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PMR-2360 - Controle e Automa¸c˜ ao I Gabarito 1a. Provinha - 2005 Dura¸c˜ ao da prova - 60 minutos [Q. 1] (4.0pt) Considere um sistema de controle, como na figura abaixo, onde: G(s)H(s) =
R(s)
+
K(s + 5) , s(s + 6)(s + 7)(s + 8)
H(s)
E(s)
U(s)
Controlador referencia
G(s) Planta
(1)
Y(s) saida
−
(a) (2.0pt) Quais ´e a condi¸c˜ ao necess´aria e suficiente para que o erro estacion´ario em malha fechada ess exista (resposta qualitativa) ? Resposta: A palavra ’exista’ aqui se refere a existˆencia do limite o que inclui valores finitos e infinitos. G(s)H(s) Desta forma, o sistema em malha fechada 1+G(s)H(s) deve ser est´avel. (b) (2.0pt) Calcule o valor de K para que o valor do erro estacion´ario em malha fechada para uma rampa unit´aria seja menor do que 10% ? Resposta: O erro em malha fechada ´e dado por: E(s) =
1 , 1 + G(s)H(s)
(2)
a rampa unit´aria ´e representada por R(s) = 1/s2 , o erro estacion´ario ´e dado por: lim e(t) = lim sE(s),
t→∞
(3)
s→0
=s
1 1+
K(s+5) s(s+6)(s+7)(s+8)
1 , s2
1 s(s + 6)(s + 7)(s + 8) , s(s + 6)(s + 7)(s + 8) + K(s + 5) s 336 1 = < , 5K 10
=
(4) (5) (6)
logo 5K > 3360, portanto K > 672. [Q. 2] (6.0pt) Considere um sistema de controle em malha fechada onde a fun¸c˜ao de transferˆencia da planta ´e dada por: 1 . (7) G(s) = s(Js + b) 1
(a) (1.5) O sistema em malha aberta possui erro estacion´ario ess finito para entrada degrau ? Resposta: O erro para o sistema em malha aberta ´e dado por: e(t) = r(t) − y(t), E(s) = R(s) − Y (s),
(8) (9)
e R(s) = 1/s. Desta forma, 1 1 1 − , lim e(t) = lim sE(s) = lim s t→∞ s→0 s→0 s s(Js + b) s 1 = lim 1 − , s→0 s(Js + b) = ∞.
(10) (11) (12)
Desta forma, o sistema n˜ao possui valor finito para entrada degrau. (b) (1.5) Dado que D(s) = 0, um controlador proporcional H(s) = KP garante erro estacion´ario em malha fechada ess nulo para entrada degrau ? Resposta: Hip´oteses D(s) = 0, H(s) = KP , R(s) = 1s Sabemos que: 1 E(s) = (13) R(s) 1 + G(s)H(s) lim e(t) = lim sE(s),
t→∞
(14)
s→0
1 1 , s→0 1 + G(s)H(s) s 1 1 , = lim s 1 s→0 KP s s(Js+b) = lim s
= lim s s→0
s(Js + b) = 0. s(Js + b) + KP
(15) (16) (17)
Sim, o controlador proporcional garante errro estacion´ario nulo. (c) (1.5) Supondo que existe um sinal de dist´ urbio de torque constante, i.e. D(s) = Td /s, calcule KP forma que seja poss´ıvel garantir erro estacion´ario menor que 10%. Resposta: ´ conveniente supor aqui que R(s) ≡ 0. Al´em disso, temos que: D(s) = Td /s, H(s) = KP . E Neste caso, E(s) = −Y (s) e, lim y(t) = lim sY (s),
t→∞
(18)
s→0
= lim s s→0
= lim s s→0
=
G(s) Td , 1 + G(s)H(s) s 1 s(Js+b)
1+
1 KP s(Js+b)
1 Td < , KP 10
Td , s
(19) (20) (21)
logo KP > 10Td . Observa¸c˜ oes: Alguns alunos decidiram calcular D(s) − Y (s), o que n˜ao faz sentido pois estamos interessados no erro E(s) do sistema. 2
(d) (1.5) Supondo que existe um sinal de dist´ urbio de torque constante, i.e. D(s) = Td /s, projete um controlador H(s) de forma a garantir um erro estacin´ario ess nulo?. Resposta: Admitimos que: D(s) = Td /s. Devemos neste caso escolher uma estrutura de controle e verificar a sua adequa¸c˜ ao frente aos requisitos. Por exemplo, vamos escolher um controlador PI: 1 H(s) = KP 1 + . (22) Ti s Sabemos que fazendo R(s) ≡ 0, temos E(S) = −Y (s). Para um controlador PI temos: lim y(t) = lim sY (s),
t→∞
(23)
s→0
= lim s s→0
G(s) 1 , 1 + G(s)h(s) s
(24)
1
= lim s s→0
= lim
s→0
1 s(Js+b) 1 1 1 + KP 1 + Ti s s(Js+b) s
(25)
Ti s = 0. s(Js + b)Ti s + KP + Ti ss(Js + b) + KP
(26)
Ou seja, o controlador PI ´e suficiente. Observa¸c˜oes: Mais uma vez alguns alunos calcularam D(s) − Y (s). Esta suposi¸c˜ao faria com que a sa´ıda do sistema acompanhasse o dist´ urbio D(s), o que seria exatamente o oposto do desejado.
D(s) perturbacao
R(s)
+
E(s)
H(s)
Controlador referencia
−
U(s)
+
3
+
G(s) Planta
Y(s) saida
