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Matemática Financeira
Regra da Sociedade
2 Diego Oliveira www.number.890m.com
INTRODUÇÃO Esse é o segundo mini book sobre matemática financeira. Cada mini book possui um tema que é tratado de forma simples, rápida e completa. Aqui você encontrará exemplos resolvidos e um conteúdo bastante sucinto perfeito para interessados em aprender sobre Matemática Financeira, mas que não deseja passar por aprofundamentos (tais como demonstrações) desnecessárias.
REGRA DA SOCIEDADE Diego Oliveira1 | www.number.890m.com |
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Maria, Jos´e e Renato entraram em sociedade para realiza¸c˜ao de um evento. Maria entrou com R$ 125,00, Renato com R$ 200,00 e Jos´e com R$ 103,00. No final do evento foi contabilizado um lucro de 1.500,00 reais e logo quiseram saber quanto do lucro caberia a cada um. Obviamente n˜ao poder´ıamos simplesmente dividir o lucro em trˆes partes iguais, j´a que cada s´ocio contribuiu com valores diferentes. Sendo assim como resolver esse problema? A divis˜ao de lucros, ou preju´ızos, em partes proporcionais ao tempo da aplica¸c˜ao e ao valor dos capitais de cada s´ocio ´e chamado de regra da sociedade. Por exemplo, para trˆes s´ ocios a regra se resume a seguinte express˜ao: y z lucro total x = = = c1 × t1 c2 × t2 c3 × t3 c1 × t1 + c2 × t2 + c3 × t3 Onde: x ´e o lucro do 1◦ s´ ocio; y ´e o lucro do 2◦ s´ ocio; z ´e o lucro do 3◦ s´ ocio; cn ´e o capital do en´esimo s´ocio; tn ´e o tempo que o dinheiro do en´esimo s´ocio ficou aplicado.
Essa express˜ao parece um pouco complicada, mas na verdade ela ´e bem simples de ser aplicada e com base nela podemos resolver o problema de Maria, Renato e Jo˜ao. Para Maria ter´ıamos por exemplo x 1.500, 00 = 125, 00 × t1 125, 00 × t1 + 200, 00 × t2 + 103, 00 × t3 Considerando que o tempo das aplica¸c˜oes ´e o mesmo podemos fazer t = t1 = t2 = t3 . x 1.500, 00 = 125, 00 × t (125, 00 + 200, 00 + 103, 00)t ⇒ 428, 00t × x = 1.500, 00 × 125, 00t 1 Licenciado
em Matem´ atica e especialista em Matem´ atica Financeira.
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⇒ 428, 00 × x = 1.500, 00 × 125, 00 ⇒ x = 438, 084 Ou seja, a parte do lucro que caberia a Maria seria de 438,084 reais. J´a o lucro de Renato seria de 700,93 reais. 1500 y = 200 × t 125 × t + 200 × t + 103 × t ⇒ y = 700, 93 E o lucro de Jo˜ao de 360,98 reais. z 1.500, 00 = 103, 00t3 125, 00 × t + 200, 00 × t + 103, 00 × t ⇒ z = 360, 98.
Algo que vocˆe NUNCA deve esquecer ´e que aplica¸c˜ao da regra da sociedade s´o pode ser feita quando as unidades de tempo s˜ao as mesmas. Para entender melhor o que est´a sendo dito veja o pr´ oximo exemplo.
Exemplo 1: Uma firma teve um lucro de R$ 3.870,00. O 1◦ s´ocio empregou 1.000,00 durante um bimestre; o 2◦ s´ocio empregou R$ 1.200,00 durante um mˆ es e dez dias e o 3◦ s´ ocio empregou R$ 1.500,00 durante 23 dias. Qual o lucro de cada s´ ocio? Solu¸ c˜ ao Aqui temos trˆes unidade de tempo (bimestre, mˆes e dias), assim antes de aplicar a regra da sociedade temos de passar tudo para bimestre ou mˆes ou mesmo dias. Utilizando como unidade padr˜ao o dia teremos:
1 bimestre = 60 dias, 1 mˆes e 10 dias = 40 dias
assim x y z 3.870, 00 + + = 1.000, 00 · 60 1.200, 00 · 40 1.500, 00 · 23 1.000, 00 · 60 + 1.200, 00 · 40 + 1.500, 00 · 23 ⇒
y z x + + = 0, 027157895 60.000, 00 48.000, 00 34.500, 00
Que implica em x ≈ R$ 1.629,47; y ≈ R$ 1.303,58 e z ≈ R$ 936,95.
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CAPITAL EM PARCELAS ´ bastante comum que um ou outro investidor (em sociedade) n˜ao aplique o E seu capital de uma u ´nica vez num investimento ou mesmo que o aplique, mas retire uma parte do que foi investido antes do fim investimento. Se num investimento um ou mais s´ocios possu´ırem v´arios capitais aplicados em tempos diferentes utiliza-se o somat´orio dos produtos do capital pelo seu respectivo tempo para o calculo da divis˜ao dos lucros. O exemplo 2 a seguir mostra essa situa¸c˜ao.
Exemplo 2: No dia 1◦ do mˆes de janeiro, trˆes s´ocios organizaram uma firma com o capital de R$ 4.500,00 dividido entre os trˆes em partes iguais. O primeiro s´ ocio integralizou totalmente a sua parte. O segundo entrou com R$ 1.000,00 tendo, 3 meses ap´ os, integralizado o restante. J´a o terceiro s´ocio entrou com R$ 750,00 s´ o completando sua parte em 1◦ de julho. No fim de um ano de atividade, o lucro apurado foi de R$ 1.200,00. Quanto coube a cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao: Nesse caso temos: 1◦ s´ ocio: 1.500,00 × 12 meses = 18.000,00; 2◦ s´ ocio: 1.000,00 × 3 meses + 1.500,00 × 9 meses = 16.500,00; 3◦ s´ ocio: 750,00 × 6 meses + 1.500,00 × 6 meses = 13.500,00; Assim pela regra da sociedade:
y z 1.200, 00 x = = = 18.000, 00 16.500, 00 13.500, 00 18.000, 00 + 16.500, 00 + 13.500, 00
⇒
x y z 1.200, 00 = = = 18.000, 00 16.500, 00 13.500, 00 48.000, 00 ⇒x=
1.200, 00 · 18.000, 00 = 450, 00; 48.000, 00
⇒y=
1.200, 00 · 16.500, 00 = 412, 50; 48.000, 00
⇒z=
1.200, 00 · 13.500, 00 = 337, 50; 48.000, 00
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Ent˜ao, o primeiro s´ ocio deve receber R$ 450,00, o segundo R$ 412,00 e o terceiro R$ 337,50 reais.
No caso da retirada de uma parte do capital por um dos investidores a divis˜ao segue a mesma logica. Veja o pr´oximo exemplo.
Exemplo 3: Na funda¸c˜ao de certa sociedade A e B entraram com R$ 5.200,00 e R$ 7.300,00 respectivamente. Quando a empresa completou seu segundo mˆes de existˆencia o s´ ocio A retirou R$ 1.200,00; dois meses depois desta data o s´ocio B depositou R$ 1.500,00. Ao fim do primeiro semestre de atividades verificou-se o lucro de R$ 1.5006,00. Qual o lucro de cada s´ocio? Solu¸ c˜ ao Dos R$ 5.200,00 investido pelo s´ocio A apenas R$ 4.000,00 permaneceu na aplica¸c˜ao por durante 6 meses. O restante R$ 1.200,00 (5.200, 00 − 4.000, 00) foi aplicado apenas durante os dois primeiros meses. Assim: lucro de A 4.000, 00 · 6 + 1.200, 00 · 2 Do total aplicado pelo s´ ocio B apenas R$ 7.300,00 ficou durante os seis meses. Os 1.500,00 aplicados depois s´ o teve rendimento nos dois u ´ltimos meses. Assim: lucro de B 7.300, 00 · 6 + 1.500, 00 · 2 ent˜ao pela regra da sociedade lucro de A lucro de B 15.006, 00 = = 4.000, 00 · 6 + 1.200, 00 · 2 7.300, 00 · 6 = 1.500, 00 · 2 73.200, 00 →
lucro de A lucro de B = = 0, 205 26.400, 00 46.800, 00
onde se conclui que o lucro de A foi de R$ 9.594,00 e o lucro de B de R$ 5.412,00.
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