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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 4: Integrais de Superf´ıcie de Campos Vetoriais (Fluxos) 1. Justifique rapidamente, dando argumento geom´etrico: (a) O fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (1, x, z) atrav´es do disco x2 + y 2 ≤ 1 no plano xy ´e nulo. (b) O fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (y−z, z−x, x−y) atrav´es da esfera x2 +y 2 +z 2 = a2 ´e nulo. (c) O fluxo do campo F(x, y, z) = (x, y, z) atrav´es da esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 ´e igual a 4π (oriente a esfera com a normal apontando para fora). 2. Considere o cilindro S1 dado por x2 + y 2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1 e tampe este cilindro com discos S2 e S3 , obtendo assim uma superf´ıcie fechada S, que orientamos com o campo normal unit´ario n apontando para fora. Considere o campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z). (a) Fa¸ca uma figura do campo F ao longo de S1 ; sem fazer c´alculos, diga se o fluxo de F atrav´es de S1 ´e nulo, positivo ou negativo. Responda a mesma pergunta trocando S1 por S2 e trocando S1 por S3 . (b) Agora fa¸ca o c´alculo expl´ıcito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo de F atrav´es de S (Resposta: 12π). 3. (Uma maneira r´apida de calcular dS = n dS para a esfera). Considere a esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 , orientada com a normal unit´aria n apontando para fora. Determine n geometricamente em termos do vetor posi¸ca˜o; escreva x, y, z em fun¸c˜ao de φ, θ e escreva n em termos destes ˆangulos; finalmente obtenha dS = n dS. 4. Um fluido tem campo de velocidades dado por v(x, y, z) = (1, x, z) (em cm/segundo). Se S ´e o hemisf´erio superior da esfera de raio 1 centrada na origem, determine quantos cent´ımetros c´ ubicos do fluido atravessam S por segundo (Resposta: 2π/3). 5. Calcule a integral de superf´ıcie do campo vetorial F sobre a superf´ıcie X nos seguintes casos: (i) F(x, y, z) = (xey , y 2 − xey , z) e X ´e a regi˜ao triangular com v´ertices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), com orienta¸ca˜o para cima (Resposta: 1/4). (ii) F(x, y, z) = (z, x, z) e X ´e o helic´oide (u cos v, u sen v, v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π, com orienta¸ca˜o para baixo (Resposta: 5π − π 2 ). 2 (iii) F(x, y, z) = (0, y, −z) e X ´e a uni˜ao do parabol´oide y = x2 + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1, com o disco x2 + z 2 ≤ 1, y = 1; oriente S com o campo normal unit´ario apontando para fora (Resposta: 0).
