Relação De Derivadas E Integrais

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ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Prof. Luiz Elpídio M. Machado UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS DERIVADA DERIVADAS ELEMENTARES 1. 2. 3.   d e   e dx d a   a ln a dx n 1 d n x  nx dx x x x x 4. d ln x   1 dx x 5. d senx   cosx  dx 6. d cosx    senx  dx 7. d tg x   sec 2 x  dx 8. d cot g x    cos ec 2 x  dx 9. d secx   secx tg x  dx 10. d cos ecx    cos ecx  cot g x  dx 11. d arcsenx   1 2 dx 1 x 12. d arccosx    1 2 dx 1 x 13. d arctg x   1 2 dx 1 x 14. d arc cot g x    1 2 dx 1 x 15. d arc secx   12 dx x x 1 16. d arccos ecx   21 dx x x 1 17. d senhx   coshx  dx Prof. Luiz Elpídio M. Machado ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 18. d coshx   senhx  dx 19. d tghx   sec h 2 x  dx 20. d cot ghx    cos ech2 x  dx 21. d sec hx    sec hx tghx  dx 22. d cos echx    cos echx  cot ghx  dx Prof. Luiz Elpídio M. Machado DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS Seja uu x e vv x funções de variável real e seja funções. 23. d u  v   u \  v \ dx 24. d u  v   u \  v  u  v \ dx 25. d  u  u v uv   2 dx  v  v 26. n 1 \ d n u  nu  u dx \ 27. 28.   d e   e  u dx d a   a ln a  u dx u u u \ \ u \ 29. d ln u   1  u \ dx u 30. d senu   cosu   u \ dx 31. d cosu    senu   u \ dx 32. d tg u   sec 2 u   u \ dx 33. d cot g u    cos ec 2 u   u \ dx 34. d secu   secu tg u   u \ dx \ u  du dx e \ v  dv dx as derivadas destas ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 35. d cos ecu    cos ecu  cot g u   u \ dx 36. d arcsenu   1 2  u \ dx 1 u 37. d arccosu    1 2  u \ dx 1 u 38. d arctg u   1 2  u \ dx 1 u 39. d arc cot g u    1 2  u \ dx 1 u 40. d arc secu   12  u \ dx u u 1 41. d arccos ecu   21 dx u u 1 42. d senhu   coshu   u \ dx 43. d coshu   senhu   u \ dx 44. d tghu   sec h 2 u   u \ dx 45. d cot ghu    cos ech2 u   u \ dx 46. d sec hu    sec hu tghu   u \ dx 47. d cos echu    cos echu  cot ghu   u \ dx Prof. Luiz Elpídio M. Machado ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Prof. Luiz Elpídio M. Machado INTEGRAL INTEGRAIS ELEMENTARES 1. 2.  dx  x  C  adx  ax  C n 1 n x C n 1 3.  4. x  b n  x  b dx  x dx  onde n  1 n 1 n 1 C n 1 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. ax  b n  ax  b dx  a  n  1  C dx  x  ln x  C a  x dx  a ln x  C 1  x  b dx  ln x  b  C k  x  b dx  k ln x  b  C k k  ax  b dx  a ln ax  b  C     f  f dx   f dx   f 1 x 2 x  1 x  2 x  dx INTEGRAIS RACIONAIS CONTENDO ax  b 12. 13. dx 1  ax  b  a ln ax  b  C xdx 1   ax  b a b  ax  b ln ax  b  C 2 2 2 x dx 1 1  2  3  ax  b   2bax  b   b ln ax  b   C ax  b a  2  14.  15.  ax  b xdx 2  1  b   ln ax  b   C 2   a  ax  b ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 2 2  x dx 1  b  ax  b   2b ln ax  b   C  2 3 ax  b ax  b a   16.  17.  ax  b 18.  xax  b  b ln ax  b  C 19.  x ax  b   bx  b 20.  xax  b xdx  3 dx 22. 1  b 1    C 2  2 ax  b  a  2ax  b  1 x dx 1 a 2 dx 2   x ax  b dx  ax  b C x 1 1 x  2 ln C bax  b  b ax  b  x 2 3 15a 2 ln 2 ax  b INTEGRAIS CONTENDO 21. 3ax  2b ax  b 2 3 15a x 2 ax  b dx  2 105a 3 24. 25. 26. 27. 28. 29.  x n ax  b x    dx  2 ax  2b 3a x 2 15a n ax  b 2 3a 2 ax  b x dx  2 2 2   4 abx  8b 2 x ax  b 2bn  a 2n  1 a 2n  1   1  dx   x ax  b    1 2 1 b ln 2 b tg ax  b  b ax  b  b  ax  b dx x n 1 ax  b dx ax  b  C se b  0 b 1 ax  b b2n  3 2bn  1x  ax  b 1 dx  2 ax  b  b dx x x ax  b bn  1x n 1  C se b  0 n ax  b x  ax  b  C x dx   3 ax  b  C n dx   2  12abx  8b ax  b  2  C 2 x ax  b  2 2bn ax  b dx   a 2n  3 a 2n  3 x  2 C 3 n 23. Prof. Luiz Elpídio M. Machado n 1   x 1 n 1 ax  b dx ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 3 30. ax  b  2 dx   n 1 bn  1 ax  b  n x 2 INTEGRAIS CONTENDO a  x 31. 32. 33. a 1 2 x 2 dx   a 2n  5 2b n  1 ax  b  x n 1 Prof. Luiz Elpídio M. Machado dx 2 1 x arctg    C a a  1 x  a arctgh a   C se x  a 1 1 xa    dx  ln C   2 2 2a x  a a x  1 arc cot gh x   C se x  a  a a    1 1 xa  dx  ln C   2 2 2a x  a x a   2 x a INTEGRAIS CONTENDO 1 x arctgh   C se x  a a a 1 x arc cot gh   C se x  a a a 2 Nas integrais abaixo podemos substituir: 2 2 ln  x  x  a    por x arcsenh  a 2 2 ln  x  x  a    por x arccos h  a 2 ln x x a x 2 por 1 a arcsenh  x 2  x a 35.  x x  a dx  2 36.  34. 2 2 x 2 2 2 2 a 2 2 x a  ln x  x  a  C 2 2  2 x 2 2 2x  a 8 x 4 2 2 a  2 a 2 2 ln x  x  a  C 8 2  2 2 x a a x a dx  x  a  a ln x x  2 2 x a x dx  x  a  aarc sec   C x a 2 38. 2 2 2 dx  ln x  x  a  C x  a dx  2 37. 2 2 C ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 2 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.  x a  x x 2 2 2 2 2 2 x a dx  2 2 x a 2 3 2 2 2 3 2 2  x  a  1  x  a  x a C 2 C 2 a x  x 2 2 dx  2 x  5a 8 a 2 a x 2 2 x a 4  x dx   INTEGRAIS CONTENDO 2 1 x arc sec   C a a dx   2 C 2 2 1 2 2 2 a x a  ln x  x  a  C 2 2 1 a x a dx   ln a x 1 2 2 2  ln x  x  a 2 x a x 2 2 x dx   a 1 x x a x dx   2 x a x 2 Prof. Luiz Elpídio M. Machado 2 3a 2 2 x a  ln x  x  a  C 8 2 2 C 2 46.  1 x dx  arcsen   C a a x 47.  a  x dx  x 2 2 2 2 2 2 48. 49.  51.  2 2 x a  x dx  2 x  a 8 2 2  4 a x a x  arcsen   C 8 a 2 2 2 2  2 2 a a x  a  x  a ln C 2 2  x a x dx   x  2 2 x  a  x  a arccos h   C a  2 50. 2 2 x a x a x  arcsen   C 2 2 a  a x  x x 2 2 2 2 2 a x 2 a x x dx    arcsen   C x a 2 2 dx   2 2 x a x a x  arcsen   C 2 2 a ENGENHARIA 52. 53. 54. 55. RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS     1 dx   2 2  x a x   2  a 2  a 2 2 a x 2 a x dx   x C 2  5a  a 2 x dx   2 2 x  x  dx   2 x 8 3 2 2 C a x 3 2 2 1 2 1 x arccos h   C a a 2 1 x 2 1 a a x ln a x Prof. Luiz Elpídio M. Machado a INTEGRAIS CONTENDO 2ax  x 2 2 a x 2 2 3a x x  arcsen   C 8 a 2 C 2 2 4 2 2 xa a x  2ax  x  arccos1    C 2 2 a  56.  2ax  x dx  57.  x 2ax  x dx  2 2 2 x  ax  3a 6 2 3 2 2ax  x  a x  arccos1    C 2 a  2 58.  2 2ax  x x  dx  2ax  x  a arccos1    C x a  2 2  2ax  x 60.  1 61.  2 x  dx   2ax  x  a arccos1    C a  2ax  x  2 x  3a 3a x  dx   2ax  x  arccos1    C 2 2 2 a  2ax  x 59. 62. 63. 64. x x dx   2 2 2ax  x x   arccos1    C x a  x  dx  arccos1    C a  2ax  x 2 x 2 x 2 2 1 2ax  x 2 1  2ax  x  3 2 2 dx   2ax  x ax 2  C xa dx  a 2 2 ax  x 2 C ENGENHARIA 65. RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS x  2ax  x  3 2 2 x dx  a 2 2 ax  x 2 C INTEGRAIS CONTENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 66.  senxdx   cosx  C 67.  senax  b dx   a cosax  b   C 68.  senax dx   a cosax  C 69.  senx  b dx   cosx  b  C 70.  cosx dx  senx   C 71.  cosax  dx  a senax   C 72.  cos x  b  dx  sen x  b   C 73.  cosax  b  dx  a senax  b   C 74.  tg x dx  ln secx   C  cot g x dx  ln senx   C 75. 1 1 1 1  ln sen  x   tg  x   C  sec x dx   x  ln tg     C  4 2   ln cos ec  x   cot g  x   C  cos ec x dx   x ln tg    C 2  78.  sec  x  dx  tg  x   C 79. 1  sec ax dx  a tg ax   C 80.  sec x  b dx  tg x  b   C 76. 77. 2 2 2 Prof. Luiz Elpídio M. Machado ENGENHARIA 81. 82. RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Prof. Luiz Elpídio M. Machado 1  sec ax  b dx  a tg ax  b  C 2  2 cos ec x  dx   cot g x   C 83. 1  cos ec ax dx   a cot g ax  C 84.  cos ec x  b dx   cot g x  b  C 85. 1  cos ec ax  bdx   a cot g ax  b  C 86.  secxtgxdx  secx  C 87.  secaxtg axdx  a secax  C 88.  secx  b tg x  b dx  secx  b  C 89.  secax  btg ax  bdx  a secax  b   C 90.  cosecxcot gxdx   cosecx  C 91.  cosecax cot gaxdx   a cos ecax  C 92.  cosec x  b cot g x  bdx   cos ecx  b  C 93.  cosecax  b cot gax  bdx   a cos ecax  b  C 2 2 2 1 1 1 1 2 94. sen  x dx  x 1  sen 2 x   C 2 4  x 1 cos  x dx   sen2 x   C  2 4 2 95. 96. 97. 2  tg x dx  tgx  x  C  cot g x dx   cot gx  x  C 2 n 98. n 99. 1 n 1 n 1 n2  sen x dx   n sen x cosx   n  sen x dx 1 n 1 cos x dx  cos x sen x   cos x dx  n n  n 1 n 2 ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS n 100. tg x dx  n 1 n 2 1 tg  x   tg  x dx n 1   1 cot g  x dx   cot g  x   cot g  x dx   n 1 1 n2 sec x dx  sec  x tg x   sec x dx  n 1 n 1  1 n2 cos ec  x dx   cos ec  x  cot g  x   cos ec  x dx  n 1 n 1  1 1  senax senbx dx   2a  b  sena  b x   2a  b sena  b x   C n 1 n 101. n2 n2 n 103. 104. 105. 106. 107. 108.  cosax  cosbx dx  sen ax  cosbx dx   1 1 cosa  b x   cosa  b x   C 2a  b  2a  b    xsenxdx  senx  x cosx  C  x cosx dx  cosx   xsenx  C  x senx dx  2 xsenx   2  x cosx  C  x cosxdx  2 x cosx  x  2senx  C  x senxdx   x cosx  n  x cosxdx  x cosxdx  x senx  n  x senxdx 2 2 110. 2 n 111. n 112. 113. n2 1 1 sena  b x   sena  b x   C 2a  b  2a  b  2 109. n 2 n2 n 102. Prof. Luiz Elpídio M. Machado  n n n 1 n 1  sen a 1  x  cos b 1  x  a  1 a 2 b  sen  x cos  x dx  a b  ab ab sen  x cos  x dx   a 1 b 1 a b2  sen  x cos  x  b  1  sen  x  cos  x dx  ab ab   INTEGRAIS CONTENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 114. 115. 2 arcsen  x dx  xarcsen  x   1  x  C   arccosxdx  x arccosx  2 1 x  C ENGENHARIA 116. 117. 118. 119. RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS Prof. Luiz Elpídio M. Machado 2 arctg x dx  xarctg x   ln  1  x   C      arc cot g x dx  xarc cot g x   ln 2 1  x   C   2   xarc secx   ln x  x  1  C arc secx dx    xarc secx   arccos h x   C   2   x arccos ec x   ln x  x  1  C arccos ec x dx    x arccos ec x   arccos h x   C  INTEGRAIS CONTENDO FUNÇÕES E LOGARÍTMICAS x 120.  e dx  e x C ax 121. 122.  e e dx  C a ax e ax  b dx  e ax  b C a x 123.  a a dx  C ln a  x x 124. x xe dx  x  1e  C   x e dx  x e  n  x n 125. x n n 126. 127.  2   xarc secx   ln x  x  1  C arc secx dx    xarc secx   arccos h x   C   x n 1 x e dx x n 1 x x a n x a dx   x a dx ln a  ln a  n e x a x x n dx   x  e x a  1x n 1 a x 1  n 1 x 129.  lnxdx  x lnx  x  C n dx   a  1x n 1 x ln a   n 1 128. e x n 1 a x dx x n 1 dx ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS n 1 130. 131. 132. 133.  x x ln x dx  n  1ln x   1  C n  12  1 dx  ln ln  x   C x ln x   e sen bx dx  n ax e ax cosbx dx  e ax 2 a b e 2 2 asen bx   b cosbx   C 2 a cosbx   bsenbx   C ax a b INTEGRAIS CONTENDO FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 134. 135. 136. 137. 138.  senhxdx  coshx  C  cosh x dx  senhx   C  tghx dx  ln cosh x   C  cot ghx dx  ln senhx   C  sec hx dx  arctg senhx   C x cos ech  x dx  ln tgh   C 2 139.  140.  sec h x dx  tghx  C 2 141. 142. 143.  2 cos ech x  dx   cot gh x   C  sec hxtghxdx   sec hx  C  cosechxcot ghxdx   cosechx  C 1 x senh  x dx  senh 2 x    C  4 2 1 x cosh  x dx  senh2 x    C  4 2 2 144. 2 145. 146. 2  tgh x dx  tghx  x  C Prof. Luiz Elpídio M. Machado ENGENHARIA RELAÇÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS 2 cot gh x  dx   cot ghx   x  C 147.  148.  xsenhxdx  x coshx   senhx  C  x coshx dx  xsenhx   coshx  C 149. 150. 151. e  ax senhbx dx  e ax 2 a b ax e coshbx dx  e 2 2 asenhbx   b coshbx   C ax a b 2 a coshbx  bsenhbx  C Prof. Luiz Elpídio M. Machado