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Universidade Federal de Sergipe
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET
Departamento de Engenharia Civil – DEC
Erika Dorathy Avelino Santos
Resistência dos Materiais
São Cristóvão
30/07/2010
Universidade Federal de Sergipe
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET
Departamento de Engenharia Civil – DEC
Erika Dorathy Avelino Santos
Resistência dos Materiais
Relatório apresentado à disciplina Resistência dos Materiais – 101201 na turma B0, para a obtenção da 2ª nota, orientado pelo professor Josafá de Oliveira Filho.
São Cristóvão
30/07/2010
Treliças
Introdução
A treliça é uma solução estrutural simples. Na teoria de projeto, os membros individuais de uma treliça simples são sujeitos somente a forças de tração e compressão e não a forças de flexão, Portanto, na maioria das vezes, as vigas de uma ponte treliçada são delgadas. As treliças são compostas de várias pequenas vigas que juntas podem suportar uma grande quantidade de peso e vencer grandes distâncias. Na maioria dos casos, o projeto, construção e erguimento de uma ponte treliçada é relativamente simples. Contudo, uma vez instaladas, as treliças ocupam uma grande quantidade de espaço em relação às pontes de vigas, e em alguns casos podem servir de distração para os motoristas.
Como as pontes de viga, há as treliças que são simples e contínuas. O pequeno tamanho dos elementos individuais da treliça a tornam uma ponte ideal para lugares onde grandes partes e secções não podem ser transportadas nem erguidas e onde grandes guindastes e equipamentos pesados não podem ser usados. Visto que a treliça é inteiramente um esqueleto estrutural, a estrada pode passar tanto por cima como por dentro da treliça permitindo um espaço livre embaixo da ponte, algo que não seria possível em outros tipos de pontes, como mostra a figura 1.
Figura 1
Definição
Sistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveis, unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas articulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforços normais, de tração ou compressão. Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designada plana.
A figura 2 mostra os componentes utilizados na construção de uma cobertura com treliças.
Cordão Inferior conjunto de elementos que forma a parte inferior;
Cordão Superior conjunto de elementos que forma a parte superior;
Montantes barras verticais;
Diagonais barras inclinadas.
A definição apóia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de ações ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistemas, desde que a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto de cada nó.
Treliça Plana
Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras. Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.
Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.
A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada, pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.
Logo a única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma. Como o esforço normal é constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer, da barra que se deseja.
Estaticidade da estrutura
Estaticidade no interior
O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3. Esta relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma configuração estável da treliça simples.
Onde:
b é o número de barras da treliça
n é o número de nós da treliça, incluindo os vínculos externos
Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. No entanto é necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável. Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior, hi = b – (2n - 3).
Onde:
hi é o grau de hiperestaticidade interior
Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada hipoestática interiormente. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo verificadas levará o sistema ao colapso.
Estaticidade no exterior
A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem, a, são calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. Se os apoios estiverem colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de hiperestaticidade exterior é então he = a - 3.
Sistema hipoestático a < 3
Sistema isostático a = 3
Sistema hiperestático a > 3
Onde:
a número de incógnitas
he grau de hiperestaticidade no exterior
Classificação quanto a lei de formação
Treliça simples
As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição b= 2n -3.
Treliças Compostas
Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó (esquema 2).
Treliças Complexas
Estas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= 2n – 3, não se identificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-se como complexas.
Determinação dos esforços nas barras de treliças
Hipóteses de Cálculo:
As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito.
As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça.
O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades.
As barras são solicitadas somente por esforço normal.
Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças:
Método dos Nós ou Método de Cremona
Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência)
Método dos nós ou Método de Cremona
A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir:
Determinação das reações de apoio
Identificação do tipo de solicitação em cada barra ( barra tracionada ou barra comprimida)
Verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, inicioando-se sempre os cálculos pelo nó que contenha o menor número de incógnitas.
Método de Ritter ou Método das Seções
Para determinar as cargas axiais atuantes nas barras de uma treliça plana, através do método de Ritter, deve-se proceder da seguinte forma:
Corta-se a treliça em duas partes
Adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio, ignorando-se a próxima parte até o próximo corte. Ao cortar a treliça deve-se observar que o corte a intercepte de tal forma, que se apresentem no máximo 3 incógnitas, para que possa haver solução, através das equações de equilíbrio. É importante ressaltar que entrarão nos cálculos, somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio
Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas.
Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, barras que "puxam" os nós, as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, estarão comprimidas.
Exemplo Resolvido pelo método de Ritter
Determinar as forças normais nas barras da treliça dada:
Solução
Se a altura h é determinada através da tangente de 53º:
h = tang 53º h 1,33m
Cálculo das reações de apoio:
Devido à simetria da estrutura e do carregamento, VA = VB = P/2
Cálculo dos esforços na barra
Para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA na treliça e adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio.
Fy=0
F1sin53°+P2=0
F1=-P2sin53°
F1=-0,625P (barra comprimida)
Fx=0
F1+F2cos53°=0
F2=-F1cos53°=-P2.0,60,8
F2=+0,35P (barra tracionada)
Através do corte BB, determina-se os cortes nas barras 3 e 4.
ME=0
1,33F4+2P2=0 F4=-P1,33
F4=-0,75P (barra comprimida)
Fy=0
F3sin53°=P2
F3=-Psin53°
F3=+0,625P (barra tracionada)
Como a treliça é simétrica podemos concluir que:
F7 = F1 = -0,625P
F6 = F2 = +0,375P
F5 = F3 = +0,625P
Cisalhamento simples
Introdução
O cisalhamento está mais presente em nossas vidas do que se imaginamos: ao cortar uma folha, um pedaço de queijo ou aparas do papel com guilhotina, entre muitos outros exemplos.
No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento com tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou simplesmente aplicando esforços que resultem em forças cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-se. A esse fenômeno damos o nome de cisalhamento.
Ao fazer o teste de cisalhamento, podemos ver como os materiais reagem ao esforço de tração, quais os limites de tração que suportam e a partir de que momento de rompem, isso é muito importante, principalmente na estamparia que envolve corte de chapas, ou nas uniões de chapas por solda, por rebites ou por parafusos, onde a força cortante é o principal esforço que as uniões vão ter de suportar.
Definições
Ao passarmos uma seção transversal pelo ponto C, entre os pontos de aplicação das forças (Fig. 7a), podemos desenhar o diagrama da parte AC (Fig. 7b), e concluir que devem existir forças internas na seção transversal, e que sua resultante deve igualar a P. Essa resultante, de intensidade P, é chamada força cortante na seção. Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão média de cisalhamento na seção. A tensão de cisalhamento é indicada com a letra grega τ (tau). Podemos escrever então:
τméd=PA (eq.2.1)
Onde:
P força cortante na seção
É necessário frisar bem que o valor obtido na fórmula 2.1 é um valor médio das tensões de cisalhamento. E, contrariamente ao que dissemos para as tensões normais, a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme . o valor real da tensão de cisalhamento, varia da superfície para o interior da peça, onde pode atingir valores bem superiores a τméd.
A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das máquinas e estruturas. Consideremos (Fig. 8) as duas chapas A e B, ligadas pelo rebite CD. Ao aplicarmos às chapas as forças de tração de intensidade F, aparecerão tensões na seção do rebite que corresponde ao plano EE' (Fig. 9a e 9b) concluímos que a força cortante P na seção é igual a F. A tensão de cisalhamento média na seção é obtida dividindo-se P = F pela área da seção transversal A, de acordo com a fórmula 2.1.
τméd=PA=FA (eq.2.2)
Nas condições descritas, dizemos que o rebite está sujeito a cisalhamento simples. Podem surgir outras situações de carregamento. Por exemplo, se as chapas de ligação C e D são usadas para conectar as chapas A e B (Fig. 10), o rebite HJ poderá ser cortado nos planos KK' e LL' (do mesmo modo essa situação ocorre para o rebite EG). Nesse caso, os rebites se dizem sujeitos a cisalhamento duplo.
Meios de Ligação
Muitos elementos estruturais e de máquinas são compostos pela junção de chapas através de rebites ou parafusos, que transmitem forças de união entre as partes (chapas de reservatórios cilíndricos, almas e mesas de perfis para vigas, abas de cantoneiras, etc.).
As ligações nas estruturas podem ser:
Parafuso comum;
Parafuso de alta resistência
Rebitada
Solda
Parafuso comum
São dispositivos que trabalham ao cisalhamento. Os parafusos são compostos pela cabeça, corpo, arruela e porca e algumas vezes, contra-porca (Fig. 11). A arruela tem a finalidade de distribuir as tensões de aperto, mas principalmente permitir a rotação da porca quando se está dando-se o aperto. A porca é de aço tratado termicamente e vai sempre do lado da porca. Em estruturas metálicas não se usa arruela do lado da cabeça. A resistência do parafuso é dada pela resistência das superfícies que devem ser rompidas na ação de corte – cisalhamento.
Quanto maior o número de superfície de corte maior é a resistência do parafuso (Fig. 12).
Resistência de uma superfície de Cisalhamento:
F=τπd24
Onde:
τ tensão de cisalhamento
d diâmetro do parafuso
F força na superfície
E quando temos duas superfícies temos: F=2τπd24
E quando temos 4 superfícies temos: F=4τπd24
Devemos cuidar para que as chapas e os parafusos não sejam esmagados pela tensão de contato bem como que a chapa não venha a rasgar-se. A ação do parafuso pressupõe que haja um pequeno movimento entre as partes para manifestar-se o cisalhamento e as ações de esmagamento e rasgamento (Fig. 13) .
Devemos, numa ligação parafusada, evitar:
O cisalhamento do parafuso
O esmagamento
O rasgamento do chapa
Mas raramente se usam pinos parecidos com parafusos só que não tem rosca e são usados quando necessitamos de diâmetros maiores como é o caso dos pinos. Alguns pinos têm rosca no seu corpo para fixar a rosca.
Parafusos de alta resistência
Historicamente o parafuso de alta resistência surgiu quando se estudavam ligações rebitadas com colocação de rebites a quente. Quando o aço, depois de aquecido retraia desenvolve forte aperto entre as chapas de maneira que, pela presença da força de atrito, as chapas não se deslocavam, gerando uma ligação rígida, como acontece com a ligação soldada. Assim surgiu o parafuso de alta resistência. É um parafuso que, devido ao aperto da porca, gera uma força de compressão tão alta, que pelo atrito as chapas não se movimentam entre si.
Os parafusos de alta resistência têm um comportamento como da solda, ou seja, eles ligam as partes de maneira que não há movimento relativo.
Rebites
O rebite é normalmente conformado de maneira a fazer a união entre as chapas, ficando tracionado pelas cabeças e comprimindo as chapas entre si (o mesmo ocorre nas uniões através de parafusos que, após o aperto das porcas, trabalham tracionados). Em junções novas o atrito entre as chapas contribui para diminuir o esforço de corte no pino de união. Em juntas já trabalhadas, com deformações permanentes, o atrito ficará minimizado, passando o esforço para a junção ao encargo dos pinos de união. Por isso, o esforço de atrito entre as chapas, provocados pelas tensões de montagem, são desconsiderados no dimensionamento das juntas.
São feitos de aço A-36 e são deformados para formarem uma cabeça do lado oposto onde já existe outra. Os rebites até 1/2 polegada são deformados a frio. Acima de 1/2 polegada, são deformados a quente. A operação de se colocar rebite chama-se 'cravação'. Temos vários tipos de cabeça (Fig. 15).
As uniões rebitadas podem apresentar ruptura basicamente através de:
Tração das chapas – na altura da seção enfraquecida pela presença dos orifícios de passagem dos rebites
Cisalhamento dos rebites – devendo-se analisar se está submetido a corte simples ou duplo
Compressão do furo – por esmagamento através da tensão normal calculada através da área projetada ( produto da espessura da chapa pelo diâmetro do rebite)
Rasgo da chapa entre os furos ou próximo à barra da chapa – evitado se a distância entre os furos ou do furo até a borda for superior a 2,0 ou 2,5 vezes o diâmetro do furo;
Cisalhamento nos rebites
Para que não ocorra ruptura, a tensão de cisalhamento nos rebites deve ser inferior à tensão admissível ao cisalhamento nos rebites (τ τadm). A tensão de cisalhamento nos rebites é dada por:
τ=QA
Onde a força cortante Q é igual à carga P e a área A é dada pela área total de seções resistentes dos rebites.
Compressão na parede dos furos
Para que não ocorra ruptura, a tensão de compressão nas paredes dos furos deve ser inferior à tensão admissível à compressão (σ σadmc). A compressão exercida pelo rebite na parede tem distribuição não uniforme e atua num semicírculo de altura "e" e diâmetro "d". A tensão de compressão nas paredes dos furos é dada por:
σc=PnA
Onde:
n é o número de rebites;
A é a área resistente à compressão; Para ficar a favor da segurança, normas recomendam que se adote A = d.e, sendo "e" a espessura da chapa em condições mais desfavoráveis.
Espaçamento mínimo entre rebites
Para evitar a possibilidade de ruptura da chapa entre os furos, a ABNT recomenda que sejam adotados os espaçamentos indicados na figura 16 ("d" representa o diâmetro dos furos).
Tração nas chapas
Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. Logo, para que não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão admissível à tração (σt σadmt). A tensão de tração nas chapas será dada por:
σt=PA
A representa a área da seção transversal da chapa descontada as áreas dos furos.
Exercício
Calcular o valor admissível para a força P aplicada à chapa rebitada, de 8 mm de espessura, considerando as seguintes tensões limites, tanto para a chapa, como para os rebites:
tração = compressão = 120 MPa; = 70 MPa
Solução:
Admitindo a uniformidade na distribuição das forças pelos rebites (compatível com a hipótese de que, sendo a chapa indeformável, os deslocamentos e as deformações dos rebites serão iguais) concluímos que a força em cada rebite vale P/8.
Na seção (1), a força de tração na chapa será igual a P e (σT)1 = P/[8x(100 – 2x10)x10-6] = 120x106 . Portanto (Padm)1 = 76,80 kN.
Na seção (2), a força de tração na chapa será igual a (6/8)P e (σT)2 = [(6/8)P] / [8x(100 – 3x10)x10-6] = 120x106 . Portanto (Padm)2 = 89.60 kN.
Na seção (3) a tração na chapa será menor que em (2) e sendo a área a mesma, a tensão será menor, não necessitando calcular (Padm)3.
A tensão de compressão nos furos nos permite escrever:
(σc) = (P/8) / 10x8x10-6 = 120x106 e (Padm)4 = 76,80 kN.
A tensão de corte nos rebites nos dá: (τ = (P/8) / (π/4)102 x 10-6 = 70 x 106 e (Padm)5 = 43,98 kN. Portanto, (Padmissivel) = 44 kN (evidentemente, o menor valor).
Torção
Introdução
Nesta seção serão analisadas as tensões de deformações produzidas em peças de seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças. Tais conjugados são chamados momentos de torção, momentos torcionais ou torque, T e T' (Fig. 17). Esses conjugados têm a mesma intensidade T e sentidos opostos. São então grandezas vetoriais e podem ser representadas de duas maneiras: setas curvas, como na Fig. 17a ou vetores conjugados, como na Fig. 17b.
Peças submetidas a torção são encontradas em muitas aplicações da engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de eixo de transmissão, utilizados para transmitir potência de um ponto a outro, como no caso de uma turbina a vapor ligada a um grande gerador de eletricidade, ou de motores acoplados a máquinas e ferramentas, bem como no caso de transmissão de potência do motor de um carro ao eixo traseiro.
Definições
Consideremos o eixo AB sujeito à ação dos momentos de torção T e T', iguais e de sentidos opostos, nos pontos A e B. cortamos o eixo por uma seção perpendicular ao eixo longitudinal em um ponto qualquer C (Fig 18). O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as forças elementares de cisalhamento DF, perpendiculares ao raio do eixo, que a parte AC exerce sobre a parte BC quando o eixo é torcido (Fig. 19a). Para ocorrer o equilíbrio da parte BC, o conjunto de forças elementares deve produzir um momento torção interno T, igual e contrário a T' (Fig. 19b). Vamos denominar de ρ a distância de cada força elementar DF ao centro da seção circular. Para expressar que a soma dos momentos das forças dF em relação ao centro tem a mesma intensidade do torque T, escrevemos:
ρdF=T
Ou, lembrando que dF = τdA, onde τ é a tensão de cisalhamento da área dA.
ρ(τ.dA)=T
Essa relação expressa uma condição importante que deve ser satisfeita pelas tensões de cisalhamento em qualquer seção transversal ao eixo. Ela não indica, no entanto, de que modo as tensões se distribuem na seção transversal. A distribuição real de tensões devida a certo carregamento é estaticamente indeterminada, não podendo ser determinada pelos métodos da estática somente.
Hipótese de Bredt
Para o estudo da torção em peças de paredes delgadas, itas, consideramos:
1. Eixo retilíneo
2. A seção transversal é qualquer, mas constante ao longo do eixo.
3. A espessura da parede é pequena em relação às dimensões da seção transversal:
t dm10
4. Admitimos que só existe momento de torção em qualquer seção.
A distribuição das tensões tangenciais ao longo da espessura de um tubo de parede delgada segue o modelo abaixo, crescendo do centro para as extremidades:
Pelo fato da espessura ser muito pequena, Bredt considerou as tensões tangenciais constantes em uma mesma espessura: "Em uma peça de paredes delgadas, e submetidas à torção, as tensões tangenciais, nos pontos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor constante. Esta hipótese conduz a uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma espessura."
Deformações de tensão de uma barra circular
Considere uma barra prismática de seção transversal circular girada por torques T agindo nas extremidades como na Figura 22.
Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T.
Considerações:
Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos.
Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra é pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar.
Variáveis
f, φ - Ângulo de torção.
O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 φ (x) φ
Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque (torção pura) , o ângulo φ (x) irá variar linearmente.
Considere a figura 23.
Os ângulos no canto do elemento, na Figura 23.b não são mais iguais a 90º. O elemento está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de cisalhamento γmax é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Da figura, vemos que a diminuição nesse ângulo é:
γmax=bb'ab (1)
Onde γmax é medido em radianos, bb' é a distância através da qual o ponto b se move e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos expressar a distância bb' como rdφ , em que dφ também é medido em radianos. Dessa forma a equação anterior fica:
γmax=rdφdx (2)
Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra com o ângulo de torção.
A relação dφ dx é a razão da variação do ângulo de torção φ em relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dφ dx pelo ângulo θ e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento.
θ=dφdx (3)
Equação para deformação de cisalhamento da superfície externa
γmax=rdφdx=rθ (4)
As equações (3) e (4) são válidas quando a razão de torção θ não é constante, mas varia com a distância x ao longo do eixo da barra.
Torção pura
Razão de torção:
θ=φL (5)
Deformação de cisalhamento:
γmax=rθ=rφL (6)
As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γmax na superfície externa.
Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 23.b) também se aplica para um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio ρ , como na Figura 23.c.
Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:
γ=ρθ=ρrγmax (7)
A deformação de cisalhamento no centro da seção é zero, analise a eq. (7). As equações de (4) a (7) aplicam-se a tubos circulares, bem como para barras circulares sólidas.
A Figura 24 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento entre a deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As equações para essas deformações são as seguintes:
γmax=r2φL, γmin=r1φL (8)
Em que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do tubo.
Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comportamento elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As equações são limitadas para barras tendo pequenos ângulos de rotação e pequenas deformações.
Barras circulares de materiais elásticos lineares
As direções das tensões são determinadas por inspeção como indica a Figura 25.
Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos de tensão em duas dimensões, como na Figura 25.b, mas devemos lembrar que os elementos de tensão na realidade são objetos tridimensionais com uma espessura perpendicular ao plano da figura. Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento.
τ=Gγ (9)
Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de cisalhamento em radianos. Combinando a eq. (9) com as eqs. (4) (5) e (6) obtemos:
τmax=Grθ; τ=Gρθ=ρrτmax (10)
Em que τmax é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é a razão de torção. Nessas equações, θ, tem unidades de radianos por unidade de comprimento. A eq. 9 mostra que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância com centro da barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 25.c. Essa variação linear de tensão é uma conseqüência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento agindo num plano transversal são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma magnitude agindo em planos longitudinais como na Figura 26.
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45º. Verifique a Figura 27.
Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo.
Exercício
Um eixo maciço de raio c é sujeito à um torque T. Determine a fração de T que é resistida pelo material contido na região externa do eixo, de raio interno c/2 e raio externo c.
Solução
A fração T que é resistida pela parte externa do eixo, T', pode ser calculada da forma:
E a expressão de torque total da área é:
Logo, a relação entre os torques é:
Aproximadamente 94% é resistida pela parte externa do eixo.
Flambagem
Introdução
Flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão tranversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas da seu módulo de Young.
Definições
Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias formas, o que vai depender do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, entre outras considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e estabilidade.
Definição: Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados de colunas e a deflexão lateral que sofrem é chamada de flambagem. Em geral a flambagem leva a uma falha repentina e dramática da estrutura.
Cálculo da carga Crítica (Pcr)
É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem. Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna.
Para compreender melhor esse tipo de instabilidade, considere um mecanismo formado por duas barras sem peso, rígidas e acopladas por pinos nas duas extremidades.
Tipos de equilíbrio
P KL4: Equilíbrio instável (1)
P=KL4: Equilíbrio neutro (Carga Crítica)
Os estados de equilíbrio apresentados na expressão (1) estão mostrados na Figura 31.
As três condições de equilíbrio representadas pela Figura 31 são similares àquelas de uma bola colocada sobre uma superfície lisa, como na Figura 32.
Colunas com apoios simples (pinos)
A coluna da Figura 33 é carregada por uma força vertical P que é aplicada através do centróide da seção transversal da extremidade. A coluna é perfeitamente reta e é feita de um material elástico linear que segue a lei de Hooke. Uma vez que se considera que a coluna não tem imperfeições, ela é chamada de coluna ideal.
Comportamento da Coluna Ideal:
Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta.
Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição levemente flexionada.
Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre a menor
Equação diferencial para flambagem de coluna:
Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas defletidas para uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equações diferenciais da curva de deflexão de uma viga. Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se fosse uma viga. Tem-se a seguinte equação:
Elv = M (2)
Onde,
M = -Pv (3)
E se a coluna flambar para a direita?
A equação diferencial da curva se torna
Elv = - Pv (4)
A eq. (4) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Solução da equação diferencial
K2=PEI (5)
A solução geral da equação (4) é:
V=C1sinkx+C2coskx (6)
As duas condições de contorno são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades da coluna. Como V = 0 em x = 0. E como V = 0 em x = L, então:
C1sinkL=0 (7)
A equação (7) é satisfeita se:
kL=nπ (8)
Ou
P=n2π2EIL2, n=1,2,3,… (9)
O menor valor de P é obtido quando n=1, e a carga crítica para a coluna, é portanto:
Pcr= π2EIL2 (10)
P Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da flambagem, essa carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de proporcionalidade.
E módulo de elasticidade do material
I O menor momento de inércia da área da seção transversal.
L Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos.
P cr Denomina-se também de carga de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, que solucionou o problema em 1757.
Em projeto se utiliza a eq. (10) em função do raio de giração, onde o momento de inércia é:
I=Ar2 (11)
Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa forma tem-se:
Pcr=π2E(Ar2)L2 PcrA=π2ELr2 (12)
Dessa forma,a tensão critica e dada pela seguinte expressão:
σcr=π2ELr2 (13)
Onde
σcr - Tensão critica que é a tensão media na coluna imediatamente antes de a coluna flambar, essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr σE
E - módulo de elasticidade do material
L - comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos
R - o menor raio de giração da coluna, determinado por r=IA, onde I e o menor momento de inércia da área da seção transversal A da coluna.
A forma fletida correspondente e definida pela equação.
V=C1sinπxL (14)
Aqui a constante C1 representa a deflexão máxima, νmax , que ocorre no ponto médio da coluna como apresenta a Figura 35. Valores para C1 não podem ser obtidos, pois se desconhece a forma fletida exata da coluna. Por exemplo, se n=2 aparecerão duas ondas na forma flambada como na Figura 35.c.
Representa-se o comportamento carga-deflexao da coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 36.
A carga crítica expressa em (10) independe da resistência do material dependendo apenas das dimensões da seção e comprimento da coluna (I e L) e módulo de elasticidade E do material que compõe a coluna.
À medida que o momento de inércia sobe, a capacidade de carga da coluna sobe. As colunas eficientes são projetadas de tal forma que a quantidade de material fique mais distante possível dos eixos principais.
Nota-se também que a coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal de menor momento de inércia (o eixo mais fraco), por exemplo, uma coluna de seção retangular sofre flambagem em torno do eixo a-a como apresenta a Figura 37.
Os engenheiros tentam construir colunas onde os momentos de inércia em relação à x e a y sejam iguais, por isso que colunas na forma de tubo ou quadradas são ideais.
Exercícios
O elo de aço ferramenta L-2 usado em uma máquina de forja é acoplado aos garfos por pinos nas extremidades. Determinar a carga máxima P que ele pode suportar sem sofrer flambagem. Usar um fator de segurança para flambagem de F.S. = 1,75. Observar, na figura da esquerda, que as extremidades estão presas por pino para flambagem e, na da direita, que as extremidades estão engastadas.
Solução:
A carga máxima que o elo pode sofrer sem flambagem é de P = 17,7 kip.
Referências Bibliográficas
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http://www.dec.isel.ipl.pt/anexos_disciplinas/Mecanica_Aplicada/CapIV.pdf, acesso no dia 27/07/2010 às 15:49
http://www.labciv.eng.uerj.br/rm4/trelicas.pdf, acesso no dia 27/07/2010 às 22:56
http://www.acdeliberato.net/Senai/_Professores/Celso/A%E7o04.pdf, acesso no dia 28/07/2010 às 14:25
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resistência dos sólidos para estudantes de arquitetura – disponível em www.labeee.ufsc.br/graduacao/ecv_5645/Apostila_ECV5645.pdf, acesso no dia 28/07/2010 às 16:15
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http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/kalil/Capitulo_3_Torcao_Problemas_Indeterminados.pdf, acesso no dia 28/07/2010 às 20:49
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