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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 1: Curvas parametrizadas, integrais de linha 1. Parametrize as seguintes curvas: (a) O segmento de reta delimitado pelos pontos (1,2, -1) e (2, 3, 5); (x − 3)2 + y 2 = 1; (b) A elipse 4 (c) A curva espacial obtida pela interse¸ca˜o do cilindro circular x2 + y 2 = 4 com o cilindro parab´olico z = x2 . 2. (a) Considere a curva plana com parametriza¸c˜ao (et cos t, et sen t) para 0 ≤ t ≤ 4π. (i) Calcule o comprimento desta curva. (ii) Fa¸ca um esbo¸co da curva. (b) Fa¸ca um esbo¸co da curva espacial dada parametricamente por r(t) = (et cos t, et sen t, t) para 0 ≤ t ≤ 4π. 3. Um arame tem a forma do trecho de h´elice r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. (a) Se a densidade linear ´e constante, use sua intui¸ca˜o para dizer qual deve ser o centro de massa; confirme sua resposta calculando o centro de massa a partir de integrais de linha. (b) Agora suponha que a densidade em cada ponto ´e igual ao quadrado da distˆancia do ponto `a origem. Calcule a massa do arame. 4. Um fio tem o formato de um quarto de c´ırculo de raio R: x2 + y 2 = R2 , x ≥ 0, y ≥ 0. Se a fun¸ca˜o densidade ´e ρ(x, y) = x + y, calcule o centro de massa (x, y) do fio. Fa¸ca um desenho da curva e marque aproximadamente a posi¸ca˜o do centro de massa. 5. Considere a curva obtida pela interse¸ca˜o do cone z 2 = x2 + y 2 com o plano z = 1 + y. Seja C o arco desta curva compreendido entre os pontos P1 = (0, −1/2, 1/2) e P2 = R (1, 0, 1). Calcule C x ds. x 6. Se C ´e a curva do R exerc´ıcio 5 e F ´e o campo vetorial F(x, y, z) = (1, e , y + z), calcule a integral de linha C F · dr.
7. Seja C1 o arco da par´abola y = x2 + 1 com ponto inicial (0, 1) e ponto final (1, 2); 2 seja C2 o segmento de reta com R os mesmos R pontos inicial e final. Se F(x, y) = (x, x y), calcule as integrais de linha C1 F · dr e C2 F · dr. Se C ´e a curva fechada obtida perR correndo C1 seguida de C2 com orienta¸ca˜o oposta (fa¸ca uma figura), quanto vale C F · dr? 8. Seja C o c´ırculo x2 + y 2 = 4. Sejam F1 e F2 os campos vetoriais dados por por F1 (x, y) = (x2 , xy) e F2 (x, y) = (0, x). (a) Fa¸ca uma figura do campo F1 ao longo de C. (Sugest˜ao: observe que (x2 , xy) = x(x, y).) Use a figura para responder: se W ´e o trabalho realizado pela for¸ca F1 agindo sobre uma part´ıcula que d´a uma volta no c´ırculo C, no sentido anti-hor´ario, W ´e positivo, negativo ou nulo? Agora use integral de linha para calcular W e confirme sua resposta. (b) Responda as mesmas perguntas para o campo F2 .
