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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 5: Teorema de Stokes 1. Seja C a fronteira da parte do plano 2x + y + z =R 2 no primeiro octante, orientada no sentido anti-hor´ario quando vista de cima. Calcule C F · dr, onde F ´e o campo vetorial dado por F(x, y, z) = (y + arctg(ex ), x2 , z). 2. Seja F(x, y, z) um campo vetorial definido no R3 (cujas componentes tˆem derivadas parciais cont´ınuas). Seja X a esfera x2 + y 2 + z 2 = 1. Use o teorema de Stokes para justificar: (a) O fluxo de rot F atrav´es do hemisf´erio superior (z ≥ 0) de X ´e igual ao fluxo de rot F atrav´es do disco x2 + y 2 ≤ 1, z = 0 (supondo que ambas as superf´ıcies est˜ao orientadas com campo normal apontando para cima.) (b) O fluxo de rot F atrav´es da esfera X ´e nulo. (z + 3y 3 + 3yz 2 )j − yk . Qual ´e a maior regi˜ao y2 + z2 A de R3 em que ele est´a definido? Nesta regi˜ao, vale rot F = 0 (n˜ao precisa verificar, para n˜ao perder tempo). Responda `as seguintes perguntas: (a) Identifique o ERRO do argumento a seguir: se C ´e o c´ırculo y 2 + z 2 = 1, x = 0 e D ´e o disco dado por y 2 + z 2 ≤ 1, x = 0, ent˜ao C ´e a fronteira de D; como rot FR= 0 segue que o fluxo de rot F atrav´es de R D ´e nulo e portanto, pelo teorema de Stokes, C F · dr = 0. (b) De fato verifique que C F · dr 6= 0, calculando explicitamente. (c) Considere os c´ırculos C1 : (y − 1)2 + z 2 = 4, x = −1 e C2 : (y − 2)2 + z 2 =R1, x = −1. Use o teorema de Stokes de forma apropriada em cada caso para determinar C1 F · dr e R F · dr. C2 (d) F ´e conservativo em A? F ´e conservativo na regi˜ao {(x, y, z) ∈ R3 : y > 0}? OBS. Oriente as curvas C, C1 , C2 acima de modo que, vistas por um observador situado no semi-espa¸co x > 0, elas est˜ao no sentido anti-hor´ario. 3. Considere o campo vetorial F(x, y, z) =
4. Seja S a parte do parabol´oide z = x2 + y 2 situada abaixo do plano z = 2x + 2y + 2. Oriente S com o campo normal unit´ario n apontando para baixo e oriente a fronteira C de S positivamente. Fa¸ca uma figura ilustrando S, C e as orienta¸c˜oes dadas. Considere o campo vetorial F(x, y, z) = (y, z, x); o objetivo desta quest˜ao ´e calcular o fluxo do rotacional de F atrav´eRs de S de trˆes modos: (a) Calcule a integral de linha C F · dr e use o teorema de Stokes. (b) O teorema de Stokes mostra R Rque se X ´e a regi˜ RaoRplana delimitada pela curva C (com orienta¸c˜ao para baixo) ent˜ao rotF · n dS = rotF · n dS (por quˆe? justifique). S X Calcule estaRu ´Rltima integral diretamente. (c) Calcule rotF · n dS diretamente pela defini¸c˜ao. S Resposta: −12π.
