Instituto de Matem´atica - IM/UFRJ C´alculo Diferencial e Integral II - MAC128 Primeira prova - 07/05/2008 Quest˜ ao 1: (2.5 pontos) Seja a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria y 0 (t) = 2y(t) (y(t) − 1). (a) (1.5 ponto) Obtenha a solu¸c˜ao geral da EDO acima de forma expl´ıcita. (b) (1.0 ponto) Seja y0 = y(0). Encontre a express˜ao para y(t) envolvendo y0 . Suponha que 0 < y0 < 1, calcule o limite da solu¸c˜ao deste problema quando t tende a infinito. Quest˜ ao 2: (2.5 pontos) Seja a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria y 00 (t) − 4y 0 (t) + 4y(t) = f (t). (a) (0.8 ponto) Considere f (t) ≡ 0. Encontre a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao diferencial ordin´aria. (b) (1.7 ponto) Considere, agora, que f (t) = te3t , y(0) = 6 e y 0 (0) = 15. Encontre a solu¸c˜ao para este problema de valor inicial. Quest˜ ao 3: (3.0 pontos) Seja uma part´ıcula cuja posi¸c˜ao no espa¸co ao longo do tempo ´e descrita pela fun¸c˜ao vetorial s(t) = (cos(2t), sen(2t), t), com t ∈ [0, 2π]. (a) (0.5 ponto) Fa¸ca um esbo¸co da trajet´oria percorrida pela part´ıcula. (b) (1.0 ponto) Calcule o comprimento de arco (distˆancia percorrida pela part´ıcula) π entre os tempos t = e t = π. 4 (c) (1.0 ponto) Encontre!as equa¸c˜oes da reta tangente `a curva descrita pela part´ıcula √ 1 3 π . , , no ponto 2 2 6 (d) (0.5 ponto) Calcule a velocidade e acelera¸c˜ao vetoriais da part´ıcula. Quest˜ ao 4: (2.0 pontos) Seja a qu´adrica cuja equa¸c˜ao cartesiana ´e dada por 2x2 + y 2 + 2y + z 2 = 9. (a) (1.0 ponto) i. Identifique a qu´adrica ii. Determine a equa¸c˜ao da interse¸c˜ao da qu´adrica com os planos coordenados xz e yz iii. Identifique as curvas obtidas no subitem anterior iv. Fa¸ca um esbo¸co da superf´ıcie (b) (1.0 ponto) Encontre uma parametriza¸c˜ao para a curva C que corresponde `a interse¸c˜ao da qu´adrica com o plano y + z = 1
P´agina 1 de 1
Boa prova!
