Resistências Dos Materiais 2 - Lista De Exercícios 1

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ESCOLA POLITÉCNICA - UPE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II –2007_2 1a LISTA DE EXERCÍCIOS (CARGA HORÁRIA EQUIVALENTE – 7:30hs) Prof. Caetano FORMULÁRIO - Estado Plano de Tensões τ (α ) σ (α ) = σ x cos2 α + σ y sen2 α + τ xy sen 2α σy − σx τ (α ) = sen 2α + τ xy cos 2α 2 Tg 2α 0 = − 2τ xy σy −σx Tg 2α 0' = σy −σx 2τ xy τ xy σ 1, 2 = σx +σ y 2 σ (α ) α σx σy 1 ± . (σ y − σ x ) 2 + 4.τ 2 xy 2 1 2 τ 1 , 2 = ± . (σ y − σ x ) 2 + 4.τ 2 xy ' - ' Tensões Normais na Flexão N My Mx N σ= x+ y+ Jy Jx S N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S tgα .tgβ = − ix2 i y2 Σx Gi Si xG = ΣSi tgα = Mx My yG = ix = S Y XK Yn G K YK α Xn β X jx S bh 3 Jx = 12 hb 3 Jy = 12 Σy Gi Si ΣS i J 2 = J1 + S. d 2 1)-Dada a secção indicada na figura, sujeita aos momentos fletores Mx=-40000Kgfcm e My=200000kgfcm, e a resultante normal passando no ponto "K", classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção; c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; secção, e a 20 cm x K 20 cm 20cm 20cm 20cm 2)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 30 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar: a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente. τ= M S' Q b. J 3)- Dada a secção indicada na figura, submetida a um esforço normal de compressão de 60tf e momento fletor My=-1200000Kgfm, com o plano de solicitação fazendo 60o com o eixo central de inércia normal ao eixo de simetria, classificar o estado de flexão e determinar(4,0): a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; My Mx N bh 3 σ= x+ y+ Jx = Jy Jx S 12 20 cm N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S hb 3 20 cm Jy = 12 Σx Gi Si Σy Gi Si 20 cm xG = yG = ΣSi ΣS i 20cm 20cm 20cm 20cm 20cm J 2 = J1 + S. d 2 4)-Considerando a seção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 30 tf na direção do eixo de simetria, determinar(3,0): a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; M b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ = S' Q b. J 5)-Dada a seção indicada na figura, submetida ao esforço normal de compressão de 40 tf e aos momentos fletores Mx=0 e My=-268963,64Kgfcm, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; My Mx N σ= x+ y+ 10 cm Jy Jx S N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S 30 cm xG = Σx Gi Si ΣSi yG = secção, e a Jx = bh 3 12 Jy = hb 3 12 Σy Gi Si ΣS i 10 cm 10cm 15cm J 2 = J1 + S. d 2 20cm 6)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 30 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar: τ= a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; M S' Q b. J 7)-Dada a secção indicada na figura, submetida ao esforço normal de compressão de 30 tf aplicado no ponto “K”, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; My Mx N σ= x+ y+ 10 cm Jy Jx S σ= 30 cm 28,75 cm K 10 cm xG = N . xK N . yK N x+ Y+ Jy Jx S Σx Gi Si ΣSi yG = secção, e a Jx = bh 3 12 hb 3 Jy = 12 Σy Gi Si ΣS i 17 cm 20cm 10cm10cm10cm10cm J 2 = J1 + S . d 2 8)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 35 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar: a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; τ= b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; M S' Q b. J 9)-Dada a seção indicada na figura, com esforço normal nulo(N=0) e momentos fletores Mx= -140000Kgfcm e My=320000Kgfcm, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; My M N σ= x+ x y+ Jy Jx S N . xK N . yK N 25 cm σ= x+ Y+ Jy Jx S 25 cm xG = Σx Gi Si ΣSi yG = secção, e a Jx = bh 3 12 Jy = hb 3 12 Σy Gi Si ΣS i 25 cm 25 cm 50 cm 25 cm J 2 = J1 + S. d 2 10)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 50 tf na direção do eixo de simetria, determinar: τ= a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; M S' Q b. J 11)-Dada a secção indicada na figura, submetida a esforço normal nulo(N=0) e aos momentos fletores Mx=-600000Kgfcm e My=800000Kgfcm, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; My M N σ= x+ x y+ Jy Jx S 20 cm σ= 20 cm xG = 20 cm 40cm N . xK N . yK N x+ Y+ Jy Jx S Σx Gi Si ΣSi yG = secção, e a bh 3 Jx = 12 Jy = Σy Gi Si ΣS i 20cm 20cm J 2 = J1 + S . d 2 hb 3 12 12)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 45 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar: a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ= M S' Q b. J PRÁTICA 13)-Dada a secção indicada na figura, submetida a uma flexão simples com momentos fletores Mx=-1200000 e My=1600000Kgfcm, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; My Mx N bh 3 σ= x+ y+ Jx = 12 Jy Jx S 40 cm N . xK N . yK N σ= x+ Y+ hb 3 Jy Jx S Jy = 12 20 cm Σx Gi Si Σy Gi Si xG = yG = ΣSi ΣS i 20 cm J 2 = J1 + S. d 2 20 cm 20cm 20cm 40cm 20cm 20cm 14)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 40 tf na direção do eixo de simetria, determinar: a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; M b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ = S' Q b. J 15)-Um elemento em estado plano, tem as tensões indicadas na figura.Determine as tensões que atuam no plano tambem indicado na figura, que forma um ângulo de 30o com a direção x. Represente este estado de tensão no Círculo de Mhor, indicando a localização das tensões y principais e planos principais. 15MPa 12MPa 35MPa 35MPa o 30 12MPa 15MPa x 16)-O estado plano de tensões em um ponto da superfície da fuselagem de um avião é representado em um elemento orientado, conforme mostra a figura. Determine o estado completo de tensões deste ponto considerando um elemento que seja orientado a 30º com relação à posição mostrada. Represente sua resposta no Círculo de Mohr. 17)- Dada a secção indicada na figura, submetida a uma flexão normal com momento fletor Mx=-250000 e esforço normal de compressão de 50000Kgf, classificar o estado de flexão e determinar(peso 4,0): a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; My Mx N bh 3 σ= x+ y+ Jx = 15 cm Jy Jx S 12 15 cm N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S hb 3 Jy = 15 cm 12 Σx Gi Si Σy Gi Si xG = yG = ΣSi ΣS i 30 cm 15cm 15cm 30cm 15cm 15cm J 2 = J1 + S. d 2 18)-Considerando a seção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 20 tf na direção do eixo de simetria, determinar(peso 3,0): a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; M b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ = S' Q b. J 19)-Dada a secção indicada na figura, submetida a uma flexão simples, com momentos fletores Mx=1600000Kgfcm e My=-1400000Kgfcm, dar classificação completa para o estado de flexão e determinar:(4,5) a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; bh 3 My Mx N Jx = 12 σ= x+ y+ Jy Jx S 40 cm σ= 20 cm xG = 20cm 20cm 20cm 20cm N . xK N . yK N x+ Y+ Jy Jx S Σx Gi Si ΣSi yG = Jy = hb 3 12 Σy Gi Si ΣS i 20cm J 2 = J1 + S. d 2 20)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 40 tf na direção do eixo de simetria, determinar:(3,5) a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ= M S' Q b. J 21)-Dada a seção indicada na figura, submetida a uma flexão normal, com esforço normal de compressão de 80000kgf e momento fletor Mx=-640000Kgfcm, dar a classificação completa para o estado de flexão e determinar:(4,0) a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; My Mx N bh 3 σ= x+ y+ Jx = Jy Jx S 12 20 cm N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S hb 3 Jy = 20 cm 12 Σx Gi Si Σy Gi Si xG = yG = 20 cm ΣSi ΣS i 40cm 20cm 20cm J 2 = J1 + S. d 2 22)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 40 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar:(3,0) a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ= M S' Q b. J 23)-Dada a seção indicada na figura, submetida a uma flexão normal, com esforço normal de compressão de 140000Kgf aplicado no ponto K, dar a classificação completa para o estado de flexão e determinar:(7,0) a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na secção, e a posição dos pontos correspondentes; My Mx N bh 3 σ= x+ y+ Jx = Jy Jx S 12 N . xK N . yK N σ= x+ Y+ Jy Jx S hb 3 Jy = 12 Σx Gi Si Σy Gi Si xG = yG = ΣSi ΣS i J 2 = J1 + S. d 2 24)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 40 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar:(3,0) a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; τ= M S' Q b. J SIMULAÇÃO DE PROVA S Y N TEORIA XK 1)-Para as “tensões normais na flexão”, estabelecer o princípio da reciprocidade, e com base no mesmo, tambem valendose de desenhos esquemáticos, mostrar o que acontece com o eixo neutro quando o ponto de aplicação da normal se desloca ao longo de uma reta. jy jx i2 M ix = iy = tgα .tgβ = − x2 tgα = x S iy S My Yn G K YK α Xn β X 2)- Para o “estado plano de tensões”, deduzir a expressão que permite determinar a tensão de normal em um ponto corresponde a um plano qualquer, em função das tensões normais e de cisalhamento no ponto, correspondentes a um par de planos ortogonais. τ (α ) σ (α ) = σ x cos2 α + σ y sen2 α + τ xy sen 2α τ (α ) = σy − σx 2 Tg 2α 0 = − 3)- σ (α ) α sen 2α + τ xy cos 2α 2τ xy σ y −σ x Tg 2α 0' = σx τ xy σ y −σ x 2τ xy σy Deduzir a expressão da variação volumétrica específica para um prisma submetido a tensões normais em duas direções, em função das tensões. PRÁTICA 1)-Dada a secção indicada na figura, submetida ao esforço normal de tração de 85,31tf e aos momentos fletores Mx=0 e My=785000Kgfcm, classificar o estado de flexão e determinar: a) As posições dos eixos neutro e de solicitação; b) O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da secção(dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central); c) As tensões normais máximas, ou máxima e mínima, que se desenvolvem na posição dos pontos correspondentes; My M N 10 cm σ= x+ x y+ Jy Jx S σ= 60 cm xG = 10 cm 10cm 40cm N . xK N . yK N x+ Y+ Jy Jx S Σx Gi Si ΣSi yG = secção, e a Jx = bh 3 12 hb 3 Jy = 12 Σy Gi Si ΣS i 10cm 30cm 10cm 2)-Considerando a secção da questão anterior, sujeita a um esforço cortante de 50 tf na direção normal ao eixo de simetria, determinar: a) O diagrama representativo das tensões de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento máxima e a posição correspondente; J 2 = J1 + S . d 2 τ= M S' Q b. J