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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE PRO-REITORIA DE GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE FÍSICA DISCIPLINA: FÍSICA A
PEDRO FERREIRA DOS SANTOS
MOVIMENTO RELATIVO
ARACAJU - SE 30 de Abril de 2010
INTRODUÇÃO A famosa polêmica de Galileu com a Igreja, a respeito da mobilidade da Terra, adquiriu um caráter teológico, graças às interpretações fundamentalistas da Igreja da Época. Para a Igreja a Terra era o centro do universo, um referencial imóvel, e os movimentos na terra poderiam ser analisados tendo a terra como referencial absoluto. Então Galileu compreendeu (através de observações com sua luneta) que a Terra se movia, e então não dispúnhamos de um referencial absoluto e imóvel. Então, ao darmos valor à velocidade, por exemplo, temos que mencionar ao qual referencial estamos nos referindo. O objetivo desse trabalho é apresentar como Galileu introduziu a idéia de Relatividade (não existência de um referencial absoluto), como Einstein mais tarde recuperou e a modificou em sua Teoria da Relatividade e o alcance e implicações atuais da Teoria da Relatividade de Einstein, quando mostra que também o tempo se transforma quando mudamos de referencial.
DESENVOLVIMENTO
Relatividade de Galileu
Em suas observações sobre o movimento da Terra Galileu, além de afirmar que não dispomos de um referencial absoluto, foi mais longe. Ele introduziu a ideia de Relatividade. Segundo Galileu “As leis da física são as mesmas em dois referencias que se movem um em relação ao outro com velocidade retilínea uniforme”. E as equações que representam estas leis são as mesmas quando transformadas segundo as fórmulas de transformação chamadas de “Transformação de Galileu”. E que veremos agora. Seja dois referencias (x,y,z) e (x’,y’,z’), como na figura 1 abaixo. O referencial
(x’,y,z’) tem velocidade v , em relação a (x,y,z), tem direção do eixo x e a direção dos eixos dos dois referencias é a mesma. O ponto P tem coordenadas (x,y,z) e (x’,y’,z’), dependendo do referencial. Fig. 1
Supomos que no instante t = 0, os dois referenciais tinham origens iguais. Na figura o ponto P está num instante t qualquer. Deduzimos que: oo' v t x' x v t x x'v t y' y
Eq.( 1)
z' z
Derivando as equações (1) temos as famosas “Transformadas de Galileu”. v' x v x V V v x v' x vy ' vy v' z vz
Relatividade de Einstein
Também na Relatividade de Einstein as leis da física são as mesmas em dois referencias que se movem um com relação ao outro com velocidade V. As transformações que descrevem as leis de um referencial para o outro, são as transformações de “Lorentz”, não usamos a de Galileu. x'
x Vt 1
v2 c2
y' y z' z
Eq. (2)
V t 2 c t' V2 1 2 c
(c = Velocidade da luz no vácuo = 300.000 km/s e não depende do referencial) Observe que foi adicionado o t’, que é o tempo no referencial (x’,y’,z’) o ponto mais importante da “Teoria da Relatividade”, nela não existe tempo universal absoluto e por isso temos que transformar a coordenada tempo. Agora chamando
1
1
1 2 2
e
V , teremos: c
x' ( x ct ) y' y z' z x' t' t c As transformações inversas serão:
x ( x' ct ) y y' z z' x' t t ' c A partir daí definimos, por derivadas, as equações das velocidades em x, y e z:
dx dx'cdt ' dt dt '
vx
Então: vx
dx' c
dx dx'cdt ' dividindo tudo por dt : dx' dt dt ' c
v' x V V 1 v' x 2 c
Analogamente: 1/ 2
V2 1 vy V c 2 1 v' x 2 c v' y
1/ 2
V2 1 vz V c 2 1 v' x 2 c v' z
Essas transformações levam-nos a propriedades interessantes, uma delas é Contração do Comprimento e do Tempo. Einstein também assumiu na sua Teoria da Relatividade dois postulados: “As equações da Física são as mesmas quando escritas em dois referencias que se movem um com relação ao outro, com velocidade V constante”. “A velocidade da luz é a mesma em todos os sistemas de referencias em movimento uniforme em relação à fonte de luz”.
Contração do Comprimento
Tomemos uma Régua ao longo do eixo x no referencial (x,y,z) tomado como referencial imóvel, chamemos o comprimento da régua de L0, e X2 e X1 a medida dos seus extremos.
Calculemos o comprimento desta régua no referencial X’Y’Z’ que se move, com relação à XYZ, com velocidade V na direção do eixo X, num dado instante t’. Chamaremos esse comprimento de L. Régua Lo, vista por XYZ é: L0 = X2 - X1 L = X’2(t’) – X’1(t’)
Vista por X’Y’Z’ com velocidade V em t = t’: Lembrando que:
x ( x' ct ) y y' z z' x' t t ' c Vemos que:
x2 ( x'2 (t ' ) ct ' )
x1 ( x'1 (t ' ) ct ' ) E então:
x2 x1 ( x'2 (t ' ) x'1 (t ' )) Ou seja,
L0 L Ou ainda L
L0
L0 (1 2 )1/ 2
Como o fator (1 2 )1/ 2 é um número menor que um, vemos que L é menor que L0. Então a mesma régua quando vista e medida de um referencial com o qual ela se move com certa velocidade, aparece contraída por um fator 1
V2 . c2
Contração do Tempo
Da mesma forma o tempo pode ser visto por X’Y’Z’ que se move com velocidade V com relação ao referencial XYZ, aparece com sua medida dilatada. Por Exemplo, um relógio em repouso no referencial XYZ, marca (tal) “intervalo de tempo próprio”, coordenada (0,0,0). O Tempo de acordo com a transformada de Lorentz é: x' t' t c
com x=0 (origem) teremos:
t ' t t'
1 2
Como o termo
1 2 é um número menor que 1, o tempo t’ é maior que o “tempo
próprio” .
As Transformações de Lorentz Para se chegar as equações da transformação de Lorentz, vamos analisar as equações de Maxwell em umas de suas soluções, isto é, a equação de onda no vácuo, fazendo uma transformação de coordenadas comum de x, t para x’, t’.
Partícula movendo-se na direção X, com velocidade c. A transformação linear de x, t para x’, t’ obedece às equações:
Eq. (3) Encontramos por substituição na equação de onda os valores para α,β,γ,δ do novo referencial:
Agora substituindo na Eq. (3):
Eq. (4) Na transformação de Galileu tínhamos:
x' x v t x x'v t t' t
Comparando com Eq. (4) encontramos:
Substituindo na Eq. (4) teremos as “Transformações de Lorentz”:
Onde
É o Fator de Lorentz.
CONCLUSÃO
A extensão da Teoria da Relatividade de Galileu, para a Teoria da Relatividade Especial de Albert Einstein, foi fruto de estudos de muitos estudiosos e culminou em enormes significados para a Física e para o mundo. A colocação de Galileu de que não só a Terra não é imóvel, mas que não existe nenhum referencial absoluto e que todo movimento é relativo. Foi o “divisor de águas” na concepção de Física e da própria ciência moderna. A Teoria da Relatividade de Einstein quando mostra que também não há tempo absoluto, modificou a forma de enxergarmos as grandezas físicas que regem o mundo. Einstein abriu caminho para novas previsões, como a existência de Buracos Negros, possibilidade do universo está em expansão. A Teoria da Relatividade também influencia na aplicação das tecnologias modernas, por exemplo, Os relógios usados nos Satélites dos Sistemas de Posicionamento Global (GPS) são extremamente precisos e utilizam um fator de Dilatação Temporal, por causa da sua distância a um espectador na terra. Também em experimentos laboratoriais as subpartículas de átomos, quando aceleradas sofrem os efeitos da dilatação do tempo, influenciando no seu tempo de vida.
BIBLIOGRAFIA
CHAVES, F. M. P. Física A. São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009. TIPLER, P. A., MOSCA, G. Física para Engenheiros. 5. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. Tradução de Fernando Ribeiro da Silva, Gisele Maria Ribeiro Vieira, Mauro Speranza Neto TEORIA de Relatividade Especial: banco de dados. Disponível em: < http://efisica.if.usp.br/moderna/relatividade/>. Acesso em: 27 de abril 2010. FÍSICA Relativística: Curso Introdutório de Relatividade Restrita. Disponível em: < http://www.fisica.net/relatividade/>. Acesso em: 27 de abril 2010.
