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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ICEA - Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas Campus - João Monlevade
Disciplina: Física III / ICEA013 Cursos: Engenharia de Produção e Engenharia Elétrica
Prática: Equação do Pêndulo Simples e Medição da Gravidade Calliana Azevedo Douglas do Amaral Monteiro Matheus Lucas de Melo Santos
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Índice Tema
Página
1. Introdução
3
2. Objetivo
3
3. Material utilizado
3-4
4. Medição da Moeda
4-5
4.1 Experimental
4
4.2 Resultados
5
5. Medição da gravidade pela equação do Pêndulo
6-9
5.1 Experimental
6-7
5.2 Resultados
7-9
6. Período do Pêndulo Simples
9
6.1 Experimental
10
6.2 Resultados
10-12
7. Conclusão
12-13
8. Referências
13
2
1. Introdução Este relatório descreve as atividades desenvolvidas no laboratório de física da Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP, onde tivemos a oportunidade de ter contato com instrumentos de medida a fim de colocar a teste a equação do período do pêndulo simples para ângulos arbitrários e, também, através de um aparelho eletrônico específico, poder medir o valor da gravidade g da Terra na região. De posse do conhecimento sobre propagação de erros usamos nas experiências as notações necessárias a fim de minimizar o efeito da imprecisão de medidas, tanto diretas, e principalmente, nas indiretas, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente.
2. Objetivo - Usar de ferramentas matemáticas de minimização do efeito da propagação de erros para mostrar que valores exatos em experiências físicas são de impossível alcance, mas que uma boa aproximação é possível. - Colocar a teste a equação do período do pêndulo simples para ângulos pequenos. - Conseguir com boa aproximação o valor da ação da gravidade g na região.
3. Material Utilizado 3.1 Experimento 1: Para realização da prática foram necessários os seguintes componentes:
- Uma moeda de 1 Real; - Uma Régua de graduação centimétrica.
3.2 Experimento 2: Para realização da prática foram necessários os seguintes componentes: 3
- Régua de plástico de graduação milimétrica; - Um cronômetro digital computadorizado; - Sensor fotoelétrico; - Sistema de sustentação principal de aço; - Cilindro metálico.
3.3 Experimento 3: Para realização da prática foram necessários os seguintes componentes: ·
Barbante longo;
·
Fita adesiva;
·
Corpo de Massa m*;
·
Fonte de Referência (marcador de posição);
·
Cronômetro de precisão centesimal;
*Obs: A massa m “qualquer” deve ser de tal modo que a massa do fio seja desprezível em relação a do corpo em oscilação.
4. Medição da Moeda 4.1 Experimental De posse de uma moeda de R$ 1,00, os integrantes da equipe mediram o comprimento da circunferência do objeto apoiando-o sobre uma régua e fazendo-o deslizar até completar uma volta. Cada integrante obteve as seguintes anotações: - Circunferência 1: 8,2 - Circunferência 2: 8,1 - Circunferência 3: 8,4 - Circunferência 4: 8,5 - Circunferência 5: 8,2
4
4.2 Resultados A média dos valores é dada da seguinte forma: Circunferência media = (8,2 + 8,1 + 8,4 + 8,5 + 8,2) / 5 = 8,28. Calculando os desvios, obtemos: 1 = | 8,28 - 8,2| = 0,08 2 = | 8,28 - 8,1| = 0,18 3 = | 8,28 - 8,4| = 0,12 4 = | 8,28 - 8,5| = 0,22 5 = | 8,28 - 8,2| = 0,08 O desvio médio de C será dado pela média aritmética dos desvios: ∆C = (0,08 + 0,18+ 0,12 + 0,22+ 0,08) / 5 = 0,136 Como, C= Cmédio ± ∆C Logo, C = 8,28 ± 0,14 Agora, para encontrar o raio da moeda indiretamente, que é o nosso interesse, devemos fazer, r = ± ∆r,
onde = C/2π ---> = (8,28)/2π = 1,32
Agora que já temos o valor do raio, basta obtermos a eq. do erro indeterminado e calcular o erro da medida indireta: ∆r = |∂r/∂C| * ∆C ∆r = |∂/∂C (C/2π)| * 0,136 ∆r = |1/2π| * 0,136 ∆r = |1/2π|* 0,136 = 0,021 Logo, a medida indireta do raio é, r= 1,32 ± 0,02
5
5. Medição da Gravidade 5.1 Experimental De posse de uma régua graduada milimétrica os integrantes da equipe mediram o comprimento l de uma “cordinha” na qual sustentava um corpo de massa m, ambos sustentados por um tripé regulável. Na medida em que o pêndulo oscilava um sensor fotoelétrico mensurava o seu período organizando-o em uma tabela virtual.
As anotações referentes ao comprimento da “cordinha” em cm foram:
Repetição
Comprimento (l) [cm]
1ª
17,3
2ª
17,1
3ª
17,2
4ª
16,7
5ª
16,8
6ª
17,0
7ª
17,1
8ª
17,1
9ª
16,7
10ª
17,2
6
A tabela virtual com os valores referentes ao período (T) do pêndulo segue abaixo:
5.2 Resultados 5.2.1 Cálculo por medida direta do comprimento (l) e Período (T) Comprimento médio = < l >= ( 17,3 + 17,1 + 17,2 + 16,7 + 16,8 + 17,0 + 17,1 + 17,1 + 16,7 + 17,2) / 10 = 17,02 Calculando os desvios, obtemos: 1 = | 17,02 - 17,3|| = 0,28 cm 2 = | 17,02 - 17,1| = 0,08 cm 3 = | 17,02 - 17,2| = 0,18 cm 4 = | 17,02 - 16,7| = 0,32 cm 5 = | 17,02 - 16,8| = 0,22 cm 6 = | 17,02 - 17,0| = 0,02 cm 7 = | 17,02 - 17,1| = 0,08 cm 8 = | 17,02 - 17,1| = 0,08 cm 9 = | 17,02 - 16,7| = 0,32 cm 10 = | 17,02 - 17,2| = 0,18 cm 7
O desvio médio de l será dado pela média aritmética dos desvios: ∆l = (0,28 + 0,08+ 0,18 + 0,32 + 0,22 + 0,02 + 0,08 + 0,08 + 0,32 + 0,18)/ 10 = 0,18 Como, l = ± ∆l Logo, l = 17,02 ± 0,18 Período médio = = (0,828454 + 0,828153 + 0,828234 + 0,827705 + 0,827647 + 0,827472 + 0,827415 + 0,827193 + 0,826189 + 0,82689) / 10 = 0,827595 Calculando os desvios, obtemos: 1 = | 0,827595 - 0,828454| = 0,000859 s 2 = | 0,827595 - 0,828153| = 0,000558 s 3 = | 0,827595 - 0,828234| = 0,000639 s 4 = | 0,827595 - 0,827705| = 0,000110 s 5 = | 0,827595 - 0,827647| = 0,000520 s 6 = | 0,827595 - 0,827472| = 0,000123 s 7 = | 0,827595 - 0,827415| = 0,000180 s 8 = | 0,827595 - 0,827193| = 0,000402 s 9 = | 0,827595 - 0,826189| = 0,000140 s 10 = | 0,827595 - 0,82689| = 0,000705 s O desvio médio de T será dado pela média aritmética dos desvios: ∆T = ( 1 + 2+ 3+ ∆T = 0,000436
4
+
5+ 6
+
7
+
8
+
9
+
10
)
Como, T = ± ∆T Logo, T = 0,827595 ± 0,0004236
Para medir a gravidade g indiretamente, devemos usar o valor do comprimento l médio do fio e do período médio obtidos diretamente da experiência. l = l = 17,02 ± 0,18 cm 8
T = 0,827595 ± 0,0004236 s
g = ± ∆g , e e sendo g = (4π2l)/T2 < g > = (4π2*0,17) / (0,83)2 = 9,74 m/s2 onde, ∆g = |∂g/∂l| * ∆l + |∂g/∂T| * ∆T ∆g = |∂/∂l [ (4π2l)/T2]| * ∆l + |∂/∂T [ (4π2l)/T2]| * ∆T ∆g = |(4π2)/T2| * ∆l + |(-8π2l)/T3| * ∆T ∆g = 0,1037 + 0,0085 ∆g = 0,1122 m/s2
e
= (4π2l)/T2 = (4π2*0,17)/ (0,83)2 = 9,74
Assim, a força gravitacional atuante é, g = 9,74 ± 0,11 m/s2
5. Pêndulo Simples Aplicando-se a 2ª lei de Newton a um corpo que esteja executando um movimento harmônico simples, como mostrado na figura abaixo, é possível estabelecer uma relação entre o período T do movimento, a massa m do corpo, o comprimento l do pêndulo e a gravidade g na região. Através de cálculos matemáticos, os quais não são o objetivo do experimento, podemos expressar esta relação por:
I.
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Esta equação que nos permite calcular o período de um pêndulo simples não depende diretamente da massa do corpo, mas tão somente do comprimento l do fio tendo-se que a ação da gravidade é constante. Assim, quanto maior o comprimento l, maior o período T.
Entretanto, esta relação é válida somente se a amplitude de
oscilação do pêndulo não for muito grande, ou seja, se a trajetória descrita pelo pêndulo for estreitamente parecida com um segmento de reta horizontal. Esse tipo de trajetória somente é possível para pequenos ângulos de oscilação e teoricamente, através de ferramentas matemáticas, sabemos que este ângulo deve ser menor que 15º.
5.1 Experimental A um barbante de massa desprezível de tamanho 1,85 m, preso a um ponto fixo no teto, colocamos na extremidade uma esfera de massa m qualquer segura a um ângulo de 30,53 (aprox. π/3 rad) graus em relação ao eixo vertical, que é a origem de oscilação do corpo. De posse do cronômetro de precisão centesimal, anotamos os seguintes eventos: 1. Solta-se o pêndulo e cronometra-se o período de oscilação do movimento. 2. Anota-se, em tabela, o valor do período. 3. Repete-se de 1 a 2 por 10 vezes.
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5.2 Resultados De posse dos dados da tabela montada com o valor dos 10 períodos, calculamos o período médio para uso na relação I .
Repetição
Segundos
Centésimos
1ª
02
72
2ª
02
47
3ª
02
47
4ª
02
56
5ª
02
56
6ª
02
56
7ª
02
53
8ª
02
57
9ª
02
56
10ª
02
35
Tomando a média desses valores temos que valor do período medido diretamente é dada por T = < T > ± ∆T , onde < T > = (2,72 +2,47+2,47+2,56+2,56+2,56+2,57+2,53+2,56+2,35) / 10 < T > = 2,535 E, ∆T = ( |2,54 - 2,72| + |2,54 - 2,47| + |2,54 - 2,47| + |2,54 - 2,56 | + |2,54 - 2,56| + |2,54 - 2,56| + |2,54 - 2,53| + |2,54 - 2,57| + |2,54 2,56| + |2,54 - 2,35| ) /10 11
∆T = (0,18 + 0,08 + 0,08 + 0,02 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,03 + 0,02 + 0,19)/10 = 0,065 Logo, T = 2,53 +- 0,07 s
Para medir agora o período T indiretamente, devemos usar o valor do comprimento l do fio para fazer os cálculos. Como foi necessário fazer apenas uma medida do comprimento do fio, o valor a ser trabalhado é l = 185,6 +- 0,05 cm T = ± ∆T , onde, ∆T = |∂T/∂l| * ∆l = | ∂/∂l(2* π * sqrt(l/g)| * 0,05 ∆T = | π * sqrt(g/l) | * 0,05 = 0,359 e
= 2π*sqrt(l/g) = 2π * sqrt(0,19) = 2π * 0,437 = 2,75 s
Assim, T = +- ∆T T = 2,75 ± 0,4 s Assim, podemos observar que o período obtido pela medida direta na cronometragem não é igual ao período obtido pela medida indireta, utilizando a equação do pêndulo simples, tendo assim uma pequena variação. O fato de ser usadas as medidas independentes dos períodos se deve ao objetivo de minimizar o fator atrito do ar em cada oscilação. Se tomássemos o período de 10 oscilações ininterruptas, o resultado do experimento ficaria seriamente comprometido.
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6. Conclusão Por meio deste relatório da aula prática de Física III, conseguimos obter uma visão mais detalhada no que tange a experiência de cálculos de medidas como o período, a gravidade e os erros envolvidos no processo de medição, tomando como base o pêndulo simples. Os cálculos feitos proporcionaram uma melhor visualização e diferenciação do uso de medidas diretas e medidas indiretas, fornecendo uma comparação, por exemplo, nos resultados obtidos no experimental do pêndulo simples. Observamos também como exemplo, o experimental da medição da gravidade que os fatores como o erro da régua, o erro no momento da medição, o fato de o pêndulo não ser uma esfera, de não oscilar em um plano e principalmente a perda da velocidade em função do atrito com ar, influenciam diretamente nos valores obtidos.
7. Referências - Halliday, David, 1916- Fundamentos de física, volume II: Ondas e Termodinâmica / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. – 8ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2008. - PROGRAMA EDUC@R Disponível em: < http://educar.sc.usp.br/fisica/erro.html >. Acesso em 07 jul. 2013. - GUIDG.COM. Propagação de Erros. Disponível em: . Acesso em 08 jul. 2013.
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