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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 2B: Teorema de Green 1. Seja C a curva obtida pela uni˜ao dos gr´aficos y = sen x e y = 2 sen x para 0 ≤ x ≤ π; oriente C no sentido anti-hor´ario (fa¸ca uma figura). Calcule Z (1 + y 2 ) dx + y dy C
de duas formas: (i) pela defini¸c˜ao (via parametriza¸ca˜o); (ii) pelo teorema de Green. 2. Calcule a a´rea da regi˜ao interior a` curva r(t) = (cos t, sen3 t), (0 ≤ t ≤ 2π). (Antes de fazer o c´alculo, reflita: qual ´e a f´ormula mais apropriada a ser usada neste caso?) 3. Seja F(x, y) = (2xy + y 2 − y + 2, x2 + 2xy + x + yey ) um campo vetorial no plano e C o arco da elipse 4x2 + 9y 2 = 36 no semiplano y ≥ 0. Calcule a integral de F ao longo de C desde o ponto A(3, 0) at´e o ponto B(−3, 0). Sugest˜ao: Considere a curva γ obtida unindo C ao segmento de reta BA e aplique o teorema de Green a` curva fechada γ; reflita agora sobre como proceder para obter a integral desejada. 4. (a) O seu professor j´a resolveu este item, mas repita o argumento com suas pr´oprias (−y, x) e γ ´e uma palavras: Se F ´e o campo vetorial em R2 − {(0, 0)} dado por F(x, y) = 2 x + y2 R curva simples fechada que circunda a origem, ent˜ao C F · dr = 2π. (b) (Aplica¸ca˜o de C´alculo 3 a C´alculo 1: resolu¸c˜ao de integrais sem usar o teorema x2 y 2 fundamental do C´alculo.) Use o resultado acima no caso em que C ´e a elipse 2 + 2 = 1 a b para concluir que Z 2π 1 2π dt = . a2 cos2 t + b2 sen2 t ab 0 (OBS. Um aluno de C´alculo 1 n˜ao conseguir´a calcular esta integral, pois o integrando n˜ao admite primitiva elementar se a 6= b.)
