Figura 1.10 Observe bem! σ −σ y 2 2 2 ( x ) + τ xy = τ máx ; 2 σ −σ y 2 2 τ máx = ( x ) + τ xy 2
(1.4)
- Veja que nesse caso, basta substituirmos a tensão máxima de cisalhamento ( τ máx ) pela tensão de cisalhamento admissível.
τ ADM =
σ −σ y 2 2 0,5σ e = ( x ) + τ xy F .S . 2
(1.5)
- Outro método utilizado confirmado por experiências, é o método da energia de distorção (Mises – Hencky). 2 σ ADM = σ 12 + σ 22 − σ 1σ 2
Ou: 2 σ ADM = σ x2 − σ xσ y + σ y2 + 3τ xy2
Aplicação 1: - A tensão num ponto de um suporte apresenta os seguintes valores: σ x = 9 Kgf / mm 2 ;
σ y = 2 Kgf / mm 2 ; τ xy = 8,5Kgf / mm 2
(1.6)
14 - Sabendo-se que a tensão de escoamento do material σ e = 28Kgf / mm2 ,determine o F.S utilizando: a) Teoria da máxima tensão de cisalhamento b) Teoria da energia de distorção Obs: Utilizando uma casa decimal
a) Vamos definir as tensões máximas σ 1 e σ 2 , ou utilizando o circulo de Mohr ou utilizando as equações. - Utilizando as equações:
τ máx = ( τ máx = (
σx −σ y 2
) 2 + τ xy2 ;
9−2 2 ) + 8,52 ; 2
τ máx = 9,2 Kgf / mm 2 =
σ1 − σ 2 2
Temos também que:
σx +σy 2
=
σ1 + σ 2 2
σ 1 − σ 2 = 18,4 σ 1 + σ 2 = 11 σ 1 = 14,7 σ 2 = −3,7 - Utilizando circulo de Mohr
Figura 1.11
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τ máx = ( τ máx = (
σx −σ y 2
σx −σ y 2
τ máx = τ ADM =
) 2 + τ xy2 ;
);
0,5σ e 14 = ; FS FS
14 1 = (14,7 − (−3,7)) ⇒ FS = 1,52 FS 2 FS = 1,5
b) Utilizando o método da distorção:
σ ADM =
σe FS
= σ x2 − σ xσ y + σ y2 + 3τ xy2 ;
28 = 92 − 9 x 2 + 22 + 3x8,52 ⇒ FS = 1,66 FS FS = 1,7 Resultados finais a) F.S.= 1,5 b)
F.S. = 1,7
Aplicação 2: - Repita a aplicação 1 com as seguintes condições:
σ x = 14 Kgf / mm2 ; σ y = 3Kgf / mm 2 ; τ xy = 4 Kgf / mm2 Resultados finais: a) F.S.= 1,8 b)
F.S. = 1,9
Aplicação 3: - Uma barra redonda com diâmetro de 50 mm é carregada com um torque estático que acarreta uma tensão de cisalhamento = 7Kgf/mm2. - Determine o FS se o aço utilizado tem uma tensão de escoamento = 45Kgf/mm2.
16 - Utilize o método de Mises-Hencky (distorção).
σ ADM =
σe FS
= σ x2 − σ xσ y + σ y2 + 3τ xy2 ;
45 = 0 − 0 x0 + 0 + 3x7 2 ⇒ FS = 7 3 FS FS = 3,7 Aplicação 4: - Um tubo Ø externo 100 x Ø interno 70 é carregado com um torque estático de 1200 m.Kgf. Determine o F.S. se o aço utilizado tem uma tensão de escoamento = 50Kgf/mm2. a) Utilize o método de Mises-Hencky. b) Utilize o método de máxima tensão de cisalhamento.
Resultados finais: a) F.S= 3,6 b)
F.S= 3,1
Aplicação 5: - O carregamento de um elemento de um aço ABNT 1045 é conforme indicado na figura. As cargas são estáticas e não apresentam nenhuma concentração de tensão.
Figura 1.12 - Utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, determine: a) O fator de segurança para o plano CDEF b) O fator de segurança para o plano ACGE c) O fator de segurança para o plano AFGD Resposta a) Plano CDEF:
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Figura 1.13 Observe que a tensão de 3,5 Kgf/mm2 não provoca nenhuma tensão nesse plano.
σ e (1045) = 42 Kgf / mm 2 ; τ máx = τ adm ; τ máx =
0,5 x 42 = 5,5 → FS = 3,8 FS
b) Plano ACGE
Figura 1.14
- Nesse caso as duas tensões atuam na face citada - Utilizando Círculo de Mohr
18 11 − 3,5 = 3,75 2 = τ adm ;
τ máx = τ máx
τ máx =
0,5 x 42 = 3,75 → FS = 5,6 FS
c) Plano AFGD Resposta: FS = 12
