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Departamento de Física Universidade Federal do Paraná
3 de dezembro de 2007
Circuitos elétricos com Corrente Alternada Circuitos RLC série - Regime permanente Joniel C. F. Alves1; Departamento de Física, Universidade Federal do Paraná, entro Politécnico - Campus III - Jardim das Américas Caixa Postal 19044, CEP: 81531-990 Curitiba/PR, Brasil e-mail:
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Resumo Os circuitos elétricos oscilantes estão em constante presença em nosso cotidiano, sendo talvez exemplo mais presente, o fato de que corresponde ao que ocorre na prática na distribuição de tensão à população. Neste experimento estudaremos alguns princípios básicos de circuitos que se aproximam ao que ocorre no exemplo citado acima, em que geradores oscilantes fornecem tensões senoidais ou cossenoidais numa certa freqüência, fazendo análises qualitativas e quantitativas da resposta dos circuitos à determinadas freqüências. Em particular, estudaremos a ressonância num circuito RLC série em regime permanente senoidal, o qual tem grande aplicação na recepção de sinais de TV ou rádio por exemplo. Key words. impedância – reatância indutiva – reatância capacitiva – ressonância
1. Experimento 1.1. Objetivo Nesta experiência será estudado a resposta da corrente no circuito RLC e da diferença de fase entre a corrente e a tensão aplicada, quando o circuito é submetido a uma ddp externa sob a forma de onda senoidal, e os efeitos de ressonância em um circuito RLC.
2. A tensão no capacitos, "C , tem uma diferença de fase de 90 com relação à corrente no circuito, sendo que a corrente …ca na frente da tensão; 3. A tensão no indutor, "L está adiantada, com relação à corrente, de 90 .
Usando !0 = p
1.2. Material
1 LC
(3)
Gerador de função; osciloscópio digital; capacitores, indutores e resistores; placa de conexão; cabos para conexão.
freqüência de ressonância do circuito, e de…nindo impedância, "0 Z= (4) i0
1.3. Fundamentação
reatância capacitiva
Utilizando a lei das malhas pra um circuito RLC, obtemos Ri
L
di dt
Q =0 C
(1)
d2 i di i d +R + = dt2 dt C dt
(5)
XL = !L
(6)
reatância indutiva
ou, derivando em relação ao tempo L
1 !C
XC =
e reatância total (2)
Como o circuito está em série a corrente que passa por cada elemento é a mesma. Podemos estabelecer: 1. A tensão no resistor, "R , está em fase com a corrente i no resistor, que é a corrente n circuito;
X = XL
XC
(7)
onde os índices indicam reatância indutiva (L) e capacitiva (C) respectivamente. Resolvendo a equação diferencial 2, obtemos tan
=
X R
(8)
2
Joniel C. F. Alves: Circuito RLC série - Regime Permanente
Z=
p
R2 + X 2
(9)
R X e sin = (10) Z Z onde é a diferença de fase entre " (tensão da fonte) e i (corrente). cos
X = XL
=
XC =) Z =
q R2 + (XL
2
XC )
(11)
"0 cos (!t + ) (12) Z Dessas expressões vemos que Z, no circuito de corrente alternada, faz o papel de resistência R em circuitos de corrente contínua. Entretanto, é preciso lembrar que, em geral, " e i não atingem os valores máximos ao mesmo tempo, havendo entre eles uma diferença de fase dada pelo ângulo . Considerando a equação 8 vemos que, quando X > 0, o que correnponde a XL > XC , a tangente de será negativa, indicando um ângulo negativo. Nesse caso, observando a equação 12, veremos que a corrente i se atrasa com relação à tensão total ". Nesse caso, a tensão total "0;L no indutor é maior que a tensão "0;C no capacitor, indicando um circuito com características indutivas. É o caso por exemplo, de motores elétricos, nos quais há uma grande carga resistiva, formada pelos …oo dos enrolamentos, e também indutiva, por causa da indutância associada aos próprios enrolamentos. Nesse caso, como XL > XC , usando as expressões explícitas para XL e XC , veremos que a freqüência de operação é tal que ! > ! 0 , onde ! 0 é a freqüência de ressonância. No caso em que X < 0, ou seja, XL < XC 1 , vemos que a tangende de é positiva, indicando um ângulo > 0. Assim, o que se adianta agora é a corrente em relação à tensão, e o circuto tem características capacitivas. Nesse caso, a freqüência de operação é tal que ! < ! 0 . Quando X = 0, e o circuito está em ressonância, ! = ! 0 , e a tensão e corrente estão em fase. Nesse caso, XL = XC , e a freqüência de operação de operação é dada por ! = ! 0 . Além disso, os fasores que representam "L e "C se anulam perfeitamente. As relações entre i0 e as amplitudes das tensões indutiva e capacitiva são dadas por: i=
"0;L = XL i0
(13)
"0;C = XC i0
(14)
"0;L = !Li0
(15)
ou 1 i0 !C Na ressonância, ! = ! 0 , e por 3 r L "0;L = "0;C = i0 C "0;C =
1
(16)
(17)
Apesar de medida em ohms, como a resistência R, a reatância X não é de fato uma resistência, já que não dissipa energia e pode inclusive ser negativa.
enquanto isso, a impedância Z vale R e a tensão da fonte é dada por "0 = Zi0 = Ri0 (18) Observamos que dependendo dos valores de L=C e R, pode ocorrer que, na ressonância, as amplitudes das tensões no capacitor e no indutor ("0;C e "0;L ) sejam maiores do que a própria amplitude da tensão da fonte ("0 ), pode ser, inclusive, maior que os valores máximos de operação tolerados pelos elementos do circuito. Essa situação de operação, que pode dani…car os equipamentos, pode ser contornada retirando-se o sistema da ressonância, por meio da alteração de L ou C, ou também mantendo a ressonância, mas aumentando o valor de R. Cada opção depende do que se deseja para a operação do circuito. Por …m, observamos que a ressonância nem sempre é nociva. Um exemplo simples de aplicação onde se quer ressonância, ocorre na recepção de sinais de Tv e rádio, por exemplo.
1.4. Procedimento experimental 1.4.1. Circuito RC Montamos o circuito conforme a …gura 1.4.1:
Esquema de montagem experimental - Circuito RC Monitoramos com o osciloscópio o sinal sobre o resistor e o capacitor. Os terminais de terra (terminais pretos) tanto do gerador quanto do osciloscópio devem estar ligados no mesmo ponto. Mantivemos o terminal terra do gerador de funções …xo na placa do circuito e depois conectamos o cabo terra do osciloscópio a este terminal. Por causa desta restrição ( de mesmo terminal terra para ambos os equipamentos) haverá necessidade de se realizar a troca de posição entre o capacitor e o resistor, e vice-versa, para monitorar a diferença de potencial sobre cada um desses elementos do circuito. O circuito foi montado utilizando um capacitor de 0; 1 F e um resistor de 4; 7 k . Alimentamos o circuito com o gerador de funções programado para gerar ondas senoidais. Com um dos canais do osciloscópio medimos a tensão total aplicada e o outro para medir a tensão no resistor. O gerador foi ajustado para produzir uma tensão com freqüência aproximada de 200 Hz. Utilizando a representação dos dois canais dos osciloscópio no modo V t, e medimos na tela, com ajuda
Joniel C. F. Alves: Circuito RLC série - Regime Permanente
dos cursores t1 e t2 , o intervalo de tempo ( t) entre as cristas das duas ondas. Depois disto, utilizando = f t360
(19)
podemos obter a diferença de fase. Para diferentes valores de freqüência, repetimos as medidas e montamos a tabela 1. Tabela 1. Diferença de fase entreas ondas Freqüência
t = t2
t1
Hz
(ms)
( )
50 100 150 200 400 600 800 1000 1500
4,4 1,680 0,960 0,620 0,210 0,100 0,040 0,026 40,010
79,2 60,48 51,84 44,64 30,24 21,6 11,52 9,36 5,4
1.4.2. Circuito RLC - Regime permanente Montamos o circuito conforme a …gura 1.4.2
3
oscilatórios cuja amplitude decresce com o tempo. O intervalo de tempo entre cada pico equivale a um período de oscilação. Utilizando os cursosres podemos determinar este período. Para garantir uma medida mais con…ável, cosideramos o intervalo de tempo entre dois picos e dividimos por dois, obtendo assim o período médio de oscilação, lembrando que fn = T 1 , obtemos fn = 961; 6 Hz que é a freqüência natual do circuito. Ajustamos o gerador para um sinal senoidal, e variamos a freqüência do sinal desde fn -200 Hz até fn +300 Hz. Também com os cursores medimos as amplitudes da tensão sobre o resistor, o capacitor, e a difereça de fase entre a onda da tensão aplicada ao circuito e a onda da tensão sobre o resistor. Ajustamos a tensão fornecida pela fonte para 1 V. Com isto montamos a tabela 2: Tabela 2. Resposta do circuito RLC usando um resistor de 22 Freqüência
VR
VC
Vt
Hz
(mV )
(mV )
(mV )
( s)
760 811,6 861,6 911,6 936,6 961,6 986,6 1011,6 1061,6 1111,6 1161,6 1211,6 1261,6
76,60 89,06 98,44 104,7 101,0 98,4 93,75 86,25 74,37 65,62 57,81 53,13 48,44
968,80 1094 1156 1156 1078 984,4 921,9 859,4 712,0 581 512,5 425 375
306,2 262 200 178,1 193 215,6 243,7 259,4 293,8 325 337,5 356,3 362,5
220 152 100 30 -70 -112 -128 -148 -176 -160 -160 -152 -164
t
e por 19 a tabela 3: Tabela 3. Diferença de fase e corrente para RLC com R = 22
Esquema de montagem experimental - Circuito RLC série Os terminais de terra (terminais pretos) tanto do gerador quanto do osciloscópio devem estar ligados no mesmo ponto. Mantivemos o terminal terra do gerador de funções …xo na placa do circuito e depois conectamos o cabo terra do osciloscópio a este terminal. O circuito foi montado utilizando um capacitor de 680 nF e um resistor de 22 e uma bobina de 1200 espiras. Ajustamos a saída do gerador para uma onda quadrada com freqüência aproximada de 20 Hz. Um dos grá…cos que aparecem na tela corresponde à variação da diferença de potencial em função do tempo sobre o resistor. Como temos VR = RI com R constante, o comportamento da corrente no circuito é idêntico ao de VR . Neste grá…co, observamos uma seqüência de sinais
I ( )
(A)
60,19 44,41 31,02 9,85 -23,60 -38,77 -45,46 -53,90 -67,26 -64,03 -66,91 -66,30 -74,48
0,00348 0,00405 0,00447 0,00476 0,00459 0,00447 0,00426 0,00392 0,00338 0,00298 0,00263 0,00242 0,00220
Repetimos o procedimento para um resistor de 220 e obtemos as tabelas 4 e 5:
4
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Tabela 4. Resposta do circuito RLC usando um resistor de 220 Freqüência
VR
VC
Vt
Hz
(mV )
(mV )
(mV )
( s)
606,5 656,5 706,5 756,5 781,5 806,5 831,5 856,5 906,5 956,5 1006,5 1056,5 1106,5
562,5 606,5 1,609 1,687 681,2 693,7 700,0 700,0 700,0 700,0 681,3 668,8 656,2
953,1 953,1 937,0 906,3 906,3 890,6 875,0 859,4 812,5 765,6 734,4 675,0 631,2
781,2 765,6 750,0 718,7 718,7 718,7 718,7 703,1 703,1 703,1 703,1 703,1 718,7
150 110 90 50 40 30 10 10 0 -20 -36 -40 -56
t
Tabela 5. Diferença de fase e corrente para RLC com R = 220 I ( )
(A)
32,75 26,00 22,89 13,62 11,25 8,71 3,35 3,44 0 -6,89 -13,04 -15,21 -22,31
0,00256 0,00275 0,00731 0,00767 0,00310 0,00315 0,00318 0,00318 0,00318 0,00310 0,00310 0,00304 0,00298
Figura 1. Variação de tan cia
em função do inverso da freqüên-
que dá um desvio de 25% dos valores obtidos em relação ao valor nominal. Observamos que neste caso, a reatância capacitiva é inversamente proporcional à freqüência como previsto por em 5, e desde que > 0 o circuito tem características capacitivas (como não podia deixar de ser) e a corrente está adiantada em relação à tensão.
2.2. Circuito RLC série Plotando a corrente em função da freqüência 2.2 para R1 = 22 e R2 = 220 , dados nas tabelas de 2 a 5 :
2. Análise dos dados 2.1. Circuito RC Com os dados da tabela 1 plotamos o grá…co 1 de tan em função de f 1 obtendo: A partir de 5 e 8, podemos escrever tan tan
= =
1 XC = R !CR 1 2 CR
f
1
(20)
que nos mostra uma relação linear entre tan e f partir dos pontos experimentais, ajustamos a reta: tan
= (253; 644) f
1
0; 1837
1
. A
(21)
onde, por simples analogia com 20 observamos que o coe…cinte linear encontrado em 21 está associado a possíveis erros de medidas e, de acordo com os valores nominais dos componentes do circuito: 2 RC = 2 (4; 7 k ) (0; 1 F) = 0; 00295
F
Corrente em função da freqüência (normalizada pela freqüência de ressonância) num circuito RLC série para R1 e R2 = 10R1
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As curvas obtidas tem a forma de uma gaussiana com pico na freqüência de ressonância do circuito. Como a corrente na ressonância é limitada apenas pela resistência, uma variação na resistência é acompanhada de uma variação no valor de pico da curva de resposta de corrente. Este efeito é visível no grá…co 2.2, e indica que, quanto menores são as resistências do circuito, mais pontiaguda é a curva de resposta. Com os dados coletados também é possível plotar xf =f0 para as duas resistências 2.2:
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ajustados manualmente no osciloscópio. Contudo, qualitativamente, não há perda de informação no comportamento da corrente com relação à freqüência. O comportamento da diferença de fase também condiz com a previsão teórica, onde o circuito passa da característica capacitiva para indutiva (dada a relação das reatâncias em função da freqüência em 5 e 6). Também, salvo o desvio na determinação de f0 ;é possível determinar as características da ressonância num circuito RLC série, qual sejam ! = ! 0 , = 0, X = 0, Z = R e i(t) = imax . Em suma, este experimento serviu como bom exempli…cador do estudo de circuitos com corrente alternada, podendo ser otimizado adotando-se outros métodos para certas medidas e/ou abrindo mão de mais critério e cautela na coleta dos dados. Referências Bartkowiak, R. A. 1995,Circuitos Elétricos, Makron Books do Brasil Ed. Ltda Halliday, D. & Resnick, R., Física, 1966, Ao livro técnico S.A. e Editora da Universidade de São Paulo Eisberg, R.M. & Lerner, L., Fundamentos de Física Vol. II e III, 1981, McGraw-Hill Nussenzveig, H. M.,Física Básica Vol. 3, 1998, Ed. Edgard Blücher Ltda
Variação da diferença de fase com a freqüência Observamos que a diferença de fase diminui com o aumento da freqüência, passa por zero e começa a crescer em módulo, e também é notável que a curva é menos acentuada para a resistência menor, sendo praticamente linear. Ambas as curvas são dadas por: = arctan
XL
XC R
(22)
Além disso, próximo à freqüência de ressonância (f = f0 = 1), as duas curvas tendem a zero.
3. Conclusões Apesar da aparente discrepância quantitativa, foi possível a partir deste experimento con…rmar qualitativamente os fenômenos pertinentes aos circuitos RC e RLC. Para o circuito RC por exemplo, foi possível observar o comportamento previsto pela teoria (equação 20) para a qual, a reatância capacitiva é inversamente proporcional à freqüência como dado por 5, e o fato de termos > 0, o que demostra que a corrente está adiantada em relação à tensão. No circuito RLC, observando os efeitos da resistência para a ressonância (ver 2.2), temos uma boa concordância com a previsão teórica. O desvio dos picos visto no grá…co 2.2, se deve, possívelmente à um erro na determinação da freqüência natural do circuito, uma vez que os cursores são
