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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA – Campus Fortaleza ÁREA DA INDÚSTRIA - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – NOTA DE AULA
Prof. Jucimar R E V I S Ã O 01) Na figura ao lado, o bloco pesa 10 kN. Os fios são ideais e o sistema está em equilíbrio. Determine a intensidade das forças que atuam em cada fio.
A
30°
C
60° B
Resposta: TAB = 5 kN, TBC = 8,66 kN.
10 kN
07) A figura representa dois corpos suspensos por uma haste de peso desprezível, em equlíbrio. O peso do corpo “A” é de 50 N. Determine: a) O peso do corpo “B”; b) A intensidade da força que o apoio exerce sobre a haste.
0,5 m
1m
B
A
Resposta: a) 100 N; b) 150 N.
02) A esfera do sistema ao lado pesa 10 kN e está em equilíbrio. Calcule a intensidade da força que a parede exerce sobre a mesma.
08) A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela 2m está apoiada nas duas estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas condições e, A considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
30º
Resposta: 5,77 kN. C
03) Um bloco compacto pesando 20 kN está suspenso, conforme ilustrado ao lado. Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine a intensidade das forças que atuam no cabo “BC” e na barra “AB”.
B
0,5 kN
1,5 kN
Resposta: RA = 1,35 kN; RB = 1,65 kN.
1,2 m B A
Resposta: FAB = 26,67 kN, FBC = 33,33 kN.
1,6 m
20 kN
2m
04) Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser o peso da barra para que o sistema fique em equilíbrio?
3m
09) A barra representada ao lado é uniforme e tem peso 0,5 kN 2m igual a 0,5 kN. Ela está apoiada nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas na figura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está A em equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
8m
Resposta: RA = 1,5 kN; RB = 1 kN.
7m
10) A barra rígida da figura ao lado tem um peso de intendiade “P”. Ela está apoiada e suporta em suas extremidades duas cargas de intensidades “3P” e “P”, respectivamente. Calcule a relação entre “a” e “b”, para que o sistema fique em equilíbrio.
Resposta: 200 N.
05) Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo que o bloco pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
3m
5m
2 kN B
A
1,5 kN 3m
5m
B
a
b
3P
P
Resposta: a/b = 3/7.
Resposta: RA = 1,9 kN; RB = 1,1 kN.
06) O esquema mostra uma barra rígida e homogênea de peso igual a 80 N e comprimento igual a 1,2 m, suspensa por um cabo. Um bloco de peso igual a 20 N está pendurado na estremidade direita da barra. Se o sistema encontra-se em equilíbrio, qual é o valor de “x”? Resposta: x = 0,48 m. Jucimar de Souza Lima – Av. 13 de maio 2081 – Benfica -
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x 20 N
11) A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme indicado. Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a intensidade do momento no apoio (considere sen 45º = cos 45º = 0,707). Resposta: RH = RV = 70,7 N; M = 707 N.m
100 N 10 m
45°
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Prof. Jucimar E
12) Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão, com 5 mm de diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa. Resposta: 392,7 N.
13) Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de comprimento, se a resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a força máxima de ruptura igual a 100 kN. A seção da barra é quadrada. Resposta: 2 cm x 2 cm.
14) Qual o comprimento que deve ter uma chapa de alumínio, de seção retangular, de 2 cm x 10 cm, para que ela possa suportar uma carga de tração de 70 kN, apresentando um alongamento de 2 mm? O Módulo de Elasticidade do alumínio é de 70 GPa. Resposta: 4 m.
15) Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de comprimento, sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo de Elasticidade do material igual a 210 Gpa. Resposta: 0,4 mm.
16) Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma tensão de tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento de 0,002 cm. Qual é o valor do Módulo de Elasticidade do material dessa barra? Resposta: 200 GPa.
17) Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui Módulo de Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro dessa barra, para que ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN, apresentando um alongamento de 0,0025 cm. Resposta: 50,46 mm.
18) Determine a força necessária para produzir uma deformação linear correspondente a 2% da base de medida, em uma barra de alumínio de seção quadrada, com 20 mm de lado, se o Módulo de Elasticidade do material é 70 GPa. Resposta: 560 kN.
19) Determine a altura máxima que pode ter um pilar de concreto, se o limite de 3 resistência desse material é 1,6 MPa. O peso específico do concreto é 80 kN/m , e o coeficiente de segurança a ser adotado é 5. Resposta: 4 m.
20) Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo limite de escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir, com segurança, a uma força de tração de 50 kN, adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2. Resposta: 26,6 mm. Jucimar de Souza Lima – Av. 13 de maio 2081 – Benfica -
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COMPRESSÃO 21) A barra de aço representada B C D A 90 kN 20 kN esquematicamente ao lado, tem 100 kN 30 kN área de seção tranversal igual a 10 2 20 cm 40 cm cm e está solicitada pelas forças aí 30 cm indicadas. Determine a variação de comprimento da mesma, sabendo que o Módulo de Elasticidade do material é igual a 200 Gpa. Resposta: 0,385 mm.
22)
B C D A barra de latão representada 50 kNA 5 kN 20 kN 75 kN esquematicamente ao lado, tem área de 2 seção tranversal igual a 20 cm e está 60 cm 120 cm 90 cm solicitada pelas forças aí indicadas. Determine a variação de comprimento da mesma, sabendo que o Módulo de Elasticidade do material é igual a 104 Gpa.
Resposta: 0,0072 mm.
23) Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de compressão, de 50 kN. Calcule a tensão normal induzida no eixo, bem como a variação de comprimento do mesmo. O eixo tinha 60 cm de comprimento e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 GPa. Resposta: σ = 22,72 MPa;
∆L = 0,1136 mm.
24) Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4 cm e o interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a uma determinada força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no material, uma tensão de 210 MPa e que o comprimento da barra aumentou para 100,20 mm, pergunta-se: a) Qual a intensidade da força aplicada? b) Qual o Módulo de Elasticidade do material? c) Qual a deformação linear no material? Resposta: a) 197.820 N; b) 105 GPa; c) 0,002 (0,2%).
25) Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra de aço, representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, tem 15 metros de comprimento e está submetida a uma força axial, de tração, de 300 kN. Calcule também a variação de comprimento da barra, sabendo que o peso específico do material da mesma 3 é 78 kN/m e o Módulo de elasticidade igual a 210 Gpa.
15 m
TRAÇÃO
Resposta: σ = 10,72 MPa, ∆l = 0,723 mm.
300 kN
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Prof. Jucimar
Resposta:
σa = 4,862 MPa; σl = 6,123 MPa; ∆la = 0,2236 mm; ∆ll = 0,3916 mm.
10 m
C
B
A
45 kN
0,9 m
20 kN
C A B A
0,3 m 0,6 m
Resposta: 1,095 mm.
D
50 kN
27) Uma barra de aço, ABNT 1020, de seção transversal uniforme, está sujeita às forças indicadas na figura ao lado. Determine a variação de comprimento da mesma, considerando as seguintes características: • Módulo de elasticidade = 200 GPa. -6 -1 • Coeficiente de dilatação linear = 16,7 x 10 °C . 2 • Área da seção transversal = 10 cm . • Comprimento da barra = 1,80 m. 3 • Peso específico = 78 kN/m .
31) Um cabo de aço, ABNT 1020, de 10 cm de comprimento e 8 mm de diâmetro, está inicialmente a uma temperatura ambiente de 5°C. Ao mesmo tempo em que a temperatura do cabo é elevada para 65°C, lhe é aplicada uma força de tração, de certa intensidade. Calcule a intensidade desta força, para que o comprimento final do cabo seja de 100,472 mm, sabendo-se que não foi ultrapassada a região elástica. -6 -1 E = 200 GPa e α = 12 x 10 °C . Resposta: 40,2 kN.
6m
26) Duas barras prismáticas, rígidamente ligadas entre si, suportam a carga axial de 45 kN, como se indica na figura ao lado. A barra superior é de aço, tem 10m de comprimento, área de seção 2 3 tranversal de 120 cm , peso específico igual a 78 kN/m e Módulo de elasticidade igual a 200 GPa. A barra inferior é de latão, tem 6m de 2 comprimento, área de seção tranversal de 80 cm , peso específico 3 igual a 83 kN/m e Módulo de elasticidade igual a 90 GPa. Determine as tensões normais máximas em cada material, assim como seus respectivos alongamentos.
70 kN
32) Em uma estrada de ferro, os trilhos de aço, contínuos, foram assentados e presos aos dormentes com uma folga de 1/8 polegadas entre as suas extremidades e à temperatura de 15°C. O comprimento de cada trilho era de 15m. O Módulo de -6 -1 Elasticidade do material é 210 GPa e α = 11,7 x 10 ° C . Nestas condições, determine: a) A folga entre os trilhos, quando a temperatura atingir -15°C. b) Em que temperatura essa folga se anula. c) A tensão de compressão nos trilhos, quando a temperatura atingir 40,5°C. Resposta: a) 8,44 mm; b) 33,09°C; d) 18,2 MPa.
33) A treliça representada na figura ao lado é de nós articulados e suporta a força de 500 kN no nó “E”. Determine as áreas das seções transversais das barras “AB”, “AC” e “DE”, sabendo-se que a tensão admissível do material das mesmas é de 150 MPa. Determine também o alongamento admitido para a barra “DE”, sabendo que ela tem 2m de comprimento e que o Módulo de Elasticidade do material é igual a 210 GPa. 2
2
B
D
F
A C G E 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
H
500 kN
2
Resposta: SAB = 2.083 mm ; SAC = 1.250 mm ; SDE = 3.333 mm ; ∆LDE = 1,428 mm.
Resposta: 0,282 mm.
29) Uma barra cilindrica, ôca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4 cm e o interno de 2 cm e, com 100 cm de comprimento, está inicialmente à temperatura de 50°C. Qual deverá ser o comprimento final da barra, se sua temperatura for diminuída para -6 -1 -20°C? α = 16,8 x 10 °C . Resposta: 998,824 mm.
30) Um cabo de aço, ABNT 1040, de 5 metros de comprimento e 5 mm de diâmetro, deverá resistir a uma carga axial, de tração, de 5 kN. A temperatura ambiente, que era de 5°C, atingiu a 35°C, no mesmo período de atuação da força. Nestas condições, calcule o comprimento final do cabo, sabendo-se que não foi ultrapassada a região elástica. E -6 -1 = 210 GPa e α = 12 x 10 °C . Resposta: 5,0078 m. Jucimar de Souza Lima – Av. 13 de maio 2081 – Benfica -
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34) Duas barras idênticas, de aço, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 450 kN no nó ”B”, tal como se indica na figura. Admitindo-se uma tensão admissível de 210 MPa, determine a área da seção transversal de cada barra, bem como o deslocamento vertical do nó “B”. O comprimento de cada barra é de 3 metros e o valor do Módulo de Elasticidade do material é 210 GPa.
A
C
45º
B 450 kN
Resposta: S = 1.515 mm2; ∆B = 4,24 mm.
35) A treliça representada na figura ao lado é de nós articulados e suporta a força horizontal de 150 kN no nó “B”. Todas as barras são de aço, com limite de escoamento de 300 MPa. Definir as áreas das seções transversais das barras da treliça, adotando um coeficiente de segurança igual a 2. Resposta: SAB = SBD = 625 mm2; SAC = SCD = 500 mm2; SBC = 0.
B
150 kN 1,8 m
28) Resolver o problema anterior, considerando as seguintes alterações: 2 • Área da seção transversal = 500 cm . • Comprimento da barra = 18m, sendo: LAB = 3,0 m; LBC = 6,0 m e LCD = 9,0 m.
A
D
C 2,4 m
2,4 m
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Prof. Jucimar 36) Um conjugado (Torque) “M” de 15 kN.m é aplicado ao eixo de manivela, conforme esquema do motor da figura ao lado. Para a posição indicada, determine: a) A força “F”, necessária para manter o sistema em equilibrio. b) A tensão normal na barra “BC”, que tem seção transversal 2 uniforme de área igual a 470 mm .
39) Um cilindro de ar comprimido para laboratório, está, normalmente, com a pressão de 18,4 MPa, por ocasião da entrega. O material é aço, com limite de escoamento de 264 MPa e possui um diâmetro externo de 250 mm. Adotando um coeficiente de segurança igual a 2,5, determine a espessura da chapa do cilindro.
B
Resposta: a) 143,67 kN; b) 319,15 MPa.
M A
Resposta: 18,54 mm
40) O gás para uso doméstico é fornecido, em geral, em cilindros fechados com extremidades semi-esféricas ou elipsoidais. Considere-se um desses reservatórios, de 90 cm de diâmetro interno, feito com chapa de aço, de 12,5 mm de espessura e com limite de escoamento de 264 MPa. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3, qual é a pressão interna máxima que o cilindro suporta?
100 mm
C
250 mm
F
75 mm
41) Um tubo de parede fina, fechado nas extremidades, contém óleo, sob pressão de 0,96 MPa. O diâmetro interno é de 40 cm e o limite de escoamento do material é de 144 MPa. Adotando um coeficiente de segurança igual a 3, determine a espessura da parede do tubo.
40 cm
D B 30 cm
37) A barra rígida “ACE” é suspensa por duas hastes “AB” e “CD”. A haste “AB” é de aluminio (Eal = 70 GPa), com área de seção transversal de 500 2 mm . A haste “CD” é de aço (Ea = 200 GPa), com 2 área de seção transversal de 600 mm . Para a força de 300 kN, aplicada no ponto “E”, determine: a) O deslocamento do ponto “A“. b) O deslocamento do ponto “C“.
Resposta: 2,44 MPa.
300 kN A
C
Resposta: 4,0 mm. E
20 cm
40 cm
Resposta: a) 5,14 mm; b) 3 mm.
42) Um tanque cilindrico, de eixo vertical, para depósito de gasolina, tem diâmetro interno de 25,5m e está cheio até uma altura de 12m, a partir da extremidade 3 inferior, com gasolina, cujo peso específico é 9,5 kN/m . Sendo de 218 MPa o limite de resistência do material do tanque, determine a espessura da parede do mesmo, em sua parte mais profunda, adotando um coeficiente de segurança igual a 3. Resposta: 20 mm.
Resposta: a) 37,85 kN; b) 285,3 mm2.
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10 cm
10 cm
38) No sistema representado ao lado, a parte E central da haste “BE” tem seção retangular uniforme de 12 mm x 25 mm. F F F a) Determine a intensidade “F” das forças A B aplicadas, de forma que a tensão normal D C na haste “BE” seja de 900 MPa. 30 cm 25 cm 15 cm b) Considerando, agora, que cada uma das forças tem intensidade de 40 kN, determine a área da seção transversal da haste “BE”, de modo que a tensão normal na mesma seja de 1.000 MPa.
43) Os dados da tabela seguinte foram obtidos num ensaio de tração simples, com um corpo de prova de diâmetro igual a 15 mm e comprimento útil, inicial, de 100 mm. Rompido o corpo de prova, mediu-se o diâmetro da seção de ruptura e obteve-se 13,5 mm, enquanto que o comprimento de referência aumentou para 118,75 mm. A partir dos dados obtidos, pede-se determinar: a) O limite de proporcionalidade (elasticidade) do material. b) O limite de escoamento do material. c) O limite de resistência do material. d) O seu Módulo de Elasticidade. e) O coeficiente(módulo) de estricção. f) A deformação linear.
F (N) 0 6.250 9.250 12.000 15.250 18.200 21.250 24.250 27.250 30.250 33.500 36.250 34.500 34.750
∆L (mm) 0 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,100 0,200
F (N) 34.750 34.750 34.500 34.750 35.000 38.750 46.750 49.500 50.500 50.500 49.500 47.500 44.500
∆L (mm) 0,300 0,400 0,500 0,600 1,250 2,500 5,000 7,500 10,000 12,500 15,000 17,500 18,750
