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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 2A: Campos conservativos 1. Quais dos seguintes campos vetoriais definidos no R2 s˜ao conservativos? Em caso afirmativo, dˆe exemplo de uma fun¸ca˜o potencial. F1 (x, y) = (x2 , xy); F2 (x, y) = (x, 0); F3 (x, y) = (0, x); F4 (x, y) = (2xysen (x2 y), ey + x2 sen (x2 y)). 2
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2. (a) Responda, sem fazer uso ´e a elipse x9 + y4 = 1, calcule R do teorema de Green: Se C o valor da integral de linha C (y + arctg x) dx + (x + ln(y 4 + 1)) dy. Justifique. (b) Se F2 (x, y) = (y + arctg x, 2x + ln(y 4 + 1)), use o fato que F2 (x, y) = F R 1 (x, y) + (0, x), onde F1 ´e o campo vetorial usado na integral do item (a), para calcular C F2 · dr. 3. (a) Justifique: se A, B s˜ao pontos do R3 e F(x, y, z) = (z 2 , 2y, 2xz) ent˜ao a integral de linha do campo F independe do caminho escolhido entre A e B. (b) Se P0 = (1, 0, 1), P1 = (2, 3, 7), P2 = (1, 1, 2), P3 = (3, 2, 5) e P4 = (1, 2, 3), qual ´e o valor da integral de linha de F sobre a poligonal P0 P1 P2 P3 P4 ? (c) Se C ´e o arco da curva obtida pela interse¸ca˜o do cone z 2 = x2 + y 2 com o plano z = 1 + Ry, compreendido entre os pontos P1 = (0, −1/2, 1/2) e P2 = (1, 0, 1), qual ´e o valor de C F · dr? (Pense: qual ´e a maneira mais eficiente de resolver isto?) (−y, x) . x2 + y 2 (a) Fa¸ca um desenho do campo; ele ilustra aproximadamente o campo de velocidades de um fluido (´agua...) em movimento em uma pia; por quˆe? (b) Verifique que se P, Q s˜ao as componentes do campo na dire¸ca˜o de i e j, ent˜ao para todos (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} vale Qx = Py . Por que isto n˜ao garante que o campo ´e conservativo nesta regi˜ao? De fato, prove que F n˜ ao ´ e conservativo em (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}. Sugest˜ ao: olhe para a figura em (a) e exiba uma curva fechada C para a qual o “trabalho” R F · dr n˜ao ´e nulo. C 4. Considere o campo vetorial em R2 − {(0, 0)} dado por F(x, y) =
(−y, x) (ver exerc´ıcio x2 + y 2 acima) ´e conservativo em D. Justifique isto de duas maneiras: (i) Por um argumento te´orico; (ii) calculando explicitamente uma fun¸ca˜o potencial φ para F em D (resposta: φ(x, y) = −arctg(x/y).) Analise a resposta encontrada e comente: por que φ n˜ao pode ser estendido para um potencial em R2 − {(0, 0)}? R (b) Se C ´e o c´ırculo x2 + (y − 2)2 = 1, quanto vale C F · dr? Justifique. (c) Se C1 ´e Ra metade superior deste c´ırculo, orientada “da direita para a esquerda”, calcule o valor de C1 F · dr em menos de 30 segundos (n˜ao aproxime a resposta). 5. (a) Se D ´e o semi-plano superior y > 0, ent˜ao o campo F(x, y) =
