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Universidade de São Paulo -Escola Politécnica Departamento de Engenharia Mecânica _____________________________________________________________________________________________________
PME – 2237 Mecânica dos Fluidos XI
Terceiro Relatório Experimental ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA APLICADA ÀS MÁQUINAS DE FLUXO
Data 13/06/2007 Professor: Saburo Ikeda Turma 31
Integrantes do Grupo e número USP: Eduardo Mahiyama Luísa Brandão Cavalcanti Victor Tapia R. Migliorin
5695307 5692520 5691324
1. RESUMO
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2. OBJETIVOS
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3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
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4. APRESENTAÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL
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5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
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6. DADOS EXPERIMENTAIS
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7. RESULTADOS E RESPOSTAS ÀS QUESTÕES PROPOSTAS
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8. CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS FINAIS
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ANEXO: Folha de dados assinada pelo professor
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1. RESUMO O experimento visa analisar uma bomba centrífuga e a família de bombas semelhantes a ela nas condições do laboratório, assim como seu comportamento quando o fluido é trocado e como seriam as curvas características de um protótipo dessa bomba. Inicialmente, coletamos dados no laboratório que nos possibilitaram determinar, para cinco situações diferentes, a vazão de água passando pela bomba, a velocidade e pressão nas seções de entrada e de saída da bomba, e a potência no eixo da bomba. Pudemos também determinar o rendimento da mesma e os adimensionais calculados pelo teorema de Buckingham, caracterizando a família de bombas semelhantes à ensaiada. Finalmente, pudemos caracterizar o comportamento da bomba se o fluido utilizado tivesse sido o óleo com o qual ela foi planejada para trabalhar, traçando a curva característica que se alteraria com a troca do fluido. Também traçamos as curvas características de um protótipo da mesma bomba, que operasse com o tal óleo.
2. OBJETIVOS Esta experiência tem como objetivo estudar uma bomba centrífuga com o auxílio da análise dimensional. Traçaremos as curvas características da bomba ensaiada e da família de bombas dinamicamente semelhantes a ela, com base na análise dimensional e no teorema de Buckingham. Analisaremos a mudança de comportamento da bomba ao trocarmos o fluido utilizado no ensaio (água, no caso) por um determinado óleo, assim como traçaremos as curvas características de um protótipo dessa bomba que tenha determinadas dimensões, baseados na teoria da semelhança. Assim, observaremos a importância da teoria aprendida em sala de aula e o quanto isso facilita o trabalho no laboratório.
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Uma bomba transforma energia mecânica em hidráulica. Para fazer isso, a bomba provoca uma pressão negativa na sua seção de entrada (de sucção), e positiva na de saída (recalque). A partir dessa diferença de pressão e de velocidades, podemos determinar a carga manométrica, que necessitamos para determinar o rendimento da bomba e o coeficiente manométrico. Primeiramente devemos entender como é feito o estudo das bombas, e para isso utilizaremos as seguintes siglas: W= potência útil no eixo da bomba; Pe= pressão medida na entrada da bomba (vacuômetro) Ps= pressão medida na saída da bomba (manômetro) µ= viscosidade dinâmica do fluido ρ=massa específica do fluido (constante) g= aceleração da gravidade (constante) γ= peso específico do fluido (constante) α= coeficiente de energia cinética (igual a 1 para escoamento turbulento) Q=vazão em volume de fluido; Ve= velocidade média na seção de entrada
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Vs= velocidade média na seção de saída N=Rotação do rotor (constante) D=Diâmetro do rotor (constante) U=Diferença de Potencial no motor i=Corrente elétrica do motor ∆h =Diferença de altura entre os dois manômetros Para o estudo pretendido, era necessário determinar a função f: f(ρ,µ,D,N,E,W,Q,c)=0 Aplicando a análise dimensional, pelo teorema dos “Π” de Buckingham, obtemos os g∗H Q seguintes adimensionais: C H = 2 m2 ,coeficiente manométrico; C Q = , N ∗D N ∗ D3 W N ∗ D2 coeficiente de vazão; CW = R = , coeficiente de potência; , número de ν ρ ∗ N 3 ∗ D5 N ∗D Reynolds; M = , número de Mach (onde c é a velocidade do som nas condições do c experimento). Contudo, utilizaremos aqui o rendimento, que é a combinação dos adimensionais relevantes para o estudo da máquina de fluxo. (para fluido incompressível c é irrelevante e além disso, como o número de Reynolds é elevado, as forças de inércia são mais importantes do que as viscosas, ou seja, µ é desprezível). O rendimento é dados por: CQ ∗ C H η= CW E para uma bomba, temos: Assim, precisamos determinar Hm e W. Partimos do seguinte raciocínio: Hm= Hs – He , ou seja, carga manométrica é a diferença de carga total média entre a saída e a entrada. E temos:
E por fim:
Considerando conhecidos o valor da potência ativa que medimos com o watímetro, e os valores de U e i medidos também durante o experimento. Sabemos que o fator de potência de uma bomba é cosφ=Pativa/Paparente , sendo essa última igual a U.i.√3, e que o rendimento elétrico é numericamente igual ao fator de potência. Por outro lado, a potência útil da bomba, é igual ao produto do rendimento elétrico pela potência ativa. Então temos W = cosφ.Pativa. Finalmente, tendo Hm e W e conhecendo Q e γ determinamos o rendimento da nossa bomba.
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Primeiramente, passamos todos os dados coletados durante o experimento para seus respectivos valores no SI. Dessa forma: 3.1)Cálculo da vazão (Q) Q = m/(ρ*delT) , sendo m a variação da massa na balança no intervalo de tempo delT e ρ a massa específica da água (1000kg/m³). 3.1)Conversão da pressão na saída da bomba (Ps) A pressão de saída foi medida por um manômetro, que dava ela em kg/cm². Fizemos então: Ps= ps*10^(4)*g , onde os é o valor lido no manômetro e g o valor do campo gravitacional (9,78622 m/s²). 3.2)Conversão da pressão na entrada da bomba (Pe) A pressão de entrada foi medida em um vacuômetro, que a fornecia em metro de coluna d’água. Sendo pe o valor de pressão lido, temos: Pe= pe* γ , onde γ é o peso específico da água (γ=9786,22 kg/m²s²).
4. APRESENTAÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL O equipamento esquematizado na figura 1 possuía uma bomba centrífuga, um manômetro na seção de saída da bomba e um vacuômetro na seção de entrada, uma balança, um tanque de água em cima da balança, uma válvula de três vias, um registro regulador de vazão, em amperímetro e um voltímetro.
Figura 1 – Esquema do equipamento utilizado no laboratório
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A água era puxada do tanque central pela bomba, passava pelos canos e, conforme o posicionamento da válvula, enchia o tanque de água ou voltava para o tanque central.
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Ligamos a bomba e abrimos o registro ao máximo. Como nessa situação não era possível ler os dados no vacuômetro e no piezômetro, fechamos um pouco o registro até que os ponteiros ficassem em uma posição satisfatória para a coleta de dados. Anotamos os dados (i, U, ps, pe e W) enquanto o tanque de água sobre a balança era cheio de água. Cronometramos o tempo gasto para enchê-lo até determinado o ponto e voltamos a válvula para a posição de jogar a água no tanque central. Lemos o valor marcado pela balança e determinamos a variação da massa (já que a balança não estava zerada no início, até pelo peso do tanque, tínhamos sempre que subtrair o valor da massa inicial). Esvaziamos o tanque e repetimos esse processo mais quatro vezes, sendo a última com o registro totalmente fechado. Anotamos alguns dados necessários para os cálculos que realizaremos: • Massa específica da água (ρ) = 1000 Kg/m3; • Aceleração da gravidade local (g) = 9,78622 m/s2; • Peso específico da água (γ) = 9786,22 Kg/m2*s2; • Diâmetro do rotor (D) = 0,2000±0,0005 m; • Diâmetro do flange de entrada da bomba (Dentrada)= 0,0388±0,0005 m; • Diâmetro do flange de saída da bomba (Dsaída) = 0,0296±0,0005 m; • Altura da coluna dágua do manômetro=0,8800±0,0005 m; • Diferença de cotas ∆h=0,2200±0,0005 m; • Rotação do rotor (N) = 1710 rpm = 179,07 rad/s. Obs.: a diferença de cotas foi determinada segundo as orientações recebidas no roteiro de experiência; a altura da coluna dágua do manômetro foi determinada para que depois pudéssemos corrigir a pressão lida no manômetro, acrescentado a essa 0,88*γ segundo a lei de Stevin; a bancada em que trabalhamos foi a de número 4.
6. DADOS EXPERIMENTAIS As tabelas a seguir apresentam os dados por nós anotados durante a experiência. Consideramos os seguintes desvios dos aparelhos: σmanômetro = 0,05 kgf/cm2 σvacuômetro = 0,01 mH2O σvoltímetro = 2,5 V; σamperímetro = 0,05 A; σwattímetro = 0,006 kW; σtrena = 0,05 cm; σbalança = 0,050 kg
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medida massa(kg) delT(s) Ps (kg/cm²) Pe (mH2O) i(A) U(V) 1 116,75 45,60 1,49 -0,95 4,70 200,0 2 74,80 32,34 1,5 -0,78 4,55 197,5 3 54,00 26,55 1,55 -0,61 4,35 197,5 4 56,20 33,00 1,65 -0,4 4,25 197,5 5 1,85 0 3,45 200,0 Tabela 1 – Apresentaçãos dos dados, nas unidades fornecidas
Pativa (kW) 1,350 1,300 1,213 0,988 0,825
7. RESULTADOS CALCULADOS E RESPOSTAS ÀS QUESTÕES PROPOSTAS A partir dos valores da Tabela 1, fizemos o tratamento dos dados como explicado nos fundamentos teóricos, para que as unidades ficassem todas de acordo com o SI. Depois disso construímos a Tabela 2 e 3da seguinte maneira: Ve=Q/Se, sendo Se=πde²/4; Vs= Q/Ss, sendo Ss=πds²/4; Hm=(Ps-Pe)/γ+(Vs²-Ve²)/(2g)+∆h; Cosφ=W/(Ui √3)= η*; ηb=γQHm/(η*Pa); CH=GHm/(N²D²); CQ=Q/(ND³); med Q (*10³m³/s) 1 2,56±0,02 2 2,31±0,03 3 2,03±0,03 4 1,70±0,02 5 0
Pativa (W) Ps(*10^5 Pa) Pe(10³Pa) Ve (m/s) Vs (m/s) 1,540,05± -9,3±0,1 1350±6 2,17±0,06 3,7±0,1 1,55±0,05 -7,6±0,1 1300±6 1,96±0,06 3,4±0,1 1,60±0,05 -6,0±0,1 1213±6 1,72±0,05 3,0±0,1 1,70±0,05 -3,9±0,1 1088±6 1,44±0,04 2,5±0,1 1,90±0,05 0 825±6 0 0 Tabela 2 – Alguns dos cáculos realizados W (kW) ηb (%) Ch Cq 1,12±0,02 39,0±0,3 0,133±0,004 0,00179±0,00002 1,09±0,02 36,0±0,4 0,132±0,004 0,00161±0,00002 0,99±0,02 35,2±0,5 0,134±0,004 0,00142±0,00002 0,81±0,02 37,3±0,4 0,139±0,004 0,00119±0,00005
Hm(m) 17,4±0,5 17,3±0,5 17,5±0,5 18,2±0,5 19,6±0,5
cos(fi) 0,83±0,01 0,84±0,01 0,82±0,01 0,75±0,01 0,69±0,01
0,57±0,01 0 0,150±0,004 0 Tabela 3 – Resto dos Cálculos Realizados
Quanto à determinação dos desvios, fizemos: σQ = Q*√((σm/m)²+( σdelT/delT)²); σS = S*2σd/d , onde S é a área transversal e d o diâmetro dos flanges – como o diâmetro da de entrada era diferente do da saída, obtivemos dois σs diferentes; σV = V*√((σQ/Q)²+( σS/S)²); σcosφ= cosφ*√((σPa/Pa)²+(σU/U)²+(σi/i)²)= ση* (numericamente) σW=W* √(( σU/U)²+(σi/i)²+(σcosφ/cosφ)²) σηb*= ηb*√((σQ/Q)²* (σHm/Hm)²+( ση*/η*)²+(σPa/Pa)²) 7
σCH=CH*√((σHm/Hm)²+(2σD/D)²) σCQ=CQ*√((σQ/Q)²+(3σD/D)²)
A seguir apresentamos os resultados gráficos das curvas características da bomba ensaiada e da família de bombas semelhantes à ensaiada. Carga manométrica por vazão da bomba ensaiada 20,5
20,0
19,5 2
Hm (m de coluna dágua)
y = 27847x - 999,62x + 19,614 19,0 Hm
18,5
Polinômio (Hm)
18,0
17,5
17,0
16,5 0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
Q (m³/s)
Gráfico 1 – Curva característica da bomba ensaiada.
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Potência útil por vazão da bomba ensaiada 1,40E+03
1,20E+03
P útil (W)
1,00E+03
8,00E+02 Pútil Polinômio (Pútil) 6,00E+02 2
y = 7E+07x + 46660x + 567,03 4,00E+02
2,00E+02
0,00E+00 0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
Q (m³/s)
Gráfico 2 – Curva característica da bomba ensaiada. Rendimento da bomba pelo Cq para a família de bombas semelhantes à ensaiada 45,0
40,0
35,0
ηb (%)
30,0
25,0 Rendimento da Bomba Polinômio (Rendimento da Bomba) 20,0 2
y = -1E+07x + 46684x + 0,1384 15,0
10,0
5,0
0,0 0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 1,4E-03 1,6E-03 1,8E-03 2,0E-03 Cq
Gráfico 3 – Curva característica da família de bombas semelhantes.
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Ch por Cq para a família de bombas semelhantes à ensaiada 0,160
0,155
0,150
Ch
0,145 Ch Polinômio (Ch)
0,140
0,135
0,130 2
y = 436,02x - 10,926x + 0,1496 0,125
0,120 0,00000
0,00020
0,00040
0,00060
0,00080
0,00100
0,00120
0,00140
0,00160
0,00180
0,00200
Cq
Gráfico 4 – Curva característica da família de bombas semelhantes
7.1)Se quisermos obter o comportamento da bomba se o fluido for um óleo, com densidade e peso específico diferentes dos da água, fixamos os adimensionais Ch, Cq e ηb, e vimos os parâmetros que se alteram: Hm=CH.N².D²/g (então Hm não se altera) Q=CQ.N.D³ (então Q não se altera) W=γ.Q.Hm/ηb (então W se altera) Como a densidade do óleo é 800 kgf/m³, seu peso específico é 7828,976. Como ηb para o nossa última medida era zero, ficamos somente com quatro pontos para montar o gráfico 5. W (kW) Q (m³/s) 0,90±0,03 0,00256±0,00002 0,87±0,03 0,00231±0,00003 0,79±0,03 0,00203±0,00003 0,65±0,02 0,00170±0,00002 Tabela 4 – pontos da curva característica WvsQ para a bomba com óleo
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Potência útil pela vazão para a bomba ensaiada 1,00E+03 9,00E+02 2
y = -3E+08x + 1E+06x - 1021,3
8,00E+02 7,00E+02
W (W)
6,00E+02 5,00E+02 4,00E+02 3,00E+02 2,00E+02 1,00E+02 0,00E+00 0,00170
0,00180
0,00190
0,00200
0,00210
0,00220
0,00230
0,00240
0,00250
0,00260
0,00270
Q (m³/s)
Gráfico 5 – Curva característica da bomba que se altera com a substituição da água por óleo
7.2)Para criar um protótipo de uma bomba semelhante à ensaida, que tivesse Dp=D/3 e Np=2N, fazemos algo semelhante ao feito anteriormente: Hm=CH.Np².Dp²/g (Hm se altera) Q=CQ.Np.Dp³ (Q se altera) W=γ.Q.Hm/ηb (então W se altera) Ficamos então com os seguintes valores para traçar as curvas características do protótipo, considerando que ele será usado com o óleo citado anteriormente: Hm (mca)
Q(*10³m³/s)
W
7,7±0,2
0, 190±0,005
29,5±0,9
7,7±0,2
0, 171±0,005
29±1
7,8±0,2
0, 151±0,004
26,0±0,9
8,1±0,2
0, 126±0,006
21,4±0,7
8,7±0,2 0 Tabela 5 – Dados para as curvas característica do protótipo com óleo
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Carga manométrica por vazão 9,5
Hm (metros de coluna d'água)
9,0
8,5
8,0
2
y = 2E+06x - 5997,7x + 8,7174 7,5
7,0 0,0E+00
5,0E-05
1,0E-04
1,5E-04
2,0E-04
2,5E-04
Q (m³/s)
Gráfico 6 – Curva característica do protótipo com óleo Potência útil por vazão 35,0
30,0
25,0
W (W)
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0 1,3E-04
1,4E-04
1,5E-04
1,6E-04
1,7E-04
1,8E-04
1,9E-04
2,0E-04
2,1E-04
Q (m³/s)
Gráfico 7 – Curva característica do protótipo com óleo
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8. CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS FINAIS Nesta experiência, foi possível analisar uma bomba e perceber como relacioná-la com uma família de bombas semelhantes. Entretanto, uma das curvas características da bomba, a Hm vs Q, não ficou como esperávamos, pois ela pôde ser aproximada por uma reta. Isso se deve provavelmente à não consideração dos erros pelo Excel (onde traçamos as curvas), pois é possível perceber no gráfico que esses erros propagados são grandes o suficiente para abranger a região onde esperávamos encontrar os pontos. Também vimos como saber o que esperar de uma bomba se alterarmos o fluido para o qual ela fornece energia. Os resultados obtidos foram os esperados. Além disso, agora sabemos como, a partir de um protótipo, saber o que uma bomba será capaz de realizar – na verdade fizemos o processo contrário, mas o raciocínio seria o mesmo. Finalmente, notamos a grande importância da teoria da semelhança, que possibilita aos engenheiros poder projetar máquinas com menos perda de dinheiro, já que é possível fazê-la antes menor e trabalhá-la com outro fluido antes de construir seu modelo final.
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